复数项级数

n(en
2
en )
当 n 时, zn , 所以数列发散.
2、复数项级数的概念
1)定义 设{zn} {xn iyn} (n 1, 2,L )为一复数列,
表达式
zn z1 z2 zn
n1
称为复数项无穷级数.
2）部分和 其最前面 n 项的和 sn z1 z2 zn
记作
lim
n
zn
z0
或 zn z0 (n ) .
若数列{zn }不收敛，则称{zn }发散.
2)复数列收敛的条件
定理 复数列{zn} (n 1,2, )收敛于z0 的充要条件是
lim
n
xn
x0 ,
lim
n
yn
y0 .
该定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性.
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
(1
1
)e
i
n
n
;
(2) zn ncos in .
解
(1) 因为
zn
(1
1
)e
i
s n
n
i sin
), n
所以
xn
(1
1 )cos n
π n
,
yn
(1
1 )sin
nn
.
而
lim
n
xn
1
,
lim
n
yn
0.
数列收敛,
且
lim
n
zn
1
.
(2)
由于
zn
n cos in
lim 8 0 n n 1
8n 收敛,
n1 n!
∴原级数收敛, 且为绝对收敛.
例5
级数
[(1)n n1 n
1 2n
i]是否绝对收敛？
解 因为 (1)n 收敛; n1 n
n1
1 2n
也收敛,
故原级数收敛.
但 (1)n 为条件收敛,
n1 n 所以原级数非绝对收敛.
二 、复变函数项级数
n1 n
n1
n
1 i (1)n 1
n1 n
n1
n
Q 级数 1 发散, n1 n
虽然 (1)n 1收敛,
n1
n
原级数仍发散.
（2 ）
n1
1 n2
(1
i n
)
Q
xn
n1
1 n2
n1
收敛;
n1
yn
1 n3
n1
收敛.
∴原级数收敛
5）级数收敛的必要条件
因为实数项级数 xn和 yn收敛的必要条件是
启示:
判别级数的敛散性时,
可先考察
lim
n
zn
?
0
lim 如 果 n
zn
0,
级数发散;
lim
n
zn
0,
应进一步判断.
6) 绝对收敛与条件收敛
ⅰ）定义 如果 zn 收敛, 那么称级数 zn 为绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
ⅱ）定理 如果级数 zn 收敛, 那么 zn 也收敛.
n1
n1
ⅲ）定理 zn绝对收敛 xn与 yn绝对收敛.
n1
n1
n1
注： zn 的各项都是非负实数, 可用正项级数的审敛法.
n1
例4 级数 (8i)n 是否绝对收敛？
n1 n!
解∵
(8i)n 8n ,
n! n!
由正项级数的比值判别法知:
lim
n
zn1 zn
8n1 n!
lim
n
(n
1)!
8n
s.
4)复数项级数收敛的条件
定理 级数 zn ( xn iyn ) 收敛的充要条件是
n1
n1
xn 和 yn 都收敛.
n1
n1
说明
复数项级数的审敛问题
(定理)
实数项级数的审敛问题
例2 判断下列级数是否收敛？
（1） 1 i2n1
n1 n
（2 ）
1 (1 i )
n2
n1
n
解：（1） 1 i2n1 1 (1)n i
且有 1 1 z z2 zn . 1 z
2. 幂级数
函数项级数的特殊情形， 当fn (z) cn1(z z0 )n1时，
定义幂级数：
n 1, 2,L
cn (z z0 )n c0 c1(z z0 ) c2 (z z0 )2 L cn (z z0 )n L
n0
z0为幂级数的中心.
称为这级数的部分和.
3）和函数
如果对于
D
内的某一点 z0,
极限
lim
n
sn
(
z0
)
s(
z0
)存在,
那么称级数 fn (z) 在 z0 收敛, s(z0 )称为它的和. n1
如果级数在区域D内处处收敛, 那么它的和一定
是 z 的一个函数 s(z) :
s(z) f1(z) f2(z) fn(z)
当z0 =0时，幂级数的形式为： cn zn n0
3、幂级数的敛散性
1）收敛定理 (阿贝尔Abel定理)
如果级数 cn (z z0 )n在z z1处收敛, n0 则对满足 z-z0 z1 z0 的点z对应的级数一定绝对收敛；
如果级数 cn (z z0 )n在z z2处发散, n0
称为级数的部分和.
3）级数收敛与发散的定义
如果部分和数列{sn } 收敛, 那 么 级 数 zn收 敛, n1
并且极限
lim
n
sn
s
称为级数的和.
如果部分和数列{sn } 不收敛, 那 么 级 数 zn发 散.
n1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是:
利用极限
lim
n
sn
§4.1 复数项级数
一 、复数项级数
二 、复变函数项级数
一 、复数项级数
1、复数列的极限
1)定义 设{zn} (n 1,2, )为一复数列, 其中
zn xn iyn , 又设 z0 x0 iy0 为一确定的复数,
若 0, 自然数N ,当n N 时，有zn z0 .
则称复数列{zn}收敛于 z0 , 或称{zn }以z0为极限.
n1
n1
lim
n
xn
0
和
lim
n
yn
0.
所以复数项级数 zn收敛的必要条件是
lim
n
zn
0
n1
重要结论:
lim
n
zn
0
级数
n1
zn发散.
例3 判断级数 ein是否收敛？ n1
解：Q
lim
n
zn
lim ein n
lim(cos n i sin n) 0, n
不满足级数收敛的必要条件,
∴原级数发散.
1 、复变函数项级数
1）定义 设 { fn(z)} (n 1,2, ) 为一复变函数序列,
其中各项在区域 D内有定义.表达式
fn(z) f1(z) f2(z) fn(z)
n1
称为复变函数项级数, 记作 fn(z).
n1
2）部分和 级数最前面n项的和
sn(z) f1(z) f2(z) fn(z)
称为该级数在区域D上的和函数.
例6 求级数 zn 1 z z2 zn
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
z
sn
1
1
z z2 zn1
lim
n
sn
1 1
z
1 zn
1 z 级数
, (z 1)
zn 收敛,
n0
z 1
lim zn 0
n
级数 zn 发散.
n0
收敛范围为一单位圆域 z 1,