03复变函数的幂级数展开

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03复变函数的幂级数展开

数学物理方法

双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f
k 1

k
( z )一般收敛于
假设对应于点z∈ D，级数收敛于f(z)，即
f ( z) f k ( z)
k 1

那么f(z)称为级数的和函数。
数学物理方法

幂级数的定义
k 0
k a ( z z ) 形如 k 的级数称为以z0为中心的幂级数， 0
常数a0,a1,a2,…an，称为该幂级数的系数。
k 1 m 2m ka z ( 1) z k k 0 m0

1 m 2m (arctanz ) ( 1 ) z 2 1 z m 0
k 0

(1) m 1）当k为奇数时 a2 m1 2m 1
(m 0,1,2...)
2）当k为偶数时 a2m 0 (m 0,1,2...)
如果
如果
| ,称级数 w 是绝对收敛的 | w 是收敛的

| w
n 1 n 1
n 1
n
n
|是发散的，而
w 是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ敛的
n 1 n

n 1
n
称级数
w 是条件收敛的，
n
数学物理方法

复变函数项级数的定义
是区域D中的复变函数,如
设 f k ( z) (k 1,2,3,...) 下表达式

复变函数的幂级数表示

一复变函数项级数 1 定义：设 f k (z )是区域D中的复变函数则
f
k 1
k
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) ... f k ( z ) ...
称为复变函数项级数，称 Sn ( z) f k ( z) k 1 为级数的前n项和。
n
2 级数收敛和发散的定义：
f ( z)dz f
l l k 1

k
( z ) dz f k ( z )dz
k 1 l

3、幂级数在收敛圆内可逐项求导
f
(n)
( z) f
k 1

(n) k
( z)
3.2 解析函数的泰勒展开
一定理表述及其证明
定理：设 f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内的任意z点，f(z)可展为幂级数，
则（3.2.2）收敛，而（3.2.1）绝对收敛。
ck 引入记号 R lim c k k 1
，称为收敛圆半径。
R，则（3.2.1)
意义： ck 若 | z z0 | lim c k k 1 绝对收敛。
另一方面，若 | z z0 | R 则
| ck 1 || z z0 |k 1 ck 1 lim lim R 1 k | c || z z |k k c k 0 k
五、例题
例1 求 1 z z 2 z k 的收敛圆。 z 为复数
(k!) 2 k z 的收敛半径。例2 （习题4.1.b）求 k 1 (2k!!)

1 k2 k 例3（习题4.1.c）求 (1 ) z 的收敛半径。 k k 1

zk 例4（简明教程35页）求的收敛半径。 k 0 k!

复变函数第三章

第三章：幂级数展开1. 一致收敛的复变项级数已知复变项级数： +++++=∑∞=)()()()()(2100z w z w z w z w z w k k k ，该级数的前1+n 项和)()()()()(2100z w z w z w z w z w n nk k ++++=∑= 称为级数的部分和。

把部分和序列∑=n k k z w 0)(表示为∑∑∑===+=nk k n k k n k k y x v i y x u z w 0),(),()(，则有：∑∑∑=∞→=∞→=∞→+=nk k n n k k n n k k n y x v i y x u z w 0),(lim ),(lim )(lim这样把复变项级数的收敛问题归结为两个实变项级数。

复变项级数的收敛性和一致收敛性：任给一个数0>ε，总可找出一个),(z N ε，使得当),(z N n ε>时，对于区域E （或曲线l ）上的所有点z 来说，部分和满足不等式ε<-∑=)()(0z w z w nk k ，则称级数∑∞=0)(k k z w 在区域E （或曲线l ）上收敛于函数)(z w ，如果)(εN 只与ε有关，则称级数∑∞=0)(k k z w 在区域E （或曲线l ）上一致收敛于函数)(z w 。

复变项级数在区域E （或曲线l ）上收敛和一致收敛的充要条件（柯西判据）：对于区域E （或曲线l ）上的所有点z ，任给一个数0>ε，总可找出一个),(z N ε，使得当),(z N n ε>时，有不等式ε<∑++=pn n k kz w1)(（其中p 为任意正整数），则级数∑∞=0)(k kz w在区域E （或曲线l ）上收敛于函数)(z w ；如果)(εN 只与ε有关，则级数∑∞=0)(k k z w 在区域E （或曲线l ）上一致收敛于函数)(z w 。

绝对收敛：如果复变项级数各项的模组成的级数∑∞=0)(k k z w 收敛，则称复变项级数∑∞=0)(k kz w绝对收敛。

复变函数的幂级数展开

复变函数的幂级数展开复变函数的幂级数展开是复数域中独有的一种展开形式。

与实函数不同，复变函数的幂级数展开能够将一个复变函数表示为一系列复数幂的和。

在复变函数理论中，幂级数展开具有广泛的应用，例如在复解析、函数论、物理学等各个领域。

首先，我们来了解一下复变函数的幂级数展开的定义和性质。

给定一个复变函数 f(z)，它可以在某个区域上进行幂级数展开。

设 z0 是该区域上的一个点，如果存在复数序列 c_n 和一个收敛半径 R，使得对于该区域内的每个点 z，有以下关系成立：f(z) = ∑(n=0 to ∞) c_n (z-z0)^n (1)其中，c_n 是函数 f(z) 的系数，R 是幂级数的收敛半径。

幂级数的收敛半径 R 可以通过柯西—阿达玛公式进行计算，该公式是根据幂级数的收敛性和发散性进行的。

下面我们来看一个具体的例子。

考虑以下函数：f(z) = 1/(1-z) (2)为了将 f(z) 展开为幂级数，我们需要找到该函数在某个点 z0 处的展开式，并计算出收敛半径 R。

对于函数 (2)，我们可以选择 z0=0。

然后，我们对函数 (2) 进行展开，在给定的收敛半径内，得到以下级数：f(z) = ∑(n=0 to ∞) z^n (3)这个级数是一个幂级数展开，它显示出函数 1/(1-z) 可以表示为一系列复数幂的和。

在这个例子中，收敛半径 R=1，因为幂级数 (3) 只在 |z| < 1 的区域内收敛。

复变函数的幂级数展开可以用来近似计算复解析函数在某个点附近的值。

一般来说，通过增加幂级数的项数，可以获得更精确的近似结果。

但需要注意的是，幂级数展开的收敛性和收敛半径是限制近似精度的关键因素。

当所选择的展开点与函数的奇异点接近时，幂级数展开的收敛性可能会受到影响。

幂级数展开还经常用于计算多项式函数和三角函数的复函数版本。

例如，通过对复指数函数进行幂级数展开，我们可以得到欧拉公式：e^(iz) = ∑(n=0 to ∞) (iz)^n/n!，其中 i 是虚数单位。

第4章：复变函数的幂级数展开

| f n +1 ( z ) + f n + 2 ( z ).... + f n + p ( z ) |< ε
一致收敛级数的连续性设
f ( z) = ∑
k =0 ∞
在E上一致收敛，如果{fk(z)} f k ( z ) 在E上连续，那么和函数f(z)
也是E上的连续函数。
7
一致收敛级数的积分设
f ( z) = ∑
f ( z ) = ∑ f k ( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ... + f k ( z ) + ...
k =0
5
∞
ε—N语言描述任给ε>0, 以及给定的z∈E, 存在正整数N=N(ε,z), 当n>N时
| f ( z ) − sn ( z ) |< ε
其中部分和为
16
1 f ( z) = 2 1+ z
+i
的二个奇点为 z = ±i ,故
1 2 4 6 = 1 − z + z − z + ... 2 1+ z
-i
的收敛半径为 | z |<1.
17
4.2 解析函数的Taylor 展开
幂级数在收敛圆内：解析函数逆定理：解析函数可展开成幂级数
定理：设 f(z) 在以 a 为圆心的圆 C 内解析，则对于圆内的任何 z 点, f(z) 可以用幂级数展开为
(−1) ln(1 + z ) = ∑ k k =0
∞
k +1
z
k +1
; (| z |< 1)
2、若取其他分枝：ln1=2kπi, c= 2kπi

大学物理2.2 复变函数在解析区域中的幂级数展开

z
z
z2/1!
z3 /2!
z4/3!
z2
z2
z3 /1!
z4/2!
z5/3!
z3
z3
z4/1!
z5/2!
z6/3!
ez 1 (1 1 )z (1 1 1 )z2 (1 1 1 1 )z3
1 z
1!
1! 2!
1! 2! 3!
k
1 zk
k0 n0 n!
( z 1)
三、鞍点
我们来讨论复变函数的一阶导数为零的点的性质。
级数于是
在 C 上一致收敛
逐项积分
其中 4. 展开式是唯一的
若 f (z) 能展开成另一种形式：
(1) 令 z = b： (2) 对 z 求导：
……
——展开式唯一
由展开式的唯一性，可以用任何方便的办法来求解一个解析函数的泰勒展开式，不必一定要用积分表达式
来求 ak 。说明： (1) 解析函数与泰勒级数之间存在密切关系：
证明： 1. 从柯西公式出发
其中 z 为圆 | z – b | = R 内某一点，C 为包含 z 的圆，| – b| = (0 < < R)，为 C 上的点。
2. 将被积函数用级数表示
利用
将
1
z
展开成以
b
为中心的级数
被积函数写成：
3. 将上式沿 C 积分
级数
在 C 上一致收敛 + f ( ) 在 C 上有界
我们知道，实变函数 f (x) 的一阶导数为零的点是它的极
值点 (只要二阶导数不为零)。然而，这一结论对于复变函数
f (z) 不成立 (因为 f (z) 无大小之分) 。此时应讨论它的实部和

复变函数的基本概念及运算

量子力学
复变函数在量子力学中用于描述波函数，通过复数形式表达波函数的实部和虚部。
电磁学
在电磁学中，复数形式的复变函数被用于描述电场和磁场，以及相关的波动现象。
光学
光学中的波动方程和麦克斯韦方程组可以通过复数形式的复变函数进行描述，解释了光的传播和干涉等现象。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，复数形式的复变函数被用于描述交流电路中的电压和电流，以及相关的频率响应和稳定性分析。
泰勒级数展开
01
泰勒级数展开是复变函数中一个重要的展开方法，它
可以将一个复杂的复变函数表示为一个无穷级数。
02
泰勒级数展开的一般形式为：f(z)=∑(n=0~∞)(z-
z0)^n/n!*f^(n)(z0)
03
其中，z0是展开点，f^(n)(z0)表示f(z)在z0点的n阶
导数。
洛朗兹级数展开
01
复变函数的复合运算
复合函数
设$f(z)$是一个复变函数，$g(w)$是一个实变函数，且$g(w)$的值域包含在$f(z)$ 的定义域内，则复合函数$h(z) = f(g(w))$是定义在某个区间内的复变函数。
VS
复合函数的导数
设$h(z) = f(g(w))$是复合函数，则复合函数的导数定义为$(h'(z)) = (f'(g(w)) times g'(w))$。
除法
$frac{a + bi}{c + di} = frac{a+bi}{c+di} times frac{c-di}{c-di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$

复变函数的幂级数展开

数学物理方法

双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f 1 ( z) f 2 ( z) f 3 ( z) ... f k ( z) ...
称为复变函数项级数,记为为级数的前n项部分和.
f
k 1

k
( z ) ,称 S n ( z )
f
k 1
n
n
( z)
数学物理方法
级数收敛和发散的定义
S n ( z0 ) 存在,则称级数若对于z0∈ D,极限nlim 在z0处收敛; S n ( z0 )不存在,则称级数若极限 nlim 处发散.
1 2 1 3 1 4 (1) z z z z ... 2 3 4 k
k 1
z ...
数学物理方法
k
例3.7 将 f(z)=arctan z在z=0处展开成Taylor级数
解：设 arctanz ak z
k 0 k
(arctanz ) kak z k 1
函数 f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开
z z (1) z (1) z cos z 1 ... ... 2! 4! (2n)! (2n)! n 0
2 4 n 2n n
2n
数学物理方法
§3.3洛朗级数展开

补充：问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。

关于复变函数的幂级数展开与解析延拓

关于复变函数的幂级数展开与解析延拓复变函数是数学中的重要概念，它在研究物理、工程、经济等领域的问题时具有广泛的应用。

其中，幂级数展开和解析延拓是复变函数研究中的两个重要方法和技巧。

本文将从幂级数展开的原理和方法、解析延拓的概念和应用等方面进行详细介绍。

首先，我们来了解幂级数展开。

在复变函数中，如果一个函数在某个点处存在幂级数展开，则该函数在该点附近可用幂级数表达。

具体而言，如果函数f(z)在z=a处存在幂级数展开，则可将其表示为：f(z)=∑(n=0)∞(c_n(z-a)^n)其中，c_n为系数，(z-a)^n为幂函数，n为幂函数的次数。

当幂级数的收敛半径大于0时，幂级数展开是唯一的，我们可以通过计算系数c_n的方式来确定展开后的幂级数形式。

幂级数展开的重要性在于它将复杂的函数问题转化为简单的级数问题，方便我们进行具体的计算和分析。

接下来，我们来了解解析延拓。

解析延拓是指通过已知函数的定义域外一些特殊点上的性质，对函数进行延拓，使其在更大的区域内成为解析函数。

解析函数是指在某个区域内可用幂级数展开并且展开式在整个区域内收敛的函数。

解析延拓的目的是拓宽函数的定义域并使其在更广泛的情况下成为解析函数，从而更好地研究函数的性质和应用。

解析延拓常用的方法有奇点补充法和全纳域逼近法。

奇点补充法是通过找到并补充函数奇点，使函数在整个区域内成为解析函数。

全纳域逼近法是通过选取适当的函数近似，使得在整个区域内拓宽函数的定义域并得到更广泛的解析性质。

这两种方法都需要具体问题的分析和计算来确定适合的延拓方式。

在实际应用中，幂级数展开和解析延拓都具有广泛的应用。

幂级数展开可以用于计算函数的近似值，例如通过截取前几项级数来计算函数的近似值。

而解析延拓则可以用于研究函数的性质和特点，例如通过补充函数的奇点来得到新的解析函数和新的解析性质。

总结起来，复变函数的幂级数展开和解析延拓是研究复变函数的重要方法和技巧。

幂级数展开可以将复杂的函数问题转化为简单的级数问题，方便进行计算和分析。

复变函数解析函数的幂级数表示法

n 0
用反证法设在 z ,
1
n 外有一点 0， cn z0 收, z

当z

1
n 0 n ( ii )若 0时，对 z都有 cn z 收敛
n 0
n 0
时， cn z 发散, 故R
n

n 0
1
.
cn z n在复平面上处处收敛故R ; ，
n n 证明 (1) cn z0 收敛, 则 limcn z0 0，即 n 0 n
n 0，N 0， n N，恒有 cn z0
2 N 取M max , c0 , c1 z0 , c2 z0 ,, c N z0

n 故 cn z0 M , n 0,1,2, n z n 若 z z0 , 则 q 1 cn z n cn z0 z Mqn , z0 z0
定理2 级数 n收敛 an和 bn都收敛。
n 1 n n 1 n 1

证明 s (a ib ) a i b i k k k k k n n n
k 1 k 1 k 1 k 1
n
n
n
由定理１， sn a ib lim n a , lim n b lim
8i 8n ( 8i ) n ( 2) 收敛，绝对收敛。 n 0 n! n 0 n! n 0 n! (1)n 1 (1)n i (3) 收敛， n 收敛， ( n )收敛. 2 n n 2 n 1 n 1 n 1 ( 1)n 又条件敛，原级数非绝对收敛收 . n n 1

复数域内的函数幂级数展开及其应用【开题报告】

毕业论文开题报告数学与应用数学复数域内的函数幂级数展开及其应用一、选题的背景、意义函数幂级数的展开一直是分析学研究的一个重点，早在14世纪，印度数学家马德哈瓦提出了有关函数展开成无穷级数的概念。

众多数学家，如格高利，泰勒、欧拉、高斯等均对级数理论做了重要贡献。

自17世纪初至19世纪末，幂级数展开问题成为一个非常活跃的研究领域。

1667年，牛顿(Isaac Newton ，1642-1727)发现了π的无穷级数表达式，即圆径求周公式。

英国数学家格雷戈里(J ．Gregory ，1638-1675)发现了正弦和正矢的幂级数展开式。

1701年，法国传教士杜德美(P ．Jartoux ，1668-1720)来华，把这三个公式介绍给了中国学者。

著名数学家梅文鼎之孙梅珏成(1681-1763)将其收入《梅氏丛书辑要》的附录《赤水遗珍》，并分别称为“求周径密率捷法”和“求弦矢捷法”。

其后明安图(1692-1764)经过30余年的不懈努力，圆满地证明了前三个公式，同时还得到另外六个公式.牛顿在1666年通过无穷级数逐项积分的方法，推导出arcsin z 的幂级数展开式，而在1669年又用级数回求法给出这一公式。

日本数学家建部贤弘(Katahiro Takebe )，在1722年采用与明安图不同的分析方法得到了同一公式。

1737年，欧拉(L ．Euler ，1707-1783)在给伯努利(J ．Bernoulli ，1667-1748)的一封信中提出关于反正矢平方的幂级数展开式。

1819年春，董祜诚在北京朱鸿处见到明安图的《割圆密率捷法》第一卷抄本以后，“反复寻绎，究其立法之原”。

不仅为幂级数展开式的研究提供了有利的工具，同时也将中国传统数学的垛积术研究推进了一大步[1]。

在数学中，同高等数学中的实变函数项级数一样，复变函数项级数也是表示函数与研究函数的有力工具。

从级数作为研究函数的工具这个意义上讲，在各种有力的解析工具中按其简单、灵活、明确以及使用的方便而言，毫无疑问第一位应属于函数级数。

复变函数的幂级数展开lixh

复变函数的幂级数展开
• 一、重点与难点 • 二、典型例题 • 三、小结
1
一、重点与难点
重点：重点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数难点：难点：函数展开成洛朗级数
2
1.复数列 1.复数列
设 {α n } ( n = 1,2,L) 为一复数列, 其中
α n = an + ibn , 又设 α = a + ib 为一确定的复数 ,
26
∞
三、典型例题
判别级数的敛散性. 例1 判别级数的敛散性 ∞ 1 ( 4) ∑ . n n =1 ( 2 + 3 i ) 1 , 设 αn = 解 n ( 2 + 3i )
αn 1 1 因为 lim = lim < 1, = n →∞ α n →∞ 2 + 3i 13 n +1
(7 ) (1 + z ) = 1 + αz + L+
α
α (α − 1)
2! n!
z +
2
α (α − 1)(α − 2)
3! z n + L,
z3 +
α (α − 1)L(α − n + 1)
( z < 1)
20
6. 洛朗级数
1) 定理设 f ( z) 在圆环域R1 < z − z0 < R2 内处处解
7
n =1
∑ fn ( z ) = n =1
∞
f1 ( z ) + f 2 ( z ) + L + f n ( z ) + L
∞
sn ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + L + f n ( z )

复变函数之幂级数

a z3 r3
x
+∞
+∞
∑ ∑ 定理4(P76)若J = an xn 的收敛半径为= R, 令I an(z − a)n,则
n=0
n=0
(3)若R = 0, 则I 在全平面内除z = a 外处处发散.
(3)的证明用反证法.证明过程与(1)(ii) 的证明过程类似.
若R = 0，假设存在一点z4 ≠ a, 使得I在点 z4 收敛.
第四章解析函数的级数表示
级数是研究解析函数的又一重要工具，两种：1. 幂级数 2. 洛朗级数
4.1 幂级数
定义
设有复数列{zn
=
xn
+
i
yn , n
=
1, 2,},其中xn ,
yn
∈
,
+∞
称 ∑ zk = z1 + z2 + z3 + + zk + 为复数项无穷级数. k =1
n
∑ (1)若{zn}部分和复数列Sn = zk = z1 + z2 + + zn , n = 1, 2,有极限 k =1
⇒
ak
=
f
(
k)( k!
a
)
,
k ≥ 0.
定理5(P 78)
2)在收敛圆内曲线C上,可以逐项积分：
2n
是否绝对收敛？
∑ ∑ ∑ +∞ (−1)n +∞ 1
解.因为
=
+∞ (−1)n
发散，故
不是绝对收敛.
n=1 n n=1 n
n=1 n
∑ 从而由定理2(P75)知
+∞ (−1)n

复变函数4章幂级数

n 0 n n 0 n n n 0

则存在M 使对所有的n有 | c z | M
n n 0
|z| 如果 | z || z0 |, 则 q 1, | z0 |
z 而 | cn z || cn z | z0
n n 0 n
Mq
n
7
z n | cn z || c z | Mq z0
中心的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收敛范围是以z=a为中心的圆域. 在收敛
圆上是否收敛, 则不一定.
12
例1 求幂级数
z
n 0

n
1 z z z
2 n
的收敛范围与和函数.
[解] 级数实际上是等比级数, 部分和为
sn 1 z z
2
1- z z , ( z 1) 1- z
称为这级数的部分和.
3
如果对于D内的某一点z0, 极限
lim sn ( z0 ) s( z0 )
n
存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而s(z0) 称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则它的和一定是z的一个函数s(z): s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
处处收敛 , 即 R=. 如果 =+, 则对复平面内除 z=0 外的一切 z, 级数收敛, 因此
n0

n0
都不
cn z n
也不能收敛, 即 R=0.
18
定理三 (根值法 ) 敛半径 R
1
如果 n
lim n | c n | 0
, 则收

.
19

大学物理-复变函数在环形区域中的幂级数展开

zn (1)n[
(1)l ( t ) n 2l ]
n1
l0 l !(l n )! 2
Jn (t)zn n
其中
Jn (t)
l0
l0
(1)l ( t )n2l l!(l n)! 2 (1)l n ( t ) n 2l l!(l n )! 2
(当n > 0) (当n <0)
在后一式中写 n 为–m，则有
第二章复变函数的级数例题
2.3 复变函数在环形区域中的幂级数展开
例1：将
以 z = 0中心展开成幂级数。
分析：展开中心 z = 0不是 f (z)的奇点，奇点为–1、2。
解：
的三个解析区域|z| <1, 1<|z| <2, 2<|z| <∞
(1) |z| < 1
——无负幂项 (泰勒级数：解析区域为圆域)
得
1! 2!
n!
t z
e2
1 ( t )k zk
k0 k ! 2
( z )
(2-3-1)
因此
1 t
e 2z
1 ( t )l zl
l0 l! 2
( z 0)
1t(z1)
e2 z
1 ( t )k zk
1 ( t )l zl
k0 k! 2
l0 l! 2
(2-3-2)
对于固定的t，右边两个级数在0<|z| <∞ 中都是绝对收敛的，可以逐项相乘，并用任意方式并项。为了得到乘积中的某个正幂zn (n≥0)项，应取(2-3-2)所有各项而分别用(2-3-1)中的k =l+n项去乘；为了得到乘积中某个负幂z–m (m≥1) 项，应取(2-3-1)所有各项而分别用(2-3-2)中k = l+m 项去乘。这样

复数与复变函数

复数与复变函数复数和复变函数是数学中重要的概念，它们在许多学科领域都有广泛的应用。

本文将从复数的定义入手，介绍复数的运算法则以及复变函数的概念和性质。

一、复数的定义和运算法则复数是由一个实数和一个虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a 为实部，b为虚部，i为虚数单位。

复数的运算法则包括加法、减法、乘法和除法。

下面分别介绍这些运算法则。

加法：两个复数相加的结果是实部相加，虚部相加。

例如，(a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i。

减法：两个复数相减的结果是实部相减，虚部相减。

例如，(a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i。

乘法：两个复数相乘的结果是实部的乘积减去虚部的乘积，并加上实部和虚部的乘积。

例如，(a+bi)×(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。

除法：两个复数相除的结果是将被除数乘以除数的共轭，再除以除数的模的平方。

例如，(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。

二、复变函数的概念和性质复变函数是指定义在复数域上的函数，即其自变量和函数值都是复数。

复变函数有许多特殊性质，下面介绍其中的几个重要性质。

1. 解析性：复变函数在其定义域上处处可导，并满足柯西-黎曼方程。

2. 互补性：如果复变函数的实部和虚部是某个函数的共轭，那么该函数是解析函数。

3. 幂级数展开：复变函数可以用幂级数展开表示，这为研究复变函数提供了便利。

4. 含有极点：复变函数的定义域上可能存在极点，即函数在某些点上无穷大。

5. 解析延拓：如果复变函数在某个定义域上是解析的，那么可以通过解析延拓将其定义域扩展到更广的范围。

三、复数与复变函数的应用复数和复变函数在许多科学和工程领域都有广泛的应用。

下面列举几个常见的应用领域。

1. 电工电子学：复数可以用来描述交流电的电压和电流，复变函数可以用来分析电路的性能和响应。

chapter3复变函数的幂级数展开

方法2: 根值法
如ln 果 i n m cn0,那么收敛半径
R
1
.
1, 0;
即 R,
0;
0, .
12
例1 求下列幂级数的收敛半径
zn
(1 )
zn (2 )
(3 ) n !zn
(4 ) zk 2.
n n ! 2
n 0
n 0
n 0
k 1
解
(1)
由lim cn1 n cn
n2
lim n (n
10
y
o
R.
.
收敛圆收敛半径
x
注意在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.
11
4)收敛半径的求法方法1: 比值法
c n (z a )n c 0 c 1 (z a ) c 2 (z a )2
n 0
如果limcn1 0,那么收敛半径 R 1 .
n cn
n0((zzz00))nn1,
33
所以 2π 1iK2f(z)d
n 0 2 1 π iK 2( f(z0))n 1d (zz0)n
cn(zz0)n
n0 对于第二个积分:
1 2πi
f ( )d K1 z
R2
K1 R r . z 0R1 .z
K2
.
因为 1z(z0)1(zz0)
当 zz0 d时, f(z) cn(zz0)n成立,
n0
泰勒展开式泰勒级数其中 cnn 1 !f(n)(z0),n0,1,2,
21
设函 f(z)在数区 D 内域解 , 析
K为D内以z0 为中心的任一, 圆周 z0 r

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1 z z0
R2
z0
R1
z0
|z-z0|<R2
R1<|z-z0|
R2
R1
z0
收敛环 R1<|z-z0|<R2
数学物理方法

Laurent定理
设函数 f(z) 在以z0为中心的圆环区域 R1<|z-z0|<R2 内解析，则f(z)可在该环域内展开为如下双边级数：
f ( z)
n
数学物理方法
收敛半径的求法
D'Alembert公式
k a ( z z ) k 0 k 1

ak R lim k a k 1
R lim 1 ak
k k
Cauchy 公式
数学物理方法
例3.1
求
2
k k 2k ( 1 ) 2 z k 0

的收敛半径R。

1 2 k k 1 z z ... z ... z (收敛圆域为z 1) 解： 1 z k 0

1 ( ) 1 2 z ...kz k 1 ... z k 1 ( z 1) 1 z k 1
k 1
f1 ( z ) k z
f
( 2 m)
( z) (1) sin z, f
m
( 2 m)
(0) 0;
f ( 2m1) ( z) (1)m cos z, f ( 2m1) (0) (1)m ; (k ) m f (0) k (1) 2 m 1 f ( z ) sin z z z k! k 0 m 0 ( 2m 1)!
1 f ( z ) , f (0) 1; 1 z (k ) k 1 ( k 1)! (k ) k 1 f ( z ) (1) f (0) (1) (k 1)! k (1 z ) (k ) k 1 f (0) k (1) k f ( z) z z k! k k 0 k 0
函数 f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开
z z (1) z (1) z cos z 1 ... ... 2! 4! (2n)! (2n)! n 0
2 4 n 2n n
2n
数学物理方法
§3.3洛朗级数展开

补充：问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。
第一篇复变函数论第三章复变函数的幂级数展开
§3.1 复变函数项级数及其收敛性 §3.2 泰勒级数展开 §3.3 洛朗级数展开

数学物理方法
§3.1复变函数项级数及其收敛性

补充：复数项级数

形如 w1 w2 wn wn 的表达式被称为 n 1 复数项级数，其中wn是复数。
数学物理方法
收敛半径与收敛圆
根据阿贝尔定理，对于任意幂级数
a (z z )
k 1 k 0

k
总是存在一个圆周 z z0 R (0 R ) ，使得幂级数在此圆域内处处收敛，在此圆域外则处处发散。圆域 z z0 R 称为幂级数的收敛圆，
R称为幂级数的收敛半径。
数学物理方法
例3.5 将 f(z)=sin z在z=0点的Taylor级数展开
解：f ( z ) sin z, f (0) 0;
f ( z ) cos z, f (0) 1; f ( z ) sin z, f (0) 0; f ( z ) cos z, f (0) 1;

(1)m 2 m1 arctan z a0 z (其中a0 arctan 0 0) m 0 2m 1
数学物理方法
举例
函数 f(z)=ez 在z=0点的Taylor级数展开
2 k k z z z z e 1 z ... ... 2! k! k 0 k!

f ( z)
2 i
C k 0
1

f ( )(z z0 ) k d k 1 ( z0 )
1 f ( ) k d ( z z ) 0 k 1 2 i ( z ) k 0 0 C f ( k ) ( z0 ) k ( z z ) 0 k ! k 0
1 3 1 5 1 7 (1) 2 m 1 z z z z ... z ... 3! 5! 7! ( 2m 1 )! 数学物理方法
m
例3.6 将 f(z)=ln(1+ z)在z=0点的Taylor级数展开
1 z), f (0) ln1 0; 解： f ( z ) ln(
k 1
z
1 (1 z ) 2
( z 1)
k z z z z 1 z 2 k dz 1 dz z dz z dz ... z 0 1 z 0 0 0 0 dz.... k 1 k
z zk 1 f 2 ( z) dz -ln(1- z) ( z 1) 0 (1 z ) k 1 k
n n a ( z z ) n 0
n 1
n a ( z z ) 被称为双边幂级数的负幂部分 n 0
n 0
n 被称为双边幂级数的正幂部分 a ( z z ) n 0

数学物理方法

收敛环的确定
设正幂部分的收敛半径为R2；而负幂部分在变
换ζ=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R1 ，则其在
|z-z0|>R1外收敛。如果R1<R2，那么双边幂级数就在环状域 R1<|z-z0|<R2 内收敛，所以 R1<|z-z0|<R2给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。
如果R1>R2，那么双边幂级数处处发散。
数学物理方法
正幂部分
an ( z z 0 )
n 0

n
n a ( z z ) 负幂部分 n 0 n 1
k 1 m 2m ka z ( 1) z k k 0 m0

1 m 2m (arctanz ) ( 1 ) z 2 1 z m 0
k 0

(1) m 1）当k为奇数时 a2 m1 2m 1
(m 0,1,2...)
2）当k为偶数时 a2m 0 (m 0,1,2...)
1 2 1 3 1 4 (1) z z z z ... 2 3 4 k
k 1
z ...
数学物理方法
k
例3.7 将 f(z)=arctan z在z=0处展开成Taylor级数
解：设 arctanz ak z
k 0 k
(arctanz ) kak z k 1
阿贝尔定理
k a ( z z ) 若 k 0 在某点z1处收敛，则该幂级数在满足 k 0
z z 0 z1 z0 的圆域内将处处绝对收敛；
若
k 在某点z1处发散，则该幂级数在满足 a ( z z ) k 0 k 0
z z 0 z1 z0 的圆域外处处发散。
k 0

k
（ⅰ）解析性（ⅱ）可导性，求导后收敛半径不变
f ( z ) ak k ( z z 0 ) k 1
k 0
（ⅲ）可积性，积分后收敛半径不变
f ( z)dz a ( z z
l k 0 k l

0
) dz
数学物理方法
k
k z 例3.4 分别求出幂级数 k z k 1 和在 k 1 k k 1 收敛圆内的和函数。
若 wn 的前n项和 Sn w j有极限，则称该级数
收敛，且称此极限值为该无穷级数的和；否则称
n 1

n
j 1
为发散。
数学物理方法
收敛的充分必要条件
分必要条件是皆为实数。
wn 收敛的充设 wn un ivn (n 1,2,，则级数 )

u
n 1
n
和
v 都收敛，其中un和 vn
解：设 z t
(1)
k 0

k
2 z
k
2k
(1) 2 t
k k k 0

k
2 k a ( 1 ) 2 其系数 k
对于t而言，收敛半径 R klim k
1 对于z而言，收敛半径R 2
1
1 2 ak
数学物理方法
z 的收敛半径R。例3.2 求 k 0 k!
f
k 1

k
( z)
f
k 1

k
( z ) 在 z0
f k ( z ) 收敛，则称级数 f k ( z ) 在z0处绝若 k 1 k 1 对收敛。

点收敛
数学物理方法
若级数
f
k 1

k
( z ) 在区域D中所有点收敛，则称级数在
区域D中收敛。
区域收敛
对应于区域D中不同的点，级数不同的值。

数学物理方法
§3.2泰勒级数展开

Taylor定理
设函数 f(z)以z0的领域U(z0,R)中解析，那么f(z)在该领域中可展开为如下幂级数：
f ( z ) ak ( z z 0 )
k 0

k

03复变函数的幂级数展开

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