第七次 复数项级数、幂级数

幂级数是数学中非常重要的概念之一，它在许多领域都有广泛的应用，例如物理学、工程学和计算机科学等。

本文将通过逐步思考的方式介绍幂级数的基本概念、性质和应用。

1. 幂级数的定义幂级数是一种形式为∑(an⋅x^n)的级数，其中an是一系列常数，x是变量。

幂级数可以看作是多项式的无穷级数形式，每一项的系数an和变量的幂次n可能会随着n的增大而变化。

2. 幂级数的收敛性为了讨论幂级数的性质和应用，我们首先需要了解收敛性的概念。

对于给定的幂级数，如果存在一个实数r，使得当|x| < r时级数收敛，而当|x| > r时级数发散，那么我们称r为幂级数的收敛半径。

收敛半径是幂级数的一个重要性质，决定了级数的收敛范围。

3. 幂级数的求和幂级数的求和是一个重要的问题。

对于给定的幂级数，我们可以使用不同的方法来计算它的和，例如直接求和、利用级数的性质进行变换和利用数值计算方法等。

其中，直接求和方法常用于某些特殊的幂级数，而其他方法则更多地用于一般情况下的求和问题。

4. 幂级数的性质幂级数具有许多重要的性质，这些性质对于理解幂级数的行为和应用非常有帮助。

其中一些重要的性质包括线性性质、微分性质和积分性质。

这些性质可以简化对幂级数的操作和计算，使得我们能够更加灵活地应用幂级数解决问题。

5. 幂级数的应用幂级数在数学和其他领域中有广泛的应用。

其中一些应用包括： - 在数学分析中，幂级数可以用于表示和逼近函数。

- 在物理学中，幂级数可以用于描述物体的运动和力学性质。

- 在工程学中，幂级数可以用于建模和解决差分方程和微分方程。

- 在计算机科学中，幂级数可以用于设计算法和优化问题求解过程。

6. 幂级数的扩展除了普通的幂级数之外，还有其他一些相关的概念和扩展形式。

例如，幂级数可以推广为形式为∑(an⋅(x-c)^n)的幂级数，其中c是常数。

这种形式的幂级数称为幂级数的泰勒级数形式，它在函数逼近和微积分等领域有广泛的应用。

常用幂级数展开常用幂级数展开幂级数是一种数学工具，用于将一个函数表示为无限项的多项式的形式。

它在数学分析、物理学和工程学等领域中广泛应用。

在实际问题中，我们经常需要对复杂的函数进行近似计算，而幂级数展开提供了一种有效的方法来实现这一目标。

1. 幂级数的定义幂级数是指形如∑(n=0 to ∞)an(x-a)n的无穷级数，其中a和x是实数或复数。

其中，an称为系数，a称为展开点。

2. 幂级数收敛性幂级数的收敛性与展开点x-a之间的距离有关。

当x-a在某个区间内时，幂级数可能会收敛；当x-a超出该区间时，幂级数可能会发散。

3. 常见的幂级数展开公式以下是一些常见函数的幂级数展开公式：- 指数函数：e^x = ∑(n=0 to ∞)(x^n/n!)- 正弦函数：sin(x) = ∑(n=0 to ∞)((-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!)- 余弦函数：cos(x) = ∑(n=0 to ∞)((-1)^n*x^(2n)/(2n)!)这些公式可以用于计算指数函数、正弦函数和余弦函数在某个展开点处的近似值。

4. 幂级数展开的应用幂级数展开在各个领域中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用：- 物理学中的运动学问题：通过对位移、速度和加速度进行幂级数展开，可以得到近似解，从而简化运动学问题的分析。

- 工程学中的电路分析：通过对电流和电压进行幂级数展开，可以得到电路中各个元件的近似值，从而简化电路分析。

- 经济学中的财务分析：通过对收入和支出进行幂级数展开，可以得到财务指标的近似值，从而进行财务分析。

5. 幂级数展开的计算方法要计算一个函数的幂级数展开，通常有两种方法：- 直接计算法：根据函数的定义和性质，将其转化为一个已知函数或已知序列的形式，并利用已知序列的幂级数展开公式来计算。

- 微积分法：利用微积分中的导数和积分等运算规则，将函数表示为无穷项求和形式，并根据求导和积分公式逐项计算。

6. 幂级数展开的误差估计幂级数展开是一种近似方法，其结果与原函数之间存在误差。

幂级数概念公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-§ 11. 3 幂级数一、函数项级数的概念函数项级数: 给定一个定义在区间I上的函数列{u n(x)}, 由这函数列构成的表达式u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +u n(x)+ × × ×称为定义在区间I上的(函数项)级数, 记为∑∞=1) (nnxu.收敛点与发散点:对于区间I内的一定点x0, 若常数项级数∑∞=1) (nnxu收敛, 则称点x0是级数∑∞=1) (nnxu的收敛点. 若常数项级数∑∞=1)(nnxu发散, 则称点x0是级数∑∞=1) (nnxu的发散点.收敛域与发散域:函数项级数∑∞=1) (nnxu的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域.和函数:在收敛域上, 函数项级数∑∞=1) (nnxu的和是x的函数s(x),s(x)称为函数项级数∑∞=1) (nnxu的和函数, 并写成∑∞==1)()(nnxuxs.∑u n(x)是∑∞=1) (nnxu的简便记法, 以下不再重述.在收敛域上, 函数项级数∑u n(x)的和是x的函数s(x),s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ).这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ),函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ × × × +u n (x ). 在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞→或s n (x )?s (x )(n ??) .余项:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数s (x )与部分和s n (x )的差r n (x )=s (x )-s n (x )叫做函数项级数∑∞=1)(n n x u 的余项.函数项级数∑u n (x )的余项记为r n (x ), 它是和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x ). 在收敛域上有0)(lim =∞→x r n n .二、幂级数及其收敛性 幂级数:函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数 项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是a 0+a 1x +a 2x 2+ × × × +a n x n + × × × ,其中常数a 0, a 1, a 2, × × × , a n , × × ×叫做幂级数的系数. 幂级数的例子:1+x +x 2+x 3+ × × × +x n+ × × × , !1 !2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x n x x .注: 幂级数的一般形式是a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+ × × × +a n (x -x 0)n + × × × , 经变换t =x -x 0就得a 0+a 1t +a 2t 2+ × × × +a n t n + × × × . 幂级数1+x +x 2+x 3+ × × × +x n + × × ×可以看成是公比为x 的几何级数. 当|x |<1时它是收敛的; 当|x |?1时, 它是发散的. 因此它的收敛 域为(-1, 1), 在收敛域内有11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0 (x 010)时收敛, 则适合不等式|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0时发散, 则适合不等式|x |?|x 0|的一切x 使这幂级数发散.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑a n x n 当x =x 0 (x 010)时收敛, 则适合不等式|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑a n x n当x =x 0时发散, 则适合不等式|x |?|x 0|的一切x 使这幂级数发散.提示: ∑a n x n是∑∞=0n n n x a 的简记形式.证 先设x 0是幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛点, 即级数∑∞=0n n n x a 收敛. 根据级数收敛的必要条件, 有0lim 0=∞→nn n x a , 于是存在一个常数M , 使 | a n x 0n |￡M (n =0, 1, 2, × × ×). 这样级数∑∞=0n n n x a 的的一般项的绝对值n n n n n nn n nn x x M x x x a x x x a xa ||||||||||00000⋅≤⋅=⋅=. 因为当|x |<|x 0|时, 等比级数nn x x M ||00⋅∑∞=收敛, 所以级数∑∞=0||n n n x a 收敛, 也就是级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.简要证明 设∑a n x n 在点x 0收敛, 则有a n x 0n ?0(n ??) , 于是数列{a n x 0n }有界, 即存在一个常数M , 使| a n x 0n |￡M (n =0, 1, 2, × × ×).因为 n n n n n nn n n n x x M x x x a x x x a x a || |||| || ||00000⋅≤⋅=⋅=,而当||||0x x <时, 等比级数n n x x M ||0⋅∑∞=收敛, 所以级数∑|a n x n|收敛, 也就是级数∑a n x n绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x =x 0时发散而有一点x 1适合|x 1|>|x 0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x =x 0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证.推论 如果级数∑∞=0n n n x a 不是仅在点x =0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R 存在, 使得 当|x |<R 时, 幂级数绝对收敛; 当|x |?R 时, 幂级数发散;当x =R 与x =-R 时, 幂级数可能收敛也可能发散.收敛半径与收敛区间: 正数R 通常叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径? 开区间(?R ? R )叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛区间? 再由幂级数在x ??R 处的收敛性就可以决定它的收敛域? 幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛域是(-R , R )(或[-R , R )、(-R ,R ]、[-R , R ]之一.规定: 若幂级数∑∞=0n n n x a 只在x =0收敛, 则规定收敛半径R =0 , 若幂级数∑∞=0n n n x a 对一切x 都收敛, 则规定收敛半径R =+￥, 这时收敛域为(-￥, +￥).定理2如果ρ=+∞→||lim 1n n n a a , 其中a n 、a n +1是幂级数∑∞=0n n n x a 的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10R ?定理2如果幂级数∑∞=0n n n x a 系数满足ρ=+∞→||lim 1nn n a a , 则这幂级数的收敛半径 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10 R ?定理2 如果ρ=+∞→||lim 1n n n a a , 则幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R 为? 当??0时ρ1=R ? 当??0时R ???? 当????时R ?0? 简要证明: || ||||lim ||lim 111x x a a x a x a n n n nn n n n ρ=⋅=+∞→++∞→. (1)如果0<r <+?, 则只当r |x |<1时幂级数收敛? 故ρ1=R .(2)如果r =0, 则幂级数总是收敛的, 故R =+?. (3)如果r =+?, 则只当x ?0时幂级数收敛, 故R =0.例1 求幂级数)1( 32)1(13211⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=--∞=-∑nx x x x n x n n n n n 的收敛半径与收敛域. 例1 求幂级数∑∞=--11)1(n n n nx 的收敛半径与收敛域.解 因为1111lim ||lim 1=+==∞→+∞→nn a an n n n ρ,所以收敛半径为11==ρR .当x =1时, 幂级数成为∑∞=--111)1(n n n, 是收敛的;当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1].例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n!1 !31!21132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++n x n x x x的收敛域.例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n 的收敛域.解 因为0)!1(!lim !1)!1(1lim||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径为R =+￥, 从而收敛域为(-￥, +￥). 例3 求幂级数∑∞=0!n n x n 的收敛半径.解 因为+∞=+==∞→+∞→!)!1(lim ||lim 1n n a a n n n n ρ, 所以收敛半径为R =0, 即级数仅在x =0处收敛. 例4 求幂级数∑∞=022!)()!2(n nx n n 的收敛半径. 解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径:幂级数的一般项记为nn x n n x u 22)!()!2()(=. 因为 21||4 |)()(|lim x x u x u n n n =+∞→, 当4|x |2<1即21||<x 时级数收敛; 当4|x |2?1即21||>x 时级数发散, 所以收敛半径为21=R .提示? 2222)1(221)1()12)(22()!()!2(])!1[()]!1(2[)()(x n n n xn n xn n x u x u n n n n +++=++=++. 例5 求幂级数∑∞=-12)1(n n nnx 的收敛域.解 令t =x -1, 上述级数变为∑∞=12n n n nt . 因为 21)1(22 ||lim 11=+⋅⋅==++∞→n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径R =2.当t =2时, 级数成为∑∞=11n n , 此级数发散; 当t =-2时, 级数成为∑∞=-1)1(n n ,此级数收敛. 因此级数∑∞=12n n n nt 的收敛域为-2￡t <2? 因为-2￡x -1<2, 即-1￡x <3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3). 三、幂级数的运算设幂级数∑∞=0n nn x a 及∑∞=0n n n x b 分别在区间(-R , R )及(-R ￠, R ￠)内收敛, 则在(-R , R )与(-R ￠, R ￠)中较小的区间内有 加法: ∑∑∑∞=∞=∞=+=+000)(n n n n n n n n n n x b a x b x a , 减法: ∑∑∑∞=∞=∞=-=-0)(n n n n n n n n n n x b a x b x a ,设幂级数∑a n x n 及∑b n x n 分别在区间(-R , R )及(-R ￠, R ￠)内收敛, 则在(-R , R )与(-R ￠, R ￠)中较小的区间内有 加法: ∑a n x n +∑b n x n =∑(a n +b n )x n , 减法: ∑a n x n -∑b n x n =∑(a n -b n )x n .乘法: )()(0∑∑∞=∞=⋅n n n n n n x b x a =a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x +(a 0b 2+a 1b 1+a 2b 0)x 2+ × × ×+(a 0b n +a 1b n -1+ × × × +a n b 0)x n + × × ×性质1 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.如果幂级数在x =R (或x =-R )也收敛, 则和函数s (x )在(-R , R ](或[-R ,R ))连续.性质2 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积? 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xn n x n n n xx n a dx x a dx x a dx x s (x ?I )? 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛区间(?R ? R )内可导? 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='110)()()(n n n n n n n n n x na x a x a x s (|x |?R )?逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质1 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.性质2 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积? 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xn n x n n n xx n a dx x a dx x a dx x s (x ?I )? 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛区间(?R ? R )内可导? 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='010)()()(n n n n n n n n n x na x a x a x s (|x |?R )?逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数.解 求得幂级数的收敛域为[?1? 1)?设和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s ? x ?[?1? 1)? 显然s (0)=1.在∑∞=++=0111)(n n x n x xs 的两边求导得x x x n x xs n n n n -=='+='∑∑∞=∞=+11)11(])([001. 对上式从0到x 积分, 得)1ln(11)(0x dx xx xs x--=-=⎰.于是, 当x 10时, 有)1ln(1)(x x x s --=. 从而⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )1ln(11000x dx xdx x xx n n --=-==⎰⎰∑∞=,所以, 当x 10时, 有)1ln(1)(x xx s --=,从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 1 1||0 )1ln(1)(x x x x x s .例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数.解 求得幂级数的收敛域为[?1? 1)?设幂级数的和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s ? x ?[?1? 1)?显然S (0)?1? 因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )11( )1ln(11000<<---=-==⎰⎰∑∞=x x dx xdx x xx n n ,所以, 当1||0<<x 时, 有)1ln(1)(x xx s --=?从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .由和函数在收敛域上的连续性? 2ln )(lim )1(1==-+-→x S S x ?综合起来得⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈--=0 1)1 ,0()0 ,1[ )1ln(1)(x x x x x s .提示? 应用公式)0()()(0F x F dx x F x -='⎰? 即⎰'+=xdx x F F x F 0)()0()(?11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x .例7 求级数∑∞=+-01)1(n nn 的和.解 考虑幂级数∑∞=+011n n x n , 此级数在[-1, 1)上收敛, 设其和函数为s (x ), 则∑∞=+-=-01)1()1(n nn s .在例6中已得到xs (x )=ln(1-x ), 于是-s (-1)=ln2, 21ln )1(=-s , 即21ln 1)1(0=+-∑∞=n n n .。

数学幂级数知识点总结一、幂级数的基本概念1. 幂级数的定义幂级数是由形如$a_n z^n$（$n$从0到$\infty$）的无穷多项式组成的级数。

其中$a_n$是级数的系数，$z$是自变量，$n$是正整数。

换句话说，级数的每一项都是$z$的幂函数。

2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径（又称为收敛域）是幂级数收敛到的最大半径，它可以通过求幂级数系数的极限来确定。

具体地说，如果极限 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ 存在，并且等于$R$，那么幂级数的收敛半径就是$R$。

收敛半径的值可以是0，也可以是正无穷大，也可以是一个实数。

3. 幂级数的收敛区间除了收敛半径外，幂级数还有一个收敛区间。

如果收敛半径是$R$，那么收敛区间就是令幂级数收敛的所有复数$z$的集合，这个集合可以是一个区间，也可以是一个线段，也可能是一个点。

4. 幂级数的性质幂级数有很多重要的性质，比如线性性质、微分和积分的性质、幂级数求导和求和的性质等，这些性质在分析和求解问题中非常有用。

二、幂级数的收敛性1. 幂级数的收敛域收敛域是指使幂级数收敛的所有自变量的集合。

根据幂级数的定义和收敛半径的概念，我们可以很容易地确定一个幂级数的收敛域。

2. 幂级数的收敛测试在实际应用中，我们常常需要判断一个幂级数是否收敛。

为了判断幂级数的收敛性，我们可以使用比较判别法、比值判别法、根值判别法、Raabe判别法等各种不同的方法。

3. 幂级数的绝对收敛性如果一个幂级数的每一项都是非负数，并且级数的收敛性不依赖于幂级数的项的排列顺序，那么这个幂级数就是绝对收敛的。

4. 幂级数的一致收敛性一致收敛是一种比较强的收敛性，它要求幂级数在其收敛域内的每一个点上都收敛，并且幂级数的收敛速度是一致的。

一致收敛的幂级数在求导、求和等操作中有着重要的应用。

三、幂级数的求和1. 幂级数的求和函数幂级数的和函数是指将收敛域内的每一个复数$z$代入幂级数中得到的函数。