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复变函数4 - 1 复数项级数和序列以及泰勒级数

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4.1复数项数列、复数项级数

4.1复数项数列、复数项级数

级数收敛的必要条件


n =1
n =1
定理3：级数 n = (an + ibn ) 收敛的必要条件是
lim n = lim ( an + ibn ) = 0.
n →
n →
证明：由定理2及实数项级数收敛的必要条件可知
级数


n =1
n
收敛，则 级数

a
n =1
n
和 bn 都收敛；



n =1
n =1
n =1
n =1
所以当 an 与 bn 绝对收敛时， n 也绝对收敛.
2

同时有 an n ，bn n ，所以当 n 绝对收敛时，

a
n =1
n
n =1

与 bn 也绝对收敛.
推论：
n =1


n =1
n


n =1
n =1
绝对收敛的充要条件是级数 an 与 bn 也绝对收敛.
复变函数与积分变换
第一节 复数项级数
一、复数项数列
二、复数项级数
一、复数项数列
定义1: 设 n = 1,2,∙∙∙ 为一复数列，其中 = + , 又设
= +为一确定的复数.如果对于任意给定的 > 0，相应地总
能找到一个正数 , 使得当 > 时，不等式 − <
→∞
当n > 时，有 n − α < ，即 (n + ) − ( + ) < 成立，
从而有
所以
n − ≤ (n −) + ( − ) < ，

4-1复数项级数与幂级数

4-1复数项级数与幂级数

n0
n0
25
如果级数 cnz0n发散, 且如果| z || z0 | n0
用反证法, 设级数 cnzn反而收敛,则根据 n0
前面的结论可导出 cnz0n收敛,与所设 n0
矛盾. 因此只能是 cnzn发散 n0
26
2. 收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理, 可以定出 幂级数的收敛范围, 对一个幂级数来说, 它的收敛 情况不外乎三种:
3
课堂练习:
下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
1 1
ni ni
;
收敛到-1
(2)
zn
(1)n
n
i
; 1
不收敛
(3)
zn
1
e
ni 2
.
n
收敛到0
4
二、级数的概念
1.定义 设{n} {an ibn} (n 1,2,)为一复数列,
表达式
n 1 2 n
n1
称为复数项无穷级数.
34
更为重要的是代换(复合)运算
如果当| z | r时, f (z) an zn ,又设在 | z | R n0
内g(z)解析且满足 | g(z) | r,则当| z | R时,
f [g(z)] an[g(z)]n. n0
• 这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着 广泛的应用.
35
n0
这种级数称为幂级数.
• 如果令za=z, 则(4.2.2)成为
cnz n , 这是
• (4.2.3)的形式, 为了方便, 今后n常0就(4.2.3)讨论
23
定理一(阿贝尔Abel定理)
如果级数 cnzn在z z0( 0)收敛,则对满足 n0

复变函数4-1

复变函数4-1

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定理： 如果 | n |收敛，那么 也收敛，且
n 1
n 1 n


不等式 | n | | n | 成立
n 1 n 1


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绝对收敛与条件收敛
定理 4.3 复级数(4.1)收敛的一个充分条件为级数

| a
n 1
n


n
1 解：（1） 因为 an 发散; n1 n1 n
1 bn n2 收敛Biblioteka n 1 n 1所以原级数发散


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（2）因为
( 8i ) n 8 n , n! n!

8n 所以由正项级数的比值判别法知: 收敛, n1 n!
故原级数收敛, 且为绝对收敛.
(an a ) i (bn b)
an a bn b ,
所以 lim n .
n
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结束
铃
定理：数列收敛的Cauchy准则
复数列 {n }(n 1, 2,) 收敛的充要条件是:
>0,N >0,当n N时,对p N :
那末 称为复数列{ n } 当 n 时的极限,
记作
lim n .
n
此时也称复数列{ n } 收敛于 .
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复数列收敛的条件
定理 复数列 { n } {an ibn }( n 1, 2 ,) 收敛于 a ib 的充要条件是

复变函数4 - 1 复数项级数和序列以及泰勒级数幻灯片

复变函数4 - 1 复数项级数和序列以及泰勒级数幻灯片

w0
lim
n
zn
+
wn
z0 + w0
性质2 Cauchy收敛准则 zn z0
任意 0，存在N，使得 当m，
n>N时，| zm
zn |
6/16/2020
5
复数项级数
对于复数列 {z1，z2，…，zn，…}，称
zn z1 z2 zn
n1
为复数项级数。部分和记为
n
Sn zk z1 z2 zn
| zn || |n
可知极限不存在。
6/16/2020
25
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn n ， 为复数。
注：（3）用到了如下性质
lim zn z0 lim | zn || z0 |
n
n
这是因为
0 || zn | | z0 ||| zn z0 | 0
n 1
n 1
15
例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，
求极限。（1）zn
( i )n，（2）zn 2
cos in。
6/16/2020
16
例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，
求极限。（1）zn
( i )n，（2）zn 2
cos in。
分析与解：（1）由于 |i/2|<1，猜测{zn}的 极限为0
|
zn
n1
实数项级数 xn， yn 分别收敛于X和Y。
n1
n1
此时，S=X+iY
证明：由于Sn=Xn+iYn，可知 Sn S Xn X，Yn Y。
6/16/2020
10
定理：复数项级数 zn 绝对收敛
n1
实 数 项 级 数 xn ， 都绝对收敛。

高等数学课件-复变函数与积分变换 第四章 级数

高等数学课件-复变函数与积分变换 第四章 级数

称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时，
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解： 将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解：
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列，表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数，其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。 称级数收敛，
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和，
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛，则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛，那么对满足
0
| z || z0 | 的z，
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散，那么对满足 0

第四章 复变函数的级数

第四章 复变函数的级数

n1 n!
解
因为
(8i )n

8n ,
n! n!
lim un1 r
u n n
r1时收敛, r1时发散
r 1时可能收敛或发散
所以由正项级数的比值判别法知:
8n 收敛,
n1 n!
8n1 n! 8n (n 1)!

n
8
1

0
故原级数收敛, 且为绝对收敛.
15
§2 复变函数项级数
n cn
lim( n ) p n n 1
=1
所以 R 1 1.

27
例2
级数
n0
zn,
n0
zn n2
,
n0
zn n
的收敛半径，
并讨论它们在收敛圆上的敛散性。
解：根据比值法，三个级数都有lim Cn1 1
n Cn
故收敛半径R 均为1, 收敛圆周均为 z 1
设 z z0 ( 0)时,级数 cn (z z0 )n 收敛;
n0
由Abel定理，级数在 z z0 内收敛。

设z z0 ( 0)时,级数 cn (z z0 )n发散.
n0
23
由Abel定理的推论，级数在 z z0 内发散。 y
cn (z1

z0 )n

0
因而存在正数M,使对所有的n,
有 cn(z1 z0 )n M , 19
n
n
故 cn(z z0 )n

cn (z1 z0 )n
z z0 z1 z0
M
z z0 z1 z0
.

复变函数与积分变换第4章4.1收敛数列与收敛级数

n
3
§4.1 复数项级数 第 一、收敛序列 四 章 2. 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 zn xn i yn , a i , 则 lim z n a 的充要条件是 解 n P76 析 定理 lim x , lim y . n n n 函 4.1 n 数 zn 证明 必要性 “ ” 的 | zn - a | | yn - | 级 若 lim z n a , 则 e 0 , N , n 数 a | xn - | 表 当 n N 时，| zn - a | e , 示
即得级数 z n 收敛的充要条件是 x n 和 yn 都收敛。
9
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 3. 复数项级数收敛的必要条件 定理 设 zn xn i yn , 则 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 . n 解 析 P79 函 证明 由于级数 z 收敛的充要条件是 x 和 y 都收敛， n n n 数 的 而实数项级数 x n 和 yn 收敛的必要条件是： 级 数 lim xn 0 , lim yn 0 等价于 lim zn 0 , 表 n n n 示 因此 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 .
1 n 1 zn 2 i 2 e n n
i
π n 2
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛 定义 (1) 若 | z n | 收敛，则称 z n 绝对收敛。 解 析 P79 (2) 若 | z n | 发散， z n 收敛，则称 z n 条件收敛。 函 数 的 定理 若 | z n | 收敛，则 z n 必收敛。 P80 定理4.4 级 2 2 | z | x y 证明 由 收敛， n n 收敛， n 数 表 2 2 2 2 | x | x y , | y | x y 又 示 n n n n n n,

4-1复数项级数和幂级数


则 limr n cosn limr n sinn 0, lim n 0
n
n
n
20
（2） 若r 1, 则 n r n(cosn i sinn ),
则1
n
r -n[co（s - n）
i sin（- n )],
r-n[cosn - i sinn ],
则 limr-n 0,cosn ,sinn有界， n
称为该级数前n项的部分和.
24
n
Sn (z) f1(z) f2(z) fn(z)= fk (z) k 1
若对
D
内的
某一点
z0，
lim
n
Sn(z0 )
S(z0 )
存在，称 fn(z) 在 z0 收敛, 且S(z0 )为它的和.
n1
如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定
是 z 的一个函数 S(z)
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
其中 z R, R min( r1, r2 )
32
定理4 设幂级数 cn(z z0 )n 的收敛半径为 R, 则
（1）
1 (1 i ),
n1 n
n
(2)
(1
1
i
)e n
n1
n
解
（1）
n1
1 (1 n
i )= n
n1
(
1 n
i n2
)
(8i)n
(3) n1 n!

复变函数 第四章 级数

n =1
∞
∞
n
Proof:
2 α n = a n + ibn , | α n |= a n + bn2
∞ ∞
2 2 由： |α n |= ∑ a n + bn ∑ n =1 n =1
| a |≤ a 2 + b 2 n n n 收敛， 收敛，及 2 2 | bn |≤ an + bn
y R
R 0 x
则称：（ ） 为收敛半径 则称：（1）R为收敛半径 ：（ （2）| z |< R 为收敛圆域 ）
返回
╬
2、幂级数的三种收敛情况： 、幂级数的三种收敛情况：
处收敛， ，收敛圆域为点圆； （1）只在原点 z = 0 处收敛，R=0，收敛圆域为点圆； ） （2）在整个复平面上处处收敛， = +∞ ）在整个复平面上处处收敛， R （3）在复平面上有时收敛，有时发散，则R为一个 ）在复平面上有时收敛，有时发散， 为一个 确定的正实数。 确定的正实数。
（5） 令 ζ = z − 1, ）
z 是复变量。 是复变量。
注：当 a = 0 时，幂级数为
∞ n =0 ∞
cn z n , ∑
n =0 n ∞ n =0
∞
ζ = z − a ， 则 ： c n ( z − a ) = ∑ c nζ n 令 ∑
故：只须讨论形如
c n z n 的幂级数。 ∑ 的幂级数。
n =0
返回
╬
2、幂级数在一点 z 0 的收敛性 、
收敛， （1） 若 ∑ c n z 0 收敛，则 z 0 称为 ）
n n =0 ∞
c n z n 的收敛点。 ∑ 的收敛点。
n=0
∞

4-1复数项级数和幂级数

∞
∞ ∞ 1 1 1 1 1 n 1 = (1 + + + L) − i (1 − + − L) = ∑ + i ∑ ( −1) n 2 3 2 3 n =1 n n =1 ∞ ∞ 1 n 1 因为 级数 ∑ 发散, 虽 ∑ ( −1) 收敛 , n n =1 n n =1
原级数仍发散 .
22
( 8i )n 是否绝对收敛？ 是否绝对收敛？ 例5 级数 ∑ n=1 n!
级数收敛的必要条件(定理4 级数收敛的必要条件 定理4)
因为实数项级数
∑1 an和∑1 bn收敛的必要条件是 n= n=
n→ ∞
∞
∞
lim an = 0 和 lim bn = 0 .
n→ ∞
所以复数项级数 ∑ α n收敛的必要条件是
n=1
∞
lim α n = 0
n→∞
15
注意： 注意：条件 αn →0⇔αn →0 (n→∞) ，该条件只是级数 ∞ 1 收敛的必要条件 而不是充分的， 必要条件， 收敛的必要条件，而不是充分的，比如级数 ∑ n=1 n 1 但是它是发散的。 尽管通项 → 0 ，但是它是发散的。
• 从导数与积分的角度研究解析函数均 获得成功．于是，我们自然会想从数 学分析中选取别的研究角度如幂级数 来讨论解析函数．实践证明，这种选 择是成功的． • 讨论解析函数的台劳级数和罗伦级数 展开式。
1
第四章 复级数
§4-1 复数项级数和幂级数 §4-2 Taylor级数 级数 §4-3 Laurent级数 级数
则称 {zn } 极限是 α ，或者 {zn } 收敛且收敛到 α ， 记作 lim z n = α
n→ ∞
定理1
lim z n = α
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z0
1 ) c z ( 1，利用 1 n 0 n 0
n n 0 n n


z n n n c z c z ( 向级数 c z n n0 z n 0 靠拢) n 0 n 0 n 0 0


n

z
z0
1 ) c z ( 1，利用 1 n 0 n 0
lim zn z0 lim | zn || z0 |
n n
这是因为
0 || zn | | z0 ||| zn z0 | 0
n+… 例3： 设| |<1，证明级数1+ +…+
收敛于 1 1
n+… 例3： 设| |<1，证明级数1+ +…+
收敛于 1 1 证明：先求部分和
可知数列 zn cos in 发散。
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
为复数。 zn n ，
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
为复数。 zn n ， 分析与解：
类似于实数列情形，应该以1为临界
点分为三种情况： （1）| |<1，（2）| |=1，（3）| |>1
为复数。 zn n ，
| zn || | 1 ，可知数列{zn} （2）| |=1，
n
在单位圆上运动。设 =ei ，则 zn=ein。
当 =2k ，即 =1时，显然有 lim zn 1 。
| 当 k 2 ≠，
zn zn 1 || e
in
e
n i ( n 1)
| |1 |
由Cauchy收敛准则知极限不存在。
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
为复数。 zn n ， （3）| |>1，此时有
| zn || |
n
可知极限不存在。
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
为复数。 zn n ， 注：（3）用到了如下性质

敛，记作 S zn
n 1
n 1
若{Sn}发散，则称级数 zn 发散。
n 1
若
| z
n 1

n
| 收敛，称级数 zn 绝对收敛。
n 1

对应的实数项级数
x
n 1 n 1

n
x1 x2
xn
y
部分和
n
y1 y2
n
yn
xn yn
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
为复数。 zn n ， （1）| |<1，此时
| zn || | 0
n
可知 lim zn 0
n
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
为复数。 zn n ，
| zn || | 1 ，可知数列{zn} （2）| |=1，
Abel定理：
若幂级数 cn z 在点 z0≠0 收敛，则
n

它在区域 D ： {z | |z|<|z |} 绝对收敛， 0 即级数
n 0
c z
n n 1
n
在区域 D 收敛；
Abel定理：
若幂级数 cn z 在点 z0≠0 收敛，则
n

它在区域 D ： {z | |z|<|z |} 绝对收敛， 0 即级数
n 1 n 1
例1：判断如下数列的收敛性，若收敛， i )n ( zn cos in。 ，（2） zn 求极限。（1） 2
例1：判断如下数列的收敛性，若收敛， i )n ( zn cos in。 ，（2） zn 求极限。（1） 2
分析与解：（1）由于 |i/2|<1，猜测{zn}的
n 1 n 1


n 1
此时，S=X+iY
证明：由于Sn=Xn+iYn，可知 Sn S Xn X，Yn Y。
定理：复数项级数 zn 绝对收敛 实 数 项 级 数 xn ， 都绝对收敛。 n 1 n 1 yn
n 1

定理：复数项级数 zn 绝对收敛 实 数 项 级 数 xn ， 都绝对收敛。 n 1 n 1 yn 证明：“ ”假设
极限为0
i n 1 | zn || ( ) | n 0 2 2
可知
lim zn 0
n
例1：判断如下数列的收敛性，若收敛， i )n ( zn cos in。 ，（2） zn 求极限。（1） 2
分析与解：（2）由余弦函数的定义
1 n n z n cos in (e e ) 2 ( n 0)
Sn 1

n 1
1 1
n
1 由例2， lim S n ，即 n 1
1 1 n 0
n

n+… 例3： 设| |<1，证明级数1+ +…+
收敛于 1 1
类似地，可证明当 | | 1 时，级数
n 2 1 n 0
例5： 求如下级数的收敛域
(n !) 2 n (1) n z n 1 n
解：由于

n 1 lim n ( n 1) n e cn 1 lim n c n
n
可知
因此，R=0，收敛域为{0}。
例5： 求如下级数的收敛域
1 z n (2) 2 ( ) 2 n 1 n
n
在单位圆上运动。
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
为复数。 zn n ，
| zn || | 1 ，可知数列{zn} （2）| |=1，
n
在单位圆上运动。设 =ei ，则 zn=ein。
当 =2k ，即 =1时，显然有 lim zn 1 。
n
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
复数项级数和序列
复数序列
复数列即有序的复数集
{zn}={z1，z2，…，zn，…}
称{zn}收敛于z0，若
lim | zn z0 | 0
记作
n
lim zn z0
n
复数列的极限归结为实数列的极限
lim zn z0 lim | zn z0 | 0
n n
n n 0 n n


由于级数
n 0 n

c z n收敛，可知 c z n 有界
n 0 n 0
1 M M 1 n 0
由Abel定理，只有三种情况 ☺ ☺
☺
n c z 幂级数 n 在整个复平面收敛 n 0
幂级数只在 z=0 处收敛
在圆 |z|=R外发散，在圆内收敛，在 圆周上单独讨论。 此时，称 |z|=R为收敛圆。



n 1

级数 zn

n 1
收敛。
n 1
性质：
1、
z 收敛
n

2、
z 收敛
n n 1
n 1
zk 0 {zk}有界；
> 0，存在N，使
得n>N时，
| zn 1 zn 2
3、
zn p |

(z
n 1

n
wn ) zn wn
n 1

| x |， | y
n


n
| 收
(| x
n 1

n 1
n 1
n
| | yn |) 收敛，由于
|zn|≤|xn|+|yn|，可知
| z
n 1

n
| 收敛。
定理：复数项级数 zn 绝对收敛 实 数 项 级 数 xn ， 都绝对收敛。 n 1 n 1 yn 推论：复数项级数 zn 绝对收敛
X n xk x1 x2 Yn yk y1 y2
k 1 k 1 n
定理：复数项级数 zn 收敛于S 实数项级数 xn， yn 分别收敛于X和Y。
n 1 n 1

ห้องสมุดไป่ตู้

n 1
此时，S=X+iY
定理：复数项级数 zn 收敛于S 实数项级数 xn， yn 分别收敛于X和Y。
n 0
c z
n n 1
n 0
n
在区域 D 收敛；
n

若幂级数
c z
n
在点 z0≠0 发散，则
它在区域 K：{z | |z|>|z0|} 发散。
z n n n c z c z ( 向级数 c z n n0 z n 0 靠拢) n 0 n 0 n 0 0


n

z
n>N时，| zm
zn |
复数项级数
对于复数列 {z1，z2，…，zn，…}，称
z
n 1

n
z1 z2
zn
为复数项级数。部分和记为
S n zk z1 z2
k 1
n
zn
收敛性：若 lim S n S ，则称级数 zn 收
n

lim | xn x0 | 0 n lim | y y | 0 n 0 n lim xn x0 n lim yn y0 n
性质1 线性性质
， C，lim zn z0， lim wn w0
n n n
收敛。因此收敛域为{z | |z| 2}。
例5： 求如下级数的收敛域