平行线与拐点问题 PPT课件

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平行线中的几何探究--'拐点'问题(优秀课件)

再见！
华东师大版七年级上册第五章《相交线与平行线》
知识奠基
对顶角、邻补角
相
交
线
垂线及直角
平
判定
行
线
性质
找找感觉
1．如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D.若 ∠ABC＝40°，则∠BCD的度数为(130°)
引入探究
如图，AB∥CD，探讨下面四个图形中∠APC与 ∠PAB，∠PCD的数量关系．
探究1：自主探究
探究2：深入探究
如图，AB∥CD，在下面图形中，选择一个探讨∠APC与∠PAB，∠PCD的数量关系.
小组汇报
如图，AB∥CD，你选择哪一个图形探讨∠APC与∠PAB， ∠PCD的数量关系.
方法小结
图形中探讨角的数量关系，方法或思想上有什么共同点？
寻找（构造）角所在的基本图形，通过基本图形中的数量关系，实现角的等量转化。
【升华感觉】
1、如图1，已知a∥b，∠1=130°，∠2=90°，则 ∠3=_______.
（图1）
（图2）
2、如图2，将两张长方形纸片如图摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，则 ∠1＋∠2＝________.
【升华感觉】
3、如图3，已知AB∥ED，∠B=58°，∠C=35°，则∠D 的度数为．
(2)如图②，AB∥CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋ ∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．
【课后延伸】
2.如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，P为直线l3上一点，A、B分别是直线l1、l2上的不动点．其中PA与l1相交为∠1，PA、 PB相交为∠2，PB与l2相交为∠3．（1）若P点在线段CD（C、D两点除外）上运动，问∠1、∠2、∠3之间的关系是什么？这种关系是否变化？（2）若P点在线段CD之外时，∠1、∠2、∠3之间的关系有怎样？说明理由．

七年级数学下册第五章方法专题1两平行线间的拐点问题ppt课件新版新人教版

七年级数学下册人教版
第五章相交线与平行线
方法专题1 两平行线间的“拐点”问题
类型一含一个“拐点”的平行线问题 1.(2019·鄂州)如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2
＝35°，则∠1的度数为( B ) A.45° B.55° C.65° D.75°
2.如图，直线AB∥EF，C是直线AB上一点，D是直线AB外一点.若∠BCD＝ 95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是( C ) A.110° B.115° C.120° D.125°
3.如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于___4_0_°___.
4.如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC＝40°，则∠BCD＝__1_3_0_°___.

5.如图，正方形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2＝___6_0_°___.
6.如图，AB∥CD，E为AB，CD之间的一点.
(1)若∠B＝130°，∠C＝30°，则∠BEC的度数为__8_0_°____；
(2)探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系，试说明理由. 解：(2)∠B＋∠BEC－∠C＝180°.理由如下：过点E向左侧作EF∥AB，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC＝∠C. ∵∠BEF＝∠BEC－∠FEC，∴∠BEF＝∠BEC－∠C. ∵AB∥EF，∴∠B＋∠BEF＝180°， ∴∠B＋∠BEC－∠C＝180°.
(2)如图2，当点P在直线AB的上面、直线AC的右边时，试确定α，β，γ之间的数量关系；
(2)过点P向左侧作PE∥AB. ∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD， ∴∠PAB＝∠APE，∠PCD＝∠CPE， ∴∠APC＝∠CPE－∠APE＝∠PCD－∠PAB，∴γ＝β－α.

平行线之拐点问题

三者有何数量关系？并加以证明。
我们一起来合作：
如图：AB// CD,猜想∠B, ∠C, ∠E 三者有ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数量关系？并加以证明。
∠ B+ ∠ BED+ ∠ D =360 °
∠ B+ ∠ D=∠ BED
∠ B+ ∠ BEC- ∠ C=180°
我们一起来总结：
转化思想：
有些数学题目，初看觉得无从下手，但若能转化解题思路，问题便能得到顺利解决。
对于两条平行线间“折线”与“拐点”问题，一般都是在拐点处作平行线，使问题转化，从而构造出一些相等的角或互补的角，使已知与未知一目了然，达到解题的目
的即。： 1，作辅助线（过拐点处作平行线）。 2，找特殊角（找相等的角或互补的角）。 3，解决问题（找到数量关系）。
课后继续来挑战：
如图：AB// CD,则∠B, ∠C, ∠E三者有何数量关系？并加以证明。
学以致用：
.如图1， ∠1＝120°，∠2＝100°，则∠3的度数是——。
如图2， ∠A=25 ° ，且∠E=60 ° ，则∠C 的度数是——。
如图3，a∥b, ∠1=105°，∠2=140°，求 ∠3=_______.
A
B
E
C
D
图1
图2
图3
对于两条平行线间折线与拐点问题一般都是在拐点处作平行线使问题转化从而构造出一些相等的角或互补的角使已知与未知一目了然达到解题的目1作辅助线过拐点处作平行线
专题课
平行线之拐点问题
例题剖析：
如图：AB// CD,猜想∠B, ∠D, ∠E
三者有何数量关系？并加以证明。
例题剖析：
如图：AB// CD,猜想∠B, ∠D, ∠E

七年级下册数学课件：平行线中的拐点问题

∴∠A=∠AEC+∠C
C
D
思考3：你能类比之前的构造辅助线的方法，想到其他证明方法吗？
新课授知
思考3：你能类比之前的构造辅助线的方法，想到其他证明方法吗？
E
解：延长EA交CD于点
∵AB//CD
∴∠AFD=∠EAB
∵∠AEC+∠C+∠EFC=180°
A
B
∵∠AFD+∠EFC=180°
∴∠AFD=∠AEC+∠C
拓展探索
思考2：还有其他方法吗？
A
B
A
1 E
F 2
C
E
2
D
13
F
C
A
B
B
1 2
E3
D
4 5
D
C
拓展探索
2、如图，AB∥CD，试求∠A、∠AEF、∠EFC、∠C有何关系？
A
B
E
M
F
N
C
D
新课授知
二、猪蹄型
3.如图，已知：AB∥CD，点E是平面内一点，那么∠AEC与∠A、 ∠C之间的数量关系是什么呢？
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课题：5.3.3平行线中的拐点问题
复习回顾
两线四角
相交线
三线八角
一般情况
邻补角对顶角
邻补角互补对顶角相等
特殊
垂线
存在性和唯一性垂线段最短点到直线的距离
同位角内错角同旁内角
平
行线
平行公理及其推论
平行线的判定平行线的性质
典例探究
例1：已知如图，AB//CD;若线段AC是拉直的橡皮筋，在AC上任取一点E，若向不同的方向拉动点E，动点E与两平行线的位置有哪几种？∠A，∠C， ∠AEC之间有何关系呢？

初中数学课件平行线间的拐点问题

度，并说明理由．
-21如图，已知//，若按图中规律继续下去，则∠1 + ∠2 + ⋯ + ∠ =
(
)
A.n⋅180 °
B.2n⋅180 °
C.(n−1)⋅180 °
D.(n−1)2⋅180 °
应用练习
如图，直线//，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 =______.
√
平行线间的拐点问题
—子弹图
如图，已知//，∠1 = 120 ° ，∠2 = 90 ° ，则∠3的度数是（）
确认预判Ⅱ
如图所示，//、是、之间的一条折线，则∠1 +
∠2 + ∠3 + ∠4 = ________．
思维导图
课程目标
1、根据关键特征识别子弹图模型，能独立推导并掌握模型结论；
2、掌握作辅助线方法及规范的几何语言；
3、能灵活运用子弹图模型解决延伸问题。
课程导入
A
B
E
E
C
1、子弹图（铅笔型）
D
2、猪手图（燕尾型）
E
A
B
A
B
C
C
D
D
E
3、靴子图（燕尾型）
课程导入
A
F
E
B
E
F
C
D
E
A
B
A
B
C
C
D
D
E
核心方法：过拐点作已知直线的平行线
简单说成：逢拐点作平行线，一般而言，有几个拐点，就做几条平行线
出∠ + ∠ + ∠的大小吗？
解：过点画//
∵//(________)

两平行线间的拐点问题(重要)讲

当“拐点”在平行线的外部时， “拐角”等于两个边角之差.
8
6．如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°. 求∠ABC的度数.
解：如图，过点C作CF∥AB. ∵AB∥DE，CF∥AB，∴DE∥CF. ∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－138°＝42°. ∴∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°. ∵AB∥CF， ∴∠ABC＝∠BCF＝72°.
A
F1 F2 Fn
B E1
E2
Em
C
D
当左边有n个角，右边有m个角时： ∠A+∠F1 + ∠ F2 +…+ ∠Fn= ∠E1 +∠E2 +…+ ∠Em+ ∠D
过点P作PE//AB， ∵PE//AB ∴∠B+∠BPE=180°
E
P
A
B
∵AB∥CD ∴PE//CD
C
D
∴∠D+∠DPE=180°
∴ ∠B+∠BPE= ∠D+∠DPE=180°
即∠B+∠BPE= ∠D+∠BPD+∠BPE
∴ ∠BPD=∠B-∠D
归纳
A
P B
C
D
∠BPD=∠B-∠D
A
B
C
D
P
∠BPD＝∠D－∠B
A
B
A
B
A
B
E1
E
E1
E2
E2
E3
C
D
C
D
C
D
当有一个拐点时： ∠A+∠E+∠C= 360°
当有两个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠C = 540°

小专题12巧解平行线中的拐点问题ppt课件

1．(随州中考)如图，在平行线 l1，l2 之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点 A，B 分别在直线 l1，l2 上，若 ∠1＝65°，则∠2 的度数是( A )
A．25° B．35° C．45° D．65°
采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP 管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物
变式 2 当点 C 运动到平行线的外边已知 AB∥ED，点 C 为 AB，ED 之外任意一点． (1)如图 1，∠B，∠BCD，∠D 之间的关系是∠B＝
∠BCD＋∠D ； (2)如图 2，∠B，∠EDC，∠C 之间的关系是∠EDC
＝∠B＋∠C ；
采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP 管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物
解：(2)∠EFD＝∠BEF＋30°. 理由：分别过点 E，F 作 EM∥AB，FN∥AB. ∴EM∥AB∥FN. ∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN.
采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP 管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物
3．(莱芜中考)如图，AB∥CD，∠BED＝61°，∠ABE 的平分线与∠CDE 的平分线交于点 F，则∠DFB＝( B )
A．149° C．150°
பைடு நூலகம்
B．149.5° D．150.5°
采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP 管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物

平行线的性质 —平行线间的“拐点”问题说课课件 2023-2024学年人教版七年级数学下册

例1：已知：如图，AB//EF,请你猜想 ∠BAC、∠ACE、∠CEF它们之间的数量关系，并说明理由。
A
B
C
1 2
D
E
F
学生易错点：1.添加辅助线叙述错误，如：过点C作AB、EF 的平行线CD。 2、推理过程不严谨：如过点C 作CD//AB，所以∠A+∠1=180° 又因为CD//EF, 所以∠2+∠E=180°。
M
1
a
P 23 N
b
(第1题图)
D
E
(第2题图)
笃行
3. 如图，有一块含有45°角的三角尺放在直尺上，如果∠2=20°，那么∠1= ( ) A .15°B.20° C.25° D .30°
C
1 2
建模思想
笃行
4.如图，直线AB、EF,点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF=（ C ）
时间安排
0 3
从时间分配上来看，由于前面一题多解上用时有点多，导致后面两种模型的研究有些匆忙。
设计思路
A
B
C
E
F
7.教学反思
Fresh and simple teacher's lecture
通过一个基本图形，延伸到三种基本图形，启发学生如何从题目中提炼出基本模型。渗透特殊到一般、类比、转化等数学思想。引导学生善于观察分析题目的内在联系，做到做一题、懂一类、会一片的目的。
设计意图：分层布置作业，A组题让全体学生对今天的学习有练习，有巩固； B组题让学有余力的学生有探究，有提高。同时把数学的研究深入到课后，体
现深度学习的理念。
6.板书设计

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变式训练：2,.如图，已知：AB∥CD， CE分别交AB、CD于点F、C，若 ∠E=20°，∠C=45°，则∠A的度数为（） A. 5° B. 15° 25° D. 35°
变式训练：3.已知:如图所示
∠ABC=80°,∠BCD=40°,∠CDE= 140°.求证：AB//DE.
A
B
D
E
C
方法指导
（2）燕尾型
如图2，已知：AB∥CD，点E是平面内一点，那么∠BED与∠B、∠D之间的数量关系是什么呢？
A
B
C
图2
D
A
B
E
F
C
D
解：过点E 作EF∥AB。 ∴∠B=∠BEF（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD（已知） ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行） ∴∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等） ∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF（等量代换） ∴∠B+∠D=∠BED
请思考：若改变点E的位置，则∠BED 与 ∠B、∠D的数量关系会发生变化吗？
E
A
B
A
B
C
图3
D
（3）犀牛角型
∠BED=∠B－∠D
C
D
图4
E
（4）锄头型 ∠BED=∠B－∠D
辅助线添法：过拐点作已知直线的平行线，简单说成：逢“拐点”作平行线。一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线。
变式训练：1.如下图所示，直线AB∥CD， ∠B=23°，∠D=42°，则∠E= 。
平行线与“拐点”问题
教材母题（教材P23第7(2)题）
如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=( )
(A)180°(B)270°(C)360°(D)540°
A
B
C
D
E
F
方法指导
（1）铅笔型
如图1，已知：AB∥CD，点E是平面内一点，那么∠BED与∠B、∠D之间的数量关系是什么呢？
A
B
C
D
图1
A
B
F
E
C
图1
D
解：过点E 作EF∥AB。
∴∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵AB∥CD（已知）
∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线互相平行）
∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°
即∠B+∠BED+∠D=360°
4.已知：如图，AB//CD，试解决下列问题：（1）∠1＋∠2＝___180_°__；（2）∠1＋∠2＋∠3＝___ 36_0_°；（3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_ __54_0_°；（4）试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n
＝（n-1)180° ；
5.如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、 l2交于点C和D，P为直线l3上一点，A、B 分别是直线l1、l2上的不动点．其中PA与 l1相交为∠1，PA、PB相交为∠2，PB与l2 相交为∠3．
（1）若P点在线段 CD（C、D两点除外）上运动，问∠1、∠2、 ∠3之间的关系是什么？这种关系是否变化？（2）若P点在线段CD 之外时，∠1、∠2、∠3之间的关系有怎样？说明理由．
（1）∠2=∠1+∠3．
（2）①如图2所示，当点P在线段 DC的延长线上时， ∠2=∠3-∠1
②如图3所示，当点P在线段CD的延长线上时， ∠2=∠1-∠3