2022-2023学年湖南省邵阳市邵东县第三中学高一上数学期末统考模拟试题含解析

湖南省邵阳市邵东县第三中2025届高三3月份第一次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）A ．1637B ．949C ．937D ．3112．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ） A ．(3,1)-B ．(1,3)-C ．(3,1)--D ．(1,3)--3．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ） A ．121B ．221C ．115D ．2156．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．20B ．27C ．54D ．647．已知函数()eln mxf x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ）A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(,e)-∞8．中，如果，则的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变10．若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．)2,⎡+∞⎣B ．[)2,+∞C ．(1,2⎤⎦D ．(]1,211．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<12．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年湖南省邵阳市新邵县高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}10A x x =->，{}220B x x x =-≤，则A B = （）．A ．[]0,2B ．[)1,2C ．(]1,2D ．[)2,+∞【正确答案】C【分析】分别求出集合A 和B ，利用交集的定义直接求解即可.【详解】{}{}10=1A x x x x =->>，{}{}220=02B x x x x x =-≤≤≤，则{}12A B x x ⋂=<≤，即为(]1,2.故选.C2．命题“2000R,220,x x x ∃∈++≤”的否定是（）A ．2000R,220x x x ∃∉++≤B ．2000R,220x x x ∃∈++>C ．2R,220x x x ∀∈++≤D ．2R,220x x x ∀∈++>【正确答案】D【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】特称命题的否定是全称命题，因此原命题的否定是：2R,220x x x ∀∈++>．故选：D ．3．如果函数()y f x =在[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，那么“()()0f a f b ⋅<”是“函数()y f x =在(,)a b 内有零点”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】由零点存在性定理得出“若()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在(,)a b 内有零点”举反例即可得出正确答案.【详解】由零点存在性定理可知，若()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在(,)a b 内有零点而若函数()y f x =在(,)a b 内有零点，则()()0f a f b ⋅<不一定成立，比如2()f x x =在区间(2,2)-内有零点，但(2)(2)0f f -⋅>所以“()()0f a f b ⋅<”是“函数()y f x =在(,)a b 内有零点”的充分而不必要条件故选：A本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.4．半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】A根据题中条件，由扇形的面积公式，可直接得出结果【详解】半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是22111121222S lr r α===⨯⨯=（其中l 为扇形所对应的弧长，r 为半径，α为扇形所对应的圆心角）.故选：A.5．已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,4D ．()4,+∞【正确答案】C【详解】因为(2)310f =->，3(4)202f =-<，所以由根的存在性定理可知：选C.本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.6．已知函数()1424x x f x +=-+，[]1,1x ∈-，则函数()y f x =的值域为（）．A ．[)3,+∞B ．[]3,4C ．133,4⎡⎤⎢⎣⎦D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】B【分析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.【详解】依题意，函数()2)(2224x xf x =-⨯+，[]1,1x ∈-，令2x t =，则2x t =在[]1,1x ∈-上单调递增，即122t ≤≤，于是有2224(1)3y t t t =-+=-+，当1t =时，min 3y =，此时0x =，min ()3f x =，当2t =时，max 4y =，此时1x =，max ()4f x =，所以函数()y f x =的值域为[]3,4.故选：B7．已知2m，32n =，5p =，则,,m n p 的大小关系为（）A ．m n p >>B ．m p n >>C ．p m n>>D ．p n m>>【正确答案】B【分析】将指数式化为对数式，再利用换底公式换为相同形式，比较大小.【详解】由32n =得3323223327ln ln n log ln ln ===，由5p =得532322525ln ln p log ln ln ===，则 n p <；由2m =4453m log log log log p ==>>=，则m p >，故有 m p n >>．故选：B关键点点睛：本题的关键是换底公式的应用，关键是利用换底公式，变形，比较大小.8．设,a b R ∈，定义运算,,a a ba b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()sin cos f x x x =⊗的最小值为（）A ．1-B ．C ．12-D ．0【正确答案】B【分析】由定义先得出sin sin cos ()cos cos sin xx x f x xx x≥⎧=⎨>⎩，然后分sin cos x x ≥，cos sin x x >两种情况分别求出()f x 的最小值，从而得出答案.【详解】由题意可得sin sin cos ()sin cos cos cos sin x x xf x x x x x x≥⎧=⊗=⎨>⎩当sin cos x x ≥时，即sin cos 04x x x π⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭则22,4k x k k Z ππππ≤-≤+∈，即522,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈此时当52,4x k k Z ππ=+∈时，sin x 有最小值为2当cos sin x x >时，即sin cos 04x x x π⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭则222,4k x k k Z πππππ+<-<+∈，即5922,44k x k k Z ππππ+<<+∈此时，cos x >所以()f x 的最小值为2-故选：B 二、多选题9．下列说法中正确的有（）A ．“3x >”是“2x >”的必要条件B ．“1x >”是“21x >”的充分不必要条件C ．“2x =或3x =-”是“260x x +-=”的充要条件D ．“a b >”是“22a b >”的必要不充分条件【正确答案】BC【分析】根据充分条件与必要条件的知识，结合不等式或方程的知识对选项逐一判断即可选出答案.【详解】对于A ，“2x >”成立，“3x >”不一定成立，A 错误；对于B ，“1x >”可以推出“21x >”，取2x =-，得21x >，但21-<，所以“21x >”不能推出“1x >”，B 正确；对于C ，260x x +-=的两个根为2x =或3x =-，C 正确；对于D ，“a b >”不能推出“22a b >”，同时“22a b >”也不能推出“a b >”，D 错误．故选:BC ．10的值可能为（）．A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】BD【分析】根据给定条件结合同角公式化简函数式，再借助正余弦值的正负计算作答.【详解】令2sin cos ()|sin ||cos |x xf x x x =+，当x 为第一象限角时，sin 0,cos 0x x >>，则()3f x =，当x 为第二象限角时，sin 0,cos 0x x ><，则()1f x =，当x 为第三象限角时，sin 0,cos 0x x <<，则()3f x =-，当x 为第四象限角时，sin 0,cos 0x x <>，则()1f x =-.故选：BD11．定义在R 上的函数()f x 满足：x 为整数时，()2022f x =；x 不为整数时，()0f x =，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．()()R,2022x f f x ∀∈=D ．()f x 的最小正周期为1【正确答案】BCD【分析】由函数的奇偶性判断A 和B ；由()f x 的对应关系判断C ；由周期判断D.【详解】选项A 中，对于函数()f x ，有()12022,(1)2022f f =-=，所以()()f x f x -=-不恒成立，则函数()f x 不是奇函数，所以A 不正确；选项B 中，对于函数()f x ，若x 为整数，则x -也是整数，则()()2022f x f x =-=，若x 不为整数，则x -也不为整数，则有()()0f x f x =-=，综上可得()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数，所以B 正确；选项C 中，若x 为整数，则()2022f x =，x 不为整数，则()0f x =，综上，()f x 是整数，则()()2022f f x =，所以C 正确；选项D 中，若x 为整数，则1x +也是整数，若x 不为整数，则1x +也不是整数，总之有()()1f x f x +=，所以函数()f x 的周期为1；若(01)t t <<，则x 和x nt +可能是一个整数，也可能不是整数，则有()()f x f x nt ≠+，所以函数()f x 的最小正周期为1，所以D 正确.故选：BCD.12．下列说法中，正确的有（）A ．若0a b <<，则2ab b >B ．若0a b >>，则b aa b>C ．若对()10,,∀∈+∞+≥x x m x 恒成立，则实数m 的最大值为2D ．已知0,0x y >>，且131x y+=，则2x y +的最小值为7+【正确答案】ACD【分析】根据不等式的性质可以说明A 正确；利用中间值1验证B 错误；利用基本不等式加上恒成立可以说明C 正确；巧用“1”可以说明D 正确.【详解】对于A ：a b < ，0b <，左右两边同时乘以b 得2ab b >，故A 正确；对于B ：01,1,a b a ba b b a b a>>∴><∴> ，，故B 错误；对于C ：(0,)x ∈+∞ ，121x x x +≥==，时等号成立，要使1x m x +≥恒成立，则min 1()m x x≤+，即2m ≤，故实数m 的最大值为2，故C 正确；对于D ：0x >，0y >，1322x y x yx y ∴+++=()()237772y x x y =++≥++=时等号成立想，故2x y +的最小值为7+D 正确.故选：ACD.三、填空题13．若函数()(110x f x a a -=+>且)1a ≠的图象恒过定点A ，则A 坐标为______．【正确答案】()1,2【分析】令10x -=，函数值是一个定值，与参数a 无关，即可得到定点.【详解】令10x -=，则1x =，()11112f a -=+=，所以函数图象恒过定点为()1,2.故()1,214．已知tan 4α=-，则4sin 2cos 5cos 3sin αααα++的值为______．【正确答案】2【分析】根据给定条件把正余弦的齐次式化成正切，再代入计算作答.【详解】因tan 4α=-，则4sin 2cos 4tan 24(4)225cos 3sin 53tan 53(4)αααααα++⨯-+===+++⨯-，所以4sin 2cos 5cos 3sin αααα++的值为2.故215．已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ＋2）＝－f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）＝x 2，则f （7）＝________．【正确答案】-1【详解】试题分析：因为函数满足f （x ＋2）＝－f （x ），所以令可得，即函数的周期为4，又因为函数为奇函数，所以可得，故答案为-1函数的奇偶性以及周期性16．已知函数()f x m =a ，()b a b <，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，则实数m 的取值范围是______．【正确答案】9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】由题设，将问题转化为y x m =-与y =在2x ≥-上有两个交点，进而构造22()(21)2g x x m x m =-++-，研究其在[2,)-+∞上有两个零点的情况下m 的取值范围即可.【详解】由题设，()f x 为增函数且定义域为[2,)-+∞，要使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，∴()()2f a m af b m b b a ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪>≥-⎪⎩，易知：a m b m=-=-，∴y x m =-与y =在2x ≥-上有两个交点，即22(21)20x m x m -++-=在[2,)-+∞上有两个根且0x m -≥恒成立即2m ≤-，∴对于22()(21)2g x x m x m =-++-，有()()()()222Δ214202122222210m m m g m m ⎧=+-->⎪⎪+>-⎨⎪-≥+++≥⎪⎩，可得924m -<≤－，故9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦四、解答题17．化简求值：(1)2103332()5-+；(2)23log 3log 4lg 2lg5⨯++.【正确答案】(1)12-；(2)3.【分析】（1）根据指数运算法则即可求得答案；（2）根据对数运算法则结合换底公式即可解得答案.【详解】（1）原式322123331122212122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=-⨯+=-+=-.（2）原式()lg 32lg 2lg 25213lg 2lg 3=⨯+⨯=+=.18．已知函数()log a f x x =(a ＞0且a ≠1)的图象过点(9,2)．(1)求a 的值；(2)若()()()22g x f x f x =-++，求()g x 的定义域并判断其奇偶性．【正确答案】(1)3a =；(2)定义域为()2,2-，偶函数.【分析】(1)根据给定条件结合指数式与对数式的互化计算作答.(2)由(1)求出()g x 的解析式，列不等式求定义域，利用奇偶性定义判断作答.【详解】（1）因函数()log a f x x =(a ＞0且a ≠1)的图象过点(9,2)，则log 92a =，即29a =，又0a >且1a ≠，解得3a =，所以a 的值是3.（2）由(1)知，()3log f x x =，则()()()()()3322 log 2log 2g x f x f x x x =-++=-++，由2020x x ->⎧⎨+>⎩得22x -<<，因此，()g x 的定义域为()2,2-，()2,2x ∀∈-，有()2,2x -∈-，则()()()()33log 2log 2g x x x g x -=++-=，即有()g x 是偶函数，所以()g x 定义域为()2,2-，是偶函数.19．已知()()()πsin 2πcos 2πcos tan π2f ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.(1)求4π3f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)已知()ππ4,225f αα-<<=，求tan α．【正确答案】(1)4π1(32f =-；(2)3tan 4α=±【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简，再代入求值；（2）由()45f α=得到4cos 5α=，再根据角的范围分情况求得结果.【详解】（1）解：()()()sin sin sin tan f ααααα-⋅-=⋅＝cos α∴4π1(32f =-（2）因为()45f α=，所以4cos 5α=当π02α≤<时，3sin 5α==，所以sin 3tan cos 4ααα==，当π02α-<<时，3sin 5α=-，所以sin 3tan cos 4ααα==-，所以3tan 4α=±．20．已知函数()π212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)当π5π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域．【正确答案】(1)()7π5ππ,π2424k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z(2)2⎡-⎢⎣【分析】（1）根据正弦函数的单调性即可得出答案；（2）利用整体思想结合正弦函数的性质即可得出答案.【详解】（1）解：令()πππ22π,2π1222x k k k ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，得()7π5ππ,π2424x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，∴()f x 的单调递增区间为()7π5ππ,π2424k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）解：当π5π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ4π2,1233x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin 2,112x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴当π5π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为2⎡-⎢⎣．21．为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议．某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产．为此，该地政府决定为当地某A 企业春节期间加班追产提供x 万元（]10[,20x ∈）的专项补贴．A 企业在收到政府x 万元补贴后，产量将增加到(2)t x =+万件．同时A 企业生产t 万件产品需要投入成本为7272t x t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭万元，并以每件（406t +）元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋政府专项补贴－成本）(1)求A 企业春节期间加班追产所获收益()R x （万元）关于政府补贴x （万元）的函数关系式；(2)当政府的专项补贴为多少万元时，A 企业春节期间加班追产所获收益最大？【正确答案】(1)238272()x x R x --=+，其中[]0,20x ∈(2)4万元【分析】（1）计算出销售金额、成本，结合题意可得出()R x 的函数关系式，以及该函数的定义域；（2）由()()7242222R x x x ⎡⎤=⎢⎥+⎣-+⎦+结合基本不等式可求得()R x 的最大值，利用等号成立的条件求出x 的值，即可得出结论.【详解】（1）由题意可知，销售金额为()()404066262402t x x t x ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭万元，政府补贴x 万元，成本为()7272727222t x x x t x ++=++++万元，所以，()()()7272624072238222R x x x x x x x x =+++-+--=--++，其中020x ≤≤.（2）由（1）可知()()()72727238242224222222R x x x x x x x ⎡⎤=--=-+-=-++⎢⎥+++⎣⎦，020x ≤≤，其中()4272222x x +≥=++，当且仅当()72222x x +=+，即4x =时取等号，所以()()7242224224182R x x x ⎡⎤=-++≤-=⎢⎥+⎣⎦，所以当4x =时，A 企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为18万元；即当政府的专项补贴为4万元时，A 企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为18万元.22．已知函数()21x b f x ax +=+是定义在[1-，1]上的奇函数，且()112f =．（1）求a ，b 的值；（2）判断()f x 在[1-，1]上的单调性，并用定义证明；（3）设()52g x kx k =+-，若对任意的[]111x ∈-，，总存在[]201x ∈，，使得()()12f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围．【正确答案】（1）1,0a b ==；（2）()f x 在[]1,1-上递增，证明详见解析；（3）92k ≤.【分析】（1）利用()()100,12f f ==求得,a b 的值.（2）利用定义法判断出()f x 在区间[]1,1-上的单调性.（3）将问题转化为()()max max f x g x ≤，对k 进行分类讨论，结合一次函数的单调性，求得k 的取值范围.【详解】（1）依题意函数()21x b f x ax +=+是定义在[1-，1]上的奇函数，所以()00f b ==，()111112f a a ==⇒=+，所以()21x f x x =+，经检验，该函数为奇函数.（2）()f x 在[]1,1-上递增，证明如下：任取1211x x -£<£，()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()22121212221211x x x x x x x x +--=++()()()()()()()()12212112212222121211111x x x x x x x x x x x x x x -----==++++，其中122110,0x x x x -<->，所以()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<，故()f x 在[]1,1-上递增.（3）由于对任意的[]111x ∈-，，总存在[]201x ∈，，使得()()12f x g x ≤成立，所以()()max max f x g x ≤.()()max 112f x f ==.当0k ≥时，()52g x kx k =+-在[]0,1上递增，()()max 15g x g k ==-，所以195022k k ≤-⇒≤≤.当0k <时，()52g x kx k =+-在[]0,1上递减，()()max 052g x g k ==-，所以15202k k ≤-⇒<.综上所述，92k ≤.。