点集拓扑练习题
一、单项选择题（每题1分）
1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T
③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③
2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T
③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：②
3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T
③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 答案：①
4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T
③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：②
5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T
③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案：④
6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T
③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：③
7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）
①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④
8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）
①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④
9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）
①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：②
10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）
①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：④
11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）
①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②
12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）
①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案：④
13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（
） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
15、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：①
16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③
17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④
18、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为
（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）
① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：①
20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）
① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④
21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ）
① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：①
22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（ ）
① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：②
23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）
① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：③
24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）
① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案：③
25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）
① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④
26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ）
① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃
③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③
27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）
① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-
③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①
28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）
① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-
③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④
29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）
① ()d A φ= ② ()d A X A =- ③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案：①
30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（ ）
① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-
③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④
31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）
① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =
③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案：①
32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ）
① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}
③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案：①
33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是
T 的基.
① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈
③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案：③
34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基.
① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}
③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ } 答案：②
35、离散空间的任一子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③
36、平庸空间的任一非空真子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④
37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )
① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：②
38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ） ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案：③
39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）
① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：①
40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）
① 整数集Z ② 有理数集 ③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '
答案：④
41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④
42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）
① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④
43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个
① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④
44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )
①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈
③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '
∈∈ 答案：③
45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：③
46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：②
47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为
( )
① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=
③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案：③
48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为
( )
① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=
③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：②
49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为
( )
① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=
③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案：②
50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为
( )
① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：①
51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为
( )
① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ= ③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案：②
52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为
( )
① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=
③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案：④
53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）
① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案：②
54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（ ） ①A B A B ⨯≠⨯ ②A B A B ⨯=⨯ ③()A B A B ⨯≠⨯ ④()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂ 答案：②
61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①
62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①
63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①
64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )
①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集 答案：②
65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是平庸空间 ③ 平庸空间 ④ 不连通空间 答案：③
66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是离散空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案：①
67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是连通空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案：④
68、实数空间R 中的连通子集E 为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对 答案：④
69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对 答案：③
70、实数空间R 中的连通子集E 为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点 答案：④
71、下列叙述中正确的个数为（ ）
（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的
（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
72、实数空间R ( )
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③
73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③
74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③
75、无理数集作为实数空间R 的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③
76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③
77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③
78、2维欧氏间空间2R （ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③
79、3维欧氏间空间3R （ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③
80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 平庸性 ② 连通性 ③ 离散性 ④ 第一可数性公理 答案：②
81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 第一可数性公理 ② 连通性 ③ 第二可数性公理 ④ 平庸性 答案：②
82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 第一可数性公 ② 可分性 ③ 第二可数性公理 ④ 离散性 答案：②
83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 平庸性 ② 可分性 ③ 离散性 ④ 第二可数性公理 答案：②
84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )
① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：①
85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )
① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：①
86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )
① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间 答案：①
87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )
① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：④
88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )
① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：④
89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )
① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：④
90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )
① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：④
91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )
①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：①
92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，
则X 是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案：③
93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，
则X 是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案：③
94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案：①
95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案：②
96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )
①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间 答案：④
97、设{1,23}X =，
，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间 答案：④
98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )
①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间 答案：④
99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )
①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案：④
100、设{1,23}X =，
，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案：④
101、设{1,23}X =，
，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案：④
102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（ ）
① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间 答案：③
103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）
① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对 答案：③
104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（ ）
① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案：③
105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是（ ）
① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案：③
106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是（ ）
① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集 答案：②
107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是（ ）
① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集 答案：②
108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是（ ）
① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集 答案：②
109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集，则X 是（ ）
① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间 答案：①
二、填空题（每题1分）
1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=
2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ=
3同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;答案：拓扑不变性质
4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.答案： R
5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;答案： ({})U A x φ⋂-≠
6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X
7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X
8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X
9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X
10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部
为 ;答案：{2}
11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部
为 ;答案：{1}
12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部
为 ;答案：{1}
13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部
为 ;答案：φ
14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=
15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=
16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部
为 ;答案：{3}
17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部
为 ;答案：{1}
18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .答案：嵌入
19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射
20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 ;答案：开映射
21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;答案：闭映射
22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间
23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间
24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 ；答案：不连通空间
25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ;
答案：连通子集
26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则
称这个性质是一个 ；答案：在连续映射下保持不变的性质
27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性
质是一个 ；答案：可商性质
28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ; 答案：有限可积性质
29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；答案：不连通空间.
30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;答案：第一可数性公理
31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足 ;答案：第二可数性公理
32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案：可遗传性质
33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个 ；答案：稠密子集
34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ；答案：可分空间
35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个 ；
答案：Lindel Öff 空间
36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P
为 ;答案：对于开子空间可遗传性质
37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P
为 ;答案：对于闭子空间可遗传性质
38、设X 是一个拓扑空间，如果 则称X 是一个0T 空间;
答案：X 中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点
39、设X 是一个拓扑空间，如果 则称X 是一个1T 空间;
答案：X 中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点
40、设X 是一个拓扑空间，如果 则称X 是一个2T 空间;
答案：X 中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交
41、正则的1T 空间称为 ；答案：3T 空间
42、正规的1T 空间称为 ；答案：4T 空间
43、完全正则的1T 空间称为 ；答案： 3.5T 空间或Tychonoff 空间
44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一
个 . 答案：紧致空间
45、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑
空间X 的一个 .答案：紧致子集
46、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一
个 .答案：可数紧致空间
47、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一
个 .答案：列紧空间
48、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一
个 .答案：序列紧致空间
三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）
1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√
理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，
因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.
2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:×
理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂；
（２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２；
（３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑．
3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√
理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.
4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）答案:√
理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，
所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=，即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.
5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）答案：×
理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.
6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）答案：√
理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.
7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）答案：√ 理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然
A B φ=，
并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂= 从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.
8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )案：√
理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ⋃=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.
9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）答案：√
理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基，对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族，从而X 在点x 处有可数邻域基，故X 满 足第一可数性公理.
10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（ ）答案：√
理由：由于X 满足第二可数性公理，所以它有一个可数基B ，因为Y 是X 的子空间，则{|}B| B Y B Y B =⋂∈是Y 的一个可数基，从而X 的 子空间Y 也满足第二可数性公理.
11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（ ）答案：√
理由：由于X 满足第一可数性公理，所以对x Y ∀∈,X 在点x 处有一个可数邻域基V x ，因为Y 是X 的子空间，则{|}V | V x Y x V Y V =⋂∈是Y 在点x 的一个可数邻域基，从而X 的子空间Y 也满足第一可数性公理.
12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )答案：×
理由：因为{1,3}是X 的一个闭集，对于点２和{1,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X 不是正则空间，从而不是3T 空间. 注：也可以说明X 不是1T 空间．
13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )答案：×
理由：因为{2,3}是X 的一个闭集，对于点１和{2,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X 不是正则空间，从而不是3T 空间.注：也可以说明X 不是1T 空间．
14、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )答案：×
理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X 不是1T 空间．
注：也可以考虑点２和点３.
15、设{1,23}X =，
，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )答案：× 理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X 不是1T 空间．故(,)X T 是4T 空间. 注：也可以考虑点２和点３.
16、3T 空间一定是2T 空间.（ ）答案：√
理由：因为3T 空间是正则的1T 空间，所以对于3T 空间X 中的任意不同的两点,x y X ∈，{}y 是X 中的闭集，由于X 是正则空间，从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域,U V 使得U V φ⋂=，所以X 是
2T 空间.
17、4T 空间一定是3T 空间.（ ）答案：√
理由：因为4T 空间是正规的1T 空间，所以对于4T 空间X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ，由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间，故存在{},x A 的开邻域,U V 使得U V φ⋂=，这说明X 是正则空间，因此X 是3T 空间.
18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ⋃是一个紧致子集.( )答案：√
理由：设A 是一个由X 中的开集构成的A B ⋃的覆盖，由于A 和B 都是X 的紧致子集，从而存在A
的有限子族 A 1 A 2 分别是A 和B 的覆盖，
故12⋃A A 是A 的有限子族且覆盖A B ⋃，所以A B ⋃是紧致子集.
19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案：√
理由：设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集，则对于任何x X ∈，若x A ∉，则易知x 不是A 的凝聚点，因此A A =，从而A 是一个闭集.
四．名词解释(每题2分)
1．同胚映射 答案：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.
2、集合A 的内点 答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.如果A 是点x X ∈的一个邻域，则称点x 是集合A 的一个内点.
3、集合A 的内部 答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.则集合A 的所有内点构成的集合称为集合A 的内部.
4．拓扑空间(,)T X 的基 答案：设(,)T X 是一个拓扑空间，B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是B 中的某些元素的并，则称B 是拓扑T 的一个基.
5．闭包 答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.集合A 与集合A 的导集()d A 的并()A d A ⋃称为集合A 的闭包.
6、序列 答案：设X 是一个拓扑空间，每一个映射:S Z X +→叫做X 中的一个序列.
7、导集 答案：设X 是一个拓扑空间，集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.
8、不连通空间 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个不连通空间.
9、连通子集 答案：设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间，则称Y 是X 的一个连通子集.
10、不连通子集 答案：设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个不连通空间，则称Y 是X 的一个不连通子集.
11、1 A 空间 答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为1 A 空间.
12、2 A 空间 答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为2 A 空间.
13、可分空间 答案：如果拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个可分空间.
14、0T 空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是0T 空间.
15、1T 空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是1T 空间.
16、2T 空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间X 是2T 空间.
17、正则空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正则空间.
18、正规空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正规空间.
19、完全正则空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果对于x X ∀∈和X 中任何一个不包含点x 的闭集B 存在一个连续映射:[0,1]f X →使得()0f x =以及对于任何y B ∈有()1f y =，则称拓扑空间X 是一个完全正则空间.
20、紧致空间 答案：设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间.
21、紧致子集 答案：设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个紧致子集.
22、可数紧致空间 答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间.
23、列紧空间 答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个列紧空间.
24、序列紧致空间 答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个序列紧致空间.
五．简答题（每题4分）
1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.
答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂，从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ⊂.
2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g
f X Z →也是连续映射. 答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:
g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---=是X
的开集，所以:g f X Z →是连续映射.
3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.
答案：对于x A '∀∈,则x A ∉，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=，即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.
4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.
答案：设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'⋂=,因此
x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =，这说明A 是一个闭集.
5、在实数空间R 中给定如下等价关系：
~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T.
答案：]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T
6、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .
答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=
7、在实数空间R 中给定如下等价关系：
~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T.
答案：{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--
8、在实数空间R 中给定如下等价关系：
~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T.
答案：{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--
9、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .
答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=
10、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .
答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=
11、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .
答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=
12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.
答案：因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是2A 空间.至多含有可数多个点的离散空间是2A 空间.
13、试说明实数空间R 是可分空间.答案: 因为Q 是可数集，且R 的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与Q 都有非空的交，因此R Q =，故实数空间R 是可分空间.
14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.
答案: 设X 是一个度量空间, 对X x ∈∀，则所有的以x 为中心，以正有理数为半径的球形邻域构成x
处的一个可数邻域基，从而X 满足第一可数性公理.
15、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.
答案：对x X ∀∈，由于X 是1T 空间，从而对每一个,y X y x ∈≠，点y 有一个邻域U 使得x U ∉，即{}U x φ⋂=，故{}y x ∉，因此{}{}x x =,这说明单点集{}x 是一个闭集.
16、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个1T 空间.
答案：对于任意,,x y X x y ∈≠，{},{}x y 都是闭集，从而{}x '和{}y '分别是y 和x 的开邻域，并且有{}x x '∉,{}y y '∉.从而X 是一个1T 空间.
17、设(,)X T 是一个1T 空间，∞是任何一个不属于X 的元素.令*{}X X =⋃∞和*
X =⋃*T T {}，试
说明拓扑空间*(,)X *T 是一个0T 空间. 答案：对任意*,,x y X x y ∈≠,若x ,y 都不是∞，则,x y X ∉.由于X 是一个1T 空间，
从而,x y 各有一个开邻域,U V ,使得,x V y U ∉∉;若x ,y 中有一个是∞，不妨设x =∞,则y 有开邻域X 不包含∞.由以上的讨论知，对*
X 中任意两个不同点必有一个点有一个开邻域不包含另一点，从而X 是0T 空间.
18、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂. 答案: 对x X ∀∈,设U 是x 的任何一个开邻域，则U 的补集U '是一个不包含点x 的一个闭集.由于X 是一个正则空间，于是x 和U '分别有开邻域V 和W ,使得V W φ⋂=，因此V W '⊂，所以V W W U -''⊂=⊂.
19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个
开邻域V ,使得V U ⊂. 答案：设A 是X 的任何一个闭集，若A 是空集，则结论显然成立.下设A 不是空集，则对A 的任何一个开邻域U ，则U 的补集U '是一个不包含点A 的一个闭集. 由于X 是一个正规空间，于是A 和U '分别有开邻域V 和W ,使得V W φ⋂=，因此V W '⊂，所以V W W U -''⊂=⊂.
20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.
答案：设A 是X 的任何一个子集，若A 是空集，则()d A φ=，从而A 的导集是闭集.下设A 不是空集，则对(())x d A '∀∈,则x 有开邻域U ,使得({})U x A φ-⋂=，由于X 是1T 空间，从而{}U x -是开集，故
{}(())U x d A '-⊂,于是(())U d A '⊂,所以(())d A '是它每一点的邻域，故(())d A '是开集，因此
()d A 是闭集.
21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.
答案：如果X 的无穷子集的A 没有凝聚点，则对于任意x X ∈，有开邻域x U ，使得(){}x U A x φ⋂-=，于是X 的开覆盖{|}x U x X ∈没有有限子覆盖，从而X 不是紧致空间，矛盾.故紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.
22、如果X Y ⨯是紧致空间，则X 是紧致空间.
答案：考虑投射1:P X Y X ⨯→，由于1:P X Y X ⨯→是一个连续的满射，
从而由X Y ⨯紧致知X 是一个紧致空间.
23、如果X Y ⨯是紧致空间，则Y 是紧致空间.
答案：考虑投射2:P X Y Y ⨯→，由于2:P X Y Y ⨯→是一个连续的满射，从而由X Y ⨯紧致知Y 是
一个紧致空间.
24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.
答案：如果A 是Y 的任意一个由X 中的开集构成的覆盖，则{}Y '⋃B=A 是X 的一个开覆盖.设1 B 是B 的一个有限子族并且覆盖X .则1{}Y '- B 便是A 的一个有限子族并且覆盖Y ，从而Y 是紧致子集.
六、证明题（每题8分）
1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.
证明：如果()f X 是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分
于是11(),()f A f B --是X 的非空子集，并且：
111111111(()())(()())
(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ
---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂=
所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外，1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==，这说明X 不连通，矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分
2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y
⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.
证明：因为B A ,是X 的开集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集.
又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分
由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分
3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y
⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.
证明：因为B A ,是X 的闭集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集.
又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分
由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分
4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集.
证明：若Z 是X 的一个不连通子集，则在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =⋃.因此
Y A B ⊂⋃ ………………………………… 3分
由于Y 是连通的，所以Y A ⊂或者Y B ⊂,如果Y A ⊂，由于Z Y A ⊂⊂，所以Z B A B φ⋂⊂⋂=，因此 B Z B φ=⋂=,同理可证如果Y B ⊂，则A φ=,均与假设矛盾.故Z 也 是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分
5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果
Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.
证明：若Y γγ∈Γ是X 的一个不连通子集.则X 有非空的隔离子集,A B 使得
Y A B γγ∈Γ=⋃………………………………………… 4分
任意选取x Y γγ∈Γ∈,不失一般性，设x A ∈,对于每一个γ∈Γ，由于Y γ连通，从而Y A γγ∈Γ⊂及
B φ=,矛盾，
所以Y γγ∈Γ是连通的. ………………………………………… 8分
6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ⋂≠,则A B ⊂. 证明：若B X =,则结论显然成立.
下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ⋂是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分
由于A B φ⋂≠及A 连通，所以A B A ⋂=，故A B ⊂.………… 8分
7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.
证明：若()A φ∂=,由于()A A A --'∂=⋂,从而
()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=⋂=⋂⋂⋃=⋂⋃⋂,
故, A A '是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分
因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ∂≠. ……………………………………………… 8分
8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.
证明：若X 满足第一可数公理，则在X x ∈处,有一个可数的邻域基，设为V x
,因为X 是可数补空间，因此对x y X y ≠∈∀,,}{y X -是x 的一个开邻域，从而x y V V ∈∃ ,使得}{y X V y -⊂. 于是'
⊂y V y }{, …………………………………………………4分
由上面的讨论我们知道： }{}{}{}{y X y y x X y V y x X -∈-∈'⊂=
-
因为}{x X -是一个不可数集，而
}{x X y u V -∈' 是一个可数集，矛盾.
从而X 不满足第一可数性公理. ………………………………8分
9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.
证明：若X 满足第一可数公理，则在X x ∈处,有一个可数的邻域基，设为V x
,因为X 是有限补空间，因此对x y X y ≠∈∀,,}{y X -是x 的一个开邻域，从而x y V V ∈∃ ,使得}{y X V y -⊂.于是'
⊂y V y }{, …………………………………………………4分
由上面的讨论我们知道： }{}{}{}{y X y y x X y V y x X -∈-∈'⊂=
- 因为}{x X -是一个不可数集，而
}{x X y u V -∈' 是一个可数集，矛盾.
从而X 不满足第一可数性公理. ………………………………8分
10、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理，证明：Y 也
满足第二可数性公理.
证明：设X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基.由于:f X Y →是一个开映射，
{()|}B B f B B =∈是由Y 中开集构成的一个可数族. …………………………………………………………3分
下面证明B 是Y 的一个基.设U 是Y 的任意开集，则1()f U -是X 中的一个开集.因此存在1 B B ⊂,
使得11() B B f U B -∈=.由于f 是一个满射，所以有11(())() B B U f f U f B -∈==,从而U 是B 中
某些元素的并，故B 是Y 的一个基.这说明Y 也满足第二可数性公理. ……8分
11、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第一可数性公理，证明：Y 也
满足第一可数性公理.
证明：对y Y ∀∈,由于:f X Y →是一个满射，所以存在x X ∈,使得()f x y =,由于X 满足第一可数性公理，故在点x 处存在一个可数邻域基，设为 V x ,又由于:f X Y →是一个开映射，则{()|} V V y x f V V =∈是Y 中点y 的一个可数邻域族. …………3分
下面证明 V y 是Y 中点y 的一个邻域基.设U 是Y 中点y 的任意邻域，则1()f U -是X 中点x 的一个邻
域.因此存在 V x V ∈,使得1()V f U -⊂.因此()f V U ⊂,从而 V y 是Y 中点y 的一个邻域基.这说明Y 也满足第一可数性公理. ……………………………………………………8分
12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。求证：A 至少有一个凝聚点.
证明：若A 没有凝聚点，则对任x A ∈,一定存在x 的一个邻域x U ，
使得：{}x U A x ⋂=,由于X 满足第二可数性公理，设B 是它的可数基，故一定存在一个B x B ∈,使得：x x x B U ∈⊂,
更有x B ⋂A ={x }, ……………………………………………………4分
若令C ={|x B x ∈A , x B ∈ B, x B ⊂x U },则有C ⊂ B ，从而C 必可数.于是 A = A x x ∈}{=
()x x B C
B A ∈⋂.这样A 就是可数集，这与题设A 为不可数集相矛盾，故A 至少有一个凝聚点. …………………8分
13、证明满足第二可数性公理的空间中每一个由两两无交的开集构成的集族都是可数族.
证明：设A 是满足第二可数性公理的空间X 中由两两无交的开集构成的集族, 由于X 满足第二可数性公理，
设B 是X 的可数基 ………………………………………………3分
对A 的每一个元素A ,因为B 是X 的基,存在B B ∈使得B A ⊂.因为A 中的元素两两无交,从而A 中不同元素包含B 中的元素也不相同.因为B 可数, 故A 是可数族. ………………………………8分
14、设X 是一个1T 空间,A X ⊂,()x d A ∈,证明：x 的每一个邻域U 中都含有A 中的无限多个点.
证明：设()x d A ∈，若x 有一个开邻域U 含有A 中的有限多个点，设{}B U A x =⋂-,则B 是一个有限集，从而B 是一个闭集，故U B -是一个开集且是x 的一个开邻域. …………………………………4分
又易知()({})U B A x φ-⋂-=,从而()x d A ∉，矛盾.故U 含有A 中的无限多个点. ………………………………………………………8分
15、设X 是一个1T 空间,A X ⊂,()x d A ∈,证明：对x 的每一个邻域U 有U A ⋂是无限集.
证明：设()x d A ∈，若x 有一个开邻域U 含有A 中的有限多个点，设{}B U A x =⋂-,则B 是一个有限集，从而B 是一个闭集，故U B -是一个开集且是x 的一个开邻域. …………………………………4分
又易知()({})U B A x φ-⋂-=,从而()x d A ∉，矛盾.故U A ⋂是无限集. …………………………………………………………………8分
16、设{}i x 是2T 空间X 的一个收敛序列,证明：{}i x 的极限点唯一.
证明：若极限点不唯一，不妨设1lim i i x y →∞=,2lim i i x y →∞
=,其中12y y ≠，由于X 是2T 空间，故1y 和2y 各自的开邻域,U V ，使得U V φ⋂=.因1lim i i x y →∞
=，故存在10N >，使得当1i N >时，i x U ∈；同理存在20N >，使得当2i N >时，i x V ∈.…………………………………………4分
令12max{,}N N N =,则当i N >时，i x U V ∈⋂，从而U V φ⋂≠,矛盾，故{}i x 的极限点唯
一. ……………………………………………8分
17、设X 是一个拓扑空间，证明X 是hausdorff 空间当且仅当积空间X X ⨯的对角线
{(,)|}x x X X x X ∆=∈⨯∈是一个闭集.
证明：充分性：对任意,,x y X x y ∈≠，于是(,)x y '∈∆,由于∆是闭集，所以'∆是开集，从而有X 的开邻域,U V 使得(,)x y U V '∈⨯⊂∆，于是,U V 分别是,x y 的开邻域,且U V φ⋂=，从而X 是Hausdorff 空间. ……………………………………………………………4分
必要性：若X 是hausdorff 空间，对(,)x y '∀∈∆，则x 和y 分别有开邻域,U V ，使得U V φ⋂=，从而(,)x y U V '∈⨯⊂∆，由于U V ⨯是X X ⨯中的开集，所以'∆是其每一点的邻域，故'∆是开集，从而∆是闭集. ……………………………………………………………8分
18、设X 是Hausdorff 空间，:f X X →是连续映射.证明{|()}A x X f x x =∈=是X 的闭子集.
证明：对于x A '∀∈，则()f x x ≠，从而(),f x x 有互不相交的开邻域U 和V ，设1()W f U V -=⋂，…………………………………4分
则W 是x 的开邻域，并且x W A '∈⊂,故A '是开集，
从而A 是闭集. …………………………………………………8分
19、设X 是一个正则空间，A 是X 的闭子集,A x ∉，证明：x 和A 分别有开邻域U 和V 使得φ=⋂V U
. 证明：由于X 是一个正则空间，从而x 和A 分别有开邻域W 和V 使得φ=⋂V W
，故W V '⊂，因此W V '⊂. ………………4分
又由正则空间的性质知：存在x 的开邻域U 使得W U ⊂,从而
φ=⋂V U . ……………………………………………………8分
20、设X 是一个正规空间，A ，B 是X 的两个无交的闭子集.证明：A 和B 分别有开邻域U 和V 使得
φ=⋂V U .
证明：由于X 是一个正规空间，从而A 和B 分别有开邻域W 和V 使得φ=⋂V W
，故W V '⊂，因此W V '⊂.………………4分
由正规空间的性质知：存在A 的开邻域U 使得W U ⊂,从而
φ=⋂V U . ……………………………………………………8分
21、设X 是一个拓扑空间，[0,1]是闭区间，若对X 的任何两个无交的闭集,A B 都存在一个连续映射
点集拓扑练习题 一、单项选择题（每题1分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③ 2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 答案：① 4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案：④ 6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T ③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：③ 7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ） ①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：② 10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ） ①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：④ 11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ） ①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：② 12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ） ①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案：④ 13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：② 14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
欧阳光中数学分析答案 【篇一：数学分析目录】 合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限 2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射和实函数 3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及使用7．1微分中值定理7．2taylor展开式及使用7．3lhospital法则及使用第八章导数的使用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类r［a，b］ 9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分和广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的使用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理使用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4abel-dirichlet判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的abel-dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章fourier级数15．1fourier级数15．2fourier级数的收敛性15．3fourier级数的
学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了整理： 从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。 记住以下几点： 1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。 2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。 3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。 4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。 5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。 6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。 7，经常回头看看自己走过的路 以上几点请在学其他课程时参考。 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的：
1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒） 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链 我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。 6《数学分析》曹之江等著 内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的基础，不会盲目的向n 维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。
数学专业参考书整理推荐 从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。 记住以下几点： 1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。 2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。 4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。 5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。 6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。 7，经常回头看看自己走过的路 以上几点请在学其他课程时参考。 数学分析书：
初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒） 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。 3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门
点集拓扑学试题(含答 案) https://www.doczj.com/doc/1919333914.html,work Information Technology Company.2020YEAR
三．判断（每题4分，判断1分，理由3分） 1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√ 理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间， :f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的. 2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂； （２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２； （３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２； 综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑． 3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√ 理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续. 4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）答案:√ 理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=，即()p d A ∉,从而 ()d A φ=. 5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）答案：× 理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠. 6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）答案：√ 理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.
应该说如果下面还找不到的那么肯定答案还没出了 统计学课后答案（第二版，贾俊平）? ... 200903/ ? 大学物理实验绪论课指导书? ... 200903/ ? 《材料力学》课后答案? ... 200903/ ? MBA入学复试政治题目及参考答案(2008年) ? ... 200903/ ? 《管理学》笔记（周三多、第四版）? ... 200903/ ? 《管理学》罗宾斯复学资料? ... 200903/ ? 《管理定律》完整版第三部分? ... 200903/ ? 《管理定律》完整版第二部分? ... 200903/ ? 《管理定律》完整版第一部分? ... 200903/ ? 《公共管理学》笔记（陈振明版）? ... 200903/ ? 《点集拓扑讲义》题解（熊金城，高教版）? ... 200903/ ? 大学IT课后习题答案? ... 200903/ ? 《微机计算机基本原理与接口技术》课后答案（陈红卫版）? ... 200903/ ? 中科院《高等代数》考试大纲? ... 200903/ ? 中科院《数学分析》考试大纲? ... 200903/ ? 考研数学全分析——第三章一元函数微分学（经典）? ... 200903/ ? 考研数学全分析——第二章一元函数的连续性（经典）? ... 200903/ ? 考研数学全分析——第一章极限（经典）? ... 200903/ ? 新视野大学英语读写教程1课后答案（第二版）? ... 200903/ ? 新视野大学英语读写教程2课后答案（第二版）? ... 200903/ ? 《思想道德修养与法律基础》课后答案（ 08修订版）? ... 200903/ ? 《马克思主义基本原理概论》课后答案（最新版）? ... 200903/ ? 最感人的句子（圣经）? ? 微机原理（第2版）课后答案? ... 200903/ ? 《物理化学》课后答案（第四版）? ... 200903/ ? 《光学教程》课后答案（第三版）? ... 200903/ ? 《电动力学》课后答案（第三版）郭硕鸿版? ... 200903/ ? 《数字图像处理》课后答案B部分（第二版）? ... 200903/ ? 《数字图像处理》课后答案A部分（第二版）? ... 200903/ ? 《操作系统概念》课后答案（英文原版）? ... 200903/ ? 《复变函数论》课后答案? ... 200903/ ? 毛邓三课后答案? ... 200903/ ? 姜楠：资产评估(第二版)习题答案? ... 200903/ ? 《财务管理》习题答案（第二版）? ... 200903/ ? 《旅游法规教程》课后答案? ... 200903/ ? 《网络营销》课后答案? ... 200903/ ? 《现代营销礼仪》课后答案(第二版) ? ... 200903/ ? 《饭店管理概论》课后答案? ... 200903/ ? 《旅游资源学》课后答案? ... 200903/ ? 《市场调查与分析实训》课后答案? ... 200903/ ? 《房地产经济学》课后答案? ... 200903/ ? 会计从业《基础会计》课后答案? ... 200903/ ? 《计算机组成原理》课后答案（第四版）? ... 200902/
数学、物理及其它内容的文件名指南 一．数学类： 1.数学分析类： (1).数学分析教程类： 《数学分析》(方企勤).pdf 《数学分析》（李成章黄玉民）.pdf 《数学分析》（姚允龙）.pdf [全美经典学习指导系列]《微积分》.pdf 《高等微积分》+原书第2版.pdf 《简明微积分》(第四版)龚升.pdf 《数学分析》（卓里奇第1，2卷）《数学分析》（邹应有上下册）《数学分析习题及其解答》.邹应.武大版.2001.pdf 《数学分析教程》（宋国柱有上下册）《数学分析教程补篇》(宋国柱).pdf 《数学分析》（陈传璋-复旦大学）《陈传璋第二版习题答案》（复旦大学数学分析，分章节，共有三个文档）《数学分析》（陈纪修分上下册）《数学分析习题答案》(陈纪修第二版).pdf 《数学分析》（欧阳光中，朱学炎分上下册）《尼柯尔斯基-数学分析教程》（分第一卷第一册，第一卷第二册，第二卷第一册，第二卷第二册4个文档）《数学分析》（何琛史济怀徐森林全三册，分第一册正文，第二册正文，第三册正文3个文档）《数学分析》（常庚哲，史济怀分上下两册）《微积分》(外文).pdf （2）．数学分析习题与讲义类： 《Б_П_吉米多维奇数学分析习题集题解》（分一二三四五５个部分）《北京大学数学分析讲义》（分多元微积分，高等分析，一元微积分学三个部分，每个部分分章节内装多个文档）《陈省身微积分讲义》《数学分析新讲》（张筑生，分第一册，第二册，第三册）谢惠民-《数学分析习题课讲义》（分上下册，还有两个上下册的勘误表）《高等数学辅导三十讲》.pdf《伯克利数学问题集》.pdf《2011考研数学高等数学强化讲义》（基础班）.pdf《定积分和不定积分的计算方法》.pdf《多元微积分学》.pdf《高等数学例题与习题集(一元微积分)》.pdf 《高等数学习题课讲义》上册.pdf《数学分析的方法》（修订版）_徐利治.pdf《数学分析的基本概念与方法》.pdf《数学分析讲义》(俄罗斯)阿黑波夫.pdf《极限论新解》.pdf《数学分析讲义》(南京大学·梅加强编着).pdf《数学分析习题精解(单变量部分)》.pdf《数学分析习题精解(多变量部分)》.pdf《数学分析习题课讲义》（复旦大学）.pdf《数学分析习题课讲义》邹承祖2.pdf《数学分析习题课教材》_林源渠+方企勤.pdf《数学分析中的典型问题和方法》（第2版）.pdf《数学分析中的一些新思想与新方法》.pdf《数学分析中的证题方法与难题选解》.pdf 同济：《高等数学习题课讲义》.pdf《微积分解题方法与技巧》.pdf《微积分与数学分析习题集》(布朗克).pdf《数学分析同步辅导及习题全解》(华东师大第三版).pdf 《数学分析学习指导书》(下) （3）.经典著作类: 《数学分析纵横谈》（沈燮昌）.pdf 《从抛物线谈起——混沌动力学引论》..pdf 《微积分学教程》（菲赫金哥尔茨天元那套，第8版，分第一卷，第二卷，第三卷）《微积分和数学分析引论》（柯朗，约翰分第一卷，第二卷）《数学分析中的问题和定理》（波利亚分第一卷，第二卷）《数学分析原理》(菲赫金哥尔茨分第一卷，第二卷) 《数学分析原理》(Rudin) 《Rudin数学分析原理答案》.pdf 《无穷分析引论》（欧拉经典巨著）.pdf <《无穷分析引论》赏析>.pdf. 《高等数学引论》（华罗庚分1，2，3，4四个部分）《高等数学引论余篇》（华罗庚）.pdf 《数学的发现》（波利亚分第一卷，第二卷）
点集拓扑讲义部分答案 P73 第2.1节 3．设(),X ρ是一个 的度量空间,证明: (1) X 的每一个子集都是开集; (2) 如果Y 也是一个度量空间,则任何映射:f X Y →都是连续的. 证 (1) 对任意的A X ⊂和任意顶的x A ∈,取1 4 ε=,则(){},B x x A ε=⊂,所以A 是开集. (2) 设:f X Y →为任一映射,U ∈T Y ,由(1)知,()1f U -∈T X ,所以,f 是连续映 射. 6.从殴氏平面 2 到实数空间 的映射2 ,: m s → 定义为对任何()12,x x x =， (){}()1212max ,,m x x x s x x x ==+ 证明m 和s 都是连续函数。（提示：分别用 2 的度量1ρ和2ρ（参见第5题）.） 证 先证m 是连续映射.设()2 12,x x x =∈ 是任意一点,对任意的0ε>,对任意 ()2 12,y y y =∈ ,因为 (){}{}{}()()111221212,max ,max ,max ,x y x y x y x x y y m x m y ρ=--≥-=- (其中1ρ是习题5中定义的 2 的度量),故()()()() ,,m B x B m x εε⊂,即m 在2 x ∈ 对于 2 的度量1ρ而言是连续的,由于2 x ∈ 是任意的,从而对于 2 的度量1ρ而言连续.由习 题5的结论知,m 对于2 的度量ρ而言是连续的. 下面再证s 是连续映射.设()2 12,x x x =∈ 是任意一点,对任意的0ε>,对任意 ()2 12,y y y =∈ ,因为 ()()()()()211221212,x y x y x y x x y y s x s y ρ=-+-≥+-+=- (其中2ρ是习题5中定义的 2 的度量),故()()()() ,,s B x B s x εε⊂,即s 在2 x ∈ 对于 2 的度量2ρ而言是连续的,由于2 x ∈ 是任意的,从而对于 2 的度量2ρ而言连续.由习 题5的结论知,s 对于2 的度量ρ而言是连续的.
“点集拓扑学”课程教学大纲 课程编号：08021050 课程名称：点集拓扑学/ General topology 学时：32学时学分：2学分 适用专业：数学与应用数学开课学期：第6学期 开课部门：数学与计算机科学学院 先修课程：数学分析 课程考核： (1)考核形式：平时作业、考勤和期末考试（闭卷考试，百分制成绩） (2)成绩计算：课程成绩按百分制计算，其中期末试卷考试成绩占70%，平时作业、课堂考核占30%。 使用教材及主要参考书： 熊金城编著，《点集拓扑讲义》第四版，高等教育出版社，2011年 一、课程的性质和任务 《点集拓扑学》是数学与应用数学专业的专业选修课程，是数学专业方向的重要课程，《点集拓扑学》是近、现代数学学习和研究的基础。通过本课程的学习，使学生初步掌握拓扑学的基本知识点。同时，通过点集拓扑学中基本理论知识，增强学生对几何学的了解，为后续课程学习和学生今后的进一步深造打下坚实的基础。 二、教学目的与要求 通过本课程的学习，使学生学生较好地掌握拓扑空间的定义、拓扑空间之间的同胚映射等；理解拓扑性质：连通性、分离性、可数性、紧致性、完备性等；为进一步在数学领域深造及学习本学科的前沿知识打下基础，同时培养学生的抽象思维，逻辑推理能力以及研究与解决数学问题的能力。 四、教学中应注意的问题 本课程以课堂讲授为主，精讲多练，注重理论联系实际。各章中平行的内容可安排学生自学，以提高学生独立思考和解决问题的能力。 《点集拓扑学》课程涉及的概念较多，解题方法灵活多样，更需要分析和
解决问题的能力，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，基本方法的运用，从而达到理解、掌握所学知识的目的。因此独立完成作业是学好本课程的重要手段。在教学中，通过习题的布置，使学生深入理解基本原理及概念，提高分析和解决问题的能力。 五、课程教学内容 第一章拓扑空间与连续映射 1. 教学基本内容 （1）拓扑空间的定义； （2）拓扑空间上的连续映射、同胚； （3）拓扑空间的性质：邻域、基、子基、导基、闭包等。 2. 教学基本要求 （1）理解拓扑空间的定义； （2）理解拓扑空间上的连续映射、同胚； （3）掌握拓扑空间中邻域、基、子基、导基、闭包等的意义； 3. 教学重点与难点 （1）教学重点：理解拓扑空间的定义； （2）教学难点：掌握拓扑空间中邻域、基、子基、导基、闭包等。 4. 教学建议 本章内容以课堂讲授为主，强调学生课前自习，在课堂中组织学生进行讨论。 . 第二章连通性与分离性 1. 教学基本内容 （1）连通性：定义、连通分支、道路连通、局部连通的判定； （2）分离性：第一可数性公理与第二可数性公理、分离性公理； 2. 教学基本要求 （1）理解连通性的定义； （2）掌握连通分支的判定； （3）掌握道路连通、局部连通的判定； （4）掌握第一可数性公理与第二可数性公； （5）掌握分离性公理。 3. 教学重点与难点 （1）教学重点：掌握连通分支的判定； （2）教学难点：掌握分离性公理。 4. 教学建议
点集拓扑学教案 为聊城大学数学科学学院数学与应用数学专业三年级本科生开设《点集拓扑》课程。 按熊金城《点集拓扑讲义》(第三版, 北京: 高等教育出版社, 2003)第一至七章编写的教案。 本科生授课 64学时，教学内容与进度安排如下：
第一章 朴素集合论 点集拓扑学(Point-set Topology)现称一般拓扑学(General Topology), 它的起源与出发点都是 集合论. 作为基本的点集拓扑学知识, 所需的只是一些朴素集合论的预备知识. 本章介绍本书中 要用到的一些集合论内容, 主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选择公理等. 作为一教材, 讲义对各部分内容均有较系统的论述 , 作为授课, 我们只强调一些基本内容, 而对 已有过了解的知识不提或少提. 记号: Z, Z +, R, Q 分别表示整数集, 正整数集, 实数集和有理数集. 教学重点：集合的基本概念、运算，映射的概念；教学难点：选择公理 一. 集合的运算 幂集 P )(X , 交∩ 、并∪、差－(补, 余/ ,A A c ). 运算律: De Morgan 律: (1) C)-(A B)-(A C)(B -A ⋂=⋃. (2) C)-(A B)-(A C) (B -A ⋃=⋂A-(B ∩ C)=(A-B)∪(A-C) 利用集合的包含关系证明(1). 类似可定义任意有限个集的交或并, 如记 Y Y n i n i i i n n n A A A A A A A A ≤=-==⋃⋃⋃=⋃⋃⋃11121)...(...A i . 规定 0 个集之并是 φ, 不用 0 个集之交. 二. 关系 R 是集合X 的一个关系, 即R y x X X R ∈⨯⊂),(,记为 xRy , 称 x 与 y 是 R 相关的. R 称为自反的, 若X x ∈∀, xRx; R 称为对称的, 若 xRy, 则 yRx; R 称为传递的, 若 xRy, yRz, 则 xRz. 等价关系: 自反、对称、传递的关系.
拓扑学尤承业答案 【篇一：点集拓扑学】 工业大学数学学院 预备知识 1.点集拓扑的定义 《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学 专业的理论课。是数学与应用数学专业的主干课。点集拓扑学 （point set topology），有时也被称为一般拓扑学（general topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定 义在其上的数学构造的基本性质。这一分支起源于以下几个领域： 对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及 早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上 抓住了所有的对连续性的直观认识。 2.点集拓扑的起源 点集拓扑学产生于19世纪。g.康托尔建立了集合论，定义了欧几里 得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结 构的重要结果。1906年m.-r.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。 3.一些参考书籍 （1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版（2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月 第一版（3）《一版拓扑学讲义》，彭良雪，科学出版社，2011年 2月第一版 2 第一章集合论初步 在这一章中我们介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的 “集合”和“元素”两个概念出发给出集合运算、关系、映射以及集合 的基数等方面的知识等。 这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，这对大部分读者已 经是足够了．那些对集合的理论有进一步需求的读者，例如打算研 究集合论本身或者打算研究数理逻辑的读者，建议他们去研读有关 公理集合论的专著。 1.1 集合的基本概念
通识拓扑学精要知到章节测试答案智慧树2023年最新牡丹江师范学院第一章测试 1.拓扑学的分支主要有（）。 参考答案: 微分拓扑;点集拓扑;几何拓扑;代数拓扑 2.欧拉示性数相同的几何对象有（）。 参考答案: 球面;正六面体;正四面体 3.拓扑学家眼中的圆周可以是下列哪些几何对象？（） 参考答案: 四边形;三角形;六边形 4.下列曲面是单侧曲面的为（）。 参考答案: 莫比乌斯带;克莱因瓶
5.下列语句正确的为（）。 参考答案: 子集B在映射下的原像的像是B的子集;集合在映射下的交的像是像的交的子集;集合在映射下的原像保持交、并、补、差运算;集合在映射下的并的像等于像的并 6.下列语句错误的为（）。 参考答案: 并的补等于补的并 7.下列语句错误的为（）。 参考答案: 子集A的像的原像等于A 8.下列关系不是等价关系的为（）。 参考答案: 朋友关系 9.下列不是等价类的为（）。 参考答案: 整数
10.下列集合可以利用笛卡尔积构造得到的是（）。 参考答案: 平面点集 第二章测试 1.设是拓扑空间，则下列论述中正确的是（）。 参考答案: 若，则 2.已知，拓扑，则为（）。 参考答案: 3.在实数空间中，以下集合为闭集的是（）。 参考答案: 整数集
4.设和是两个拓扑空间，为映射，则以下判定连续的准则 错误的是（）。 参考答案: 对于任意子集，有成立. 5.设，拓扑，则的既开又闭的非空真子集 的个数为（）。 参考答案: 2 6.设和是两个拓扑空间，是的一个子集，则下列错误的是（）。 参考答案: 是一个连续映射，则不一定是一个连续映射 7.下列说法错误的是（）。 参考答案: 连续映射是开映射 8.设，令 ,则由产生的上的拓扑是 （）。
《点集拓扑学》复习题 《点集拓扑》复习题 一、概念叙述 1、拓扑空间 2、邻域、邻域系 3、集合A 的凝聚点 4、闭包 5、基子基 6、子空间 7、（有限）积空间 8、隔离子集 9、连通集 10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间 13、1A 空间14、2A 空间15、可分空间16、Lindeloff 空间17、i T 空间（1,2,3,4i =） 18、正则空间 19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间 22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间二、判断题 1、有限集不可能有聚点（） 2、拓扑空间X 的子集A 是闭集的充要条件是A A = （） 3、如果A B ?≠?，则A B A B ?=? （） 4、设Y 是拓扑空间X 的子空间，A 是Y 的子集，则A 在Y 中的导集是A 在X 中的导集与Y 的交。（）５、若:f X Y →是同胚映射，则()f X Y = （）６、离散空间中任意子集的导集都是空集（）７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集（）８、度量空间必是2A 空间（）９、在l R 中，(],a b 是开集（） １０、映射:f X Y →是连续映射的?若拓扑空间Ｘ中序列{}i x 收敛于 x X ∈，则扑拓空间Ｙ中相应序列(){}i f x 收敛于()f x （） １１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则Y C ? （）１２、2A 空间必为可分空间（）１３、正则且正规空
间必为0T 空间（）１４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集（）１５、设Ｘ是一个拓扑空间，A X ?，则点x 是集合Ａ的一个凝聚点 在{}A x -中有一个序列收敛于x （） １６、度量空间也是拓扑空间（） １７、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间（） １８、拓扑空间X 是一个连通空间当且仅当X 中不存在既开又闭的非空真子集. ( ) 19、若拓扑空间中的子集A 是连通集，则它的闭包A 也是一个连通集。 20、设A 、B 是拓扑空间X 中的两个连通子集，则A B ?也是X 的一个连通子集（） 21、如果A 、B 是拓扑空间X 中两个不交的开子集，则A 、B 必是X 中隔离子集（） 22、拓扑空间的可分性是一个可遗传性（）23、正规空间必是Hausdorff 空间（） 24、在一个紧致的2T 空间中，一个集合是紧致子集?它是一个闭集 （） 25、紧空间必是Lindel ǒf 空间（） 26、度量空间中紧致集必是有界闭集（） 27、正则空间必是Hausdorff 空间（） 28、设12X X X =?是空间1X 、2X 的积空间，A 1X ?,2B X ?分别是1X 、2X 中闭集（） 29、设A 、B 是拓扑空间X 中两个子集，并且A B ?≠?，则有 ()()()d A B d A d B ?=? （） 30、若拓扑空间X 是连通空间，则X 必是局部连通空间（）三、填空 1、设:f X Y →是同胚映射，则f 必是一一映射，并且和都是 连续的。
选择公理定义:：设X是一个築合。记兗为X中的所有非空子集构成的集族，即壬二软X)—如果一个映射 f ：—X满足条件：对于任意有£(A)G A，则此映射£称为集合X的一个选择函数。任何一个函数都有选择函数就是选择公理. 1 •设X和Y是两个集合。证明：cardY % 选择公理定义： 设 X 是一个集合。 记 X 为 X 中 的 所 有 非 空 子 集 构 成 的 集 族 ， 即 % (X ) { } 。 如 果 一 个 映 射 ： X % X 满足条件：对于任意 A % X X ，有 ( A) A ，则此映射 称为集合 X 的一个 选择函数。 任何一个函数都有选择函数就是选择公理。 1.设 X 和 Y 是两个集合。 证明： cardY cardX 当且仅当存在一个从 X 到 Y 的满射。 证：设 cardY cardX ，即存在一个 Y 到 X 的 一 一 映 射 f ， 定 义 g ： X Y ， 使 g( x) f 1 (x) 当 x f (Y) y 0 当 x 其中 y 0 为 Y f (Y) 中一固定元，则 g 是从 X 到 Y 上的映射。 反之，若存在从 X 到 Y 上的映射 g ，记 { A y : y Y, g 1 ( y) A y } 则 是 X 中 非空族，并且 中成员两两无交， 由 Zermelo 假 定 存 在 集 合 C X ， 使 得 对 于 每 一 A ， A C 是单点集，所以存在 C 到 Y 上的一一映射，即 C c Y ，又 C c Y ，故 Y c X 。 2.设 T 1 和 T 2 是集合 X 的两个拓扑。证明 T 1 T 2 也是集合 X 的拓扑。举例说明 T 1 T 2 可以不是 X 的拓扑。 证 ： 若 T 1 ， T 2 都 是 X 的 拓 扑 ， 由 于 , X T 1 ,T 2 ， 所以 , X T 1 I T 2 ； 任 意 A, B T 1 I T 2 , 即 A, B T 1,T 2 ， 所 以 A I B T 1 I T 2 ， 任 意 T T 1 I T 2 ， 即 T T 1 ,T 2 ， 即 ， 则 U A T 1 ,T 2 ， 所 以 A T U A T 1 I T 2 ，因此 T 1 I T 2 是 X 的拓扑。 A T 例 ： 设 X { a,b, c} ， T 1 ={{a} ，{b,c}, {a,b,c}, } ， T 2 ={{b} ，{a,c},{a,b,c}, } 易 见 T 1 ,T 2 都 是 X 的 拓 扑 ， 但 T 1 U T 2 {{a} ，{a,c},{b,c},{a,b,c}, } ，而 { a},{ b} T 1 U T 2 ， { a,b} { a} U { b} T 1 UT 2 ，因此 T 1 U T 2 不是 X 的拓扑。 3.设 ( X ,T ) 是一个拓扑空间， 其中 是任何 一个不属于 X 的元素。令 X X U { } ， T T U { X } 。证明 (X ,T ) 是一个拓扑空 间。 证：显然 , X T ；任意 A, B T ，若 A ， B 中有一个为 X ，显然 A I B T ；若 A, B T ， 则 A I B T T ， 故 总 有 A I B T ；任意 T 1 T ，若 X T 1 ，则 U A X T ；若 X T 1 ，即 T 1 T ， A T 1 也有 U A T T ，故总有 U A T ，所 A T 1 A T 1 以 ( X ,T ) 为拓扑空间。 4. 证 明 实 数 集 R 有 一 个 拓 扑 以 集 族 {[a,+ ) a R} U {( , b] b R} 为它的 一个基，并说明这个拓扑的特点。 证 ： 记 P {( , a]: a R} U {[ b, ) : b R} 。 因 为 R U S T S ( , a] U [a,+ ) R 。所以 U S T S ，由定理知，存 在 R 的唯一拓扑 T 以 P 为子基。任意 x R ， 因 为 ( , x] ， [ x,+ ) P T 所 以 { x} ( , x] I [ x,+ ) T ，即 R 的每一单 点集皆为开集，因此 T 是 R 的离散拓扑。 5.如果 Y 是拓扑空间 X 的一个开子集，则 Y 作为 X 的子空间时特别称为 X 的开子空间。 证明：（ 1）如果 Y 是拓扑空间 X 的一个开子 空间，则 A Y 是 Y 中的一个开集当且仅当 A 是 X 的一个开集。 证：设 Y 为 X 的开子空间， A X ，则 A A I Y 为 Y 的开集；反之，若 A 为 Y 的 开集，则存在 X 的开集 B 使 A B I Y ，而 Y 为 X 的开集，所以 A 为 X 的开集。 有限补空间。 设 X 是一个集合。首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时， 我们并不是 每次提起。因此在后文中对于 X 的每一个子 集 A ， 它 的 补 集 我 们 写 为 A ' 。 令 T = U X ∣ U 先验证 T 是 X 的一个拓扑： （ 1） X T ， 因为 X ' = ；另外，根据定义便有 T 。 （ 2）设 A, B T ，如果 A, B 之中有一个是 空集，则 A I B T 。假定 A, B 都不是 ’ ‘ ’ 空集。这时 （A I B ）=A U B 是 X 的一个 有限子集， 所以 A I B T 。（ 3）设 T 1 T 。 令 T 2 T 1 。显然有 U A= U A 如果 A T 1 A T 2 T 2 = ， 则 U A= U A T , 设 A T 1 A T 2 T 2 。 任 意 选 取 A 0 T 2 。 这 时点集拓扑(答案).docx
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