点集拓扑知识点
【篇一：点集拓扑知识点】
第二章拓扑空间 2.1 拓扑空间的概念 2.1.1 拓扑定义2.1.1 的一子集族。如果t满足：上的离散拓扑；典型拓扑：余有限拓扑、余可数
拓扑、有心拓扑、去心拓扑定义2.1.2 的子空间拓扑或相对拓扑：
母空间的开集交上y即可。
定义2.1.3 )是拓扑空间，是x上的等价关系，等价类的集合为叫商
空间。下面证明上拓扑。(1)由于拓扑t对有限交封闭有，，类似地，由拓扑t对任意并封闭上拓扑。定理2.1.1 ；（2）有限并封闭；（3）任意交封闭。定理2.1.2 作为子空间的闭集族。
2.1.2 领域系定义2.1.5 的开领域。定义2.1.6 是拓扑空间，如果a
内存在x 的领域。注解：由拓扑定义中，有限交封闭和任意闭封闭，有限开领域(或领域)交集仍为开领域(或领域)，任意开领域(或领域)
并集仍为开领域(或领域)。
注解：不同的度量可能诱导相同的拓扑；如前面的度量是不同度量，但诱导出相同拓扑。
定义2.1.9 上的拓扑，如果存在x上的一个度量d，使得d 的诱导拓
扑是可度量化的拓扑。注解：集合x 上的每个度量可诱导拓扑，但
每一拓扑不一定由度量诱导。
例：离散拓扑是可度量化的拓扑，由离散度量诱导，因为单点集是
开球；有限拓扑可度量化该拓扑为离散拓扑。即非离散有限拓扑不
可度量化； 2.2 拓扑基和子基 2.2.1 拓扑基在欧式空间中，开球时
最简单的开集，而且任何开集可由开球作并运算得到，但在非度量
诱导的拓扑空间中没有球的概念，为了弥补这一缺陷，引进拓扑基。定义2.2.1 的一个拓扑基，而拓扑基的成员叫基开集。注解：显然t
是自己的一个基；如果b 例：离散拓扑空间，所有单点集构成拓扑基；由度量诱导的拓扑空间，所有开球构成拓扑基，实际上，以有
理数为半径的球族也是拓扑基。
给定一集合，下面介绍一种判别它是否是拓扑基的方法：定理2.2.1 不是拓扑基。其实，假设b是拓扑不能由b中某些成员之并，或者
说它不满足上述定理的条件。
因而可以得到一种判别集合a 是开集的方法：定理2.2.2 给一集合，要求它是拓扑基，找出这个唯一拓扑：定理2.2.3 的一个子集族，则
x上存在唯一拓扑t ，根据定理2.2.3知它是r 上某个拓扑的基，称
为r 的上限拓扑；类似的有下限拓扑和通常拓扑。注：通常拓扑比上限拓扑和下限拓扑都粗。因为开区间是一族半开半闭的并。
维欧式空间r的积空间，即上的积拓扑。证明：也就是要证明二者
的拓扑基相等。设的基。根据定理2.2.1判别拓扑基的方法来证，
即a a，存在以x为中心，以某个正数r 2.2.2拓扑子基定义2.2.3
的子集族，若??的所有有限交构成t 是拓扑t的拓扑子基。
注解:拓扑基一定是拓扑子基；一维欧式空间r 通常拓扑的拓扑子基
是所有的形如(a, 的区间构成的集族；二维欧式空间r 通常拓扑的拓
扑子基是所有的平行于坐标轴的带形区域(不含边界)所构成的集族。
以这个集族为拓扑子基的拓扑是唯一的。
定理2.2.4 是非空集x的一子集族，则x 上存在唯一拓扑以它为拓扑子基。
生成的基是b={{1},{1，2},{1，3},x}，由b 生成的拓扑是
={{1},{1,2},{1,3}{1,2,3},,x}。2.2.3 可数公理定义2.2.4 处的局部基。例：设(x,d)是度量空间，x 限制为正有理数也可以)。
下面给出一种找点x 局部基的方法：定理2.2.5 的局部基。也就是说，含x 的所有开领域构成x 的局部基(由领域的定义即得)。
定理2.2.6 注解：证明提示：根据定理2.2.2 和局部基定义。上面两
个定理中，前者从拓扑基中找局部基；后者将所有局部基并起来就
构成拓扑基。
定义2.2.6 如果x 的所有点x 处有可数局部基，则称x 是第一可数
空间(或注解：第一可数当且仅当每一点有可数开局部基；第二可数
空间一定是第一可数空间（根据定理2.2.5）；例：由上个例题知，
度量空间是第一可数空间；维欧式空间是第二可数的。因为以有理
点为中心、以有理数为半径的球族。定理2.2.7 ，存在x的可数开局部，称为规范局部基。证明：设{ 2.3闭包、内部和边界定义2.3.1
的每个领域u满足集合a的所有聚点组成的集合叫a 的导集，记为
的孤立点；如果存在x 的领域u 使得u 的所有内点构成的集合叫a
的内部，记为是不可数的余可数拓扑空间，a是它的不可数子集，
则每个局部领域u满足和中将领域换成开领域也行。特殊地，若x
是度量空间，则从而存在x的领域u 仍是x的领域且注解：由上述
定理中知，a是闭集；上述两定理中对任意并不一定成立，如上述
两定理中对有限交也不一定成立，如a=(-1,0),b=(0,1)定理2.3.4 是
包含于a的最大开集；a是包含a 的最小闭集。
注解：说明是包含于a的所有开集之并；a是包含a 的所有闭集之交。
下面是一些常用的集合结论：是拓扑空间x的子空间，a 小结：本
章从拓扑定义出发，由度量诱导的拓扑中开球，引出拓扑基、拓扑
子基及局部基。拓扑基与局部基联系在于局部与整体的关系，将整
体“打碎”就是局部，将局部“粘”在一起就是整体。
根据“点”与“集合”的关系：聚点、孤立点、边界点和内点，产生了
一些新的集合：导集、闭包、边界和内部。
第三章连续映射 3.1 连续映射与同胚 3.1.1 连续映射定义3.1.1 连续。注：定义中“领域”可换成“开领域”或“局部基领域”或“开局部基
领域”。
例：（1）离散拓扑空间任一拓扑空间的任意映射是连续的；（2）
任一拓扑空间平庸拓扑空间的任意映射是连续的。
定理3.1.1 注：其实“连续”的定义来源于（2），见教材p27 练习的
习题9。证明中用到的关系：定理3.1.2连续映射的复合映射是连
续的，即：如果）为恒等映射，则id 连续的充要条件：都是连续的；证明：的连续性有，x中存在中的领域v，则在y中必存在的连续
性有，x中存在x 的领域u 的一领域，得证！（3）商投影与有限积
投影都是连续的证明：商投影：设（x，t ）为拓扑空间，定义x 上
的一个等价关系，从x 到等价类集合的映射为商投影，其中等价类
集合中的拓扑为：，此拓扑刚好就是开集的原像是开集。3.1.2 为映射。如果f 为开映射（闭映射）。注:同胚关系为等价关系。
定理3.1.4 是连续的闭映射。例：同一集合上的两个不同拓扑间的恒
等映射id，id 同胚的充要条件：两个拓扑相同。
3.1.3 焊接引理定理3.1.5 是Ｘ的闭集＋∧有限集，则ｆ连续。证明：（１）作映射，则此定义的映射是合理的。假设还存在映射（３）
类似地，证任意闭集的原像集是闭集，而闭集对有限并封闭，故要
求∧有限集。
注解：引理中（２）中的“开集”条件与（3）中的“有限”条件都不能
去掉。
满足焊接引理条件，因此定义，在(0,1]上为恒等映射，在 3.2由函
数诱导的拓扑、任意积拓扑 3.2.1 函数诱导的拓扑定义3.2.1设{ 为
一族映射。把所有y 中的开集的原像集作一集族，以这一集族为拓
扑子基的拓扑就叫由函数族{ 诱导的拓扑，其中这一集族叫做这一拓
扑的定义子基。回顾：拓扑子基：设x 为一拓扑空间，拿出所有开
