2012年下概率论试卷

东莞理工学院（本科）试卷（C 卷）2011 --2012 学年第二学期《概率论与数理统计》试卷（答案）开课单位：计算机学院数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 计算器 入场一、填空题（共70分 每空21、已知()0.4,()0.5,()0.4,P A P B P A B ===则)(B A P ＝ 0.7 。

2、已知3.0)(7.0)(=-=B A P A P ，，则)(B A P ＝ 0.6 。

3、甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6 和0.5，现已知目标被命中，则它是乙射中的概率是 85 4、一批产品共有6件正品2件次品，从中不放回任取两件，则两件都是正品的概率为 2815 5、某种动物活到25岁以上的概率为0.8，活到30岁的概率为0.4，则现年25岁的这种动物活到30岁以上的概率是 0.5 。

6、设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们被损坏而发生断路概率均为p ，则电路发生断路的概率是 3)1(1p --。

7、已知某对夫妇有三个小孩，则男孩的个数Y 服从的分布为 )5.0 ,3(B ，恰有两个男孩的概率为83，在已知至少有一个女孩的条件下，至少还有一个男孩的概率为76。

8、已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由A B 、的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，则该产品是次品的概率为 1.4% ；若随机地从这批产品中抽出一件，检验出为次品，则该次品属于A 厂生产的概率是 73 9、指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。

设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为⎩⎨⎧>=-其它 ,00 ,002.0)(002.0t e t f t 则这种电器没有用到1000小时就坏掉的概率为21--e ，这种电器的寿命的标准差为 500 小时。

10、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，}1{}2{===X P X P ，则=EX 2。

第 1 页 共 3 页一、单项选择题（每小题3分，共21分）1．对于事件B A ,，若∅=B A ，则下列说法中正确的是 （ ） A 、B A ,为对立事件B 、0)(=A P 或0)(=B PC 、B A ,互不相容D 、B A ,独立2．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列说法中错误的是 （ ） A 、)(x F 是不减函数B 、)(x F 必为),(+∞-∞上的连续函数C 、0)(=-∞FD 、1)(≤x F3．设连续型二维随机变量的联合概率密度函数为),(y x f ，则必有 （ ）A 、1),(0≤≤y x fB 、),(y x f 为xOy 平面上的连续函数C 、1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f D 、1),(=+∞+∞f4．设Y X ,是两个随机变量，则下式中一定成立的是 （ ）A 、)()()(Y E X E Y X E +=+B 、)()()(Y E X E XY E =C 、)()()(YD X D Y X D +=+ D 、)()()(Y D X D XY D =5．随机变量 n X X X ,,,21 相互独立，服从同一分布，且具有期望和方差，0)(,)(2>==σμk k X D X E ，当n 充分大时，近似服从)1,0(N 的是 （ ）A 、σμn n Xnk k∑=-1B 、21σμn n Xnk k∑=-C 、σμn n Xnk k∑=-1D 、21σμn n Xnk k∑=-6．设4321,,,X X X X 是来自均值为θ的指数分布的样本，其中θ未知， 以下估计量中哪个不是θ的无偏估计量？ （ ） A 、443211X X X X T +++=B 、722343211X X X X T +++=C 、3643211X X X X T +++=D 、5243211X X X X T +++= 7．对于一个原假设为0H 的假设检验问题，有可能犯的第一类错误是指（ ）A 、0H 成立时，检验结果接受0HB 、0H 成立时，检验结果拒绝0HC 、0H 不成立时，检验结果接受0HD 、0H 不成立时，检验结果拒绝0H二、填空题（每小题3分，共24分）1．设C B A ,,为三个事件，则事件“C B A ,,都不发生” 可以用C B A ,,的运算关系表示为 ．2．10片药片中有5片是安慰剂，从中任取2片，其中至少有1片是安慰剂的概率为 ．3．三人独立地去破译一份密码，各人能译出的概率分别为3.0,2.0,1.0， 三人中至少有一人能将此密码译出的概率为 ．第 2 页 共 3 页4．一射击运动员每次射击命中的概率为7.0，以X 表示他首次命中时 累计已射击的次数，则{}3=X P 为 ．5．随机变量X 在4,3,2,1中等可能地取一个值，随机变量Y 在X ~1中 等可能地取一个整数值，则{}4=Y P 为 ． 6．随机变量)2,0(~U X ，则=)(X D ． 7．总体)6(~2χX ，1021,,,X X X 是来自X 的样本，则=)(X D．8．设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，X 是样本均值， 则~X ．三、解答题（第1题8分，第2题9分，共17分）1．对以往的数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为80%，而当机器发生某种故障时，产品的合格率为30%．每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为90%．（1）求每天早上第一件产品是合格品的概率；（2）若某天早上第一件产品是合格品，求此时机器调整良好的概率．2．设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=其它,031,10,1)(x kxx xx f（1）确定常数k ； （2）求()20<<X P ．四、解答题（第1题10分，第2题10分，共20分）1．设随机变量X 与Y 的联合分布律为 求：（1）常数a 值；（2）X 与Y 是否独立？为什么？(3) 设Y X Z +=，求Z 的分布律．第 3 页 共 3 页X （以年计）服从指数分布，概率密度为⎪⎪≤>-0,00,313x x e x．1000800元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望．五、解答题（第1题8分，第2题10分，共18分）X 具有分布律 )1<<θ为未知参数．,2,1,3321===x x x 求θ的矩估计值．2．某批铁矿石的9个样品中的含铁量，经测定为（%）35 36 36 38 38 39 39 40 41设测定值总体服从正态分布，但参数均未知， （1）求样本均值和样本标准差；（2）在01.0=α下能否接受假设：这批铁矿石的含铁量的均值为39%？ （3554.3)8(005.0=t ）。

概率论与数理统计练习一一、选择题（本大题共7 小题，每小题 3 分，共 21 分）1. 设A ，B 为随机事件, 若P (A )=P (B )>0.5, 则 （ ）(A) A ，B 互不相容； (B) A ，B 非互不相容； (C) A ，B 相互独立； (D) A ，B 非相互独立.2.设2(,4)X N μ ，2(,5)Y N μ ，1(4)p P X μ=≤- ，2(5)p P Y μ=≥+，则（ ）(A) 对任意实数μ，都有12p p =； (B) 对任意实数μ，都有12p p <； (C) 只对μ的个别值，才有12p p = ； (D) 对任意实数μ，都有12p p >；3.己知随机变量X 服从区间[5,10]上的均匀分布, 则 （ ） (A) 2(9)0.3P X <= ； (B) 2(9)0.15P X <=； (C) 2(9)0P X ≤= ； (D)｛7X =｝是不可能事件. 4．对随机变量X ，关于EX ，EX 2合适的值为 （ ） (A)3，8 (B) 3， 10 (C) 3，-8 (D) 3，-105. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则22X Y +服从( )(A) 自由度为1的2χ分布； (B) 自由度为2的2χ分布； (C) 自由度为1的F 分布；(D) 自由度为2的F 分布.6. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ，D (X )=2σ，则有 ( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计量；(B)1233X X X ++是μ的无偏估计量；(C) 22X 是2σ的无偏估计量；(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是2σ的无偏估计量.7. 设总体X 服从二项分布),1(p B ，n X X ,,1 是来自总体X 的一个样本，则)(nkX P ==（ ）。

（A ）p （B ）p -1（C ）k n k k n p p C --)1( （D ）k n k kn p p C --)1(.二、填空题（本大题共7小题，每小题 3 分，共 21 分）1．设()P λX （泊松分布），且()(1)21E X X --=⎡⎤⎣⎦，则λ= .2.设X的概率密度为2()x f x -=，则()E X = ，()D X ＝ . 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=A α，P(B)=0.3，P(A B)=0.7 ，则α= .4．已知随机变量X 与Y 的联合分布律为 则(1)P X Y +== .5. 设X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<≤<=5.1,15.11,2110,20,0)(x x x x xx x F ，则=≤<}3.14.0{X P 。

暨 南 大 学 考 试 试 卷 答 案得分 评阅人 一、 选择题（共10小题，每小题2分，共20分,请将答案写在答题框内）题号12 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C BBDBABADC1．设、、为三个事件，则事件“、、中恰有两个发生”可表示为( C ). A ．； B.； C.； D.2.. 设在 Bernoulli 试验中,每次试验成功的概率为，重复独立进行3 次试验, 至少失败一次的概率为 ( B ). A. ; B. ;C.; D..教 师填 写2011 - 2012 学年度 第 二 学期 课程名称：《 概率论与数理统计 》（内招）授课教师姓名：黄颖强、范旭乾、张培爱、邱青、 刘春光、王文杰、夏良辉 考试时间: 2012年 7 月 6 日课程类别必修[ √] 选修[ ] 考试方式开卷[ ] 闭卷[ √ ]试卷类别[ A ] 共 7 页考生填写)级(班 专业 ) 校(学院[ ]外招] √[内招 学号 姓名题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分得 分3. 设是相互独立且具有相同分布的随机变量序列, 若,方差存在,则( B ).A. B. C. D. .4. 设随机变量X的概率密度为, 则方差D(X)= ( D )A. 9；B. 3；C. ；D. .5. 设随机变量的概率密度函数，则的概率密度函数为（ B ）．A． B． C．D．6. 设且，则（ A ）A．0.15 B. 0.30 C. 0.45 D. 0.67．设，则（ B ）（设）．A． B． C． D．8．设总体，其中未知，为来自总体X的一个样本，则以下关于的四个无偏估计：=，中，哪一个最有效？（A ）A．；B．；C．；D．9. 设为总体的一个样本,为样本均值,, 则下列结论中正确的是 ( D ).A. ；B. ；C. ；D. .10. 在假设检验中,记为原假设，则犯第一类错误指的是（ C ）.A. 正确，接受；B. 不正确，拒绝；C. 正确，拒绝；D. 不正确，接受得分评阅人二、填空题（共9小题, 每空3分, 共30分, 请将答案写在答题框内）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9答案6/7 55 19 2/9, 1/9 3/4 0.5=1/1. 假设是两个相互独立的事件, 若则.2.若,则它的概率函数在 55 取得最大值.3.若则19 .4.设，的联合分布律为X1 2Y123且X，Y相互独立，则=，.5. 设由切比雪夫不等式知.6. 设是次独立试验中事件发生的次数，是事件在每次试验中发生的概率，则= 0.5 .7. 若随机变量相互独立, 且则.8. 若随机变量, 则.9. 设总体的分布密度为, 现从中抽取个样本, 测得观测值分别为, 则参数的最大似然估计为.得分评阅人三、计算题（共 5 小题，每小题9分，共45分）1.甲罐中有一个白球，二个黑球，乙罐中有一个白球，四个黑球，现掷一枚均匀的硬币，如果得正面就从甲罐中任取一球，如果得反面就从乙罐中任取一球，若已知取的球是白球，试求此球是甲罐中取出的概率。

重庆大学概率论与数理统计课程试卷A卷B卷2012 ~2013 学年 第 二 学期开课学院： 数统学院 课程号：10029830 考试日期：考试方式：开卷闭卷 其他 考试时间： 120分钟分位数：220.0050.975(39)20,(39)58.12χχ==，0.975 1.96u =，(2.68)0.9963,(1.79)0.9633Φ=Φ=，0.025(35) 2.0301t =一、填空题（每空3分，共42分）1.已知()0.3P A =，()0.4P B =，()0.5P AB =，则()P B A B ⋃= 0.25 。

2.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复），则取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率为 0.602 。

3.从1到9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，则取出的3个数之积能被10整除的概率为 0.214 。

4.一个有5个选项的考题，其中只有一个选择是正确的。

假定应 考人知道正确答案的概率为p 。

如果他最后选对了，则他确实知道答案的概率为541pp +。

5.重复抛一颗骰子5次得到点数为6 的次数记为X ，则(3)P X >= 13/3888 。

6.设X 服从泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则(4)P X ==0.0902 。

7.设圆的直径X 服从区间（0,1）上的均匀分布，则圆的面积Y 的密度函数为1//4()0 ,Y y f y elseπ⎧<<⎪=⎨⎪⎩。

8.已知(,)(1,9;0,16;0.5) ,32X YX Y N Z -=+且，则Z 的密度函数21()36z Z f --（z ）。

9.设总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，从该总体中抽取容量为40n =的样本1,240,,X X X ，则()222110.5 1.453nii P X X n σσ=⎧⎫≤-≤⎨⎬⎩⎭∑= 0.97。

10.设1,210,,X X X 是来自总体2(0,)XN σ的样本，则Y =服从 t(8) 。

2012年10月真题讲解一、前言学员朋友们，你们好！现在，对《全国2012年10月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题》进行必要的分析，并详细解答，供学员朋友们学习和应试参考。

三点建议：一是在听取本次串讲前，请对课本内容进行一次较全面的复习，以便取得最佳的听课效果；二是在听取本次串讲前，务必将本套试题独立地做一遍，以便了解试题考察的知识点，与以及个人对课程全部内容的掌握情况，有重点的听取本次串讲；三是，在听取串讲的过程中，对重点、难点的题目，应该反复多听几遍，探求解题规律，提高解题能力。

一点说明：本次串讲所使用的课本是2006年8月第一版。

二、考点分析1.总体印象对本套试题的总体印象是：内容比较常规，有的题目比较新鲜，个别题目难度稍大。

内容比较常规：① 概率分数偏高，共74分；统计分数只占26分，与今年7月的考题基本相同，以往考题的分数分布情况稍有不同；② 除《回归分析》仅占2分外，对课本中其他各章内容都有涉及；③几乎每道题都可以在课本上找到出处。

如果粗略的把题目难度划分为易、中、难三个等级，本套试题容易的题目约占24分，中等题目约占60分，稍偏难题目约占16分，包括计算量比较大额题目。

2.考点分布按照以往的分类方法：事件与概率约18分，一维随机变量（包括数字特征）约22分，二维随机变量（包括数字特征）约30分，大数定律4分，统计量及其分布6分，参数估计6分，假设检验12分，回归分析2分。

考点分布的柱状图如下三、试题详解选择题部分一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。

错涂、多涂或未涂均无分。

1.已知事件A，B，A∪B的概率分别为0.5，0.4，0.6，则P（A）=A.0.1B.0.2C.0.3D.0.5[答疑编号918150101]【答案】B【解析】因为，所以，而，所以，即；又由集合的加法公式P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B）=0.5+0.4-0.6=0.3，所以＝0.5－0.3＝0.2，故选择B.[快解] 用Venn图可以很快得到答案：【提示】1. 本题涉及集合的运算性质：（i）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA；（ii）结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C）,（AB）C=A（BC）；（iii）分配律：（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）；（iv）摩根律（对偶律）,.2.本题涉及互不相容事件的概念和性质：若事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为A∩B＝，且P（A∪B）=P（A）+P（B）.3.本题略难，如果考试时遇到本试题的情况，可先跳过此题，有剩余时间再考虑。

系别 专业 年级 姓名 学号┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈密┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈封┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈线┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈安阳师范学院 专 业 概率论与数理统计 课2011——2012学年度第二学期期末考查试卷(B 卷)一、判断题（在题前的括号内打√或×，每小题2分，共20分）（ ）1.若P (A )=1，则A 一定为必然事件. （ ）2.若P (A )=0,则A 与任何事件都相互独立. （ ）3.设ξ为随机变量,若()D ξ=0,则X 为常数．（ ）4.F (x )是随机变量的分布函数,则F (x )是x 的非增函数. （ ）5.若ξ与η相互独立，则ξ与η的相关系数0ρ=. （ ）6.如果随机变量~(20,0.3)b ξ，则() 4.2.D ξ=. （ ）7. 设~(1,2)N ξ-，则(1)0.5P ξ>=.（ ）8.若,)ξη（服从二维正态分布，且ξ与η不相关，则ξ与η一定相互独立. （ ）9.若ξ与η相互独立，且方差都存在，则()()D D ξηξη+=-.（ ）10.如果12,,ξξ…是相互独立，都服从参数为5的泊松分布，则01.051lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∑=∞→n k k n X n P .二、填空题（每小题2分，共２0分）1.在1个，求其为次品的概率 .2. 已知事件,A B 互不相容，则()P AB 的值是 .3.某家庭有两个小孩，已知该家至少有一个是女孩，则“此家另一个也是女孩”的概率为 .4设连续随机变量ξ的分布函数为20,0;(),01;1, 1.x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩则常数A= .5.设ξ为一随机变量，()2E ξ=-,2()5E ξ=，求(13)D ξ-= .6.设随机变量ξ～(5,9)N ，则c =_______时，()12P c ξ>=.7.设随机变量ξ与η相互独立，且(1,3)N ξ ，(2,4)N ξ ，235Z ξη=--，则()D Z = .8. 已知随机变量ξ的密度函数为;()0.xce x t p x x t -⎧>=⎨≤⎩ ，则常数c 为 .9.设ξ服从参数为2的泊松分布，32ηξ=-，则ov(,)C ξη= .10.已知随机变量ξ~N (0,1)，η~N (3,5)，且ξ与η相互独立，随机变量21Z ξη=-+，则Z ~_________.三、单项选择题 (每小题2分, 共10分)1. 设A 、B 、C 为三个相互独立的随机事件，且0<P(C)<1，则下列给定的事件中不相互独立的是（ ）（A ）C B A 与⋃ （B ）C AC 与 （C ）A-B 与C （D ）AB 与C2. 设随机变量,)~(3,2,4,9,0.5)N ξη（，则（ ）（A ）()6E ξη= （B ）()9E ξη= （C ）()12E ξη= （D ）()15E ξη=3. 设随机变量12,,,,n ξξξ 相互独立，根据辛钦大数定律，当n →+∞时，X 要是依概率收敛于其数学期望，需要随机变量序列{}n X 还满足（ ）（A ）有相同的数学期望 （B ）有相同的方差（C ）服从相同的分布 （D ）期望和方差均相同但未必服从相同分布4.下列n P 能成为概率分布（即分布列或分布律）的是（ ）（A ）1(2)n P n n =≥ （B ）1(1)(2)n P n n n =-≥ （C ）21(2)n P n n =≥ （D ）1(1)(2)n P n n n =+≥5. 设~(10)t η，则()E η=（ ）（A ）0 （B ）10 （C ）5（D ）20 四、计算题（每小题10分，共４0分）1. 设二维离散型随机变量(,)ξη的联合分布列为问其中α、β取何值时ξ与η相互独立？（10分）2. 设随机变量,)ξη（的密度函数为221,1(,)0,x y p x y π⎧+<⎪=⎨⎪⎩其他（！）求()X p x ,()Y p y （4分）；（2）判断ξ与η的独立性（2分）；（3）求ov(,)C ξη（4分）.3. 设随机变量,)ξη（的密度函数为()1(),0,0;(,)20,.x y x y ex y p x y -+⎧+>>⎪=⎨⎪⎩其它（1）问ξ与η是否相互独立； （2）求Z ξη=+的密度函数()Z p t .4．设某厂一车床生产的纽扣，据经验其直径服从正态分布2(,)N μσ，0σ未知．为了检验这一车床生产是否正常，现抽取容量37n =的子样，其子样均值26.56x =，29nS =且生产正常时026μμ==，而生产不正常时0μμ≠．要求在显著性水平0.05α=下检验生产是否正常（()()0.9750.9536 2.0281,36 1.6883t t ==）．（10分）五、证明题（每小题10分，共50分）设0()1,0()1P A P B <<<<，试证：A 与B 独立的充要条件是(|)(|)1P A B P A B +=．。

2012年概率论考研真题与答案1. （2012年数学一）设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与4的指数分布，则{}P X Y <=_________. 【A 】A ．15 B. 13 C. 25 D. 45解：X 与Y 的概率密度函数分别为：,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩， 44,0()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩ 因为X 与Y 相互独立，所以X 与Y 的联合密度函数为44,0,0(,)()()0,x y X Y e x y f x y f x f y --⎧>>=⋅=⎨⎩其他 {}40(,)4x y xx yP X Y f x y dxdy dx e dy +∞+∞--<∴<==⎰⎰⎰⎰450145xyx xe dx edy e dx +∞+∞+∞---===⎰⎰⎰2. （2012年数学一）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为______.A ．1 B.12 C. 12- D. 1- 答案：D.解：设两段长度分别为X 和Y ，显然满足1X Y +=，即1Y X =-+，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为1-.3. （2012年数学三）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，{}221P X Y +≤=_________. 【D 】A ．14 B. 12 C. 8π D. 4π解：X 与Y 的概率密度函数分别为：1,01()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其他， 1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他又X 与Y 相互独立，所以X 与Y 的联合密度函数为1,0,1(,)()()0,X Y x y f x y f x f y <<⎧=⋅=⎨⎩其他， 从而 {}222211(,)4D x y P X Y f x y dxdy S π+≤+≤===⎰⎰.4. （2012年数学三）设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)(0)N σσ>的简单随机样本，则统计量12342X X X X -+- 的分布为_________. 【B 】A. (0,1)NB. (1)tC.2(1)χ D. (1,1)F解：因为2(1,)i X N σ ，所以212(0,2)X X N σ-(0,1)N 234(2,2)X X N σ+(0,1)N ，22342(2)(1)2X X χσ+- . 因为1234,,,X X X X2342(2)2X X σ+-也相互独立， 从而1234(1)2X X t X X -=+-5. （2012年数学一、三）设,,A B C 是随机事件，A 与C 互不相容，11(),()23P AB P C ==，则()____P AB C =. 【34】解：由于A 与C 互不相容，所以AC φ=，则ABC φ=，从而()0P ABC =;10()()()32()14()()13P ABC P AB P ABC P AB C P C P C --====-6. （2012年数学一、三）设二维离散型随机变量(,)X Y 的概率分布为（1）求{}2P X Y =；（2）求(,)Cov X Y Y -.解：（1）{}{}{}120,02,14P X Y P X Y P X Y ====+===.（2） 由(,)X Y 的概率分布可得,,X Y XY 的概率分布分别为，，所以 23EX =,1EY =,2522,,()333EY DY E XY ===(,)()0Cov X Y E XY EX EY =-⋅=故： 2(,)(,)3Cov X Y Y Cov X Y DY -=-=-7. （2012年数学一）设随机变量X 和Y 相互独立且分别服从正态分布2(,)N μσ和2(,2)N μσ，其中σ是未知参数且0σ>. 设Z X Y =-. （1）求Z 的概率密度2(,)f z σ；（2）设12,,,n Z Z Z 是来自总体Z 的简单随机样本，求2σ的最大似然估计量2σ；（3）证明 2σ是2σ的无偏估计量. 解：（1） 因为2(,)X N μσ ，2(,2)Y N μσ ，且X 和Y 相互独立，故2(0,3)Z X Y N σ=-2226(;),z f z z R σσ-∴=∈（2）似然函数为 2116221()(;)ni i nz i i L f z σσσ=-=∑==∏两边取对数，得222211l n ()l n 26nii nL n zσσσ==--∑关于2σ求导，得2222221ln ()1+26()nii d L n z d σσσσ=-=∑ 令22ln ()0,d L d σσ= 解得λ的最大似然估计值 22113n i i z n σ==∑ 因此，λ的最大似然估计量 22113n i i Z n σ==∑（3） 2221111()()()33n n i i i i E E Z E Z n n σ====∑∑2221111[()()]333n n i i i i E Z D Z n n σσ===+==∑∑ 故 2σ是2σ的无偏估计量. 8. （2012年数学三）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从参数为1的指数分布. 记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =，则（1）求V 的概率密度()V f v ；（2）求()E U V +. 解：（1） X 与Y 的分布函数均为1,0()0,0x e x F x x -⎧-≥=⎨<⎩{}min ,V X Y =的分布函数为{}{}{}{}()min ,1min ,V F v P X Y v P X Y v =≤=-> {}21,1(1())P X v Y v F v =->>=--21,00,0v e v v -⎧-≥=⎨<⎩故V 的概率密度为22,0()()0,0v V V e v f v F v v -⎧>'==⎨≤⎩（2） min(,)max(,)U V X Y X Y X Y +=+=+()()()()2E U V E X Y E X E Y ∴+=+=+=.。

商学院2011/2012学年第二学期考试试卷(B)课程名称： 概率论与数理统计 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟班级名称： 学号： ： .一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、设在一次试验中事件A 发生的概率为p ，现重复独立进行n 次试验，则事件A 至少发生一次的概率为（ ）。

（A ）n p -1（B ）n p（C ）n p )1(1--（D ）n p )1(-2、设A ，B 为两事件，则A －B 不等于（ ）。

（A ）B A（B ）B A（C ）AB A -（D ）B B A -)(Y3、如果随机变量X 与Y 满足:)(Y X D +)(Y X D -=,则下列式子正确的是（ ）。

（A ）X 与Y 相互独立 （B ）X 与Y 不相关 （C ）0=DY（D ）0=⋅DY DX4、设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量Y X 23-的方差是（ ）。

（A ）8（B ）16（C ）28 （D ）445、设总体)1,0(~N X ，n X X X ,,,21⋅⋅⋅为其样本，又S X ,分别为样本均值及样本标准差,则（ ）。

（A ）)1,0(~N X （B ）)1,0(~N X n （C ）)(~212n X ni i χ∑= （D ）)1(~-n t SX二、填空题（每小题2分，共16分）1、设B A ,为随机事件，7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则=)(AB P ________。

2、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知1)]2)(1[(=--X X E ，则=λ_______。

3、若随机变量X 的概率密度为)( e21)(4)3(2+∞<<-∞=+-x x f x π,则有=Y)1,0(~___________N 。

4、设随机变量X ,Y 的方差分别为25=DX ,36=DY ,相关系数4.0=XY ρ,则),(Y X Cov = 。