点集拓扑学练习题
判断（每题4分，判断1分，理由3分）
1．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射 答案:
理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因
为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（
,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.
2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑
答案:
理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而
∈φ,X 12 T T ⋂；
（２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是
X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２；
（３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的
拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；
综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑．
3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）
答案:
理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它
中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的
开集，从而:f X Y →连续.
4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ） 答案:
理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{}p 是X 的开子集，且有{}
{}()p A p φ-=，即()p d A ∉,从而
()d A φ=. 5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ） 答案：
理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.
6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ） 答案：
理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.
名词解释(每题2分)
1．同胚映射
答案：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.
2、集合A 的内点
答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.如果A 是点x X ∈的一个邻域，则称点x 是集合A 的一个内点.
3、集合A 的内部
答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.则集合A 的所有内点构成的集合称为集合A 的内部.
4．拓扑空间(,)T X 的基
答案：设(,)T X 是一个拓扑空间，B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是B 中的某些元素的并，则称B 是拓扑T 的一个基.
5．闭包
答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.集合A 与集合A 的导集()d A 的并()A d A ⋃称为集合A 的闭包.
7、导集
答案：设X 是一个拓扑空间，集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.
简答题（每题4分）
1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明
()()
d A d B ⊂. 答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ⋂-≠,
由于A B ⊂，从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ⊂.
2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.
答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的
开集，所以:g f X Z →是连续映射.
3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.
答案：对于x A '∀∈,则x A ∉，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=，即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.
4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.
答案：设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =，这说明A 是一个闭集.
判断（每题4分，判断1分，理由3分）
7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得
,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）
答案：√
理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=，并且这时有:
()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=
从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.
8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )
答案：√
理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ⋃=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.
9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ） 答案：√
理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基，对于每一个x X ∈,易知{} B B |x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族，从而X 在点x 处有可数邻域基，故X 满 足第一可数性公理.
10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可
数性公理（ ）
答案：√
理由：由于X 满足第二可数性公理，所以它有一个可数基B ，因为Y 是X 的子空间，则{|}B | B Y B Y B =⋂∈是Y 的一个可数基，从而X 的 子空间Y 也满足第二可数性公理.
11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可
数性公理（ ）
答案：√
理由：由于X 满足第一可数性公理，所以对x Y ∀∈,X 在点x 处有一个可数邻域基V x ，因为Y 是X 的子空间，则{|}V | V x Y x V Y V =⋂∈是Y 在点x 的一个可数邻域基，从而X 的子空间Y 也满足第一可数性公理.
12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )
答案：×
理由：因为{1,3}是X 的一个闭集，对于点２和{1,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X 不是正则空间，从而不是3T 空间.
注：也可以说明X 不是1T 空间．
13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )
答案：×
理由：因为{2,3}是X 的一个闭集，对于点１和{2,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X 不是正则空间，从而不是3T 空间.
注：也可以说明X 不是1T 空间．
14、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )
答案：×
理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X 不是1T 空间．
注：也可以考虑点２和点３.
15、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )
答案：×
理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X 不是1T 空间．故(,)X T 是4T 空间.
注：也可以考虑点２和点３.
16、3T 空间一定是2T 空间.（ ）
答案：√
理由：因为3T 空间是正则的1T 空间，所以对于3T 空间X 中的任意不同的两点,x y X ∈，{}y 是X 中的闭集，由于X 是正则空间，从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域,U V 使得U V φ⋂=，所以X 是2T 空间. 17、4T 空间一定是3T 空间.（ ）
答案：√
理由：因为4T 空间是正规的1T 空间，所以对于4T 空间X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ，由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间，故存在{},x A 的开邻域,U V 使得U V φ⋂=，这说明X 是正则空间，因
此X 是3T 空间.
18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ⋃是一个紧致子
集.( )
答案：√
理由：设A 是一个由X 中的开集构成的A B ⋃的覆盖，由于A 和B 都
是X 的紧致子集，从而存在A 的有限子族 A 1 A 2 分别是A 和B 的覆盖，故12⋃A A 是A 的有限子族且覆盖A B ⋃，所以A B ⋃是紧致子集.
19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )
答案：√
理由：设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集，则对于任何x X ∈，
若x A ∉，则易知x 不是A 的凝聚点，因此A A =，从而A 是一个闭集.
名词解释(每题2分)
8、不连通空间
答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个不连通空间.
9、连通子集
答案：设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间，则称Y 是X 的一个连通子集.
10、不连通子集
答案：设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个不连通空间，则称Y 是X 的一个不连通子集.
11、1 A 空间
答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为1 A 空间. 12、2 A 空间
答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个
A空间.
满足第二可数性公理的空间，简称为
2
13、可分空间
答案：如果拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间.
T空间：
14、
答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必
T空间.
有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是
0 T空间：
15、
1
答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中每
T空间.
一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是
1 T空间：
16、
2
答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点各自
T空有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间X是
2间.
17、正则空间：
答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正则空间.
18、正规空间：
答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正规空间.
19、完全正则空间：
答案：设X是一个拓扑空间，如果对于x X
∀∈和X中任何一个不包含点x的闭集B存在一个连续映射:[0,1]
f x=以及对
f X→使得()0
于任何y B
∈有()1
f y=，则称拓扑空间X是一个完全正则空间.
20、紧致空间
答案：设X是一个拓扑空间.如果X的每一个开覆盖都有一个有限
子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间.
21、紧致子集
答案：设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个紧致子集.
22、可数紧致空间
答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间.
23、列紧空间
答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个列紧空间.
24、序列紧致空间
答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个序列紧致空间.
简答题（每题4分）
5、在实数空间R 中给定如下等价关系：
~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .
答案：]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T
6、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓
扑T .
答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=
7、在实数空间R 中给定如下等价关系：
~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓
扑T .
答案：{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--
8、在实数空间R 中给定如下等价关系：
~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .
答案：{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=-- 9、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑
T .
答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ= 10、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑
T .
答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=
11、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓
扑T .
答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=
12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.
答案：因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是2A 空间.至多含有可数多个点的离散空间是2A 空间.
13、试说明实数空间R 是可分空间.
答案: 因为Q 是可数集，且R 的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与Q 都有非空的交，因此R Q =，故实数空间R 是可分空间.
14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.
答案: 设X 是一个度量空间, 对X x ∈∀，则所有的以x 为中心，以正有理数为半径的球形邻域构成x 处的一个可数邻域基，从而X 满足第一可数性公理.
15、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.
答案：对x X ∀∈，由于X 是1T 空间，从而对每一个,y X y x ∈≠，点
y 有一个邻域U 使得x U ∉，
即{}U x φ⋂=，故{}y x ∉，因此{}{}x x =,这说明单点集{}x 是一个闭集.
16、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是
一个1T 空间.
答案：对于任意,,x y X x y ∈≠，{},{}x y 都是闭集，从而{}x '和{}y '分别是y 和x 的开邻域，并且有{}x x '∉,{}y y '∉.从而X 是一个1T 空间.
17、设(,)X T 是一个1T 空间，∞是任何一个不属于X 的元素.令
*{}X X =⋃∞和*X =⋃*T T {}，试说明拓扑空间*(,)X *T 是一个0T 空间.
答案：对任意*,,x y X x y ∈≠,若x ,y 都不是∞，则,x y X ∉.由于X 是一个1T 空间，从而,x y 各有一个开邻域,U V ,使得,x V y U ∉∉;若x ,y 中有一个是∞，不妨设x =∞,则y 有开邻域X 不包含∞.由以上的讨论知，对*X 中任意两个不同点必有一个点有一个开邻域不包含另一点，从而X 是0T 空间.
18、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，
都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.
答案: 对x X ∀∈,设U 是x 的任何一个开邻域，则U 的补集U '是一个不包含点x 的一个闭集.由于X 是一个正则空间，于是x 和U '分别有开邻域V 和W ,使得V W φ⋂=，因此V W '⊂，所以
V W W U -''⊂=⊂.
19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 及A 的每
一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.
答案：设A 是X 的任何一个闭集，若A 是空集，则结论显然成立.下设A 不是空集，则对A 的任何一个开邻域U ，则U 的补集U '是一个不包含点A 的一个闭集. 由于X 是一个正规空间，于是A 和U '分别有开邻域V 和W ,使得V W φ⋂=，因此V W '⊂，所以V W W U -''⊂=⊂.
20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.
答案：设A 是X 的任何一个子集，若A 是空集，则()d A φ=，从而
A 的导集是闭集.下设A 不是空集，
则对(())x d A '∀∈,则x 有开邻域U ,使得({})U x A φ-⋂=，由于X 是1T 空间，从而{}U x -是开集，故
{}(())U x d A '-⊂,于是(())
U d A '⊂,所以(())d A '是它每一点的邻域，故(())d A '是开集，因此()d A 是闭集.
21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.
答案：如果X 的无穷子集的A 没有凝聚点，则对于任意x X ∈，有开邻域x U ，使得(){}x U A x φ⋂-=，于是X 的开覆盖{|}x U x X ∈没有有限子覆盖，从而X 不是紧致空间，矛盾.故紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.
22、如果X Y ⨯是紧致空间，则X 是紧致空间.
答案：考虑投射1:P X Y X ⨯→，由于1:P X Y X ⨯→是一个连续的满射，从而由X Y ⨯紧致知X 是一个紧致空间.
23、如果X Y ⨯是紧致空间，则Y 是紧致空间.
答案：考虑投射2:P X Y Y ⨯→，由于2:P X Y Y ⨯→是一个连续的满射，从而由X Y ⨯紧致知Y 是一个紧致空间.
24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.
答案：如果 A 是Y 的任意一个由X 中的开集构成的覆盖，则{}Y '⋃B =A 是X 的一个开覆盖.设1 B 是B 的一个有限子族并且覆盖X .则1{}Y '- B 便是A 的一个有限子族并且覆盖Y ，从而Y 是紧致子集.
证明题（每题8分）
1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.
证明：如果()f X 是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集
,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分 于是11(),()f A f B --是X 的非空子集，并且：
111111111(()())(()())
(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ
---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂=
所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外，1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==，这说明X 不连通，矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分
2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个
无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂. 证明：因为B A ,是X 的开集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集. 又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分 由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分
3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个
无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂. 证明：因为B A ,是X 的闭集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集. 又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分 由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分
4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也
是X 的一个连通子集.
证明：若Z 是X 的一个不连通子集，则在X 中有非空的隔离子集,A B
使得Z A B =⋃.因此Y A B ⊂⋃ ………………………………… 3分 由于Y 是连通的，所以Y A ⊂或者Y B ⊂,如果Y A ⊂，由于
Z Y A
⊂⊂，所以Z B A B φ⋂⊂⋂=，因此 B Z B φ=⋂=,同理可证如果Y B ⊂，则A φ=,均与假设矛盾.故Z 也 是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分
5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果
Y γγφ∈Γ≠,则
Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集. 证明：若Y γ
γ∈Γ是X 的一个不连通子集.则X 有非空的隔离子集,A B 使得Y A B γγ∈Γ=⋃………………………………………… 4分
任意选取x Y γγ∈Γ∈
,不失一般性，设x A ∈,对于每一个γ∈Γ，由于Y γ连通，从而Y A γγ∈Γ⊂及B φ=,矛盾，
所以Y γγ∈Γ是连通的. ………………………………………… 8分
6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.
证明：若B X =,则结论显然成立.
下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ⋂是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分 由于A B φ⋂≠及A 连通，所以A B A ⋂=，故A B ⊂.………… 8分
7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠. 证明：若()A φ∂=,由于()A A A --'∂=⋂,从而
()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=⋂=⋂⋂⋃=⋂⋃⋂,
故, A A '是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分
因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ∂≠. ……………………………………………… 8分
8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.
证明：若X 满足第一可数公理，则在X x ∈处,有一个可数的邻域基，设为V x ,因为X 是可数补空间，因此对x y X y ≠∈∀,,}{y X -是x 的一个开邻域，从而x y V V ∈∃ ,使得}{y X V y -⊂.
于是'
⊂y V y }{, …………………………………………………4分 由上面的讨论我们知道： }{}{}{}{y X y y x X y V y x X -∈-∈'⊂=
-
因为}{x X -是一个不可数集，而
}{x X y u
V -∈' 是一个可数集，矛盾. 从而X 不满足第一可数性公理. ………………………………8分
9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.
证明：若X 满足第一可数公理，则在X x ∈处,有一个可数的邻域基，设为V x ,因为X 是有限补空间，因此对x y X y ≠∈∀,,}{y X -是x 的一个开邻域，从而x y V V ∈∃ ,使得}{y X V y -⊂.于是
'⊂y V y }{, …………………………………………………4分
由上面的讨论我们知道：
}{}{}{}{y X y y x X y V y x X -∈-∈'⊂=
-
因为}{x X -是一个不可数集，而
}{x X y u V -∈' 是一个可数集，矛盾.
从而X 不满足第一可数性公理. ………………………………8分
10、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足
第二可数性公理，证明：Y 也满足第二可数性公理.
证明：设X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基.由于
:f X Y →是一个开映射，
{()|}B B f B B =∈是由Y 中开集构成的一个可数族. …………………………………………………………3分
下面证明B 是Y 的一个基.设U 是Y 的任意开集，则1()f U -是X 中的一个开集.因此存在1 B B ⊂,使得11() B B f U B -∈=
.由于f 是一个满射，所以有11(())() B B U f f U f B -∈==
,从而U 是B 中某些元素
的并，故B 是Y 的一个基.这说明Y 也满足第二可数性公理. ……8分
11、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足
第一可数性公理，证明：Y 也满足第一可数性公理.
证明：对y Y ∀∈,由于:f X Y →是一个满射，所以存在x X ∈,使得()f x y =,由于X 满足第一可数性公理，故在点x 处存在一个可数邻域基，设为 V x ,又由于:f X Y →是一个开映射，则{()|} V V y x f V V =∈是Y 中点y 的一个可数邻域族. …………3分 下面证明 V y 是Y 中点y 的一个邻域基.设U 是Y 中点y 的任意邻域，则1()f U -是X 中点x 的一个邻域.因此存在 V x V ∈,使得1()V f U -⊂.因此()f V U ⊂,从而 V y 是Y 中点y 的一个邻域基.这说明Y 也满足第一可数性公理. ……………………………………………………8分 12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。求证：A 至少有一个凝聚点.
证明：若A 没有凝聚点，则对任x A ∈,一定存在x 的一个邻域x U ， 使得：{}x U A x ⋂=,由于X 满足第二可数性公理，设B 是它的可数基，故一定存在一个B x B ∈,使得：x x x B U ∈⊂,
更有x B ⋂A ={x }, ……………………………………………………4分 若令C ={|x B x ∈A , x B ∈ B , x B ⊂x U },则有C ⊂ B ，从而C 必可数.于是 A = A x x ∈}{=
()x x B C
B A ∈⋂.这样A 就是可数集，这与题设A 为不可数集相矛盾，故A 至少有一个凝聚点. …………………8分
13、证明满足第二可数性公理的空间中每一个由两两无交的开集构成的
集族都是可数族.
证明：设A 是满足第二可数性公理的空间X 中由两两无交的开集构成的集族, 由于X 满足第二可数性公理，
设B 是X 的可数基 ………………………………………………3分 对A 的每一个元素A ,因为B 是X 的基,存在B B ∈使得B A ⊂.因为A 中的元素两两无交,从而A 中不同元素包含B 中的元素也不相同.因为B 可数, 故A 是可数族. ………………………………8分
14、设X 是一个1T 空间,A X ⊂,()x d A ∈,证明：x 的每一个邻域U 中都
含有A 中的无限多个点.
证明：设()x d A ∈，若x 有一个开邻域U 含有A 中的有限多个点，设{}B U A x =⋂-,则B 是一个有限集，从而B 是一个闭集，故U B -是一个开集且是x 的一个开邻域. …………………………………4分 又易知()({})U B A x φ-⋂-=,从而()x d A ∉，矛盾.故U 含有A 中的无限多个点. ………………………………………………………8分
15、设X 是一个1T 空间,A X ⊂,()x d A ∈,证明：对x 的每一个邻域U 有
U A ⋂是无限集.
证明：设()x d A ∈，若x 有一个开邻域U 含有A 中的有限多个点，设
{}B U A x =⋂-,则B 是一个有限集，
从而B 是一个闭集，故U B -是一个开集且是x 的一个开邻域. …………………………………4分 又易知()({})U B A x φ-⋂-=,从而()x d A ∉，矛盾.故U A ⋂是无限集. …………………………………………………………………8分
16、设{}i x 是2T 空间X 的一个收敛序列,证明：{}i x 的极限点唯一.
证明：若极限点不唯一，不妨设1lim i i x y →∞=,2lim i i x y →∞
=,其中12y y ≠，由于X 是2T 空间，故1y 和2y 各自的开邻域,U V ，使得U V φ⋂=.因
1lim i i x y →∞
=，故存在10N >，使得当1i N >时，i x U ∈；同理存在20N >，使得当2i N >时，i x V ∈.…………………………………………4分
令12max{,}N N N =,则当i N >时，i x U V ∈⋂，从而U V φ⋂≠,矛盾，
故{}i x 的极限点唯一. ……………………………………………8分
17、设X 是一个拓扑空间，证明X 是hausdorff 空间当且仅当积空间
X X ⨯的对角线{(,)|}x x X X x X ∆=∈⨯∈是一个闭集.
证明：充分性：对任意,,x y X x y ∈≠，于是(,)x y '∈∆,由于∆是闭集，所以'∆是开集，从而有X 的开邻域,U V 使得(,)x y U V '∈⨯⊂∆，于是,U V 分别是,x y 的开邻域,且U V φ⋂=，从而X 是Hausdorff 空间. ……………………………………………………………4分 必要性：若X 是hausdorff 空间，对(,)x y '∀∈∆，则x 和y 分别有开邻域,U V ，使得U V φ⋂=，从而(,)x y U V '∈⨯⊂∆，由于U V ⨯是
X X ⨯中的开集，
所以'∆是其每一点的邻域，故'∆是开集，从而∆是闭集. ……………………………………………………………8分
18、设X 是Hausdorff 空间，:f X X →是连续映射.证明
{|()}A x X f x x =∈=是X 的闭子集.
证明：对于x A '∀∈，则()f x x ≠，从而(),f x x 有互不相交的开邻域U 和V ，设1()W f U V -=⋂，…………………………………4分 则W 是x 的开邻域，并且x W A '∈⊂,故A '是开集，
从而A 是闭集. …………………………………………………8分
19、设X 是一个正则空间，A 是X 的闭子集,A x ∉，证明：x 和A 分别
有开邻域U 和V 使得φ=⋂V U .
证明：由于X 是一个正则空间，从而x 和A 分别有开邻域W 和V 使得φ=⋂V W ，故W V '⊂，因此W V '⊂. ………………4分 又由正则空间的性质知：存在x 的开邻域U 使得W U ⊂,从而φ=⋂V U . ……………………………………………………8分
20、设X 是一个正规空间，A ，B 是X 的两个无交的闭子集.证明：A 和
B 分别有开邻域U 和V 使得φ=⋂V U .
证明：由于X 是一个正规空间，从而A 和B 分别有开邻域W 和V 使得φ=⋂V W ，故W V '⊂，因此W V '⊂.………………4分 由正规空间的性质知：存在A 的开邻域U 使得W U ⊂,从而φ=⋂V U . ……………………………………………………8分
21、设X 是一个拓扑空间，[0,1]是闭区间，若对X 的任何两个无交的闭
集,A B 都存在一个连续映射:[0,1]f X →,使得当x A ∈时，()0f x =,当x B ∈时，()1f x =.证明：X 是一个正规空间.
证明：设,A B 是X 的任意两个无交的闭集，由题意知存在一个连续
学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了整理： 从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。 记住以下几点： 1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。 2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。 3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。 4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。 5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。 6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。 7，经常回头看看自己走过的路 以上几点请在学其他课程时参考。 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的：
1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒） 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链 我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。 6《数学分析》曹之江等著 内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的基础，不会盲目的向n 维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。
《数学分析I》课程教学大纲 （本课程周课时数为5，共85课时，此外每周还有2课时的习题课） 课程编号：MAAB1101 课程类别：大类基础课 授课对象：数学与应用数学基地、数学与应用数学师范、信息与计算科学、统计专业 开课学期：秋季，第1学期 学分：5学分 指定教材： 1、华东师范大学数学系，《数学分析（下）》（第三版），高等教育出版社，2003年 2、谢惠民，《数学分析讲义》（第一册），自编 一、教学目的 数学分析课程是是数学专业最重要的基础课，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义。课程的其特点是：学习时间的跨度很大，一般是三个学期，内容极为丰富。《数学分析I》课程是基础，其基本的内容为极限和连续理论、一元微分学。课程的教学目的是通过系统的数学训练，使学生进一步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从事进一步学习所需要的数学知识，掌握数学的基本思想方法，最终使学生的数学思维能力得到根本的提高。 二、课程内容 第一章、引论（5 课时） 1. 集合； 2. 实数的连续性 实数的一些描述方法。 3. 数集与确界 确界的描述、确界原理及其应用； 4. 逻辑记号的对偶法则 逻辑记号的对偶法则；用逻辑记号叙述否命题； 5. 常用不等式 三角不等式、Bernoulli不等式、平均值不等式、Cauchy不等式。. 第二章、数列极限（20课时） 1. 数列极限的定义 数列极限的ε－N语言和邻域语言。 2. 数列极限的计算 适当放大法；发散数列；一些重要例子；Cauchy命题和Stolz定理。 3. 单调数列的极限 单调有界定理、闭区间套定理及其应用； 4. Cauchy收敛准则 用Cauchy收敛准则描述极限存在和不存在； 5. 子列及其应用. 子列的概念、它与收敛发散的关系及其应用。 第三章、映射与函数（2课时） 1.映射； 2. 一元实函数；
数学系本科生课程设置与简介 01101011 数学分析(1) mathematical analysis 课程性质：专业基础课课内学时：112 学分：7 简介：“数学分析”是数学专业最重要的一门专业课。第一学期主要内容是分析基础。第一章函数、第二章极限、第三章连续函数、第四章实数的连续性、第五章导数与微分、第六章微分基本定理及其应用、第七章不定积分、第八章定积分。 先修课要求：无 教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社 适用专业：数学与应用数学开课学期：秋 01101021 数学分析(2) mathematical analysis 课程性质：专业基础课课内学时：144 学分：8 简介：本学期将在此基础上继续学习级数和多元函数微分学。级数是数学分析的重要组成部分，它分为数值级数和函数级数。数值级数是函数级数的特殊情况，也是函数级数的基础；函数级数是表示非初等函数的一个重要的数学工具，它在自然科学、工程技术和数学本身都有广泛的应用。多元函数微分学是一元函数微分学的推广，隐函数、反常积分与含参变量的积分、重积分和曲线积分与曲面积分。并且对某些概念和定理作了进一步的发展。 先修课要求：数学分析(1) 教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社 适用专业：数学与应用数学开课学期：春 01101031 数学分析(3) mathematical analysis 课程性质：专业基础课课内学时：40 学分：2 简介：本学期将在此基础上继续学习级数和多元函数积分学。多元函数积分学是一元函数积分学的推广，隐函数、反常积分与含参变量的积分、重积分和曲线积分与曲面积分。并且对某些概念和定理作了进一步的发展。 先修课要求：数学分析(1) 、数学分析(2) 教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社 适用专业：数学与应用数学开课学期：秋 01101041 数学分析选讲 Selected Topics of Analysis 课程性质：专业选修课课内学时：48 学分：2 简介：数学分析教材自身科学规律概述、数学分析的思想方法与表达方式浅析、数学分析解题方法概述、关于数学分析中何种类型习题宜于用反证法证明的问题、形式逻辑与辩证逻辑方面易出现的错误及其分析、函数、数列极限、函数极限、函数的连续性、导数、中值定理与导数的应用、实数的基本定理、不定积分、
数学专业参考书整理推荐 从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链 我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。 6《数学分析》曹之江等著 内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的基础，不会盲目的向n维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。 7《数学分析新讲》张筑生 公认是一本新观点的书，课后没有习题。材料的处理相当新颖。作者已经去世。8《数学分析教程》常庚哲，史济怀著 中国科学技术大学教材，课后习题极难。 9《数学分析》徐森林著 与上面一本同出一门，清华大学教材。程度好的同学可以试着看一看。书很厚，看起来很慢。 10《数学分析简明教程》邓东翱著 也是一本可以经常看到的书，作者已经去世。国家精品课程的课本。 11许绍浦《数学分析教程》南京大学出版社
《点集拓扑》课程标准 英文名称：Set topoligy 课程编号：407021010 适用专业：数学与应用数学学分数：3 一、课程性质 《点集拓扑》课程属于数学一级学科下的基础数学二级学科，是数学与应用数学专业的培养方案中学科专业教育平台下专业基础课程系列的一门必修课程。 二、课程理念 1、培育抽象思维概括能力，提高数学文化素养 《点集拓扑》采用了极为有力的表述形式及高度抽象的观点、方法，使他的理论显得十分简捷而具有高度的概括力。以致它的理论广泛地应用到现代数学的各个分支。《点集拓扑》不仅在泛函分析、抽象代数、李群论、微分几何、微分方程等其他许多数学分支中有着广泛的应用，而且在自然科学和其它工程技术领域的许多学科诸如电路网络、理论物理、计算机、电子通讯、现代控制理论乃至原子核构造理论等学科都具有广泛的应用，已成为现代数学及现代技术领域中不可替代的基础工具之一，是非数学类众多领域的研究生必修的数学基础课程。 2、增强空间意识，培养扎实的空间状态认识能力 《点集拓扑》是数学与应用数学专业人才整体知识结构及能力培养的重要组成部分，在数学与应用数学专业人才的培养方案中占据独特的重要地位，它是现代数学的基础。本课程面对的是数学与应用数学专业本科四年级的学生，在大学前三年级期间，学生们已经对《数学分析》、《高等代数》以及《空间解析几何》等数学与应用数学专业的基础课程有了系统的学习，为进一步进入《点集拓扑》课程的学习打下了坚实的基础。通过本课程的学习，使学生理解并掌握点集拓扑和基本方法，能够运用所学的方法对自然界中客观存在的空间形式进行研究、对空间状态进行分析以指导实践。 3、展示点集拓扑的应用，为进一步研究现代数学培养扎实的基础 《点集拓扑》是一门相对独立的学科，它与其它学科的联系并不是十分紧密，拓扑学的内容虽然涉及集合论、数理逻辑、度量空间、数学分析等学科，它的一些概念和方法是度量空间、连续函数等概念的推广，但其研究内容和方法已发生了根本的变化，因此具备了集合论、数理逻辑、度量空间、连续函数的基本知识，对拓扑学的学习和理解会起到一定的作用，《点集拓扑》课程需要集合论的基本知识，也是学习拓扑学的必要的基础知识，我们放在了第一章，若熟悉本章知识的内容可直接进行第二章的学习，《点集拓扑》课程的后续课程有代数拓扑学，格上拓扑学等。 4、教学采用传统的“传授式、示范式”学习 其形式是课堂讲授为主，这是课堂教学中的传统方式，它体现出启发式教学原则。课堂教学的特点要讲出点集拓扑的背景、思想与方法、解决点集拓扑问题的思路、关键点以及相关课程内容各部分之间的逻辑关系等。通过例题进行“示范式”教学方法，其形式表现为习题课教学。这是指教师通过典型问题给学生以示范，让学生在对典型问题的认识、分析和思考的过程中进行学习的一种教学方法。它可以在课堂上实现师生互动，通过师生提问、回答问题，不仅可使得老师了解学生的学习情况，而且它还能有效地调动学生的学习积极性，促进学生的认真思考，激发学生的内在潜能，以达到培养学生的自主学习意识，以及运用点集拓扑的方法和知识解决实际问题的能力。可以说，这是数学教育中富有启发性的教学方法。运用现代教育技术手段构建点集拓扑学习课件进行辅助教学，并根据本课程各部分不同要求，对一些重要的点集拓扑概念和几何图形运用多媒体技术手段建立点集拓扑演示课件，通过动态演示形象地揭示点集拓扑概念的内涵，以及清晰地展现拓扑空间的构造和特点，它可以取得传统式课堂教学难以达到的效果。 5、考核应能促进学生数学科学素养的发展 通过本课程的学习，帮助学生打造好数学与应用数学的基础，提升他们的学习能力、应用能力与数学素质，因为数学素质是当代大学生可持续发展所应具备的基本素质，也是未来劳动者必需具备的核心
数学教材推荐 2008-12-4 19:58:43 | 转载| 固定链接| 评论(4) | 浏览(948) 学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经 验进行了整理： 从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且 是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是 对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大 四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单 的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。 记住以下几点： 1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。 2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。 3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。 5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。 6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。 7，经常回头看看自己走过的路 以上几点请在学其他课程时参考。 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）
应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。 3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链 我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。 6《数学分析》曹之江等著 内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的基础，不会盲目的向n维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。
《点集拓扑学》教学大纲 课程名称：《点集拓扑学》Point Set Topology 课程性质：数学与应用数学专业必修课 学时数：36 教材:《点集拓扑讲义》熊金城编著.高等教育出版社, 2011年12月第4版. 主要参考书： 《点集拓扑学》徐森林编著，高等教育出版社，2007年7月第1版. 《基础拓扑学》胡适耕编著，华中科技大学出版社，2007年8月第1版. 《基础拓扑学讲义》尤承业编著，北京大学出版社，1997年11月第1版. 《拓扑学》 [美] 芒克里斯编著，熊金城等翻译，机械工业出版社，2006年4月第1版. 授课方式：课堂讲授为主 所属院系：数学学院数学与应用数学系 课程基础：《数学分析》、《实变函数论》 一、课程简介 拓扑学是近代数学的三大基础之一，是研究抽象空间的理论的一门学科，它具有高度的概括性和抽象性.点集拓扑学产生于19世纪.G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果.1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始. 泛函分析的兴起，希尔伯特空间和巴拿赫空间的建立，促进了把点集当作空间来研究.数学分析研究的中心问题是极限，而收敛与连续又是极限的基本问题.为把收敛与连续的研究推广到一般集合上，需要在一般集合上描述与点或与集合“邻近”的概念.如何描述“邻近”，可以用“距离”，但“距离”与“邻近”并无必然的联系.1914年F.豪斯道夫开始考虑用“开集”来定义拓扑.对一个非空集合X，规定X的每点有一个包含此点的子集作成的子集族，满足一组开集公理（即仿照欧几里得空间邻域所具特性给出的一组性质）.该子集族中的每个集合称为这点的一个邻域，这就给出了X的一个拓扑结构，X连同此拓扑结构称为一个拓扑空间. X的每点有邻域，故可研究一点的邻近，由此可仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念.若一个映射连续，且存在逆映射，逆映射也连续，则称此映射为同胚映射.具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的（直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个）.要证明两个空间同胚，只要找到它们之间的同胚映射即可.在欧几里得直线上，作为子空间，两个任意的闭区间同胚；任意两开区间同胚；半开半闭的区间[c,d)与[a,b)同胚；二维球面挖去一个点S2－p与欧几里得平面K2同胚. 要证明两个拓扑空间不同胚，需证明它们之间不存在同胚映射.方法是找同胚不变量或拓扑不变性（即在同胚映射下保持不变的性质）；第一个空间具有某同胚不变量，另一个空
应该说如果下面还找不到的那么肯定答案还没出了 统计学课后答案（第二版，贾俊平）? ... 200903/ ? 大学物理实验绪论课指导书? ... 200903/ ? 《材料力学》课后答案? ... 200903/ ? MBA入学复试政治题目及参考答案(2008年) ? ... 200903/ ? 《管理学》笔记（周三多、第四版）? ... 200903/ ? 《管理学》罗宾斯复学资料? ... 200903/ ? 《管理定律》完整版第三部分? ... 200903/ ? 《管理定律》完整版第二部分? ... 200903/ ? 《管理定律》完整版第一部分? ... 200903/ ? 《公共管理学》笔记（陈振明版）? ... 200903/ ? 《点集拓扑讲义》题解（熊金城，高教版）? ... 200903/ ? 大学IT课后习题答案? ... 200903/ ? 《微机计算机基本原理与接口技术》课后答案（陈红卫版）? ... 200903/ ? 中科院《高等代数》考试大纲? ... 200903/ ? 中科院《数学分析》考试大纲? ... 200903/ ? 考研数学全分析——第三章一元函数微分学（经典）? ... 200903/ ? 考研数学全分析——第二章一元函数的连续性（经典）? ... 200903/ ? 考研数学全分析——第一章极限（经典）? ... 200903/ ? 新视野大学英语读写教程1课后答案（第二版）? ... 200903/ ? 新视野大学英语读写教程2课后答案（第二版）? ... 200903/ ? 《思想道德修养与法律基础》课后答案（ 08修订版）? ... 200903/ ? 《马克思主义基本原理概论》课后答案（最新版）? ... 200903/ ? 最感人的句子（圣经）? ? 微机原理（第2版）课后答案? ... 200903/ ? 《物理化学》课后答案（第四版）? ... 200903/ ? 《光学教程》课后答案（第三版）? ... 200903/ ? 《电动力学》课后答案（第三版）郭硕鸿版? ... 200903/ ? 《数字图像处理》课后答案B部分（第二版）? ... 200903/ ? 《数字图像处理》课后答案A部分（第二版）? ... 200903/ ? 《操作系统概念》课后答案（英文原版）? ... 200903/ ? 《复变函数论》课后答案? ... 200903/ ? 毛邓三课后答案? ... 200903/ ? 姜楠：资产评估(第二版)习题答案? ... 200903/ ? 《财务管理》习题答案（第二版）? ... 200903/ ? 《旅游法规教程》课后答案? ... 200903/ ? 《网络营销》课后答案? ... 200903/ ? 《现代营销礼仪》课后答案(第二版) ? ... 200903/ ? 《饭店管理概论》课后答案? ... 200903/ ? 《旅游资源学》课后答案? ... 200903/ ? 《市场调查与分析实训》课后答案? ... 200903/ ? 《房地产经济学》课后答案? ... 200903/ ? 会计从业《基础会计》课后答案? ... 200903/ ? 《计算机组成原理》课后答案（第四版）? ... 200902/
课程代码：311100113 课程名称：解析几何Analytic Geometry 总学时：64 周学时：4 学分：3 开课学期：一 修读对象：必修 预修课程：无 内容简介：《解析几何》是学科基础课程，是所有数学专业及应用数学专业的主要的基础课。它是用代数的方法来研究几何图形性质的一门学科。《解析几何》包括向量与坐标，轨迹与方程，平面与空间直线，柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面，二次曲线的一般理论与二次曲面的一般理论等。 选用教材：吕林根，许子道，《解析几何》(第四版)，高等教育出版社，2006年。 参考书目：周建伟，《解析几何》，高等教育出版社，2005年。 课程代码：311100213、311100314、311100616、311100715 课程名称：数学分析Ⅰ-Ⅳ Mathematical AnalysisⅠ-Ⅳ 总学时：334 周学时：4，4，6，5 学分：18 开课学期：一，二，三，四 修读对象：必修 预修课程：无 内容简介：《数学分析》是学科基础课程，是所有数学专业及应用数学专业的第一基础课。它提供了利用函数分析和解决实际问题的方法, 培养学生严谨的抽象思维能力，为学习其他学科奠定基础。主要内容有：实数、函数、极限论，函数的连续性。一元函数微分学，微分学基本定理。一元微分学应用，实数完备性基本定理，闭区间上连续函数性质的证明，不定积分，定积分及应用，非正常积分。数项级数，函数列与函数项级数，幂级数，付里叶级数，多元函数的极限与连续，多元函数微分学。隐函数定理及其应用，重积分，含参量非正常积分，曲线积分与曲面积分。 选用教材：华东师范大学数学系，《数学分析》（第三版），高等教育出版社，2001年。 参考书目：①陈纪修，《数学分析》(第二版)，高等教育出版社，2004年。 ②刘玉琏,傅沛仁，《数学分析讲义》(第四版),高等教育出版社，2003年。 课程代码：311100416、311100515 课程名称：高等代数Ⅰ-Ⅱ Advanced AlgebraⅠ-Ⅱ 总学时：198 周学时：6，5 学分：11 开课学期：二，三 修读对象：必修 预修课程：无 内容简介：《高等代数》是学科基础课程，是所有数学专业及应用数学专业的主要的基础课。作为其中核心内容的线性代数，是理工科大学各专业的重要的数学工具，牢固掌握和深入理解其中的思想方法和技巧，对于大学生是非常重要的。《高等代数》包括两部分内容。第一部分为多项式，第二部分为线性代数。多项式部分主要讨论一元多项式的性质、最大公因式、因式分解、求根等。线性代数主要讨论线性方程组、矩阵、线性空间、线性变换、欧氏空间等。 选用教材：北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，《高等代数》(第三版)，高等教育出版社，2003年。
数学、物理及其它内容的文件名指南 一．数学类： 1.数学分析类： (1).数学分析教程类： 《数学分析》(方企勤).pdf 《数学分析》（李成章黄玉民）.pdf 《数学分析》（姚允龙）.pdf [全美经典学习指导系列]《微积分》.pdf 《高等微积分》+原书第2版.pdf 《简明微积分》(第四版)龚升.pdf 《数学分析》（卓里奇第1，2卷）《数学分析》（邹应有上下册）《数学分析习题及其解答》.邹应.武大版.2001.pdf 《数学分析教程》（宋国柱有上下册）《数学分析教程补篇》(宋国柱).pdf 《数学分析》（陈传璋-复旦大学）《陈传璋第二版习题答案》（复旦大学数学分析，分章节，共有三个文档）《数学分析》（陈纪修分上下册）《数学分析习题答案》(陈纪修第二版).pdf 《数学分析》（欧阳光中，朱学炎分上下册）《尼柯尔斯基-数学分析教程》（分第一卷第一册，第一卷第二册，第二卷第一册，第二卷第二册4个文档）《数学分析》（何琛史济怀徐森林全三册，分第一册正文，第二册正文，第三册正文3个文档）《数学分析》（常庚哲，史济怀分上下两册）《微积分》(外文).pdf （2）．数学分析习题与讲义类： 《Б_П_吉米多维奇数学分析习题集题解》（分一二三四五５个部分）《北京大学数学分析讲义》（分多元微积分，高等分析，一元微积分学三个部分，每个部分分章节内装多个文档）《陈省身微积分讲义》《数学分析新讲》（张筑生，分第一册，第二册，第三册）谢惠民-《数学分析习题课讲义》（分上下册，还有两个上下册的勘误表）《高等数学辅导三十讲》.pdf《伯克利数学问题集》.pdf《2011考研数学高等数学强化讲义》（基础班）.pdf《定积分和不定积分的计算方法》.pdf《多元微积分学》.pdf《高等数学例题与习题集(一元微积分)》.pdf 《高等数学习题课讲义》上册.pdf《数学分析的方法》（修订版）_徐利治.pdf《数学分析的基本概念与方法》.pdf《数学分析讲义》(俄罗斯)阿黑波夫.pdf《极限论新解》.pdf《数学分析讲义》(南京大学·梅加强编着).pdf《数学分析习题精解(单变量部分)》.pdf《数学分析习题精解(多变量部分)》.pdf《数学分析习题课讲义》（复旦大学）.pdf《数学分析习题课讲义》邹承祖2.pdf《数学分析习题课教材》_林源渠+方企勤.pdf《数学分析中的典型问题和方法》（第2版）.pdf《数学分析中的一些新思想与新方法》.pdf《数学分析中的证题方法与难题选解》.pdf 同济：《高等数学习题课讲义》.pdf《微积分解题方法与技巧》.pdf《微积分与数学分析习题集》(布朗克).pdf《数学分析同步辅导及习题全解》(华东师大第三版).pdf 《数学分析学习指导书》(下) （3）.经典著作类: 《数学分析纵横谈》（沈燮昌）.pdf 《从抛物线谈起——混沌动力学引论》..pdf 《微积分学教程》（菲赫金哥尔茨天元那套，第8版，分第一卷，第二卷，第三卷）《微积分和数学分析引论》（柯朗，约翰分第一卷，第二卷）《数学分析中的问题和定理》（波利亚分第一卷，第二卷）《数学分析原理》(菲赫金哥尔茨分第一卷，第二卷) 《数学分析原理》(Rudin) 《Rudin数学分析原理答案》.pdf 《无穷分析引论》（欧拉经典巨著）.pdf <《无穷分析引论》赏析>.pdf. 《高等数学引论》（华罗庚分1，2，3，4四个部分）《高等数学引论余篇》（华罗庚）.pdf 《数学的发现》（波利亚分第一卷，第二卷）
数学书推荐（含高数）第一次分享的时候大家估计都高考，没 人关心这篇巨著，故重发一次吧 Z：数学书推荐（含高数）第一次分享的时候大家估计都高考，没人关心这篇巨著，故重发一次吧~~ 目录 引言 一数学分析 二高等数学 三高等代数 四线性代数 五解析几何 六概率论 七常微分方程 八偏微分方程 九数学物理方程(数学物理方法) 十复变函数 十一实变函数 十二泛函分析 十三高等几何 十四微分几何 十五拓扑学 十六近世代数 十七离散数学 十八组合数学 十九数值分析 二十数学建模 二十一数学史 附录数学软件 后记
引言 早就有一种想法：把一些非常好的数学书籍尽量全面地推荐给广大数学爱好者和吧友们。这是由于以下原因：一是在我们高等数学吧不断有吧友发贴询问推荐一些（高等）数学方面比较好的书籍，可能其中有部分是初学者，因而急需一些有经验的学长推荐些好书，以便不走弯路。二来恰好笔者也有类似经历，初接触高等数学方面的书籍时，也不知有啥好坏或者稂莠之别，后来在一些这些书的内容中了解到、在网上一些学长的贴子中看到很多“经典”和比较“好”的教材、参考书、课外书籍等，于是在广泛查阅、拜读之后，把我所看过的和所知道的一些很好的书目记录下来，提供朋友们参考。希望能给大家有所帮助。 实际上所谓的“好书”和经典书，并不限于数学方面，其他学科方面的有，相信大家也看过不少，这里只说数学方面的。以下结合本人经验和一些学长的见解，共写有二十一个专题，每个专题都有该学科的简介或者是小结；相应的介绍书籍则是按【教材】、【习题集】、【辅导书】、【提高】四个方面来写，而且每本书后有简评供参考。最后附录介绍几个常用数学软件。 ============ 注：1)打引号或书名号的课程名词被认为是指书籍或课程名，否则是指这一数学学科类(领域)。 2)以下推荐的书籍一般不标注版本，因为随时有新版出版的可能，并且不一定新版就比旧版的好一些，有时还不如旧版的。最好多结合几个版本来看（有三个以上版本的不要看第一版，结合看最新版和倒数几个旧版），这样能学到更多。这是笔者的经验。如果书后标有版本号的，一般是指比较好的版本。 3)关于出版社的问题，这个不必要过多追究，因为大部分书不会用一个以上的出版社出版，况且不同出版社出版同一本书，只是版式和符号的样式不同而已，内容不会有别。 4)书比较多，不可能每本(或者选取大多数自己喜欢的)都买，除非你非常有钱，或者是个数学书籍收藏家。要知道，大学及其以上的教
“点集拓扑学”课程教学大纲 课程编号：08021050 课程名称：点集拓扑学/ General topology 学时：32学时学分：2学分 适用专业：数学与应用数学开课学期：第6学期 开课部门：数学与计算机科学学院 先修课程：数学分析 课程考核： (1)考核形式：平时作业、考勤和期末考试（闭卷考试，百分制成绩） (2)成绩计算：课程成绩按百分制计算，其中期末试卷考试成绩占70%，平时作业、课堂考核占30%。 使用教材及主要参考书： 熊金城编著，《点集拓扑讲义》第四版，高等教育出版社，2011年 一、课程的性质和任务 《点集拓扑学》是数学与应用数学专业的专业选修课程，是数学专业方向的重要课程，《点集拓扑学》是近、现代数学学习和研究的基础。通过本课程的学习，使学生初步掌握拓扑学的基本知识点。同时，通过点集拓扑学中基本理论知识，增强学生对几何学的了解，为后续课程学习和学生今后的进一步深造打下坚实的基础。 二、教学目的与要求 通过本课程的学习，使学生学生较好地掌握拓扑空间的定义、拓扑空间之间的同胚映射等；理解拓扑性质：连通性、分离性、可数性、紧致性、完备性等；为进一步在数学领域深造及学习本学科的前沿知识打下基础，同时培养学生的抽象思维，逻辑推理能力以及研究与解决数学问题的能力。 四、教学中应注意的问题 本课程以课堂讲授为主，精讲多练，注重理论联系实际。各章中平行的内容可安排学生自学，以提高学生独立思考和解决问题的能力。 《点集拓扑学》课程涉及的概念较多，解题方法灵活多样，更需要分析和
解决问题的能力，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，基本方法的运用，从而达到理解、掌握所学知识的目的。因此独立完成作业是学好本课程的重要手段。在教学中，通过习题的布置，使学生深入理解基本原理及概念，提高分析和解决问题的能力。 五、课程教学内容 第一章拓扑空间与连续映射 1. 教学基本内容 （1）拓扑空间的定义； （2）拓扑空间上的连续映射、同胚； （3）拓扑空间的性质：邻域、基、子基、导基、闭包等。 2. 教学基本要求 （1）理解拓扑空间的定义； （2）理解拓扑空间上的连续映射、同胚； （3）掌握拓扑空间中邻域、基、子基、导基、闭包等的意义； 3. 教学重点与难点 （1）教学重点：理解拓扑空间的定义； （2）教学难点：掌握拓扑空间中邻域、基、子基、导基、闭包等。 4. 教学建议 本章内容以课堂讲授为主，强调学生课前自习，在课堂中组织学生进行讨论。 . 第二章连通性与分离性 1. 教学基本内容 （1）连通性：定义、连通分支、道路连通、局部连通的判定； （2）分离性：第一可数性公理与第二可数性公理、分离性公理； 2. 教学基本要求 （1）理解连通性的定义； （2）掌握连通分支的判定； （3）掌握道路连通、局部连通的判定； （4）掌握第一可数性公理与第二可数性公； （5）掌握分离性公理。 3. 教学重点与难点 （1）教学重点：掌握连通分支的判定； （2）教学难点：掌握分离性公理。 4. 教学建议
点集拓扑学教案 为聊城大学数学科学学院数学与应用数学专业三年级本科生开设《点集拓扑》课程。 按熊金城《点集拓扑讲义》(第三版, 北京: 高等教育出版社, 2003)第一至七章编写的教案。 本科生授课 64学时，教学内容与进度安排如下：
第一章 朴素集合论 点集拓扑学(Point-set Topology)现称一般拓扑学(General Topology), 它的起源与出发点都是 集合论. 作为基本的点集拓扑学知识, 所需的只是一些朴素集合论的预备知识. 本章介绍本书中 要用到的一些集合论内容, 主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选择公理等. 作为一教材, 讲义对各部分内容均有较系统的论述 , 作为授课, 我们只强调一些基本内容, 而对 已有过了解的知识不提或少提. 记号: Z, Z +, R, Q 分别表示整数集, 正整数集, 实数集和有理数集. 教学重点：集合的基本概念、运算，映射的概念；教学难点：选择公理 一. 集合的运算 幂集 P )(X , 交∩ 、并∪、差－(补, 余/ ,A A c ). 运算律: De Morgan 律: (1) C)-(A B)-(A C)(B -A ⋂=⋃. (2) C)-(A B)-(A C) (B -A ⋃=⋂A-(B ∩ C)=(A-B)∪(A-C) 利用集合的包含关系证明(1). 类似可定义任意有限个集的交或并, 如记 Y Y n i n i i i n n n A A A A A A A A ≤=-==⋃⋃⋃=⋃⋃⋃11121)...(...A i . 规定 0 个集之并是 φ, 不用 0 个集之交. 二. 关系 R 是集合X 的一个关系, 即R y x X X R ∈⨯⊂),(,记为 xRy , 称 x 与 y 是 R 相关的. R 称为自反的, 若X x ∈∀, xRx; R 称为对称的, 若 xRy, 则 yRx; R 称为传递的, 若 xRy, yRz, 则 xRz. 等价关系: 自反、对称、传递的关系.
实变函数课程教学大纲 一、课程说明： 1、课程性质： 本课程是数学系基础课，为数学系本科学生所必修，也是微积分的进一步深化，这部分内容为学生进一步学习其它数学分支如泛函分析，函数论，微分方程，概率论和科学研究提供必不可少的基础知识。 它是一学期课程，学时数的安排为：一学期68=174课时，其中习题课17课时。2、本课程的教学目的与要求： 通过实变函数这一学科的学习，应使学生较好的掌握测度与积分这个基本的数学工具，特别是极限与积分顺序的交换。并且在一定程度上掌握集的分析方法。 通过这门学科的教学，要加强对学生的抽象思维能力，逻辑推理能力的培养。在某些与中学教材相关的教学内容中，要引导学生在学习新知识的同时要加深对相关的中学教材的内容及背景的理解，使他们在今后的教学实践能用较高的观点处理中学教材。为培养成人师范学生较强的教学能力打下坚实的基础。 3、先行或后继课程： 实变函数是第五学期开设的专业必修课。是在数学分析的基础上发展而成，同时本课程又用到了高等代数和解几何中的一些基本知识。它的后继课程课有概率统计、泛函分析、点集拓扑等。 4、教学时数分配表：
章节目录第一节．集合与子集合第二节．集合的运算第三节．映射与基数第一章第四节．Rn中点与点之间的距离某点集的极限点集合n与点集第五节．R中基本点集：闭集、开集、Borel集、Cantor集第六节．某连续变换与可测集习题课第二章第一节．点集的Lebegue外测度课时分配11421341(选学)415110 Lebegue第二节．可测集与测度441112测度第三节．可测集与Borel 集的关系第四节．正测度与矩体的关系第五节．不可测集第六节．某连续变换与可测集习题课第一节．可测函数的定义及其性质484462462416第三章第二节．可测函数列的收敛可测函数第三节．可测函数与连续函数的关系习题课第一节．非负可测函数的积分第二节.一般可测函数的积分第四章Lebegue第三节．可积函数与连续函的性质第四节.Lebegue积分与Riemann积分的性质第五节.重积分与累次积分的关系习题课总课时数积分685、使用教材： 普通高等教育“九五”教育部重点教材北京大学出版社，周民强编著《实变函数论》。 6、教学方法与手段： 本课程可选择采用两种方案讲授，其一是直接建立一般的测度和积分理论，以 Lebegue测度与积分作为特例；其二是着重介绍Lebegue测度和积分理论，而后简 述一般测度论的结果，并引导有兴趣的学生自行深入讨论。 111 知识点的理解。也可以帮助学生提高自学能力和解题能力，并开阔思路。
研究生课程教课纲领 课程编号： 00912717 课程名称：拓扑学 英文名称： Topology 学时： 32 学时 学分： 2 学分 合用学科：信息与计算科学 课程性质：学位课 先修课程：近世代数、会合论 一、课程的性质及教课目的 课程性质：拓扑学是信息与计算科学专业的专业课。拓扑学是数学的基础学科之一，也是数学有关专业的一门重要的基础课。其与剖析学、微分几何、动力系统 等数学的其余分支有着十分密切地联系，而且这门学科在物理学、地质学及经济学等其余领域中也有好多应用。经过本门课程的教课，使学生认识和掌握拓扑学的基本内容，为进一步学习其余课程，并为未来从事教课、科研及其余实质工作打好基础。 教课目的：经过本课程的学习，使学生认识和掌握点集拓扑学与代数拓扑学的基本理论和方法，为学习有关后继课程，进一步扩大数学知识面确立必需的数学基础。 二、课程的教课内容及基本要求 第一章拓扑空间与连续性 1、理解与掌握拓扑、开集与闭集、邻域、闭包、内部、内点、子空间这些观点 以及它们所拥有的性质；理解这些观点在胸怀空间的相应形式；能认识一些拓扑空间。 2、理解与掌握连续映照的定义与多种等价的定义；理解与掌握连续映照的 性质；理解同胚与拓扑不变性。 3、理解与掌握乘积空间与拓扑基的观点及相应的性质。 第二章几个重要的拓扑性质 1、理解与掌握分别公义 T1、T 2、T3及 T4公义以及知足分别公义的拓扑空间所具
有的拓扑性质。 2、理解与掌握可数公义C1公义和 C2公义以及知足可数公义的拓扑空间所拥有的拓扑性质。 3、认识 Urysohn 引理和 Tietze 扩充定理及其应用。 4、理解与掌握紧致空间与紧子集的定义与性质，特别是理解与掌握紧子集与闭 子集的关系；理解与掌握紧胸怀空间的连续映照的性质；理解局部紧空间的定义与性质；理解单点紧致化的定义与性质。 5、理解与掌握连通空间、局部连通空间、道路连通空间与局部道路连通空间的 定义与性质。 第三章商空间与闭曲面 1、认识空间中的几种常有曲面。 2、理解与掌握商空间与商映照的定义及二者之间的关系；认识某些图形经过商 映照后获得的商空间的种类。 3、理解与掌握拓扑流形与闭曲面的定义。 4、理解与掌握闭曲面的分类定理内容；认识分类定理的证明过程；会判断给定 多边形表示的闭曲面的种类。 第四章同伦与基本群 1、理解同伦、同伦等价与相对同伦，缩短核、形变缩短核与强形变缩短核的概念；能结构简单映照的同伦。 2、理解定端同伦与道路类的观点；理解道路类乘法的定义与性质；理解与掌握 基本群的定义与性质；理解与掌握由连续映照所引诱的基本群之间的同态的定义与性质。 3、掌握计算基本群的一些方法：如利用基本群的同伦不变性，利用乘积空间基 本群的直积表示，利用Van-Kampen定理；认识基本群的几点应用，如证明朝数基本定理与 2 维的 Brouwer 不动点定理等。 4、认识几种典型流形的基本群，如S1、S2及 T2等；会计算简单流形的基本群。第五章复叠空间 1、理解与掌握复叠空间的定义与性质；认识一些最简单拓扑空间的复叠空间的 例子。 2、认识同论提高定理与映照提高定理；理解复叠空间的存在性定理与分类定理。
点集拓扑学 General Topology 【课程编号】 RZ2150 【课程类别】专业必修 【学分数】 3 【适用专业】数学与应用数学 【学时数】 50 【适用专业】 数学与应用数学 【先修课程】 数学分析，实变函数，近世代数 一、教学目的、任务 点集拓扑学是高等学校数学与应用数学本科专业学生一门必修的重要专业理论课，它是为培养现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。点集拓扑学课程的教学效果，对学生后续数学课程的学习及今后从事数学教学和研究都有着深远的影响。 通过本课程的学习，要使学生初步获得点集拓扑学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为进一步学习数学专业后继课程打下良好的基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力，逻辑推理能力，空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。 二、课程教学的基本要求 通过对集合论、拓扑空间、子空间、积空间、商空间、连通性、可数性公理、分离性公理和紧空间的学习，要求学生理解集合、关系、映射、集族、可数集等概念, 掌握集合和集族的运算；要求学生理解度量空间、拓扑空间、基的概念, 了解子基和序列的概念, 掌握连续映射、拓扑空间的内部结构；要求学生掌握子空间和积空间, 了解商空间；要求学生理解连通性的概念, 了解连通性的简单应用, 了解连通分支、局部连通空间和道路连通空间；要求学生理解可数性公理和可分性的概念, 掌握Ｌｉｎｄｌｏｆ空间；要求学生理解分离性公理的概念, 掌握0T 1T 2T 3T 4T -空间及可度量化空间, 了解Ｕｒｙｓｈｏｎ引理和完全正则空间；要求学生理解紧空间的概念, 了解紧性与分离性公理的关系, 掌握.紧空间, 知道欧氏空间的紧子集和几种紧性。 三、教学内容和学时分配 （一）第一章 集合论初步 学时 10 主要内容： 第一节 集合的运算 第二节 集合的运算 第三节 关糸 第四节 等价关糸 第五节 映射 第六节 集族及其运算 第七节 可数集 第八节 选择公理