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高等代数第五章知识点总结高等代数是数学中的一个重要分支，主要研究代数结构、线性代数、群论等数学领域。
第五章主要涉及线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换等知识点。
以下是对这些知识点的总结:1. 线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合，其中每个方程都是一次多项式。
线性方程组的解称为线性方程组的解，可以用矩阵和向量来表示。
2. 矩阵：矩阵是一种特殊的数组，可以表示线性方程组、线性变换和向量空间等数学对象。
矩阵的加法、数乘等运算符合矩阵的定义，并且矩阵具有一些特殊的性质，如行列式、秩等。
3. 向量空间：向量空间是一个线性空间，其中添加了一个标量值域。
向量空间的元素称为向量，向量空间的基和维数是重要概念。
向量空间的加法、数乘等运算符合向量空间的定义。
4. 线性变换：线性变换是一个将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。
线性变换的特征是保持向量空间的加法和数乘运算。
线性变换的矩阵表示是一个方阵，其中每行每列都是一个向量。
5. 特征值和特征向量：特征值和特征向量是两个重要的概念，用于描述矩阵的性质。
矩阵的特征值是指矩阵在乘以某个向量后得到的值，而特征向量是指与特征值相关的向量。
6. 相似矩阵：相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。
相似矩阵之间具有一些相似性质，如行列式、秩等。
相似矩阵可以用来表示线性变换的缩放比例和旋转角度。
7. 克莱默法则：克莱默法则是一个用于求解线性方程组的公式，可以将线性方程组的系数矩阵转换为阶梯形矩阵或行最简矩阵，从而求解线性方程组的解。
8. 特征值分解：特征值分解是将矩阵分解成一组特征向量的乘积，从而求解矩阵的特征值和特征向量。
特征值分解在矩阵的分解和求解中发挥着重要作用。
9. 二次型：二次型是一种特殊的矩阵，其元素是二次多项式。
二次型可以用来表示线性变换的对称矩阵和非对称矩阵，并且具有一些重要的性质，如行列式、秩等。
以上是第五章的主要知识点总结，这些知识点是高等代数中的重要基础，对于理解代数结构、线性代数和群论等数学领域具有重要意义。
一、课程名称：高等代数二、授课对象：大学本科生三、教学目标：1. 掌握线性空间、线性方程组、矩阵、行列式等基本概念；2. 理解线性变换、特征值、特征向量等线性代数的基本理论；3. 学会运用线性代数知识解决实际问题。
四、教学内容：1. 线性空间2. 线性方程组3. 矩阵4. 行列式5. 线性变换6. 特征值与特征向量五、教学重点：1. 线性空间、线性方程组、矩阵、行列式等基本概念；2. 线性变换、特征值、特征向量等线性代数的基本理论。
六、教学难点：1. 线性空间、线性方程组、矩阵、行列式等基本概念的深刻理解；2. 线性变换、特征值、特征向量等线性代数理论的灵活运用。
七、教学方法：1. 讲授法：系统讲解线性代数的基本概念和理论；2. 案例分析法：通过具体案例讲解线性代数的应用；3. 讨论法：引导学生积极参与课堂讨论，提高学生的思考能力；4. 练习题讲解法：针对课堂练习题进行讲解，帮助学生掌握解题方法。
八、教学过程：第一课时：线性空间1. 引入线性空间的概念，讲解线性空间的基本性质；2. 举例说明线性空间的实际应用；3. 学生课堂练习，巩固线性空间的基本概念。
第二课时：线性方程组1. 介绍线性方程组的求解方法，如高斯消元法；2. 讲解矩阵的秩与线性方程组的解的关系；3. 学生课堂练习，巩固线性方程组的求解方法。
第三课时：矩阵1. 介绍矩阵的基本运算，如矩阵乘法、转置等；2. 讲解矩阵的逆、伴随矩阵等概念；3. 学生课堂练习，巩固矩阵的基本运算。
第四课时：行列式1. 介绍行列式的概念，讲解行列式的性质；2. 讲解行列式的计算方法，如拉普拉斯展开法；3. 学生课堂练习，巩固行列式的计算方法。
第五课时：线性变换1. 介绍线性变换的概念，讲解线性变换的性质；2. 讲解线性变换的矩阵表示法；3. 学生课堂练习，巩固线性变换的概念和矩阵表示法。
第六课时：特征值与特征向量1. 介绍特征值与特征向量的概念，讲解特征值的性质；2. 讲解求解特征值与特征向量的方法；3. 学生课堂练习，巩固特征值与特征向量的求解方法。
全套高等代数教案第一章：高等代数概述1.1 高等代数的定义与意义理解高等代数的基本概念了解高等代数在数学及其它领域中的应用1.2 基本术语和符号学习常见的代数运算符掌握基本的代数表达式1.3 基本定理和性质学习线性方程组的解的存在性定理理解线性空间的基本性质第二章：矩阵和行列式2.1 矩阵的基本概念理解矩阵的定义和矩阵元素的意义学习矩阵的运算规则2.2 行列式的定义和性质理解行列式的概念掌握行列式的计算方法2.3 矩阵和行列式的应用学习矩阵在几何中的应用了解矩阵在概率论和统计中的应用第三章：线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法的原理和步骤掌握高斯消元法的应用3.2 矩阵的秩理解矩阵秩的概念学习矩阵秩的计算方法3.3 线性方程组的解的结构理解线性方程组解的存在性定理学习线性方程组解的方法第四章：特征值和特征向量4.1 特征值和特征向量的定义理解特征值和特征向量的概念学习特征值和特征向量的计算方法4.2 矩阵的对角化理解矩阵对角化的概念掌握矩阵对角化的方法4.3 特征值和特征向量的应用学习特征值和特征向量在几何中的应用了解特征值和特征向量在物理中的应用第五章：向量空间和线性变换5.1 向量空间的基本概念理解向量空间和子空间的概念学习向量空间的基和维数5.2 线性变换的基本概念理解线性变换的定义和性质学习线性变换的矩阵表示5.3 线性变换的应用学习线性变换在几何中的应用了解线性变换在信号处理中的应用第六章：特征多项式和最小多项式6.1 特征多项式的定义和性质理解特征多项式的概念学习特征多项式的计算方法6.2 最小多项式的定义和性质理解最小多项式的概念掌握最小多项式的计算方法6.3 特征多项式和最小多项式的应用学习特征多项式和最小多项式在矩阵对角化中的应用了解特征多项式和最小多项式在多项式环中的应用第七章：二次型7.1 二次型的定义和基本性质理解二次型的概念学习二次型的标准形和规范形7.2 惯性定理和二次型的分类理解惯性定理的概念学习二次型的分类方法7.3 二次型的应用学习二次型在几何中的应用了解二次型在优化问题中的应用第八章：线性微分方程组8.1 线性微分方程组的定义和性质理解线性微分方程组的概念学习线性微分方程组的解的结构8.2 常系数线性微分方程组的解法学习常系数线性微分方程组的解法掌握常系数线性微分方程组的通解8.3 线性微分方程组的应用学习线性微分方程组在物理学中的应用了解线性微分方程组在经济学中的应用第九章：特征值问题的数值解法9.1 特征值问题的数值解法概述了解特征值问题的数值解法的概念学习特征值问题的数值解法的方法9.2 幂法和反幂法学习幂法和反幂法的原理和步骤掌握幂法和反幂法的应用9.3 稀疏矩阵和迭代法理解稀疏矩阵的概念学习迭代法的原理和步骤第十章：高等代数的进一步研究10.1 向量丛和纤维丛理解向量丛和纤维丛的概念学习向量丛和纤维丛的分类方法10.2 群表示论的基本概念理解群表示论的概念学习群表示论的基本性质10.3 高等代数的其它研究领域了解高等代数在数学物理方程中的应用学习高等代数在和机器学习中的应用重点和难点解析重点环节一：矩阵的秩秩的概念是高等代数中的重要概念，理解秩的计算方法和秩的性质对于后续学习线性变换、矩阵对角化等高级内容至关重要。
同济大学线性代数教案第五章线性空间与线性变换------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx线性代数教学教案第五章线性空间与线性变换授课序号01为实数域对于加法交换律：+α加法结合律：(α是实数域上线性空间a对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间.)()[]}为上的连续函数是定义在区间,bx f x a12m m mn aa a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭() n⨯是非空的, (m nM⨯1112n m nnaa aaa a a⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎭{++n a x a(){T x，在其中定义加法及乘数运算为验证对上述加法与乘数运算构成线性空间在实数域上线性空间12n m nn aa a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭nn a a ⎪⎪⎪⎪⎭的加法和数乘是封闭的的一个子空间。
授课序号02个元素,,,ααα 12,,,n ααα线性无关总可由,,,ααα线性表示那么，12,,,n ααα就称为线性空间设,,,ααα是线性空间有序数组12,,,n x x x ,,,x x x 在基,,,ααα),n x .设12,,,n ααα与12,,,n βββ中的两个基则上式称为从基,,,ααα到基12,,,n βββ,,,ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵。
由于12,,,n βββ线性无关在基,,,ααα下的坐标为在基,,,βββ，且由基,,,ααα到基,,,βββn n x y ⎪ ⎪⎭⎝⎭n n y x ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a ⎫⎪⎭有1112212210010000a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝==11,,p x授课序号03到m U 的线性映射性组合的对应的映射. 特别地，如果取若12,,,m ααα线性相关，则12,,,m T T T ααα的像集(T V 是一个线性空间，称为线性变换的一个基为12,,,n ααα,在基12,,,n ααα下的矩阵。
教学目标：1. 知识与技能：（1）掌握线性空间的基本概念、性质及运算；（2）了解线性变换的定义、性质及运算；（3）学会利用线性空间与线性变换解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析，引导学生理解线性空间与线性变换的概念；（2）通过小组讨论，培养学生的合作探究能力；（3）通过实际问题解决，提高学生的应用能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生严谨、求实的科学态度；（2）激发学生对数学学科的兴趣，提高学习积极性；（3）培养学生的创新意识和团队协作精神。
教学重点：1. 线性空间与线性变换的基本概念、性质及运算；2. 利用线性空间与线性变换解决实际问题。
教学难点：1. 线性空间与线性变换的运算；2. 线性空间与线性变换的应用。
教学准备：1. 教师准备：多媒体课件、教学案例、课堂练习；2. 学生准备：复习相关知识点，预习新课内容。
教学过程：一、导入1. 复习线性方程组解的结构，引导学生思考线性方程组的解与线性空间之间的关系；2. 提出问题：如何将线性方程组的解法推广到更一般的情况？二、新课讲解1. 介绍线性空间的基本概念，包括向量空间、线性子空间、基、维数等；2. 讲解线性空间的性质，如加法封闭性、数乘封闭性、线性组合、零向量、单位向量等；3. 介绍线性变换的定义、性质及运算，如线性变换的加法、数乘、逆变换等；4. 分析线性变换与线性空间之间的关系，如线性变换的矩阵表示、线性变换的核与像等。
三、实例分析1. 通过实例分析，引导学生理解线性空间与线性变换的概念；2. 结合实例，讲解线性空间与线性变换的运算。
四、小组讨论1. 将学生分成小组，针对以下问题进行讨论：（1）线性空间与线性变换有什么区别？（2）如何判断一个集合是否为线性空间？（3）线性变换的核与像有什么关系？2. 各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
五、实际问题解决1. 提供实际问题，如线性方程组的求解、线性规划等；2. 引导学生利用线性空间与线性变换的知识解决实际问题；3. 学生展示解题过程，教师点评并总结。
线性空间的教案教案标题：线性空间的教案教案目标：1. 理解线性空间的概念和特性。
2. 掌握线性空间的基本性质和运算规则。
3. 能够解决与线性空间相关的问题。
教案概述：本教案旨在引导学生深入了解线性空间的概念和性质，通过具体的例子和实践操作，帮助学生掌握线性空间的基本运算规则和性质，培养学生的抽象思维和解决问题的能力。
教学准备：1. 教师准备：a. 熟悉线性空间的定义和基本性质。
b. 准备相关的教学材料和示例题目。
c. 确保教学环境和设备的正常运作。
2. 学生准备：a. 复习线性代数的基本知识，包括向量、矩阵等概念。
b. 准备笔记本和写作工具。
教学步骤：步骤一：导入（5分钟）a. 引入线性空间的概念，与学生一起回顾线性代数的基本知识。
b. 提出一个实际问题，例如：如何描述一个三维空间中的平面？引导学生思考该问题与线性空间的关系。
步骤二：概念讲解（15分钟）a. 介绍线性空间的定义和基本性质，包括加法和数乘的封闭性、零向量和负向量的存在性等。
b. 通过示例解释线性空间的概念，例如：R^2（二维实数空间）和P_n（n次多项式空间）等。
步骤三：运算规则（20分钟）a. 讲解线性空间中向量的加法和数乘的运算规则，并通过具体的例子进行演示。
b. 引导学生进行练习，巩固线性空间的运算规则。
步骤四：性质探究（20分钟）a. 提出一个与线性空间相关的问题，例如：证明一个子集是否构成线性空间。
b. 引导学生分析问题，运用线性空间的定义和性质进行推理和证明。
c. 学生个别或小组讨论，展示解决问题的思路和方法。
步骤五：拓展应用（15分钟）a. 引导学生思考线性空间在实际问题中的应用，例如：线性回归、图像处理等。
b. 讨论线性空间在其他学科中的应用，如物理学、经济学等。
c. 鼓励学生提出自己的问题和思考，拓展线性空间的应用领域。
步骤六：总结与评价（5分钟）a. 总结线性空间的概念和基本性质。
b. 与学生一起回顾本节课的重点和难点。
§5.2 向量的线性相关性教学目的让学生熟练掌握线性组合、线性表示、线性相关,、线性无关、向量组等价的概念及性质, 通 过实例理解相应的定理及结果,学会判定向量的线性相关及线性无关;理解极大无关组及向量 组的秩的概念及性质, 通过实例理解相应的定理及结果,学会求解极大无关组及向量组的秩教学难点极大无关组及向量组的秩的性质与求法教学重点向量的线性相关与线性无关有关概念及性质，极大无关组及向量组的秩的概念、性质及求法 教学课时教 学 过 程 备 注教学 引入在V3中，取向量a1＝(1,-2, 0)，a2＝(-2, 3, 1)，a 3＝(-3, 4, 2).则向量a1,a2,a 3之间有如下关系：a 3＝a1+2a2.这表明a3 可以由a1,a2 经过向量的加法运算及数与向量的乘法运算而得到，这时 就称a3 可以由a1,a2 线性表示，或称a3 是a1,a2的线性组合.教学 环节 一、线性相关的概念1.线性组合或线性表示的概念定义1 设V是数域F上的一个向量空间，a1,a2, … ,a s是V中的一组向量，k1, k2, …，k s是F中的数. 我们把向量k1a1+k2a2 +…＋ k s a s称为a1,a2, … ,a s的一个线性组合，令a＝k1a1+k2a2 +…＋ k s a s, 称a可由a1, a2, … ,a s线性表示.例 1在M22´(F)中，任一向量都可由下列向量线性表示：÷ ÷øöç çèæ1,÷ ÷øöç çèæ1,÷ ÷øöç çèæ1,÷ ÷øöç çèæ1.这是因为÷ ÷øöç çèæ4321aaaa＝a1÷ ÷øöç çèæ1+a2÷ ÷øöç çèæ1+a3÷ ÷øöç çèæ1+a4÷ ÷øöç çèæ1.例 2在 R n[x]中，任何一个二次多项式都可以由 1, x, x2 线性表示，但不能由 1, x线性表示.例 3向量组{a1,a 2, …，a s}中任何一个向量a i(1£ i£ s )都可以由这个向量 组线性表示. 这是因为a i＝0a1+…+0a i-1 +1a i+0a i+1+…+0a s例4在任意向量空间V中，零向量是任意向量组{a1,a 2,…，a s}的线性组合. 这 是因为0＝0a1＋0a2＋…＋0a s.对F上向量空间V的向量组{a1, a 2,…，a s}，显然0＝0a1＋0a2＋…＋0a s，除此 之外， 有时零向量也可以由另外一个表达式表示： 0＝a1a1＋a2a2＋…＋a s a s， 而a1，a2， …，a s不全为零. 譬如，在R3 中，设a1＝(2,0, -1), a2＝(-1, 2, 3), a3＝(0, 4, 5), 这时， 不仅有 0a1+0a2+0a3＝0，而且还有a1+2a2-a3＝0. 对具有这种特性的向量组，我们给 予特别的关注.2.线性相关和线性无关的概念定义 2设a1, a2,…, a r是F上向量空间V的r个向量. 如果存在F中一组不全为零的数 k 1, k 2,…, k r ，使得k 1a 1+k 2a 2+…＋ k r a r ＝0 ， (1)那么就称向量a 1, a 2,…, a r 线性相关.如果不存在不全为零的数 k 1, k 2,…, k r 使(1)式成立，或者说，只有当 k 1＝k 2＝…＝k s ＝0时，(1)式才成立，那么就称a 1, a 2,…, a r 线性无关. 例 5 向量a 1＝(2,0, -1), a 2＝(-1, 2, 3), a 3＝(0, 4, 5)线性相关. 因为a 1+2a 2-a 3＝0.例 6 向量b 1＝(1,1,1), b 2＝(1,1,0), b 3＝(1,0,0)线性无关. 这是因为，若k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3＝0，即k 1 (1,1,1)+k 2(1,1,0)+k 3(1,0,0)＝(0,0,0)，所以有方程组ï îï í ì = = + = + + . 0 0 0 1 2 1 3 2 1 k k k k k k 求解，得 k 1＝k 2＝k 3＝0. 这就是说，只有当 k 1＝k 2＝k 3＝0 时，才有 k 1b 1＋k 2b 2＋k 3b 3＝0. 所以b 1，b 2，b 3线性无关.例 7 在 M n m ´ (F )中，令 ij E (i ＝1，2，…,m ，j ＝1，2，…，n )表示第i 行，第 j 列交点处的元素是1 而其余元素全是零的 m ´n 矩阵.设 ij k (i ＝1，2，…，m ，j ＝1，2，…，n )是一组F 中的数，且满足 0 = åå = = ij m i n j ijk E 1 1 . 即÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ mn m m n n k kk k k k k k k L L L L L L L 2 1 2 22 21 1 12 11 ＝0.则k ij ＝0(i ＝1，2， …，m ， j ＝1， 2，…， n ). 因此，向量组{E ij |i ＝1， 2，…， m ， j ＝1，2，…，n }线性无关.例 8 任一含有零向量的向量组线性相关. 假设向量组{a 1, a 2,…, a s }中有一个零向量，不妨设a 1＝0, 于是有不全为零的数 1，0，…，0，使得1a 1+0a 2+…+0a s ＝0.所以a 1, a 2,…, a s 线性相关.特别地，单独一个零向量线性相关；我们还可得到，单独一个非零向量线性无关.例 9 判断R 3 的向量a 1＝(1,0, -1), a 2＝(-2, 2, 0), a 3＝(3, -5, 2)是否线性相关.设 k 1a 1＋k 2a 2＋ k 3a 3＝0，即k 1 (1,0, -1)＋ k 2 (-2, 2, 0)＋ k 3 (3, -5, 2)＝(0, 0, 0).上式相当于线性方程组ï î ï í ì = + - = - = + - . 0 2 05 2 0 3 2 3 13 2 3 2 1 k k k k k k k 解此方程组，得 k 1＝2k 3，k 2＝ 25 k 3. 只要令 k 3＝1, 就有 k 1＝2， 例 7 与例 2 是同宗的， 因此只要 理解例2就 行了k 2＝ 2 5 . 从而 2a 1+ 25 a 2+a 3＝0. 所以a 1, a 2, a 3 线性相关. 3.向量的线性组合与线性无关的几个结果定理 5.2.1 设向量组{a 1 , a 2 , …, a r }线性无关，而向量组{a 1, a 2, …, a r , b }线性相关，则b 一定可由a 1, a 2, …, a r 唯一地线性表示.证 因为a 1 , a 2 , …, a r , b 线性相关，所以存在不全为零的数k 1, k 2, …, k r , k ，使得k 1a 1＋k 2a 2＋…＋k r a r ＋k b ＝0.假如 k ＝0，上式变为k 1a 1＋k 2a 2＋…＋k r a r ＝0 .并且 k 1, k 2, …, k r 中至少有一个不等于零，这与a 1, a 2, …, a r 线性无关矛盾，因此 k ¹0. 从而b ＝ k k 1 - a 1 k k 2 - a 2 -… kk r - a r . (2) 即b 是a 1, a 2, …, a r 的线性组合.下证表示法的唯一性. 设b ＝k 1a 1＋k 2a 2＋…＋k r a r ，b ＝l 1a 1＋l 2a 2＋…＋l r a r .我们只须证明 k 1＝l 1, k 2＝l 2，…，k r ＝l r . 为此，把上面两式相减，即得(k 1－l 1)a 1＋(k 2－l 2) a 2＋…＋(k r －l r ) a r ＝0.由于a 1，a 2，…，a r 线性无关，因此要使上式成立，必须k 1－l 1＝k 2－l 2＝…＝k r －l r ＝0因此，k 1＝l 1，k 2＝l 2，…，k r ＝l r . □定理 5.2.2 向量组{a 1, a 2, …, a r }(r ³2)线性相关的充要条件是其中某一个向量是其余向量的线性组合.证 因为a 1, a 2, …, a r 线性相关，所以存在不全为零的数 k 1, k 2, …, k r 使得k 1a 1＋k 2a 2＋…＋k r a r ＝0.不妨设 k 1¹0，于是a 1 = 1 2 k k - a 2 -…- 1k k r a r ， 即a 1可以由a 2, a 3, …, a r 线性表示.反过来，设a 1, a 2, a 3, …, a r 中某一向量，例如a r 是其余向量的线性组合.a r ＝a 1a 2＋a 2a 2＋…＋a r －1a r －1.那么就有a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a r －1a r －1＋(－1)a r ＝0. □因为a r 的系数不等于零，所以a 1, a 2, …, a r 线性相关.定理 5.2.3 如果向量组{a 1, a 2, …, a r }线性无关，那么它的任意一个部分组也线性无关.证 用反证法. 假设a 1, a 2, …, a r 中有一个部分组线性相关，不妨设前p 个向量线性相关，于是存在不全为零的数 a 1, a 2, …, a p 使a 1a 1＋a 2a 2 ＋…＋a p a p =0.取 a p +1=…= a r =0，那么a 1a 1 ＋ a 2a 2 ＋…＋a p a p ＋0 a p +1＋…＋0a r =0.而 a 1, …, a p 不全为零，所以a 1, a 2, …, a r 线性相关，矛盾. □二、向量组等价的概念1.向量组的线性表示及性质(1)向量组的线性表示定义 3 若向量组{a 1 , a 2 , …, a s }中每个向量都可由向量组{b 1, b 2，…, b t }线性表示，则称向量组{a 1, a 2, …, a s }可由向量组{b 1, b 2, …,b t }线性表示.例 10 设e 1＝(1,0,0), e 2＝(0,1,0), e 3＝(0,0,1)；b 1＝(1,1,1), b 2＝(1,1,0), b 3＝(1,0,0).是两个向量组. 因为b 1＝e 1＋e 2＋e 3，b 2＝e 1＋e 2＋0e 3，b 3＝e 1＋0e 2＋0e 3.所以向量组{b 1, b 2, b 3}可由向量组{e 1，e 2，e 3}线性表示. 因为，e 1＝0b 1＋0b 2＋b 3，e 2＝0b 1＋b 2－b 3，e 3＝b 1－b 2＋0b 3.所以向量组{e 1, e 2, e 3}也可由向量组{b 1, b 2, b 3}线性表示.设向量b 可以由向量组{a 1, a 2, …, a r }线性表示，则存在 r 个数 k 1，k 2，…，k r使得b ＝k 1a 1＋k 1a 2＋…＋k r a r .类似于矩阵的乘法运算，我们可以把上式改写成如下形式：b ＝( r a a a , , , 2 1 L ) ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ øö ç ç ç ç ç è æ r k k k M 2 1 , 这里我们把向量a i 看成是矩阵的元素.设向量组{b 1，…, b s }可以由向量组{a 1, …, a t }线性表示，即b 1＝a 11a 1＋a 21a 2＋…＋a t 1a t ，b 2＝a 12a 1＋a 22a 2＋…＋a t 2a t ，………………………………b s ＝a 1s a 1＋a 2s a 2＋…＋a ts a t .按照上面的方法，我们可以将上述等式组改写为(b 1，b 2，…, b s )=( a 1, a 2,…, a t )A其中A ＝ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ øö ç ç ç ç ç è æ ts t t s s a a a a a a a a a L L L L L L L 2 1 2 22 211 12 11 . (2)向量组线性表示的性质引理 5.2.4 设a 1 , a 2 ，…, a s 是向量空间 V 中的向量，A 是s ×t 矩阵，B 是 t ×r 矩阵. 则有((a 1, a 2, …, a s )A )B =(a 1, a 2, …, a s )AB .证 类似于矩阵乘法结合律的证明过程，即可证得结论. □推论 5.2.5 设向量组{g 1，g 2，…, g p }可以由向量组{b 1, b 2，…, b t }线性表示，向量组{b 1,b 2，…,b t }可以由向量组{a 1,a 2, …,a s }线性表示，则向量组{g 1，g 2，…,g p }可由向量组{a 1, a 2, …, a s }线性表示.证 由条件知，存在 s ×t 矩阵A 和 t ×p 矩阵B ，使得(g 1，g 2，…, g p ) = ( b 1, b 2，…, b t )B ,(b 1, b 2，…, b t ) = ( a 1, a 2, …, a s )A .由引理 5.2.4 即得(g 1，g 2，…, g p ) = (( a 1, a 2, …, a s ) A )B = ( a 1, a 2, …, a s )(AB ).先计算 AB ，再按照矩阵乘法计算上式右边，即知向量组{g 1，g 2，…，g p }可由向量组{a 1,a 2, …, a s }线性表示. □定理 5.2.6 设向量组{b 1, b 2, …, b t }线性无关，且可由向量组{a 1, a 2, …, a s }线性表示. 则 t £s .证 因为向量组{b 1, b 2, …, b t }可以由向量组{a 1, a 2, …, a s }线性表示，所以存在 s ×t 矩阵A ，使得(b 1, b 2，…, b t )=( a 1, a 2, …, a s )A . (3)如果我们能够证得矩阵 A 的秩等于 t ，那么就有 t ＝秩 A £s . 反设秩 A <t . 由推论3.1.7 知，存在不全为零的数 c 1，c 2，…，c t ，使得A ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ t c c c M 2 1 ＝0. 再由（3）式即得 (b 1, b 2，…, b t ) ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ t c c c M 2 1 ＝(a 1, a 2, …, a s )A ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ t c c c M 2 1 ＝0, 即 c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c t b t ＝0. 又因为 c 1，c 2，…，c t 不全为零，所以b 1, b 2，…, b t 线 性相关. 这与b 1, b 2，…, b t 线性无关的假设矛盾. 所以秩A ＝t . □ 在实际中 ， 我们使用较多的是定理 5.2.6 的下述逆否命题 . 推论 5.2.7 (i) 若向量组{b 1, b 2, …, b t }可由向量组{a 1, a 2, …, a s }线性表示，并且 t >s ，则向量组{b 1, b 2, …, b t }线性相关;(ii) 设向量组{b 1, b 2, …, b t }线性无关，且 s < t , 则{b 1, b 2, …, b t }不能由含 s 个向量的向量组线性表示. □2.向量组的等价及性质(1) 向量组的等价:如果两个向量组{a 1, …, a s }和{b 1, …, b t }可以相互线性表示，那么我们就称这两个向量组是等价的.由推论 5.2.5，等价的概念具有传递性：如果{a 1, a 2,…,a s }与{b 1,b 2,…,b t }等价，而后者又与{g 1, g 2,…, g t }等价，那么{a 1, a 2,…, a s }与{g 1, g 2,…, g t }等价.例11 给定向量组{a 1, a 2}与{b 1, b 2}，且b 1＝a 1＋a 2，b 2＝2a 1＋a 2.上式的矩阵形式是(b 1, b 2)＝(a 1, a 2)A (4)式中 A= ÷ ÷ øö ç ç è æ 1 1 2 1 因det A ¹0, 所以A 可逆，给(4)式两端右乘以A －1 ，得推论 3.1.7设 A 是 m ´n 矩阵，其秩小于 n . 则 含有n 个未 知量且由 m 个方程构 成的齐次线 性方程组AX ＝0 有非零 解.(a 1, a 2)＝(b 1, b 2) A －1. 其中 A －1 ＝ ÷ ÷ øö ç ç è æ - - 1 1 2 1 进而，有a 1＝－b 1＋b 2，a 2＝2b 1－b 2，因此{a 1, a 2}与{b 1, b 2}等价.(2) 向量组等价的性质推论5.2.8 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量.证 设向量组{a 1, a 2, …, a s }和向量组{b 1, b 2,…, b t }是两个等价的线性无关向量组. 则由定理 5.2.6 知 s £ t ，且 s ³ t , 故 s ＝t . 即这两个向量组含有相同个数的向量. □设向量组{a 1, a 2, …, a s }和向量组{b 1, b 2,…, b t }是等价的，则存在 t ×s 矩阵A 和 s ×t 矩阵B ，使得(a 1, a 2, …, a s ) ＝ (b 1, b 2，…, b t )A ，(b 1, b 2，…, b t ) ＝ (a 1, a 2, …, a s )B .所以有(a 1, a 2, …, a s ) ＝ (a 1, a 2, …, a s )(BA ),(b 1, b 2，…, b t ) ＝ (b 1, b 2，…, b t )(AB ).进而有(a 1, a 2, …, a s )( I s －BA ) ＝ (0, 0, …, 0),(b 1, b 2，…, b t )( I t －AB ) ＝ (0, 0，…, 0).进一步，我们有1) 如果向量组{a 1, a 2, …, a s }线性无关，那么通过矩阵运算容易得知I s －BA ＝0，即 BA ＝I s . 所以 s ＝秩(BA )£秩A . 又秩A £s ，所以秩A ＝s . 同理秩B ＝s .2) 如果向量组{b 1, b 2,…, b t }线性无关，那么同理可得秩B ＝t ＝秩A .3) 如果{a 1, a 2, …, a s }与{b 1, b 2,…, b t }皆线性无关，那么秩A ＝秩B ＝s ＝t ，这说明 A 与 B 都是可逆方阵. 这样，我们不但给出了推论 5.2.8 的另一种证法，同时还得到了下述定理 5.2.9 若{a 1, a 2, …, a s }和{b 1, b 2,…, b t }是两个等价的线性无关的向量组，则 s ＝t ，且存在 s 阶可逆矩阵A 使得(a 1, a 2, …, a s )＝( b 1, b 2,…, b s )A . □三、极大无关组1. 极大无关组的概念定义 4 设向量组{ 1 i a , 2 i a ,…, ri a }是向量组{a 1, a 2, …, a s }的部分组. 称 { 1 i a , 2 i a ,…, ri a }是{a 1, a 2, …, a s }的极大无关组，如果 i)向量组{ 1 i a , 2 i a ,…, ri a }线性无关； ii) {a 1, a 2, …, a s }中的任意 r ＋1 个向量（如果有的话）构成的向量组总是线性相关的.例 12 设a 1＝ (2, 1), a 2＝(0, 1), a 3＝(2, -5)是 R 2 中的向量. {a 1, a 2}线性无关，而{a 1, a 2, a 3}线性相关(因为a 1－6a 2－a 3＝0)，所以{a 1, a 2}就是{a 1, a 2,a 3}的一个极大无关组. 实际上，{a 1, a 3}和{a 2, a 3}都是{a 1, a 2, a 3}的极大无关组.2.极大无关组的性质即等价概念定理5.2.10 设向量组{ 1 i a , 2 i a ,…, ri a }是向量组{a 1,a 2, …,a s }的一个部分组， 则{ 1 i a , 2 i a ,…, ri a }是极大无关组的充要条件为： 1）向量组{ 1 i a , 2 i a ,…, ri a }线性无关； 2）每一个a j (j ＝1, 2, …, s )都可由 1 i a , 2 i a ,…, ri a 线性表示. 证 必要性. 若 1 i a , 2 i a ,…, ri a 是极大无关组， 则 1)成立. 并且对任意 j (j ＝1, 2, …, s )，当 j 是 i 1, i 2,…, i r 中的数时，显然a j 可由 1 i a , 2 i a , …, ri a 线性表示. 当j 不是i 1,i 2,…,i r 中的数时， 由定义4知， a j , 1 i a , …, ri a 线性相关. 由定理 5.2.1,a j 可由 1 i a , 2 i a ,…, ri a 线性表示. 充分性 i) 向量组{ 1 i a , 2 i a ,…, ri a }线性无关；ii) 由条件2)，向量组{a 1, a 2, …, a s }中任意 r ＋1 个向量 （如果有的话） 构成的向量组可由{ 1 i a , 2 i a ,…, ri a }线性表示， 而r ＋1>r . 由推论 5.2.7 (i)得，这 r ＋1 个向量构成的向量组一定线性相关. 从而{ 1 i a , 2 i a ,…, ri a }是极大无关组. □ 3．极大无关组的特性推论 5.2.11 向量组的任意一个极大无关组都与向量组本身等价.注意：向量组的极大无关组不是唯一的，但不同的极大无关组之间是等价的.推论 5.2.12 一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量.证 因为每个极大无关组都与向量组本身等价，因而，一个向量组中的任意两个极大无关组都等价. 由推论 5.2.8，这两个极大无关组所含向量的个数相等. □4． 向量组的秩的概念定义 5 向量组{a 1, a 2, …, a s }的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩. 记为秩(a 1, a 2, …, a s ) .由零向量作成的向量组的秩定义为 0.推论 5.2.13 两个等价的的向量组有相同的秩.证 设向量组{a 1, a 2, …, a s }(I)与向量组{b 1, b 2,…, b t }(II)等价.令{ 1 i a , 2 i a ,…, r i a }(I I I )是(I )的一个极大无关组，而{ 1 j b , 2 j b ,…, kj b } (VI)是(II)的一个极大无关组. 由推论 5.2.11 知(I)与(III)等价，(II)与(VI)等价，又已知(I)与(II)等价，根据等价的传递性知, (III)与(IV)等价，加之(III)与(IV)皆线性无关，故由推论5.2.8 知, r ＝k ，即秩(I)＝秩(II) . □5．向量组的秩与矩阵的秩的关系例 14 已知向量组{a 1, a 2, …, a n }线性无关，A 是n 阶可逆方阵，令( b 1, b 2,…, b n )＝(a 1, a 2, …, a n ) A .则(a 1, a 2, …, a n ) ＝ ( b 1, b 2,…, b n ) A －1 .所以{a 1, a 2, …, a n }与{b 1, b 2,…, b n }等价，由推论 5.2.13 知, 它们有相同的秩，且秩都为 n , 因此，b 1, b 2,…, b n 也线性无关.定理 5.2.14 设向量组{a 1, a 2,…, a s }线性无关，A 是一个 s ´t 矩阵，令( b 1, b 2,…, b t ) ＝ (a 1, a 2, …, a s ) A .则秩(b 1, b 2, …, b t )＝秩A .证 设秩A ＝r ，由推论 3.1.4 知，存在 s 阶可逆矩阵 P 和 t 阶可逆矩阵Q ，使A ＝P ÷ ÷ øö ç ç è æ 0 0 0 I r Q ,因此( b 1, b 2,…, b t ) ＝ (a 1, a 2, …, a s )P ÷ ÷ øö ç ç è æ 0 0 0 I r Q .令(a 1, a 2, …, a s )P ＝(g 1, g 2, …, g s ),由于a 1, a 2,…, a s 线性无关，P 可逆，根据例 13 的结论知，g 1, g 2, …, g s 也线性无关. 于是( b 1, b 2,…, b t )＝ ( ) ÷ ÷ ø ö ç ç èæ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ 0 0 0 I r s g g g , , , 2 1 L Q ＝(g 1, …, g r , 0, …,0)Q .而 Q 是可逆的，因此{b 1, b 2,…, b t }与{g 1, …, g r , 0, …,0}等价. 根据推论 5.2.13，得秩(b 1, b 2,…, b t )＝秩(g 1, …, g r , 0, …,0)＝r ＝秩A . □推论 5.2.13 两个等价的的向量组有相同的秩.证 设向量组{a 1, a 2, …, a s }(I)与向量组{b 1, b 2,…, b t }(II)等价.令{ 1 i a , 2 i a ,…, r i a }(I I I )是(I )的一个极大无关组，而{ 1 j b , 2 j b ,…, kj b } (VI)是(II)的一个极大无关组. 由推论 5.2.11 知(I)与(III)等价，(II)与(VI)等价，又已知(I)与(II)等价，根据等价的传递性知, (III)与(IV)等价，加之(III)与(IV)皆线性无关，故由推论5.2.8 知, r ＝k ，即秩(I)＝秩(II) . □例 13 已知向量组{a 1, a 2, …, a n }线性无关，A 是n 阶可逆方阵，令( b 1, b 2,…, b n )＝(a 1, a 2, …, a n ) A .则(a 1, a 2, …, a n ) ＝ ( b 1, b 2,…, b n ) A －1 .所以{a 1, a 2, …, a n }与{b 1, b 2,…, b n }等价，由推论 5.2.13 知, 它们有相同的秩，且秩都为 n , 因此，b 1, b 2,…, b n 也线性无关.定理 5.2.14 设向量组{a 1, a 2,…, a s }线性无关，A 是一个 s ´t 矩阵，令 ( b 1, b 2,…, b t ) ＝ (a 1, a 2, …, a s ) A . 则秩(b 1, b 2, …, b t )＝秩A . 证 设秩A ＝r ，由推论 3.1.4 知，存在 s 阶可逆矩阵 P 和 t 阶可逆矩阵Q ，使 A ＝P ÷ ÷ ø ö ç ç è æ 0 0 0 I r Q ,因此 ( b 1, b 2,…, b t ) ＝ (a 1, a 2, …, a s )P ÷ ÷ øö ç ç è æ 0 0 0 I r Q . 令 (a 1, a 2, …, a s )P ＝(g 1, g 2, …, g s ), 由于a 1, a 2,…, a s 线性无关，P 可逆，根据例 13 的结论知，g 1, g 2, …, g s 也线性无 关. 于是( b 1, b 2,…, b t )＝ ( ) ÷ ÷ ø ö ç ç èæ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ 0 0 0 I r s g g g , , , 2 1 L Q ＝(g 1, …, g r , 0, …,0)Q .而 Q 是可逆的，因此{b 1, b 2,…, b t }与{g 1, …, g r , 0, …,0}等价. 根据推论 5.2.13，得秩(b 1, b 2,…, b t )＝秩(g 1, …, g r , 0, …,0)＝r ＝秩A . □例 14 证明 F n 中下列 n －r 个列向量线性无关.注意：此定 理将求向 量组的问 题转化为求矩阵的 秩的问题而用此定理时，常用 标准基表 示所给出的基，如例14b 1＝ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç è æ 0 0 1 1 11M M rc c , b 2＝ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç è æ 0 1 0 2 12M M r c c , …, b n －r ＝ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ øö ç ç ç ç ç ç ç ç ç è æ - - 1 0 0 , , 1 M M r n r r n c c . 证 在 F n 中取 n 个线性无关的列向量e 1＝ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ 0 0 1 M , e 2＝ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ 0 1 0 M , …, e n ＝ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ øö ç ç ç ç ç è æ 1 0 0 M . 则经计算知(b 1, b 2,…, b n －r )＝(e 1, e 2, …, e n )A＝(e 1, e 2, …, e n ) ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ øö ç ç ç ç ç ç ç ç ç è æ - - 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , 21 , 1 12 11 L L L L L L L L L L L L L r n r r r r n c c c c c c . 矩阵 A 是 n 行 n －r 列，且 A 中下方有一个 n －r 阶子式不为零. 所以秩 A ＝n －r ，由定理 5.2.14知，秩(b 1, b 2,…, b n －r )＝n －r ，因此，b 1, b 2,…, b n －r 线性无关.6．极大无关组的求法1)引理 矩阵 A 经过行初等变换化为 B 矩阵，则 A 的列向量组与 B 对应的列向量组有相同的线性组合关系2)求向量组a 1, a 2, …, a n 的极大无关组的求法&1.取特殊向量组e 1＝ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ 0 0 1 M , e 2＝ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ 0 1 0 M , …, e n ＝ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ øö ç ç ç ç ç è æ 1 0 0 M ， 使(a 1, a 2, …, a n )＝(e 1, e 2, …, e n )A，此时A=(a 1, a 2, …, a n ), 且秩(a 1, a 2, …, a n )=秩 A.&2将A=(a 1,a 2, …,a n )用初等行变换化简为B=(b 1,b 2,…,b n )， 用引理2知a 1,a 2, …,a n 各向量组之间的线性关系与b 1, b 2,…, b n 各向量组之间的关系相同。
第一学期第十九次课4.1.4线性空间的基变换，基的过渡矩阵设V/K 是n 维线性空间，设12,,,n εεε 和12,,,n ηηη 是两组基，且11112121212122221122,,.n n n n n n n nn n t t t t t t t t t ηεεεηεεεηεεε=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 将其写成矩阵形式1112121222121212(,,,)(,,,)n n n n n n nn t t t t t t t t t ηηηεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ， 定义4.11 我们称矩阵111212122212n n n n nn t t t t t t T t t t ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 为从12,,,n εεε 到12,,,n ηηη 的过渡矩阵。
命题4.6 设在n 维线性空间V/K 中给定一组基12,,,n εεε 。
T 是K 上一个n 阶方阵。
命1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=则有12,,,n ηηη 是V/K 的一组基，当且仅当T 可逆。
证明：若12,,,n ηηη 是线性空间V/K 的一组基，则12,,,n ηηη 线性无关。
考察同构映射12:,,,nn V K σααεεε→ 在下的坐（标字打不上去，我不知道为什么） 构造方程1122()()()0n n k k k σησηση+++= ，其中,(1,2,,)i k K i n ∈= ，1122()0n n k k k σηηη⇒+++= ，11220n n k k k ηηη⇒+++= ，120n k k k ⇒==== 。
于是12(),(),,()n σησηση 线性无关。
12(),(),,()n σησηση 构成了过渡矩阵的列向量，所以过渡矩阵可逆；反过来，若过渡矩阵可逆，则构造方程11220n n k k k ηηη+++= ，其中,(1,2,,)i k K i n ∈= ，两边用σ作用，得到1122()()()0n n k k k σησηση+++= 。
