高等代数教案第5章线性空间

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高等代数第五章知识点总结

高等代数第五章知识点总结高等代数是数学中的一个重要分支，主要研究代数结构、线性代数、群论等数学领域。

第五章主要涉及线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换等知识点。

以下是对这些知识点的总结:1. 线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合，其中每个方程都是一次多项式。

线性方程组的解称为线性方程组的解，可以用矩阵和向量来表示。

2. 矩阵：矩阵是一种特殊的数组，可以表示线性方程组、线性变换和向量空间等数学对象。

矩阵的加法、数乘等运算符合矩阵的定义，并且矩阵具有一些特殊的性质，如行列式、秩等。

3. 向量空间：向量空间是一个线性空间，其中添加了一个标量值域。

向量空间的元素称为向量，向量空间的基和维数是重要概念。

向量空间的加法、数乘等运算符合向量空间的定义。

4. 线性变换：线性变换是一个将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。

线性变换的特征是保持向量空间的加法和数乘运算。

线性变换的矩阵表示是一个方阵，其中每行每列都是一个向量。

5. 特征值和特征向量：特征值和特征向量是两个重要的概念，用于描述矩阵的性质。

矩阵的特征值是指矩阵在乘以某个向量后得到的值，而特征向量是指与特征值相关的向量。

6. 相似矩阵：相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。

相似矩阵之间具有一些相似性质，如行列式、秩等。

相似矩阵可以用来表示线性变换的缩放比例和旋转角度。

7. 克莱默法则：克莱默法则是一个用于求解线性方程组的公式，可以将线性方程组的系数矩阵转换为阶梯形矩阵或行最简矩阵，从而求解线性方程组的解。

8. 特征值分解：特征值分解是将矩阵分解成一组特征向量的乘积，从而求解矩阵的特征值和特征向量。

特征值分解在矩阵的分解和求解中发挥着重要作用。

9. 二次型：二次型是一种特殊的矩阵，其元素是二次多项式。

二次型可以用来表示线性变换的对称矩阵和非对称矩阵，并且具有一些重要的性质，如行列式、秩等。

以上是第五章的主要知识点总结，这些知识点是高等代数中的重要基础，对于理解代数结构、线性代数和群论等数学领域具有重要意义。

大学高等代数课程教案讲义

一、课程名称：高等代数二、授课对象：大学本科生三、教学目标：1. 掌握线性空间、线性方程组、矩阵、行列式等基本概念；2. 理解线性变换、特征值、特征向量等线性代数的基本理论；3. 学会运用线性代数知识解决实际问题。

四、教学内容：1. 线性空间2. 线性方程组3. 矩阵4. 行列式5. 线性变换6. 特征值与特征向量五、教学重点：1. 线性空间、线性方程组、矩阵、行列式等基本概念；2. 线性变换、特征值、特征向量等线性代数的基本理论。

六、教学难点：1. 线性空间、线性方程组、矩阵、行列式等基本概念的深刻理解；2. 线性变换、特征值、特征向量等线性代数理论的灵活运用。

七、教学方法：1. 讲授法：系统讲解线性代数的基本概念和理论；2. 案例分析法：通过具体案例讲解线性代数的应用；3. 讨论法：引导学生积极参与课堂讨论，提高学生的思考能力；4. 练习题讲解法：针对课堂练习题进行讲解，帮助学生掌握解题方法。

八、教学过程：第一课时：线性空间1. 引入线性空间的概念，讲解线性空间的基本性质；2. 举例说明线性空间的实际应用；3. 学生课堂练习，巩固线性空间的基本概念。

第二课时：线性方程组1. 介绍线性方程组的求解方法，如高斯消元法；2. 讲解矩阵的秩与线性方程组的解的关系；3. 学生课堂练习，巩固线性方程组的求解方法。

第三课时：矩阵1. 介绍矩阵的基本运算，如矩阵乘法、转置等；2. 讲解矩阵的逆、伴随矩阵等概念；3. 学生课堂练习，巩固矩阵的基本运算。

第四课时：行列式1. 介绍行列式的概念，讲解行列式的性质；2. 讲解行列式的计算方法，如拉普拉斯展开法；3. 学生课堂练习，巩固行列式的计算方法。

第五课时：线性变换1. 介绍线性变换的概念，讲解线性变换的性质；2. 讲解线性变换的矩阵表示法；3. 学生课堂练习，巩固线性变换的概念和矩阵表示法。

第六课时：特征值与特征向量1. 介绍特征值与特征向量的概念，讲解特征值的性质；2. 讲解求解特征值与特征向量的方法；3. 学生课堂练习，巩固特征值与特征向量的求解方法。

高等代数教案

全套高等代数教案第一章：高等代数概述1.1 高等代数的定义与意义理解高等代数的基本概念了解高等代数在数学及其它领域中的应用1.2 基本术语和符号学习常见的代数运算符掌握基本的代数表达式1.3 基本定理和性质学习线性方程组的解的存在性定理理解线性空间的基本性质第二章：矩阵和行列式2.1 矩阵的基本概念理解矩阵的定义和矩阵元素的意义学习矩阵的运算规则2.2 行列式的定义和性质理解行列式的概念掌握行列式的计算方法2.3 矩阵和行列式的应用学习矩阵在几何中的应用了解矩阵在概率论和统计中的应用第三章：线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法的原理和步骤掌握高斯消元法的应用3.2 矩阵的秩理解矩阵秩的概念学习矩阵秩的计算方法3.3 线性方程组的解的结构理解线性方程组解的存在性定理学习线性方程组解的方法第四章：特征值和特征向量4.1 特征值和特征向量的定义理解特征值和特征向量的概念学习特征值和特征向量的计算方法4.2 矩阵的对角化理解矩阵对角化的概念掌握矩阵对角化的方法4.3 特征值和特征向量的应用学习特征值和特征向量在几何中的应用了解特征值和特征向量在物理中的应用第五章：向量空间和线性变换5.1 向量空间的基本概念理解向量空间和子空间的概念学习向量空间的基和维数5.2 线性变换的基本概念理解线性变换的定义和性质学习线性变换的矩阵表示5.3 线性变换的应用学习线性变换在几何中的应用了解线性变换在信号处理中的应用第六章：特征多项式和最小多项式6.1 特征多项式的定义和性质理解特征多项式的概念学习特征多项式的计算方法6.2 最小多项式的定义和性质理解最小多项式的概念掌握最小多项式的计算方法6.3 特征多项式和最小多项式的应用学习特征多项式和最小多项式在矩阵对角化中的应用了解特征多项式和最小多项式在多项式环中的应用第七章：二次型7.1 二次型的定义和基本性质理解二次型的概念学习二次型的标准形和规范形7.2 惯性定理和二次型的分类理解惯性定理的概念学习二次型的分类方法7.3 二次型的应用学习二次型在几何中的应用了解二次型在优化问题中的应用第八章：线性微分方程组8.1 线性微分方程组的定义和性质理解线性微分方程组的概念学习线性微分方程组的解的结构8.2 常系数线性微分方程组的解法学习常系数线性微分方程组的解法掌握常系数线性微分方程组的通解8.3 线性微分方程组的应用学习线性微分方程组在物理学中的应用了解线性微分方程组在经济学中的应用第九章：特征值问题的数值解法9.1 特征值问题的数值解法概述了解特征值问题的数值解法的概念学习特征值问题的数值解法的方法9.2 幂法和反幂法学习幂法和反幂法的原理和步骤掌握幂法和反幂法的应用9.3 稀疏矩阵和迭代法理解稀疏矩阵的概念学习迭代法的原理和步骤第十章：高等代数的进一步研究10.1 向量丛和纤维丛理解向量丛和纤维丛的概念学习向量丛和纤维丛的分类方法10.2 群表示论的基本概念理解群表示论的概念学习群表示论的基本性质10.3 高等代数的其它研究领域了解高等代数在数学物理方程中的应用学习高等代数在和机器学习中的应用重点和难点解析重点环节一：矩阵的秩秩的概念是高等代数中的重要概念，理解秩的计算方法和秩的性质对于后续学习线性变换、矩阵对角化等高级内容至关重要。

高代---线性空间

,r }.
定义 4 向量1,2 , ,r ( r 1)线性相关存在不全为零的
高等
数 ki P ( i 1, 2, , n )，使 k11 k11 线性无关.
k11 0 成立；否则称1,2 , ,r
代
数 1,2 , ,r 线性无关设
k11 k22 krr 0 k1 k2 kr 0 .
性空
f(x)=a0+…+anxn , 且k0+…+knxn=0时有k0==kn=0成立，故
1,x,…,xn,…是R[x]的一个极大无关组 → dimR[x]=∞.
间本教材仅讨论无限维线性空间.
高等代数
6
线性空间
定义6 dimV= n，如果ε1，ε2，…,εn 线性无关，则称ε1 , ε2 , …,εn 为 V 的一组基（或一个基）；
（统称为运算封闭性），且满足算律：
6
① ＋＋；
⑤ (ab)α a(bα) ；
② (＋ )＋＋(＋ ) ；
⑥ 1 ；
线
性
③ 0V, V,0 ； ⑦ a( ) a a ；
空
④ V , / V , / 0 ； ⑧ (a b) a b .
间
线性空间概念集中体现了现代数学的两大特征：集合论的思想
8)
等代证明： 0 0 0 0 (0 0) (0 0) 0 (0 0) 0 0 0
数
0 (0) 0 . 类似可证 k0 0 .
要证 (1) ,即证 (1) 是的负向量. 事实上
8)
(1) 1 (1) (11)) 0 0 → (1) 成立. □
6 常用表达式为：k( ) (k) k .(即证 k(), (k) 是 k 的负

山东大学数学专题高等代数部分第五章第一讲PPT

（因
V
）本题结论成立.
jr
3. 设 A1,A2 ,L ,Am是线性空间V的m个异于零的线性变换，证明：V中存在一组基x1 L xn使
Ai(xj)≠ 0，i = 1,L ,m j = 1,L ,n
ห้องสมุดไป่ตู้
证明：令Vi Ai1(0)，Ai 0，则Vi是V的真子空间.故存在向量x1 V 使x1 Vi ,1 i m,
2. 设V1,L ,Vm是n维线性空间V的真子空间.证明：V中必有向量u不在所有这m个子空间中， (即 V1∪V2∪L ∪Vm ≠ V) 证明：对m用归纳法证明本题.
m 1显然成立，设m 1时结论成立，证明m时结论也成立，存在 V1,L ,Vm1，若 Vm得证. 否则 Vm，必存在 Vm，我们证明存在正整数k使k Vi , 对所有的i 1,L , m成立. 首先注意k Vm ,否则得 Vm矛盾，要证明此断言成立,只要证明存在正整数k使
易证AW是V的子空间.AW＝L( A1, A2,L , A1L , As ) Ai 0，
故 AW＝L( A1L , As )，只要证明A1L , As线性无关即可.
s
s
s
s
s
设 ki Ai 0,即 A kii 0,于是 kii A1(0), 又 kii W , 故 kii W0,
dimV dimV1 dimV2 特别若1L r ,r+1L n是V的一组基，V1＝L(1L r ),V2 L(r+1L n ), 则 V V1 V2 (以上条件可推广到多个子空间的直和)
2. 线性变换及其子空间
(1) 线性变换A满足A( ) A A，A(k ) kA，A的定义域和值域都是V

高等代数(线性空间)

例子
例 1 所有平面向量的集合 V = {( x, y ) x, y ∈ R} 构成实数域 R 上的线性空间，其加法运算和数量乘积就是普通的向量的加法和数乘运算。
例 2 集合 V 加法和数乘运算
k ( x1 , x 2 ,
= {( x 1 , x 2 , , x n ) x1 , x 2 , , x n ∈ R}
推出 k 1
= k2 == ks = 来自。例3 向量组0,α 1 ,α 2 , ,α s 是线性相关的。例 4 对只由一个向量 α 组成的向量组来说，若 α = 0 ，则是线性相关的；否则，是线性无关。例 5 在三维空间 R 3 中，向量e1 = (1,0,0) ，e2 = (0,1,0) ， e3 = (0,0,1) 是线性无关的。任何一个三维向量α = (a1,a2 ,a3 ) 都可写成e1 , e2 , e3 的线性组合a = a1e1 + a 2 e2 + a 3 e3 。
全为零的实数 k 1 , k 2 ,
k1 ≠ 0
, k s 使得 ∑ k iα i = 0 。不妨设
i =1
s
，则有
⎛ k2 ⎞ ⎛ k3 ⎞ α1 = ⎜ ⎜− k ⎟ ⎟α 2 + ⎜ ⎜− k ⎟ ⎟α 3 + ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠
+ li−1αi−1 + li+1αi+1 +
充分性: 如果 αi = l1α1 + 即α 1 ,α 2 ,
α s + 1 能用向量组 B
线性表出，因此也能用向量组 C
线性表出，即
α s +1 = ∑ k jα j +
j =1 s j = s +1

大学高等代数教案模板范文

教学目标：1. 知识与技能：（1）掌握线性空间的基本概念、性质及运算；（2）了解线性变换的定义、性质及运算；（3）学会利用线性空间与线性变换解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过实例分析，引导学生理解线性空间与线性变换的概念；（2）通过小组讨论，培养学生的合作探究能力；（3）通过实际问题解决，提高学生的应用能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生严谨、求实的科学态度；（2）激发学生对数学学科的兴趣，提高学习积极性；（3）培养学生的创新意识和团队协作精神。

教学重点：1. 线性空间与线性变换的基本概念、性质及运算；2. 利用线性空间与线性变换解决实际问题。

教学难点：1. 线性空间与线性变换的运算；2. 线性空间与线性变换的应用。

教学准备：1. 教师准备：多媒体课件、教学案例、课堂练习；2. 学生准备：复习相关知识点，预习新课内容。

教学过程：一、导入1. 复习线性方程组解的结构，引导学生思考线性方程组的解与线性空间之间的关系；2. 提出问题：如何将线性方程组的解法推广到更一般的情况？二、新课讲解1. 介绍线性空间的基本概念，包括向量空间、线性子空间、基、维数等；2. 讲解线性空间的性质，如加法封闭性、数乘封闭性、线性组合、零向量、单位向量等；3. 介绍线性变换的定义、性质及运算，如线性变换的加法、数乘、逆变换等；4. 分析线性变换与线性空间之间的关系，如线性变换的矩阵表示、线性变换的核与像等。

三、实例分析1. 通过实例分析，引导学生理解线性空间与线性变换的概念；2. 结合实例，讲解线性空间与线性变换的运算。

四、小组讨论1. 将学生分成小组，针对以下问题进行讨论：（1）线性空间与线性变换有什么区别？（2）如何判断一个集合是否为线性空间？（3）线性变换的核与像有什么关系？2. 各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。

五、实际问题解决1. 提供实际问题，如线性方程组的求解、线性规划等；2. 引导学生利用线性空间与线性变换的知识解决实际问题；3. 学生展示解题过程，教师点评并总结。

线性代数教案-线性空间与线性变换

地，如果取Vn U m ，那么T 是一个从线性空间Vn 到其自身的线性映射，称为线性空间Vn 中的线性变换.
二、线性变换的性质：
性质 1 T 0 0,T T ；
性质 2
若
k 1
k
12
2
km
m
，则T
kT 1
k T
12
2
kmT
m
；
性质 3 若1,2,,m 线性相关，则T 1,T 2,,T m 亦线性相关.
的一个基，n 称为线性空间V
的维数，记作 dimV
n 。只含一个零元
素的线性空间称为零空间，零空间没有基，规定它的维数为 0. n 维线性空间V 也记作Vn .
定义
2：设
, 1
,, 2
n
是线性空间Vn
的一个基，对于任一元素
Vn
，总有且仅有一组有序数组
x, 1
x, 2
,
xn
，使
x 11
x 22
xnn ，
集合，关于通常的函数加法和数乘函数的乘法构成线性空间.
例3
设
M
mn
A
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
aij 1 i m;1
j
n
是实数域上的矩阵全体所成的
集合. 显然 M mn 是非空的， M mn 对通常的矩阵加法和数乘构成线性空间. 特别地，
教学基本内容
一、线性变换的定义：
定义 1：设Vn,Um 分别是n 维和m 维线性空间，如果映射T :Vn Um 满足
(i)
任给 , 12
Vn ，有T
1

线性空间的教案

线性空间的教案教案标题：线性空间的教案教案目标：1. 理解线性空间的概念和特性。

2. 掌握线性空间的基本性质和运算规则。

3. 能够解决与线性空间相关的问题。

教案概述：本教案旨在引导学生深入了解线性空间的概念和性质，通过具体的例子和实践操作，帮助学生掌握线性空间的基本运算规则和性质，培养学生的抽象思维和解决问题的能力。

教学准备：1. 教师准备：a. 熟悉线性空间的定义和基本性质。

b. 准备相关的教学材料和示例题目。

c. 确保教学环境和设备的正常运作。

2. 学生准备：a. 复习线性代数的基本知识，包括向量、矩阵等概念。

b. 准备笔记本和写作工具。

教学步骤：步骤一：导入（5分钟）a. 引入线性空间的概念，与学生一起回顾线性代数的基本知识。

b. 提出一个实际问题，例如：如何描述一个三维空间中的平面？引导学生思考该问题与线性空间的关系。

步骤二：概念讲解（15分钟）a. 介绍线性空间的定义和基本性质，包括加法和数乘的封闭性、零向量和负向量的存在性等。

b. 通过示例解释线性空间的概念，例如：R^2（二维实数空间）和P_n（n次多项式空间）等。

步骤三：运算规则（20分钟）a. 讲解线性空间中向量的加法和数乘的运算规则，并通过具体的例子进行演示。

b. 引导学生进行练习，巩固线性空间的运算规则。

步骤四：性质探究（20分钟）a. 提出一个与线性空间相关的问题，例如：证明一个子集是否构成线性空间。

b. 引导学生分析问题，运用线性空间的定义和性质进行推理和证明。

c. 学生个别或小组讨论，展示解决问题的思路和方法。

步骤五：拓展应用（15分钟）a. 引导学生思考线性空间在实际问题中的应用，例如：线性回归、图像处理等。

b. 讨论线性空间在其他学科中的应用，如物理学、经济学等。

c. 鼓励学生提出自己的问题和思考，拓展线性空间的应用领域。

步骤六：总结与评价（5分钟）a. 总结线性空间的概念和基本性质。

b. 与学生一起回顾本节课的重点和难点。

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§5.1 线性空间与子空间
1. 线性空间的定义定义 5.1 设 P 是一个数域， V 是一个空集合，在集合 V 中定义一种运算叫加法，即对于 V 中的任意两个元素 α , β ，在 V 中存在唯一的元素 γ 与之对应，称之为 α , β 之和，记作 γ = α + β . 在数域 P 与集合 V 之间还定义了一种运算，叫数量乘法（简称数乘），即对于 P 中的任意一个数 k 和 V 中在 V 中存在唯一的元素 δ 与之对应，称之为 k 与 α 的数量乘积，记作 δ = kα . 如的任意一个元素 α ，果上述向量加法与数量乘法满足如下八条运算律：（1） α + β = β + α （加法的交换律）；（2） α + ( β + γ ) = (α + β ) + γ （加法的结合律）；（3）在 V 中存在元素 0，使对于 V 中的任意元素 α ，都有 α + 0 = α （右零元律）；（4）对于 V 的中的每一个元素 α ，都有 V 的中的元素 β ，使得 α + β = 0 ，称 β 为 α 的负元素（右负元律）；（5）1α = α （1 乘向量律）；（6） k ( lα ) = ( kl ) α （数乘向量的结合律）；
α1 , α 2 , ⋅⋅⋅,α r 线性表示，即 α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α r , α r +1 线性无关. 由于 n − ( r + 1) = ( n − r ) + 1 = k + 1 − 1 = k ，
定理 5.3 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空间，则 V 的子集
V1 + V2 = {α1 + α 2 | α1 ∈V1 , α 2 ∈ V2 }
是 V 的子空间，称之为子空间 V1 , V2 的和.即两个子空间的和仍为子空间. 证定理 5.4 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空间，如果 V 的任意一个子空间既包含 V1 ，又包含 V2 ，
∑ α , α ∈ V 的向量作成的子集是 V 的子空间，称之为子空间 V ,V , ⋅⋅⋅,V 的和，
i =1 i i i 1 2 n
n
记作 V1 + V2 + ⋅⋅⋅ + Vn . 设 V 是线性空间， α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α m ∈ V ，则
L (α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α m ) = { x = λ1α1 + λ2α 2 + ⋅⋅⋅ + λmα m λ1 , λ2 ,L , λm ∈ P}
是 V 的子空间，称之为由向量组 α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α m 生成的子空间. 向量 α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α m 叫做这个子空间的一组生成元. 容易验证， L (α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α m ) 是 V 中一切包含向量组 α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α m 的最小的子空间. 例 5.11～5.12（教材 P166～167）例 5.13 设在线性空间 P 中， V1 , V2 分别表示两个齐次方程组 Ax = 0, Bx = 0 的解空间，其中
3. 子空间的和与交定理 5.2 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空间，则 V1 I V2 也是 V 的子空间.即两子空间的交仍为子空间. 证注设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空间，则 V1 U V2 未必是 V 的子空间.即两子空间的并未必是子
空间.一般地， V1 U V2 对向量加法不封闭.
α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n , β 线性相关，从而 β 可由 α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n 线性表示，因此 α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n 是 V 的一个基.
定理 5.7（扩基定理）设 α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α r 是 n 维线性空间 V 中一组线性无关的向量，那么总可以添加 n − r 个向量 α r +1 , ⋅⋅⋅, α n ，使得 α1 , ⋅⋅⋅, α r , α r +1 , ⋅⋅⋅, α n 作成 V 的一个基. 证对 n − r 作数学归纳法. 当 n − r = 0 时，由定理 5.6 知，定理已经成立. 假设 n − r = k 时定理已成立，下面考虑 n − r = k + 1 的情形. 既然 α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α r 还不是 V 的一个基，它又线性无关，因此，一定存在向量 α r +1 ∈ V ，不能由
2.线性空间的简单性质性质 1 零元素是唯一的. 性质 2 负元素是唯一的. 性质 3 0α = 0 ； k 0 = 0 ； ( −1) α = −α . 性质 4 如果 kα = 0 ，那么 k = 0 或者 α = 0
3. 子空间定义 5.2 设 V 是数域 P 上的线性空间，W 是 V 的一个非空子集，如果 W 对于 V 的两种运算也构成数域 P 上的线性空间，则称 W 是 V 的一个线性子空间（或简称子空间）.
《高等代数》教案-5-第 5 章线性空间
第五章线性空间
Ⅰ.授课题目 §5.1 线性空间与子空间 §5.2 基与维数 §5.3 坐标 §5.4 集合的映射 §5.5 线性空间的同构 Ⅱ.教学目的与要求 1. 理解线性空间的定义与性质、子空间的判定； 2. 掌握基、维数、坐标等有关概念，掌握坐标变换公式及维数公式； 3. 掌握直和的概念与性质； 4. 理解线性空间的同构的概念及性质. Ⅲ.重点与难点重点: 子空间、基、坐标、坐标变换公式、维数公式；难点: 坐标变换公式、维数公式、子空间的直和. Ⅳ.教学内容
例 5.14 设 W , W1 , W2 都是线性空间 V 的子空间，其中 W1 ⊂ W2 ，且
(
)
(
)
(
)
W I W1 = W I W2 ,W + W1 = W + W2 ，
证明 W1 = W2 . 证任取 α 2 ∈ W2 ，则 α 2 ∈ W + W2 = W + W1 ，因此，存在 α1 ∈ W1 , β ∈ W ，使得 α 2 = α1 + β ，于是 β = α 2 − α1 ∈ W ，而 W1 ⊂ W2 ，故 α1 ∈ W2 ，则有 β = α 2 − α1 ∈ W2 或 β = α 2 − α1 ∈ W I W2 .
n n
一个基，称之为 R 的标准基. 例 5.17 在线性空间 P [ x ]n 中，1, x, x , ⋅⋅⋅, x
2 n −1
n
项式都可以由它线性表示，因而1, x, x 2 , ⋅⋅⋅, x n −1 就是 P [ x ]n 的一个基. 例 5.18 在线性空间 P
m× n
是 n 个线性无关的向量，并且 P [ x ]n 中的每一个多
（7） ( k + l ) α = kα + lα （向量对数加法的分配律）；
（8） k (α + β ) = kα + k β （数对向量加法的分配律），
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《高等代数》教案-5-第 5 章线性空间
其中 k , l ∈ P ， α , β , γ ∈ V ，则称 V 是数域 P 上的线性空间或向量空间.线性空间中的向量加法和数量乘法统称线性运算. 例 5.1 ～例 5.5（见教材 P150～151）
n
As×n , Bt×n ，则 A V1 I V2 = x | x = 0 . B
设 α1 , ⋅⋅⋅, α r1 和 β1 , ⋅⋅⋅, β r2 分别是这两个方程组的基础解系，则
V1 = L α1 , ⋅⋅⋅, α r1 ， V2 = L β1 , ⋅⋅⋅, β r2 ， V1 + V2 = L α1 , ⋅⋅⋅, α r1 , β1 , ⋅⋅⋅, β r2 .
中，设 Eij 表示第 ( i, j ) 元为 1 ，其余元都是 0 的矩阵，
m× n i = 1, 2, ⋅⋅⋅, m; j = 1, 2, ⋅⋅⋅, n ，容易知道，Eij , i = 1, 2, ⋅⋅⋅, m; j = 1, 2, ⋅⋅⋅, n 是线性空间 P 的一组线性无
定理 5.1 设 W 是 V 的非空子集，如果 W 对于 V 的两种运算封闭，即（1）对于任意 α ∈ W , β ∈ W ，都有 α + β ∈ W ；（2）对于任意 α ∈ W ， k ∈ P ，都有 kα ∈ W ，则 W 是 V 的一个子空间. 证
例 5.5 ～5.10（教材 P163）
§5.2 基与维数
1. 基与维数定义 5.3 设 V 是数域 P 上的线性空间，如果在 V 中存在一组向量 α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n 满足（1） α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n 线性无关；（2） V 中的每一个向量都可以由它线性表示，则称 α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n 是线性空间 V 的一个基底或基. 由此可见，基就是线性空间的一组线性无关的生成元， V = L (α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n ) . 向量组 ε1 , ε 2 , ⋅⋅⋅, ε n 就是它的一组线性无关的生成元，因而 ε1 , ε 2 , ⋅⋅⋅, ε n 是 R 的例 5.16 在 R 中，
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《高等代数》教案-5-第 5 章线性空间
则它一定包含 V1 + V2 .在这个意义下， V1 + V2 是 V 的既包含 V1 又包含 V2 的最小子空间. 证两个子空间的和的概念可以推广到任意有限个子空间的情形. 设 V1 , V2 , ⋅⋅⋅, Vn 是 V 的子空间，可以证明，一切形如
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若 V1 , V2 互不包含，则存在 α ∈ V1 ，但 α ∉ V2 ，也存在 β ∈ V2 ，但 β ∉ V1 .