极化恒等式
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活跃在高考中的一个恒等式——极化恒等式
01何谓极化恒等式
()()
14⎡
⎤⋅=
+--⎢
⎥⎣⎦22a b a b a b
三角形模型:
在
ABC 中,D 为BC 的中点:
.⋅=-=-=-2
2
2
2
2
21
4
AB AC AD BD AD CD AD BC
平行四边形模型
在平行四边形ABCD 中:()
⋅=-221
4
AB AD AC BD
02极化恒等式应用
例1,(2017全国II ,理12)已知
ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,
则()
⋅+PA PB PC 的最小值是( )
A. 2-
B. 32-
C. 4
3
- D. 1- 解法1(坐标法):
以BC 所在直线为x 轴,BC 的中垂线y 轴建立平面直角坐标系,()()(1,0,1,0,3C A B -,设(),P x y ,则()
3,x y =-PA ()1,x y =---PB ,()1,x y =--PC
()()
()32,2x y x y ⋅+=-⋅--=PA PB PC ∴
2
222
332+23222x y x y ⎡⎤⎛⎢⎥=+-- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦
,
当且仅当30,x y ==30,2P ⎛ ⎝⎭
,()
⋅+PA PB PC 取得最小值32-.
解法2(极化恒等式):
设BC 的重点为O ,OC 的中点为M ,连接OP ,PM ,
()
22⋅+=⋅=-=2
212PA PB PC PO PA PM AO ∴33
222
-≥-2PM , 当且仅当M 与P 重合始去等号.
例2在ABC 中,已知90,4,3,C AC BC D ∠===是AB 的中点,E ,F 分别是BC ,AC 上的动
点,且EF = 1,则⋅DE DF 的最小值为( ) A.
5154 C. 17
4
17 解法1(坐标法)
以AC 所在直线为x 轴,BC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,则()()34,0,0,3,2,,2A B D ⎛⎫
⎪⎝⎭
设()()0,,,0,E b F a 则221a b +=,332,,2,22b a ⎛⎫⎛
⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭DE DF ,
()2532512434242
b DE DF a a b ∴⋅=
--=-+, 由柯西不等式可得:()()()2
22224343a b a b ++≥+,即435a b +≤,当且仅当43,55a b ==时取
等号,()25125515
4342424
DE DF a b ∴⋅=
-+≥-=,故选B
解法2(极化恒等式)
设EF 的中点为M ,连接CM ,则1
2
=
CM ,即点M 在如图所示的圆弧上,则 2
2
2
2
11115
4244
DE DF DM EM DM CD ⋅=-=-≥--=,故选B
本题也可用三角换元法解决
例3,(2013浙江)设
ABC ,0P 是边AB 上的一定点,满足01
4
P B AB =
,且对于边AB 上任一点P ,恒有00
PB PC P B PC ⋅≥⋅,则( ) A. 90ABC ∠= B. AB AC = C. 90BAC ∠= D. AC BC =
解法1(坐标法)
以AB 为x 轴,AB 的中垂线为y 轴,建立如图所示的直角坐标系,设()()4,,,,0AB C a b P x =,则()()()()()()()000
1,0,2,0,2,0,2,0,,,1,0,1,P A B PB x PC a x b P B PC a b -=-=--==-, ()()00,21PB PC P B PC x a x a ⋅≥⋅∴--≥-恒成立,即:()()110x a x ---≥恒成立,
11,a ∴-=即:0a =,∴点C 在y 轴上,AC BC ∴=,故选D
解法2(基地法)
解法3(极化恒等式)
例4、(2016江苏)如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F
是AD上的两个三等分点,4,1
⋅=⋅=-,则
BA CA BF CF
⋅值为
BE CE
解法1(坐标法)
以BC为x,D为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系
解法2(基底法)
解法3(极化恒等式)
例5、(2018宝鸡一模)直线0ax by c ++=与圆22:16O x y +=相交于两点M ,N ,若222c a b =+,
P 为圆O 上任意一点,则PM PN ⋅的取值范围为 解法1(坐标法)
以O 为坐标原点,MN 的平行线为x 轴,建立如图所示的直角坐标系,
解法2(基底法)
解法3(极化恒等式)
例
6,如图,已知
B ,D
是直角
C
两边上的动点,
,3,6
AD BD AD BAD π
⊥=∠=
,()()
11
,22
CM CA CB CN CD CA =
+=+,则CM CN ⋅的最大值为
解法1(坐标法)