向量的极化恒等式与等和线的应用学生版
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极化恒等式
()2
22
2
2
2C C b b a a b a A A +?+=+== （1） ()
2
22
2
2
2b b a a b a DB
DB +?-=-== （2）
（1）（2）两式相加得：??
?
??+=??? ??+=+22222
2
22C AD AB b a DB A
结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢
b a ?＝()()
????
??
--+2241b a b a ————极化恒等式
对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的4
1. 即：[]
2
24
1DB AC b a -=
?（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢 因为AM AC 2=，所以2
2
4
1DB AM b a -
=?（三角形模式） 例1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则
AB AC ?=____ .
目标检测 目标检测
例3.（2013浙江理7）在ABC ?中,0P 是边AB 上一定点，满足01
4
P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00
PB PC P B PC ?≥?。则( ) A . 90ABC ∠= B . 90BAC ∠= C . AB AC = D . AC BC =
A
B C
M
例4. (2017全国2理科12)已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ?+的最小是（ ）
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1-
课后检测
1.在ABC ?中，60BAC ∠=若2AB =，BC =，D 在线段AC 上运动，
?的最小值为
2.已知AB 是圆O 的直径,AB 长为2,C 是圆O 上异于,A B 的一点,P 是圆O 所在平面上任意一点,则()
PA PB PC +?的最小值为____________
3．在ABC ?中，3AB =，4AC =，60BAC ∠=，若P 是ABC ?所在平面内一点，且2AP =，则PB PC ?的最大值为
4． 若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2
221(0)x y a a
-=>的中心和左焦点，点P
为双曲线右支上任意一点则OP FP ?的取值范围是 .
5．在Rt ABC ?，2AC BC ==，已知点P 是ABC ?内一点，则(PB +?的最小
值是 .
6.已知B A 、是单位圆上的两点，O 为圆心，且MN AOB o ,120=∠是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足)10()1(<<-+=λλλOB OA OC ，则CN CM ?的取值范围是（ ）
A ．??
????-1,21
B ．[)1,1-
C ．??
?
???-0,43
D ．[)0,1-
O
7. 正ABC ?边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则?的取值范围是（ ）
A. ??????-23,23
B. ??????-21,23
C. ???
???-23,21 D.
??
????-21,21 8．在锐角ABC ?中，已知3
B π
=，2AB AC -=，则AB AC
?的取值范围
是 ．
9. 2
2
.
2.2.1.)
(,0)()(2,)92008(D C B A c b c a c b a 满足，若向量个互相垂直的单位向量是平面内已知浙江理=-?-
平面向量基本定理系数的等和线
【适用题型】平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。 【基本定理】
（一）平面向量共线定理
已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然 （二）等和线
平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则k λμ+=（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。 （1） 当等和线恰为直线AB 时，1k =；
（2） 当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈；
（3） 当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞； （4） 当等和线过O 点时，0k =；
（5） 若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数； 【解题步骤及说明】 1、确定等值线为1的线；
2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；
3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；
说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。 【典型例题】
例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角 为0120，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动。 若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的最大值 是__________。
跟踪练习：已知O 为ABC ?的外心，若1
cos 3
ABC ∠=
，AO AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为_______
例2、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两定点,A B 满足
||||2OA OB OA OB ==?=，则点集{|,||||1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表
示的区域面积为__________________.
A
例3、如图，在扇形OAB 中，060AOB ∠=，C 为弧AB 上不与,A B 重合的一个动点，
OC xOA yOB =+，若u x y λ=+ (0)λ>存在最大值，则λ的取值范围为
__________.
跟踪练习：在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，P 为以AB 为直径的半圆弧上任意一点，
设AE x AD y AP =+，则2x y +的最小值为_____________. 【强化训练】
1、在正六边形ABCDEF 中，P 是三角形CDE 内（包括边界）的动点，设
AP x AB y AF =+，则x y + 的取值范围__________.
2、如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 为CD 边的三等份点，S 为,AM BN 的交点，P 为边AB 上的一动点，Q 为SMN ?内一点（含边界），若
PQ x AM yBN =+，则x y +的取值范围__________.
3、设,D E 分别是ABC ?的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，12DE AB AC λλ=+ （12,λλ为实数），则12λλ+的值为_____________.
4、梯形ABCD 中，AD AB ⊥，1AD DC ==，3AB =，P 为三角形BCD 内一点（包括边界），AP x AB y AD =+，则x y +的取值范围__________.
5、已知||1,||3OA OB ==，0OA OB ?=，点C 在AOB ∠内，且030AOC ∠=，设
OC mOA nOB =+，则
m
n
的值为____________. 6、在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上
的任意一点，设AC xDE y AP =+，则x y +的最小值为_____________. 7、已知||||1OM ON ==，(,OP xOM yON x y =+为实数）。若PMN ?为以M 为
直角顶点的直角三角形，则x y - 取值的集合为_______
8、平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中,OA OB 夹角为0120，,OA OC 的夹角为
030，且||||1OA OB ==，||23OC =OC mOA nOB =+，则m n +的值为
____________________。
9、如图，,,A B C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O
外的点D ，若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围为___________。 10、已知O 为ABC ?的外心，若(0,0),(2,0)A B ，21,3
AC BAC π
=∠=
AO AB AC λμ=+，则λμ+=________.
11、已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ?=?=t ，1
||c ta b t
++的最小值为_______________.
课题：极化恒等式在向量问题中的应用 学 习 目 标 目标1：通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义； 目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值； 目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围； 目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。 重点 掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题 难点 根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式 目标达成途径 学习自我评价 阅读以下材料： . 两倍等于两条邻边平方和的平方和 平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。 示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设 ，，则b a DB b a A -=+=C ()222222C C b b a a b a A A +?+=+== （1） ()222222b b a a b a DB DB +?-=-== （2） （1）（2）两式相加得：?? ? ??+=??? ??+=+22222222C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ b a ?＝()() ??????--+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得 极化恒等式的几何意义是什么？ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对 角线”与“差对角线”平方差的4 1. 目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式 的两种模式，并理解其几何意义 M 图1
极化恒等式 例1：（2014年高考全国新课标II 卷文（理）科第4（3）题）设向量b a ,满足6,10=-=+b a b a ，则 b a ?等于 （ ） A.1 B. 2 C. 3 例2:（2014江苏）在平行四边形 ABCD 中，已知 , 2,3,5,8=?===BP AP PD CP AD AB 的取值范围是 1111，p 为正方形表面上的动点，当弦MN 最长时，PN PM ?的最大值为 秒杀秘籍：极化恒等式：()( )[] .122 b a b a b a --+= ?
的最小值等 一、求数量积的值 1. （2016年高考江苏卷第13题）如图，在ABC ?中，D 是BC 的中点，F E ,是AD 的两 个三等分点， 1,4-=?=?，则=?CE BE . 则=?AC AB . 2. （2012年高考浙江卷理科第15题）在ABC ?中，M 是BC 的中点，,10,3==BC AM 则=? . 3. （2011年高考上海卷理科第11题）在正ABC ?中，D 是BC 上的点，,1,3==BD AB ,4,3==AD AB P 为矩形ABCD 4. （2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11题）在矩形ABCD 中，所在平面上一点，满足,21,2==PC PA 则=? . 二、界定数量积的取值范围 5. （2015年郑州市高三第一次质量预测理科第11题）在ABC Rt ?中，N M CB CA ,,3==是斜边AB 上的两个动点，且,2=MN 则CN CM ?的取值 范围为 （ ） A. ?? ????25,2 B. []4,2 C. []6,3 D. []6,4 三、探求数量积的最值 6. （2017年高考全国II 卷理科第12题）已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面内一点，则() +?的最小值是 （ ） A. 2- B. 23- C. 3 4 - D. 1- 7.（2018?天津）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E 为边CD 上的动点， 则的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．3
极化恒等式 例1：（2014年高考全国新课标II 卷文（理）科第4（3）题）设向量,a b 满足 a b a b +=-=，则a b ?等于 （ ） A.1 B. 2 C. 3 D. 5 例2：.设点P 是边长为2的△ABC 三边上的一动点，则()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 的取值范围是 例3：正方形1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的 线段称为球的弦），P 为正方形表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN ?u u u u r u u u r 的最大值为
例4：△ABC 中，∠C=90?，AC=4，BC=3，D 是AB 的中点，E,F 分别是边BC ，AC 上的动点，且 EF=1，则DE DF ?u u u r u u u r 的最小值等 一、求数量积的值 1. （2016年高考江苏卷第13题）如图，在ABC ?中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 的两个三等分 点，4,1BA CA BF CF ?=?=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则BE CE ?=u u u r u u u r . 2. （2012年高考浙江卷理科第15题）在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10,AM BC ==则 AB AC ?=u u u r u u u r . 3. （2011年高考上海卷理科第11题）在正ABC ?中，D 是BC 上的点，3,1,AB BD ==则 AB AD ?=u u u r u u u r 4. （2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11题）在矩形ABCD 中，3,4,AB AD ==P 为矩形 ABCD 所在平面上一点，满足2,PA PC ==则PB PD ?=u u u r u u u r .
极化恒等式在向量问题中的应用 目标1:阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式的两种模式，并理解其几何意义 目标2-1 :掌握用极化恒等式求数量积的值 ujur umr 例1. （ 2012年浙江文15 ）在ABC 中，M 是BC 的中点，AM 3, BC 10，贝卩AB AC 【小结】运用极化恒等式的三角形模式， 关键在于取第三边的中点， 找到三角形的中线， 目标检测 （2012北京文13改编）已知正方形 ABCD 的边长为1, 点E 是AB 边上的动点，贝U DE DA 的值为 _____________ . 目标2-2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围 例2.（自编）已知正三角形 ABC 内接于半径为2的圆O ,点P 是圆O 上的一个动点， 则PA PB 的取值范围是 _____________ . 解：取AB 的中点D ，连结CD,因为三角形ABC 为正三角形，所以 O 为三角形ABC 解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得: AB AC AM 1| BC 2 =9-丄 100 = -16 4 阅读以下材料： 引例：平行四边形是表 示向量加法和减法的几 何模型。 你能用向量方法证明: 平行四边形的对角线的平方和 证明：不妨设 AB a,AD b,贝U AC b,DB a b, 1- — * 2 -.2 J , -2 | 2 AC AC a b | a 2a lb 2 lb (1) DB 2 2 DB .2 a b H 2 2a b 2 ⑵ 2 a ?2 （1） 得： 结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍 到什么结论呢？ 2 AB AD 思考1:如果将上面（1）（ 2）两式相减，能得 极化恒等式 几何意义:向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的 , ” 1 '和对角线”与“差对角线”平方差的1 ? 4 即：a b 汹2 冋| 2 （平行四边形 思考：在图 1的三角形ABD 中 （M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢 ？ 因为AC 2AM ，所以a b AM 丄DB （三角形模式） BMC 再写出极化恒等式。 等于两条邻边平方和的 （2）两式相 2
极化恒等式 ()2 22 2 2 2C C b b a a b a A A +?+=+== （1） () 2 22 2 2 2b b a a b a DB DB +?-=-== （2） （1）（2）两式相加得：?? ? ??+=??? ??+=+22222 2 22C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢 b a ?＝()() ???? ??--+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式 的几何意义是什么 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 4 1. 即：[] 2 24 1DB AC b a -= ?（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢 因为AM AC 2=，所以2 2 4 1DB AM b a - =?（三角形模式） 例1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ?= ____ . 目标检测 目标检测 例3.（2013浙江理7）在ABC ?中,0P 是边AB 上一定点，满足014 P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ?≥?。则( ) A . 90ABC ∠= B . 90BA C ∠= C . AB AC = D . AC BC = 例4. (2017全国2理科12)已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ?+的最小是（ ） A.2- B.32- C. 4 3 - D.1- 课后检测 1.在ABC ?中，60BAC ∠=若2AB =，3BC = ，D 在线段AC 上运动，DA DB ?的 A B C M
极化恒等式在向量问题中的应用专题 阅读以下材料： . 两倍等于两条邻边平方和的平方和 平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。 示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设 ，，则b a DB b a A -=+=C ()222222C C b b a a b a A A +?+=+== （1） ()222222b b a a b a DB DB +?-=-== （2） （1）（2）两式相加得：?? ? ??+=??? ??+=+22222222C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ b a ?＝()() ??????--+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的4 1. 即：[] 2241DB AC b a -=?（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？ 因为AM AC 2=，所以224 1DB AM b a -=?（三角形模式） 例 1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则 AB AC ?=u u u r u u u r ____ . 解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： 2241BC AM AC AB -=?=9-1004 1?= -16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。 M 图1 A B C M
向量的极化恒等式与等和线的应用-学生版
结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边 平方和的两倍? 思考1:如果将上面(1) (2)两式相减，能得 到什么结论呢？ 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证 明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的 几何意义是什么？ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量 为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对 角线”平方差的丄. 4 即：；b = 4〔AC 2 -DB 2】(平行四边形模式) 极化恒等式 引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。 你能用向量方法证明： 平行四边形的对角线的 平方和 等于两条邻边平方和的两倍? 证明：不妨设AB = a, AD = b, 贝V AC 二 a b,DB =a —b, ___ , 2 AC 二 AC 二 a b (1 ) .2 DB r 2 a ___ 2 ? ■ 2 =DB 二 a — b ? r r 2 -2a b + b (1) (2)两式相加得: ab = ;_a b 极化恒等式
思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？ 因为AC=2AM，所以ai=|AMp-1|DB|2（三角形模式） 例1. （2012年浙江文15）在ABC中川是BC的中点 AM =3,BC =10，则AB T AC = BMC
目标检测 （2012北京文 13改编）已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点E 是AB 边上的动点，贝V DE DA 的值为 _______________________________________ . 例2.（自编）已知正三角形 ABC 内接于半径为2的圆O ,点P 是圆O 上的一个动点, 则PA PB 的取值范围是 _________________ . 目标检测 2 2 （2010福建文11）若点O 和点F 分别为椭圆 中 上 =1的中心和左焦点，点P 为椭圆 上的任意一点，则OP FP 的最大值为（） A2 B.3 C.6 D.8 例3. （2013浙江理7）在ABC 中,P o 是边AB 上一定 点，满足P ° B*AB ，且对于边AB 上任一点 4 7 PB 卩C HRB PC 。贝 ( ) A . NABC =90’ B . NBAC=90‘ C . AB = AC c
极化恒等式与矩形大法 一、 知识清单 1. 极化恒等式：如图，AB AC 2AD += ① A B A C CB -= ②,则： ①2 +②2 得：222 2 42++=AB AD BC AC ；①2-②2 得：22 44-=?AB AD BC AC 推广：222 2 +-=???=AB AB AC cosA AB AC BC AC 速记方法：22()() 4a b a b a b +--?==，22 22()()2 a b a b a b +-+=+= 2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得 222 2 4PD PB 2PO BD ++=①2222 4PA PC 2 PO AC ++= ② 因为BD=AC ，所以2222+=+PD PB PA PC ， 速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。 推广1：若ABCD 为平行四边形，则有22 2 2 2 2 BD ()2 AC -+-+=PA PC PD PB 推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。 二、 典型例题 1．（2012浙江文15）在ABC ?中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =，则A B A C ?= _________． 解析：由极化恒等式有：22 4AB 164 AM BC AC -= ?=- 2. （2013浙江理7）在ABC ?中,0P 是边AB 上一定点，满足01 4 P B AB =，且对于边AB 上任一点P ， 恒有00 PB PC P B PC ?≥?。则( ) A.90ABC ∠= B. 90BAC ∠= C.AB AC = D. AC BC = 解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：22 4PB 4 PD BC PC -?=则当PD 最小时，PB ????? ?PC ????? 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。 3. 已知向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量． 2,3,0,()1a b a b e a b ===?-++求a b -的范围？ 解析：由0,()1a b e a b =?-++得0()()a e b e =-?- 如图，,,OA a OB b OE e === ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有 2222OE OC OA OB +=+，则OC = [,]1]a b AB CE OC OE OC OE -==∈-+=
专题34 极化恒等式 专题知识梳理 1.公式推导 ()( ) ()( ) 2 2222 2222142a b a ab b ab a b a b a b a a b b ? +=++????=+--??????-=-+? r r r r r r r r r r r r r r r r r r 在△ABC 中，D 是边BC 的中点，则22 AB AC AD DB =-u u u r u u u u r u u u r u u u r g . D C B A 如图，由 ()() 22222 2111222AB AC AB AC AB AC AD CB AD DB ?????? =+--=-=- ??????????? u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g 得证. 类比初中的“完全平方和”与“完全平方差公式”。 2.几何意义 向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 14 。 考点探究 【例1】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF → ＝－1则BE →·CE →的值是____．
【例2】如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC → 的最大值是___．
题组训练 1.如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC → 的值是____． 2.在△ABC 中，M 是边BC 的中点AM ＝3，BC ＝10，AB →·AC →＝__ __． 3.在△ABC 中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB →·PC →＋BC → 2的最小值是____． 4.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP → ＝1，则实数λ的值为__ _ 5.在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是____． 6.已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =， 6CD =，则MA MB ?u u u r u u u r 的取值范围是 ▲ ．
向量的极化恒等式与等和线的应用学生版 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
极化恒等式 ()2 22 2 2 2C C b b a a b a A A +?+=+== （1） () 2 22 2 2 2b b a a b a DB DB +?-=-== （2） （1）（2）两式相加得：?? ? ??+=??? ??+=+22222 2 22C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢 b a ?＝()() ???? ?? --+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的4 1. 即：[] 2 24 1DB AC b a -= ?（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢 因为AM AC 2=，所以2 2 4 1DB AM b a - =?（三角形模式） 例1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则 AB AC ?=____ . 目标检测 目标检测 例3.（2013浙江理7）在ABC ?中,0P 是边AB 上一定点，满足01 4 P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00 PB PC P B PC ?≥?。则( ) A . 90ABC ∠= B . 90BAC ∠= C . AB AC = D . AC BC = A B C M
极化恒等式作业详解 1. 在三角形ABC 中，D 为AB 中点，90,4,3C AC BC ?∠===，E,F 分别为BC,AC 上的动点，且EF=1，则DE DF ?u u u r u u u r 最小值为______ 【答案】154 【解析】 设EF 的中点为M ，连接CM ，则1||2CM = ，即点M 在如图所示的圆弧上， 则222211115||||||||4244 DE DF DM EM DM CD ?=-=---=u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ≧ 2. 设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B= 14 AB,且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ?≥?u u u r u u u r u u u r u u u r ,则三角形ABC 形状为_______. 【答案】C 为顶角的等腰三角形. 【解析】 取BC 的中点D ，连接PD,P 0D.00PB PC P B PC ??u u u r u u u r u u u r u u u r Q … 2222011||||||44 PD BC P b BC ∴--u u u r u u u r u u r u u u r r …0||PD P D ∴u u u r r r … 0P D AB ∴⊥,设O 为BC 的中点，OC AB AC BC ∴⊥∴= 即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形. 3. 已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一 点，则 ()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 的最小值是_____ 【答案】32 - 【解析】设BC 的中点为O ，OC 的中点为M,连接OP,PM, 222133()22||||2||222 PA PB PC PO PA PM AO PM ∴?+=?=-=-≥-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r 当且仅当M 与P 重合时取等号 4. 直线0ax by c ++=与圆22 0:16x y +=相交于两 点M,N,若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ?u u u u r u u u r 的取值范围为_______
活跃在高考中的一个恒等式——极化恒等式 01何谓极化恒等式 ()() 14? ??= +--? ???22a b a b a b 三角形模型： 在 ABC 中，D 为BC 的中点： .?=-=-=-2 2 2 2 2 21 4 AB AC AD BD AD CD AD BC 平行四边形模型 在平行四边形ABCD 中：() ?=-221 4 AB AD AC BD 02极化恒等式应用 例1，（2017全国II ，理12）已知 ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点， 则() ?+PA PB PC 的最小值是（ ） A. 2- B. 32- C. 4 3 - D. 1- 解法1（坐标法）： 以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线y 轴建立平面直角坐标系，()()( 1,0,1,0,C A B -，设(),P x y ，则() ,x y =-PA ()1,x y =---PB ，()1,x y =--PC ()() () 2,2x y x y ?+=-?--=PA PB PC ∴ 2 222 32+222x y x y ?????=+- ?????? ， 当且仅当0,2x y == ，即0,2P ?? ? ??? ，() ?+PA PB PC 取得最小值32-.
解法2（极化恒等式）： 设BC 的重点为O ，OC 的中点为M ，连接OP ，PM ， () 22?+=?=-=2 212PA PB PC PO PA PM AO ∴33222 -≥-2PM ， 当且仅当M 与P 重合始去等号. 例2在 ABC 中，已知90,4,3,C AC BC D ∠===是AB 的中点，E ，F 分别是BC ，AC 上的 动点，且EF = 1，则?DE DF 的最小值为（ ） A. B. 154 C. 174 D. 解法1（坐标法） 以AC 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()()34,0,0,3,2,,2A B D ?? ??? 设()()0,,,0,E b F a 则221a b +=，332,,2,22b a ??? ?=--=-- ? ???? ?DE DF ， ()253251 2434242 b DE DF a a b ∴?= --=-+，
高中数学复习--极化恒等式及其应用极化恒等式表面平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，如果将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式。 1．平行四边形中的极化恒等式． 平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方的14，即221[]4 a b AC BD =- 2．三角形中的极化恒等式．在 ABC 中，若M 是线段BC 的中点，则214 AB AC AM BC =- 引例： 例 1：（2016年江苏） 如图，在 ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA CA 4 ， 1 ，则BF CF 的值是 ．B D C
训练1.(2017全国2理科12)已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一 点，则()PA PB PC ?+ 的最小是 ． 训练2.已知AB 是圆O 的直径,AB 长为2,C 是圆O 上异于,A B 的一点,P 是圆O 所在平面 上任意一点,则() PA PB PC +? 的最小值为____________训练3.已知B A 、是单位圆上的两点，O 为圆心，且MN AOB o ,120=∠是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足)10()1(<<-+=λλλ，则CM ?的取值范围是_________ 训练4. 在ABC ?中，3AB =，4AC =，60BAC ∠= ，若P 是ABC ?所在平面内一点，且2AP =，则PB PC ? 的最大值为_________ 训练5. 已知向量a ，b ，a =1，，b =2，若对任意单位向量e ，均有 a e b e ??+≤ a b ? 的最大值是 . 训练6. 在平面内，12AB AB ⊥ ，121OB OB == ,12AP AB AB =+ ,若 12OP < ,则OA 的取值范围是 . 训练7.在正 ABC 中，D 是BC 上的点， A B 3, BD 1，则AB AD = 训练8. 已知a ,b 是平面内2 个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c --= ，则 c 的最大值是 训练9. （2012年江苏模拟）在 ABC 中，点E ，F 是线段AB,AC 的重点，点P 在直线 EF 上，若 ABC 的面积为2，则2PC PB BC -+ 的最小值是
极化恒等式在向量问题中的应用 目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式的两种模式，并理解其几何意义 阅读以下材料： . 两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。 示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表 ,,==证明：不妨设则A -=+= ( )222C b a b a A ?+=+== （1） ( ) 222+?-=-== （2） （1）（2 ?? ?=???=22 结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ ?＝()() ??????--+2241————极化恒等式 几何意义：向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41. 即：[]2241DB AC -=?（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？ 因为AM AC 2=，所以2241DB AM b a -=?（三角形模式） 目标2-1：掌握用极化恒等式求数量积的值 例1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ?= ____ . 解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：2241BC AM -=?=9-1004 1?= -16 【小结】运用极化恒等式的三角形模式，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。 目标检测 .______1)132012(的值为边上的动点，则是点， 的边长为已知正方形改编北京文DA DE AB E ABCD ? 目标2-2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围 . ________O O 2.2则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例P ABC ? 解：取AB 的中点D ，连结CD ,因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB 又由极化恒等式得：34 1222-=- =?PD AB PD PB PA 因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，3||max =PD 当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，1||min =PD 所以]6,2[-∈? 【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。 M 图1 A B C M
第5讲 向量极化恒等式 极化恒等式：a ·b ＝? ????a ＋b 22－? ?? ??a －b 22 . 变式：a ·b ＝(a ＋b )24－(a －b )24，a ·b ＝|a ＋b |24－|a －b |2 4 . 如图，在△ABC 中，设M 为BC 的中点，则AB →·AC →＝AM →2－MB → 2. 例 (1)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点． BA →·CA → ＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE → 的值为________． 答案 7 8 解析 设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n . 根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4， FB →·FC →＝FD →2－DB → 2＝n 2－m 2＝－1. 联立解得n 2＝58，m 2＝138 . 因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2 ＝4n 2－m 2＝78. 即BE →·CE →＝78 . (2)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时， PM →·PN → 的取值范围是________．
答案 [0,2] 解析 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 3.当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径．设内切球的球心为O ，则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO → 2－1.由于P 为正方体表面上的动点，故OP ∈[1，3]，所以PM →·PN → ∈[0,2]． 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题． 1．已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝1 4 AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒 有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A ．∠ABC ＝90° B ．∠BA C ＝90° C ．AB ＝AC D ．AC ＝BC 答案 D 解析 如图所示，取AB 的中点E ，因为P 0B ＝1 4AB ，所以P 0为EB 的中点，取BC 的中点D ， 则DP 0为△CEB 的中位线，DP 0∥CE . 根据向量的极化恒等式， 有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB → 2. 又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则| PD →|≥|P 0D →|恒成立， 必有DP 0⊥AB .因此CE ⊥AB ，又E 为AB 的中点，所以AC ＝BC . 2.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC →·OB → 的最大值是________．
巧用极化恒等式秒杀高考向量题 冷世平整理 说明：由于前几天，大家经常提到极化恒等式，本人便收集整理了一些相关资料，相对较系统，且加入了群里大家讨论的部分题目，由于相当一部分内容非原创，所以只和大家分享一下自己整理的好东西而已，故不作投稿使用。 高中数学中存在着大量等量关系，如立方差(和)公式、二项展开式、两角和与差公式等.在高中数学中常能见到这些等量关系的身影，这也是高中教学重点关注的对象.但有些等量关系看似冷门，甚至课本上都不出现，但它在问题解决过程中却能起到立竿见影的效果，实现对问题的快速“秒杀”，极化恒等式就是可以“秒杀”高考向量题的一个有力工具。 1.极化恒等式 极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析，它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示，把这 个极化恒等式降维至二维平面即得：21()()4 a b a b a b 2 ???=+--?? ，有时也可将其写成。 22 4()(a b a b a b ?=+-- )注：21()()4a b a b a b ??=+--? 2??表明向量的内积运算可以由向量线性运算的模导出(也是向量内积的另一种定义)，是沟通向量内积运算和线性运算的重要公式.若是实数，则恒等式,a b 21()()4 a b a b a b ??=+--?2??也叫“广义平方差”公式； 极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角 线”与“差对角线”平方差的14，即2222 14a b AD BC AM BM ???= -=-? ? （如图） 在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，22214 a b AM BM AM BC ?=-=-2 ，它揭示了三角 形的中线与边长的关系。 此恒等式的精妙之处在于建立起了向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现了向量与几何、代数的巧妙结合。 2．极化恒等式的应用 自向量引入高中数学以后，由于它独特的性质(代数与几何的桥梁)，在近几年全国各地的高考中迅速成为创新题命制的出发点，向量试题有着越来越综合，越来越灵活的趋势，在浙江省数学高考中尤为突出，也出现了一些非常精美的向量题。 例1在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则______AB AC ?= （年浙江省数学高考理科试题第15题） 2012【分析】该问题就是利用极化恒等式解决的极好范例，因为21925162 AB AC AM BC ?=-=-=- 。 下面我们再来看年浙江省数学高考选择题第题: 20137例2设是边0,ABC P ?AB 上一定点，满足01 4 P B AB =，且对于边AB 上任一点，恒有 P
极化恒等式（教师版） . 两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。 示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表 ,,==证明：不妨设 ，，则b a DB b a A -=+=C ( )222A +?+=+== （1） ( )222?-=-== （2） （1）（2 ?? ?=???=+22 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ b a ?＝()() ??????--+2241————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 41. 即：[]2241DB AC b a -= ?（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？ 因为AM AC 2=，所以224 1DB AM -=?（三角形模式） M 图1
例 1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则 AB AC ?=____ . 解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： 22 41BC AM AC AB -=?=9-1004 1?= -16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。 目标检测 .______1)132012(的值为边上的动点，则是点， 的边长为已知正方形改编北京文DA DE AB E ABCD ? . ________O O 2.2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PB PA P ABC ? 解：取AB 的中点D ，连结CD ,因为三角形ABC 为 正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上， 且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB （也可用正弦定理求AB ） 又由极化恒等式得：34 1222 -=-=?PD AB PD 因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，3||max =PD 当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，1||min =PD 1.掌握用极化恒等式求数量积的值 A B C M 2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围
极化恒等式学生版修订 版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】
课题：极化恒等式在向量问题中的应用 学 习 目 标 目标1：通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义； 目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值； 目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围； 目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。 重点 掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题 难点 根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式 目标达成途径 学习自我评价 阅读以下材料： . 两倍等于两条邻边平方和的平方和 平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。 示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设 ，，则b a DB b a A -=+=C ()2 22222C C b b a a b a A A +?+=+==（1） 目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒
3,10AM BC ==，则AB AC ?=____. 解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： 2241BC AM AC AB -=?=9-1004 1?=-16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。 目标检测 . ________O O 2.2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PB PA P ABC ?解：取AB 的中点D ，连结CD ,因为三角形ABC 为 正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上， 且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB （也可用正弦定理求AB ） 又由极化恒等式得： 因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，3||max =PD 当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，1||min =PD 所以]6,2[-∈?PB PA
课题：极化恒等式在向量问题中的应用 学 习 目 标 目标1：通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义； 目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值； 目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围； 目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。 重点 掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题 难点 根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式 目标达成途径 学习自我评价 阅读以下材料： . 两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设 ，，则b a DB b a A -=+=C () 2 22 2 2 2C C b b a a b a A A +?+=+== （1） () 2 22 2 2 2b b a a b a DB DB +?-=-== （2） （1）（2）两式相加得：?? ? ??+=??? ??+=+22222 2 22C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ b a ?＝ ()() ???? ?? --+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得 极化恒等式的几何意义是什么？ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角 目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式 的两种模式，并理解其几何意义 M 图1