沪科版八年级上册 数学 课件 15.4 角的平分线

2、有多少种取法？
作图探究三
如果点P是∠AOB的角平分线上的任 意一点
1、 能否在满足PC=PD的同时，保证 PC、PD这两条线段最短？在图2中作出。
2、 有多少种取法？
3、这两条最短的线段长度又可以用 怎样的语言概况？
结论：
角平分线上任意一点到角的两 边的距离相等。
这个画图得出结论正确吗？
在图3中，写出“已知”，“求 证”，合作完成证明过程。
掌握了角的平分线性质定理及逆定理，像与角 平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可 以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角 形全等而得出线、角相等。
小结二：
线段垂直平分线性质定理
P
A
B
角的平分线性质定理
DB
C
P
O
EA
点到点的研究
点到线的研究
作业
课后练习 1、2
沪科版数学 八年级(上)
角的平分线
回答：
1、 角是轴对称图形吗？ 2、 角的对称轴是什么？
作图探究一
1、 用尺规作出∠AOB的角平 分线OC，在课堂练习纸上完成。
2、 在作图过程中，PM与PN 相等？
作图探究二
如果点P是∠AOB的角平分线上的任 意一点，
1、在角的两边上分别任意取一点C、D， 使得PC=PD，在图1中作出。
B
D
已知：如图
P
求证：OBiblioteka 图3AC证明：
角的平分线性质定理： 角平分线上任意一
点到角的两边的距离相等。
思考：
•能不能写出上面角平分线性质定理的逆 命题？
•该命题是真命题吗？
•给出命题的题设、结论，并证明。
•得出角平分线性质定理逆定理：

CDPEA来自B求证:点P在∠A的平分线上
l1
l2
l3
2、如图所示，直线 l1,l2,l3 表示三条相互交叉的
公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的
距离相等，则可供选择的地址有：
（）
A、一处 B、两处 C、三处 D、四处
例2、如图， PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，AB=AC
PB=PC， D是AP上一点。 求证：∠BDP=∠CDP。
A
D
B
C
P
•1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” •2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
想一想
A
D NP
FM
B
E
C
点P在∠A的平分线上吗?这说明 三角形的三条角平分线有什么关系？
三角形的三条角平分线相交于一点， 并且这点到三边的距离相等。
练习
1、如图， △ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的 外角的平分线 CE相交于点P。 求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。
交点，OE⊥AD于E，且OE=2cm，则两平行线AB、
CD之间的距离是__4_c_m__.
D
MC
C
E
D
O
A
EB
A

角平分线的判定定理：
角的内部到角两边距离相等的 点在角的平分线上．
角平分线的性质定理和角平分线的 判定定理
是证明角相等、线段相等的新途径．

例1: 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P在∠BAC的角平分线上
证明：过点P作PD⊥AB于D，
PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
FM⊥AB，
∴FG=FM． 又∵点F在∠ABE的 D G
平分线上，FH⊥BE，
FM⊥AB，
A
∴FM=FH，
F
∴FG=FH，
∴点F在∠DAE
的平分线上． E
H
M
B
C

∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，
（×）
B
A
D
C

∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ BD = CD ，
3．分别以D，E为圆 心．大于 1/2 DE的长为半径 作弧．两弧交于F．
4．作直线FＣ。
c
. A D
B E
k
F
过直线外一点作这条直线的垂线
15.4 角的平分线
第2课时

角平分线的性质
定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是
又∵ 点P在∠CBD的角平分线
A
∴ PM=PK（在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等） 同理 PN=PK
BK C
M
N
∴ PM=PK=PN
P
D
即，点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等
E
（2） ∵PM=PN（已证） PM AD PN AE (已知)

2.如下图，在△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB于点D，点E在AC上，且CE=BC.
〔1〕用尺规作图的方法，过点E作AC的垂 线，交CD延长线于点F；
〔2〕求证：△ABC≌△FCE.
〔1〕作图如下ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
〔2〕证明：∵EF⊥AC,∠ACB=90°，
∴∠FEC=∠ACB=90°,
∵CD⊥AB,
〔3〕作射线OP,那么OP为所要求作的∠AOB的角
平分线，如图〔3〕.
1.经过直线上的一点作这条直线的垂线
：直线AB和AB上一点C〔如图〕. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法：作平角∠ACB的平分线CF. 直线CF就是所求作的垂线.
2.经过直线外一点作这条直线的垂线 ：直线AB和AB外一点C
的大致图象是〔 B 〕
2.匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过 程中，水面高度h随时间t的变化规律如下图〔图中OABC 为一折线〕.这个容器的形状是以下选项中哪一个〔
〕C
3.小红星期天从家里出发骑自行车去舅舅家做客，当她骑了 一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过 的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是她本 次去舅舅家所用的时间x〔分钟〕与离家的距离y〔米〕的关 系示意图.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：（1）任意取一点K,使K和C在AB的两旁；
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于
点D和E；
（3）分别以点D和点E为圆心，大于
1 2
DE的长为
半径作弧，两弧交于点F;
（4）作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
运用新知
1.用尺规动手作出∠AOB的平分线OC，以及OB的垂 直平分线MN，并保存作图痕迹.

Ｏ
MA
3、作射线__O_P__； __O_P__就是所求作∠AOB的平分线。
想一想
为什么OP是角平分线呢？
已知：OM=ON，MP=NP。 求证：OP平分∠AOB。
证明：在△OMP和△ONP中，OP=OP， △OMP≌
△ONP（SSS）
Ｏ
∴∠MOP=∠NOP
即：OP平分∠AOB
问题：怎样作∠AOB的平分线呢？
B
折纸法 度量法
尺规作图
O
A
尺规作图
作法：1、以_点__O_为圆心，
__任__意__长为半径作圆弧， 与角的两边分别交于M、 N两点；
Ｂ
N P
2、分别以_M_、__N_为圆心，
_大__于_ __12_M__N_的长为半径 作弧，两条圆弧交于
∠AOB内一点___P_；
a
C
b
G
b
E A Fa B
2、做已知∠AOC的平分线，写出过程，并保 留作图痕迹。
3、已知直线AB和AB外一点P作这条直线的垂 线。
4、作出与已知直角三角形的斜边和一条直角 边对应相等的直角三角形。
2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E;
3)分别以点D和点E为圆心，大于1 DE 的长为半径
作弧，两弧交于点F；
2
C
4)作直线CF.
直线CF是所求的垂线。
AD K
B E
F
本节课你学习了哪些知识？ 1、角平分线的作法。 2、直线垂直平分线的作法。
1、 任作两条长度不等的线段a，b（b>a），你能用尺规作 图的方法作出以a为直角边，以b为斜边的直角三角形吗？
B N
P
MA
当∠AOB =180°时，角平分线怎么画？