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高二数学选修1-1 第二章 第2节 抛物线北师大版(文)知识精讲

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北师大版选修1-1高中数学第2章《圆锥曲线与方程》2.2抛物线习题导学案

北师大版选修1-1高中数学第2章《圆锥曲线与方程》2.2抛物线习题导学案

高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》2.2抛物线习题导学案北师大版选修1-1学习目标:1.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．2.从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力重点、难点：理解并掌握抛物线的几何性质；能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质。

练习反馈 一、选择题1.已知抛物线的准线方程是x=-7，则抛物线的标准方程是 ( ) A.x 2=-28yB.y 2=-28yC.y 2=28xD.x 2=28x 2．若是定直线 外的一定点，则过与 相切圆的圆心轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线一支D ．抛物线 3．抛物线2(0)x ay a =≠的焦点坐标为（ ） A ．1(,0)a B ．1(,0)2a C ．1(,0)4a D ．0a > 时为1(,0)4a ，0a < 时为1(,0)4a- 4．若点到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，则点的轨迹方程是（ ）A ．216y x =- B ．232y x =- C ．216y x = D ．232y x = 5．抛物线20x y += 的焦点位于（ ）A ． 轴的负半轴上B ． 轴的正半轴上C ．轴的负半轴上 D ．轴的正半轴上6．与椭圆224520x y += 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ ）A ．24y x =B ．24y x =±C ．24x y =D ．24x y =± 7.抛物线y 2=ax (a ≠0)的准线方程是 ( )(A )4a x =-；(B)x =4a ；(C)||4a x =- ；(D)x =||4a10. 一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（ ） A. (4，0) B. （2，0） C.（0，2） D. (0，－2)11. 已知F 为抛物线22y x =的焦点，定点Q （2，1）点P 在抛物线上，要使||PQ PF +的值最小，点P 的坐标为（ ）A. (0，0)B. 112⎛⎫⎪⎝⎭， C.()22， D. (2，2)12、抛物线y=ax 2的准线方程是y=2,则a 的值为（ ） A 、18 B 、18- C 、8 D 、-8 13、已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）614、抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A 、1716 B 、1516 C 、78D 、0 15、在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则P 的值为（ ） A 、12B 、1C 、2D 、418 设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）A2pB pC p 2D 无法确定 19．已知直线y kx k =-及抛物线22y px =（0p >）则（ ）A ．直线与抛物线有一个公共点B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没公共点 20﹑与直线240x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程为（ ）A. 230x y -+=B. 230x y --=C. 210x y -+=D. 210x y --=21、过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（ ）（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）422．过点（-3，2）的直线与抛物线24y x =只有一个公共点，求此直线方程。

北师大版数学选修1-1抛物线及标准方程说课稿

北师大版数学选修1-1抛物线及标准方程说课稿

《抛物线及其标准方程》说课稿《抛物线及其标准方程》说课稿尊敬的各位评委、老师:大家好！我说课题目是：《抛物线及其标准方程》。

下面，我将从：教材分析；学情分析；教学策略；教学过程；教学评价，五个方面介绍我对本节课的教学设想：一、教材分析（一）、地位与作用本节课是北师大版高中数学选修2-1第三章第2节第1课时.教材在本节内容中只研究了顶点在原点，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程，以思考交流的形式让学生自己去归纳抛物线标准方程的另外三种形式.这样的处理给学生提供了一次探究和交流的机会.有利于学生对抛物线标准方程的理解，有利于学生思维能力的提高和学习兴趣的培养.通过本节课的学习，学生不仅能掌握抛物线的几何特征，定义和标准方程，为后面学习抛物线的性质及其在实际问题中的应用打好基础.而且有助于学生观察分析能力与抽象概括能力的培养，对学生进一步理解坐标法和数形结合思想有很好的作用，也进一步巩固了圆锥曲线的研究方法。

（二）、教学目标依据对教材的分析，遵循《课表》对本节的教学要求，我将这节课的教学目标、重点设置为：1.知识与技能理解抛物线的定义；掌握抛物线标准方程的求法，以及抛物线四种形式和p的几何意义。

2.过程与方法通过本节课的学习,使学生经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程；巩固圆锥曲线的研究方法，以及推导抛物线方程所用的坐标法。

进一步体会方程思想，数形结合思想，分类讨论思想在数学中的应用.3.情感态度与价值观感受抛物线是刻画现实世界中较多事物的曲线，激发学生学习数学的兴趣和研究问题的热情。

（三）、重点抛物线的定义；p的几何意义；抛物线标准方程及应用。

二、学情分析抛物线是圆锥曲线中的一种，也是日常生活中常见的一种曲线。

学生早就认识了抛物线，知道斜抛物体的轨迹是抛物线，一些拱桥的桥拱形状是抛物线，还有抛物线探照灯，以及二次函数的图形是抛物线等等。

可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识。

这节课的授课对象是高二学生，他们具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和推理运算能力。

高中数学选修一第2章-2.4抛物线-知识点

高中数学选修一第2章-2.4抛物线-知识点

高中数学选修一第2章-2.4抛物线-知识点1、抛物线：平面内到一个定点F (焦点)和到一条定直线l(准线)的距离相等的点的轨迹。

2、抛物线的标准方程/焦点和准线方程/焦点/准线图形方程/焦点/准线图形方程：y2=2px,(p>0）焦点：(p/2,0)，准线：x=-p/2。

方程：y2=-2px,(p>0）焦点：(-p/2,0)，准线：x=p/2。

方程：x2=2py,(p>0）焦点：(0,p/2)，准线：y=-p/2。

方程：x2=-2py,(p>0）焦点：(0,-p/2)，准线：y=p/2。

3、抛物线的性质[以y2=2px(p>0）为例进行说明].①范围：x≥0,抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，抛物线向右上方和右下方无限延伸。

②对称性：关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。

③顶点：坐标原点。

④顶点是（0，0），⑤离心率e=1 。

4、抛物线的方程，多用定义法，通过数形结合来确定，或建立方程求出参数 p。

5、抛物线与二次函数的关系：①当焦点在x轴上时，抛物线不是函数，②当焦点在y轴上时，抛物线是二次函数。

6、求弦长：①若AB过抛物线焦点，则AB=x1+x2+p （p>0时）；②若不过焦点，则必须用弦长公式。

7、与抛物线有关的最值问题的两个转化策略：①将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”。

②将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，构造出“与直线上所有点的连线段中垂线段最短”。

8、直线与抛物线的位置关系(以直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0）为例).①k=0时,相交;②k≠0时,联立方程组,若△>0,则相交;△=0，则相切;△<0,则相离。

9、“设而不求”思想：在研究直线与曲线相交的相关问题时，我们通常把两个交点的坐标设出来（却又不求出），利用韦达定理及相关已知（弦长/中点/距离等）得到与参数相关的方程，从而解决问题。

(北师大版)选修1-1课件：第2章-抛物线(第2课时)参考课件(2)

(北师大版)选修1-1课件：第2章-抛物线(第2课时)参考课件(2)

探究2 既然过抛物线焦点的直线与 其相交，交点的纵坐标的乘积是一 个定值，那么过抛物线对称轴上其 他任意一定点，是否也有这个性质 呢?
探究3 设抛物线 y 2 px 上两动点 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 ) ，且满足 y1 y2 k ( k为常数)，问AB是否恒过 某一定点？
x0 2 p P(x0，y0)在x2=2py上, PF y0 2 p 2 P(x0，y0)在x =-2py上, PF －y0
2
抛物线的几何性质： 1、抛物线的对称性 y2=2px Y 关于x轴对称 没有对称中心， 因此，抛物线又 X 叫做无心圆锥曲 线。 怎样说明其对称性？
2、抛物线的范围: y2=2px
探究8 若M为抛物线 y 2 px( p 0) 上一个定点，A、B是抛物线上的两 个动点，且直线MA与直线MB的倾 斜角互补，求证：直线AB的斜率为 定值。
2
设计意图： 培养我们研究数学问题的一般思想 方法： 一是考虑原命题的逆命题是否成立； 二是考虑能否把原命题进行一般推 广； 三是考虑从原命题条件中还能推出 什么结论？ 四是考虑把原命题进行适当变式进 行拓展。
变式3 如图，抛物线 y 2 px( p 0) ， 过点 P(1,0) 作斜率为 k 的直线 l 交抛 物线于 A 、 B 两点， A 关于 x 轴的对 称点为C，直线BC交x轴于Q点，当 k变化时，探究点Q是否为定点？
变式1过抛物线 y 2 px( p 0)上一定 点 P ( x0 , y0 )( y0 0)，作两条直线分别 交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 ) ，若 p 直线AB的斜率为定值 y ，证明直 0 线PA与PB的倾斜角互补.

抛物线的简单几何性质

抛物线的简单几何性质

x
直线与抛物线的关系
例3.已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的
直线l的斜率为k,下列情况下分别求k的
取值范围：
1. l与抛物线有且仅有一个公共点；
2. l与抛物线恰有两个公共点；
3. l与抛物线没有公共点.
例 1 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定点 P ( 2 , 1 ) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 2 y 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
l
y
（4） 离心率：
O
F
x
e =1
方程 图
y2 = 2px
（p＞0）
y
l O F x
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
（p＞0）
y
x
l l F x
（p＞0）
y
F
O l
（p＞0）
y
x
O F
形 范围
对称 性
O
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于x轴对称 （0,0） e=1
2
分析:直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形：一种是直线 平行于抛物线的 对称轴； 另一种是直线与 抛物线相切．

归纳方法：
1.联立方程组，并化为关于x或y的一元方程；
2.考察二次项的系数是否为0，
①若为0，则直线与抛物线的对称轴平行， 直线与抛物线有且仅有一个交点； ②若不为0，则进入下一步. 3.考察判别式 ⊿<0 直线与抛物线相离. ⊿=0 直线与抛物线相切； ⊿>0 直线与抛物线相交；

(北师大版)选修1-1课件：第2章-抛物线-习题课件

(北师大版)选修1-1课件：第2章-抛物线-习题课件
y o x
F
图 形
.
o
x
F
.
o x
F
o
x
焦 点
准 线
p F ( ,0) 2 p x 2
F (
p ,0) 2 p x 2
p F (0, ) 2 p y 2
p F (0, ) 2 p y 2
【训练一】
1.抛物线 y
m 1 1 m ( 0 , ) ( 0 , ) ( 0 , ) ( 0 , ) (A) (B) (C) (D) 4 4m 4m 4
N M M
.
P
.
2.过点(0,2)与抛物线 y 2 8 x 只有一个公共点的直线 C ） 有（ （A）1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数多条
.
F (1,0)
.
P
x3
2 3.过抛物线 y ax ( a 0) 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q 1 1 两点，若PF与FQ的长分别是 p,q则 等于 ( C ) p q
l1
D M y A B
AC 2 2, Rt ACN中， NC 1
MN 4, 则N为(2,0)
N x 由图得， 即抛物线方程： y
l2
O
C
8x A为（1， 2 2）
B为（4， 4 2）
p 2得p 4 2 2
曲线段C的方程为：
y 2 8x(1 x 4, y 0)
设抛物线方程： y 2 2 px( p 0)
l2
O
C
N
x
p p 所以3 得p 3； 2 2 即p 4
2
得, p 2或4 AMN为锐角三角形， xA xN
p A(3 ,2 2 ) 2

高中数学选修1-1教学设计-抛物线及简单几何性质

一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．(二)能力训练点从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．二、教材分析1．重点：抛物线的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)2．难点：抛物线的几何性质的应用．(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．)3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．(解决办法：引导学生证明并加以记忆．)三、活动设计提问、填表、讲解、演板、口答．教学过程【情境设置】由一名学生回答，教师板书．问题抛物线的标准方程是怎样的？答为：抛物线的标准方程是．1．抛物线的几何性质（1）范围因为，由方程可知，所以抛物线在轴的右侧，当的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．（2）对称性以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．（3）顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当时，因此抛物线的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得，教师用小黑板给出来表让学生填写．再向学生提出问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；（4）抛物线的离心率是确定的，为1．【例题分析】例1已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．求标准方程，请一名学生演板，教师予以纠正．画图可由教师讲解，步骤如下：描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分（如图）．然后说明利用抛物线的通性，能够方便地画出反映抛物线基本特征的草图．例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为，灯深，求抛物线的标准方程和焦点位置．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径．抛物线的标准方程为，由已知条件可得点的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：，所以所求抛物线的标准方程为，焦点坐标是 .（三）随堂练习1．求适合下列条件的抛物线方程①顶点在原点，关于轴对称，并且经过点②顶点在原点，焦点是③顶点在原点，准线是④焦点是，准线是2．一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是 m，跨度是 m，求拱形的抛物线方程答案：1．①②③④2． (要选建立坐标系)（四）总结提炼抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线．（五）布置作业1．顶点在原点、焦点在轴上，且过点的抛物线方程是（）A． B． C． D．2．若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为（）A．1 B．2 C．4 D．63．若垂直于轴的直线交抛物线于点，且，则直线的方程为__________.4．抛物线形拱桥，当水面宽时，水面离拱顶为，若水下降，则此时水面宽为___________.5．抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左顶点，求抛物线方程．6．若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别是10和6，求的横坐标及抛物线方程．答案：1．B 2．C 3． 4． 5． 6．9，教案点评：本节课首先设置情境，让学生利用类比的思想，探索、归纳、总结出与椭圆、双曲线类似的性质，并与椭圆、双曲线的性质比较，便于学生掌握这三种曲线的性质。

高二数学选修1-1知识点

高二数学选修1－1知识点
一、方程式：
1、一元一次方程的解法
任意一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解可以用公式x=-b/a来求得；当a=0，则方程不是一元一次方程，此时可以通过代入数值来求解；当a=0，b=0时，方程有无数个解，即x任意取值。

二、平面向量
1、平面向量的加法和减法
平面上两个向量可以相加和相减。

如果向量A＝（x1,y1）、向量B＝（x2,y2），则向量A加B＝（x1＋x2,y1＋y2），向量A减B＝（x1－x2,y1－y2）。

2、夹角的余弦定理
夹角的余弦定理：证明两个向量A＝（x1,y1）、B＝（x2,y2）夹角α满足关系A•Bcosα=|A||B|，即向量的乘积cosα等于两个向量的模的乘积。

三、立体几何
2、平面和直线的表示方法
1）任一点加直线的法线向量的表示方法：若直线L上任一点P（x0,y0），其具有直线L的法向量N＝（a，b），则该直线可以用P（x0，y0）和N（a，b）来表示；
2）点斜式：若该直线上任一点P（x0，y0），则该直线可以写成x－x0/a＝y－y0/b ＝k，称为点斜式；
3）参数方程形式：若直线L上任一点A（at，bt），则这条直线可以用参数方程形式x＝at+r，y＝bt+s的形式表示；
2）用平面方程形式：若平面上任一点A（x1，y1，z1），则平面的方程可以写成
ax+by+cz+d=0。

高二数学选修一第二章知识点梳理

高二数学选修一第二章知识点梳理第一节函数的概念和性质1. 函数的定义函数是一个数集到另一个数集的映射关系，通常表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是函数值或因变量。

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

2. 函数的表示方法函数可以用公式、图像、表格和文字描述等方式进行表示。

其中，公式表示最常见，如f(x) = 2x + 1。

3. 函数的性质函数有奇偶性、单调性、周期性等性质。

例如，奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。

第二节一次函数与二次函数1. 一次函数一次函数又称为线性函数，可表示为f(x) = ax + b，其中a和b 为常数。

一次函数的图像为一条直线，斜率a表征了直线的倾斜程度。

2. 二次函数二次函数可表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数且a ≠ 0。

二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于a的正负。

第三节指数函数与对数函数1. 指数函数指数函数可表示为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。

指数函数的图像以底数为基准，增长或衰减速度取决于底数的大小。

2. 对数函数对数函数可表示为f(x) = logₐx，其中a为底数，x为真数。

对数函数与指数函数是互逆关系，即logₐaⁿ = n。

第四节三角函数1. 正弦函数、余弦函数和正切函数三角函数常用的有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)。

它们的周期均为2π，具有周期性质。

2. 三角函数的性质三角函数具有周期性、奇偶性和单调性等性质。

例如，正弦函数和余弦函数是奇函数，正切函数是奇函数。

第五节极坐标与参数方程1. 极坐标系极坐标系使用极径和极角来表示平面上的点，其中极径表示点到原点的距离，极角表示点与极轴的角度。

2. 参数方程参数方程使用参数t表示自变量，以x和y关于t的函数形式来定义曲线上的点。

参数方程常用于描述非线性曲线。

高二数学选修1-1、1-2数学知识点(文科)

高二数学选修1-1、1-2数学知识点(文科)高二数学选修1-11、数列的性质与特征（一）数列概念：数列是列有次序的一组有限个或无限个数构成的数组，又称有序数列。

（二）有序数列比较：任意两个有序数列可以比较是否有序，已经大小关系。

（三）数列等比：如果一个数列中每一项都是等比的，则该数列为等比数列。

2、等比数列的性质（一）等比数列的公比：等比数列的前两项的比值称为公比，记为q，如果前两项之比为正数，则称为正比，公比q也为正数；反之，反比，公比q为负数。

（二）特定的等比数列：（1）等比数列的通项公式：设等比数列的公比为q，使得a1，a2，…，an均成等差数列，则数列中任一项，可以表示为an＝a1qn-1（2）定积分数：一列等比数列或它们的和称为定积分数，也称为定量数列。

3、等差数列的性质（一）等差数列的公差：等差数列的前后项的差称为公差，记为d。

4、等比数列与等差数列的混合（一）等比等差数列：等比等差数列是指一个拥有等比性质和等差性质的数列。

高二数学选修1-21、数学归纳法数学归纳法是一种发现规律的方法，它可以帮助我们用有限个具体的实例对一般情况作出正确的推论。

它包括三个步骤：（一）假设它是真的先假设某一定理是正确的，设定一个最初的论据。

（二）证明它是正确的为了证明这个定理是正确的，我们可以分别从可能的情况开始，例如从最小的情况，再一步步推导出更大的情况，以此来证明它是正确的。

（三）总结出结论最后要通过将实例抽象，归纳得出结论，它一般归纳为一个公式，表示一般情况。

2、数学归纳法的应用（一）证明定理：数学归纳法可以用来证明一般性的定理，先从特殊情况进行证明，再以特殊情况为基础归纳出一般性的结论。

（二）导出公式：我们可以用数学归纳法来导出感性的认识变成理性的形式，即由具体的实例可以推出一般性的公式来表示具体情况。

3、数学归纳法的注意事项（一）假设的充分性：在使用数学归纳法前，要确定假设是完全充分的，不可以太过抽象，要尽量把可能性全部考虑到。

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高二数学选修1－1 第二章 第2节 抛物线北师大版（文）【本讲教育信息】一、教学内容选修1—1 抛物线的标准方程及其几何性质二、教学目标1、掌握抛物线定义、抛物线的标准方程四种形式及其几何性质并能熟练地应用定义、几何性质解决抛物线问题。

2、方程的数学思想、函数的数学思想、等价转化的数学思想、数与形结合的思想及待定系数法、定义法等数学思想方法的应用。

三、知识要点分析1、抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线L （L 不过F 点）的距离相等的点的集合叫抛物线。

定点F 叫做抛物线的焦点，定直线L 叫做抛物线的准线。

2、抛物线的标准方程形式：px y 22=（p>0）px y 22-=，（p>0）py x 22=，（p>0）py x 22-=（p>0）P ：称为焦准距（焦点到准线的距离）3、抛物线的几何性质：对称性，X 围，顶点，离心率，（以px y 22=为例） 4、抛物线的通径：过抛物线焦点F 且垂直于对称轴的直线，与抛物线相交于P 1、P 2两点，则两交点)P P (21之间的距离就是抛物线的通径，长度是2p 。

5、有关的重要结论：设过抛物线px y 22=的焦点的直线的倾斜角是θ，与抛物线交于A （),(),,2211y x B y x 。

则有下列结论（1）|AB|=p x x ++21，|AB|=θ2sin p2，（显然当︒=θ90时，|AB|最小。

最小值是2p ，此时|AB|是抛物线的通径。

）（2）=21x x 2212,4p y y p-=（3）θsin 22p S AOB =∆（4）pBF AF 2||1||1=+（定值） （5）以|AB|为直径的圆与准线相切。

【典型例题】考点一：考查求抛物线的标准方程例1：求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P （－2，－4）的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标。

【思路分析】因顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点P （－2，－4），故可设抛物线方程是)0(,22>-=p py x 或设)0(,22>-=p px y解：由已知设抛物线的标准方程是)0(,22>-=p py x 或)0(,22>-=p px y 把P （－2，－4）代入py x 22-=或px y 22-=得21=p 或p=4 故所求的抛物线的标准方程是x y y x 822-=-=或当抛物线方程是y x -=2时，焦点坐标是F （)41,0-，准线方程是41=y 当抛物线方程是x y 82-=时，焦点坐标是F （－2，0），准线方程是x=2 【说明】对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程可设为)0a (,ay x ax y 22≠==或例2：设过P （－2，4），倾斜角为π43的直线L 与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的顶点在原点，以x 轴为对称轴，若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求抛物线C 的标准方程。

【思路分析】由已知得：抛物线的开口方向不定，故可设抛物线方程为)0a (,ax 2y 2≠=直线L 的方程为y=－x+2.利用|PA|，|AB|，|PB|成等比数列转化为P ，A ，B 三点纵坐标之间的关系。

由此关系求a 的值。

解：设A ),(),,(2211y x B y x 由已知得L ：y=－x+20422222=-+⎩⎨⎧+-==∴a ay y x x y ax y 整理得：消去01642>+=∆a a ……………………（#）a y y a y y 4,22121-=-=+∴，由|PA|，|AB|，|PB|共线且 成等比数列得：|4||,||,4|2211---y y y y 成等比数列即有：|4y ||4y ||y y |21212-⋅-=-………………（*）把得：代入(*)4,22121a y y a y y -=-=+a a a 4|4|2+=+且满足（#） 故：a=1，即所求的抛物线C 的标准方程是x y 22=考点二：考查抛物线定义的应用例3：已知动圆M 与直线L ：x=1相切，与圆1)2(:22=++y x C 相外切，求动圆的圆心M 的轨迹方程【思路分析】如图：定圆1)2(22=++y x 的圆心），（02O 1- 根据平面几何定理知：动圆圆心M 到直线L ：x=1的距离等于动圆的半径加1，即动圆的圆心到)0,2(1-O 的距离等于它到定直线x=2的距离。

解：由已知动圆的圆心M 到)0,2(1-O 的距离等于它到定直线x=2的距离。

由抛物线的定义知：动圆的圆心M 的轨迹是以（－2，0）为焦点，x=2为准线的抛物线。

故p=4，所求动圆的圆心M 的轨迹方程是x y 82-=另解：本题也可利用“定义法”来求轨迹：设M （x ，y ），动圆的半径是r 显然：x<0，r=|x －1|=1－x.x x y x -=+-=++21)1()2(22整理得：y 2=－8x【说明】从上述的解法中可以看出：充分利用抛物线的定义给解题带来很大的方便。

例4：在抛物线2x y -=上求一点P ，使P 点到焦点F 的距离与到点A （1，－2）的距离之和最小【思路分析】根据抛物线方程及A 点坐标可以推知A 点在抛物线内，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离。

解：设M 是抛物线上任意一点，L 是抛物线的准线，过M 作MM 1⊥L ，垂足为M 1，过A 作AA 1⊥L ，垂足为A 1，且交抛物线于点P ，|MA|+|MF|=|MA|+|MM 1|≥|AA 1|=|PA|+|PA 1|=|PF|+|PA| 即P 点为所求。

把x=1代入得：y=－1，故P （1，－1）【说明】如果点A 在抛物线的外部，则A 点与F 点的连线与抛物线的交点即为所求。

本题具有一定的代表性，对椭圆也可用类似的方法。

考点三：抛物线在实际问题中的应用。

例5：已知探照灯轴截面是抛物线x y =2，如图表示平行于对称轴的光线与抛物线上的点P ，Q 的反射情况，设点P 的纵坐标是a （a>0），a 取何值时，|PQ|最小？【思路分析】探照灯原理：光源置于抛物线焦点处，反射出一束平行光线，入射光线与反射光线呈平行状态，光线PQ 过抛物线的焦点。

用a 表示|PQ|.由题设知，P 点的坐标为（a 2，a ）又，因此直线PQ 的方程为，即4ax －(4a 2－1)·y －a ＝0。

解得由此可知，点Q的坐标是。

由｜PQ｜＝｜PF｜＋｜FQ｜得。

当且仅当，即时，｜PQ｜min＝1。

因此，入射点为，反射点为时路径PQ最短。

【本讲涉及的数学思想、方法】本讲主要讲述抛物线的标准方程及其几何性质的有关知识，在运用这些知识解决问题时，充分体现了方程的数学思想、等价转化的数学思想、数与形结合的数学思想及定义法、待定系数法等数学思想方法的应用。

预习导学案（双曲线的标准方程及其几何性质）一、预习前知（1）在初中学过的函数中，哪一个函数的图像是双曲线？它的解析式是什么？（2）根据课本提供的实验请你画出双曲线。

二、预习导学探究反思：探究反思的任务：双曲线的标准方程及其几何性质：1、双曲线的第一定义是。

双曲线的第二定义是。

【反思】若动点到两定点的距离之差的绝对值等于两定点的距离，则动点的轨迹是什么？若动点到两定点的距离之差的绝对值大于两定点的距离，则动点的轨迹是否存在？为什么？2、双曲线的标准方程有哪两种形式？其标准方程是，。

a，b，c的关系是。

【反思】利用轨迹法推导双曲线的标准方程。

3、双曲线的几何性质有哪些？（X 围，对称性，实轴、虚轴，渐近线，准线方程，离心率）【反思】（1）根据上述图形分别写出其几何性质（2）双曲线的离心率X 围是什么？椭圆、抛物线、双曲线能否统一定义？ 4、双曲线的焦点半径：设P （),00y x 是双曲线右支上的任意一点图（1），F 1，F 2分别是其左右焦点。

则a ex PF a ex PF -=+=0201||,||【反思】（1）若P 点在图（1）中的左支上，=|PF |1，=|PF |2 若P 点在图（2）的上、下支上，结果又如何？（2）利用双曲线的第二定义证明a ex PF a ex PF -=+=0201||,||。

【模拟试题】（答题时间：100分钟）一、选择题（每题5分，计40分） 1、抛物线)0m (,x m1y 2≠=的焦点坐标是（） A. )4,0(m B. （)4,0m - C. （0，)41m D. )41,0(m- 2、若抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，焦点在直线3x －4y －12=0上，则抛物线的标准方程是（）A. ,162x y -= B. x y 122= C. x y 162= D. x y 122-=3、动点P 到直线x+4=0的距离与它到定点M （2，0）的距离之差是2，则P 点的轨迹是（）A. 椭圆B. 直线C. 双曲线D. 抛物线 *4、过点（0，2）与抛物线,82x y =只有一个公共点的直线有（）条 A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数*5、已知M 是抛物线x y 42=上的动点，F 为抛物线的焦点，定点P （3，1），则|MP|+|MF|的最小值是（）A. 3B.4C. 5D.6**6、已知A ，B 是抛物线)0(,22>=p px y 上两点，O 为坐标原点，若|OA|=|OB|，且三角形AOB 的垂心是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（）A. x=pB. x=3pC. p x 23=D. p x 25= 7、倾斜角为4π的直线过抛物线x y 42=的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则|AB|=（）A.13B. 82C. 16 D. 8*8、一个正三角形的三个顶点都在抛物线x y 42=上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是（）A. 348B. 243C.3716 D. 3916二、填空题：（每题5分，计20分）9、已知抛物线x y 42=的弦AB 垂直于x 轴，若|AB|=34，则焦点到AB 的距离是10、已知圆07622=--+x y x 与px y 22=的准线相切，则p=__________ **11、在抛物线24x y =上求一点，使该点到直线y=4x －5的距离最短，则该点坐标是12、椭圆的中心在原点，且有一焦点与抛物线x y 82=的焦点重合，椭圆的离心率是21，则椭圆的标准方程是三、计算题：（40分）*13、已知抛物线px y 22=（p>0）有一内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边的方程是x y 2=，斜边是35，求抛物线的标准方程。

（12分）*14、某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？（13分）15、如图，线段AB （AB 不与x 轴垂直）过x 轴正半轴上一点M （m ，0）（m >0）端点A ，B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线.（1）求抛物线方程；（2）若m AOB ，求1tan -=∠的取值X 围.【试题答案】一、选择题：1、A2、C3、D4、C5、B6、D7、D8、A二、填空题：9、2 10、2 11、（)1,2112、1121622=+y x三、计算题：13、解：设OA 的方程为y=2x ，则由已知得：直线OB 的方程是x y 21-=⎩⎨⎧==∴xy px y 222解得：A ),2(p p ⎪⎩⎪⎨⎧-==xy px y 2122解得：B )p 4,p 8(- 35)4()218(22=--+-∴p p p p 13392=⇒p故所求抛物线的方程是x y 133942=14、解：以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y 轴建立直角坐标系。