高中数学选修一第2章-2.4抛物线-知识点

选修1－1、1-2数学知识点 选修1－1数学知识点第一章 简单逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.p q p q ∧ p q ∨ p ⌝真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。

⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；第二章 圆锥曲线与方程1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>>范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。

疱丁巧解牛知识·巧学一、抛物线1.抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F 叫抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.（1）定义的“双向运用”，即：一方面，符合定义的条件的动点轨迹为抛物线；另一方面，抛物线上点有定义中条件的性质.（2）两个定义的综合运用是解决有些抛物线问题的捷径.（3）求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法.2.抛物线的方程（1）抛物线的标准方程（a ＞b ＞0）①y 2=2px(p ＞0)；②y 2=-2px(p ＞0)；③x 2=2py(p ＞0)；④x 2=-2py(p ＞0).抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p 等于焦点到抛物线顶点的距离.二次函数y=ax 2(a≠0)方程满足抛物线的定义，所以它的图象是抛物线，它的焦点坐标为（2a ,0），准线方程x=2p . （2）中心在(x 0,y 0)的抛物线方程(a ＞b ＞0)利用平面向量的平移可得到上述标准方程中对应的形式，如顶点在（x 0,y 0）有对称轴为y=y 0,开口向右的抛物线方程为(y-y 0)2=2p(x-x 0)(p ＞0).要点提示 在求抛物线的方程的时候一定要考虑焦点在哪个轴上，开口方向两个方面.此外，因为抛物线有四个标准方程，确定了焦点在哪个轴上和开口方向，这个抛物线的方程大致形状也就确定了.问题·探究问题1 抛物线在现实生活中有哪些应用？探究:抛物线在现实生活中的应用很广泛，我们熟悉的汽车前灯，太阳灶，有的大桥也设计成抛物线形状，抛物线最重要的应用还是在物理学上，根据抛物线的运行轨迹，人们把它运用到了军事上的大炮、导弹.问题2 学习抛物线方程，要注意些什么？探究:抛物线的标准方程有四个，在学习它们的时候一定要注意区分，焦点在x 轴上两个，焦点在y 轴上两个，焦点坐标与准线方程都于一次项的系数有关，抛物线的方程在确定了焦点位置和一次项的系数，抛物线的形状也就确定了下来.典题·热题例1 已知点M （3，2），F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点p 在该抛物线上移动，当|PM|+|PF|取最小值时，点P 的坐标为______________________.思路分析：本题若建立目标函数来求|PM|+|PF|的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决.解：如右图所示，由定义知|PF|=|PE|，故|PM|+|PF|=|PF|+|PM|≥|ME|≥|MN|=213.取等号时，M,P,E 三点共线，∴P 点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以P 点坐标为(2,2).方法归纳 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离.要重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与到准线距离的相互转换. 例2 求过点（-3，2）的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程.思路分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p ；从实际分析，一般需确定p 和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论.解：（1）设所求的抛物线方程为y 2=-2px 或x 2=2py （p ＞0），∵过点（-3，2），∴4=-2p （-3）或9=2p·2.∴p=32或p=49. ∴所求的抛物线方程为y 2=x 34-或x 2=y 29.前者的准线方程是x=31，后者的准线方程是y=89-. 误区警示 这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.思路分析：可设抛物线方程为y 2=2px(p ＞0).如右图所示，只须证明2||AB =|MM 1|，则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切.证明:作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1.M 为AB 中点，作MM 1⊥l 于M 1，则由抛物线的定义，可知|AA 1|=|AF|，|BB 1|=|BF|.在直角梯形BB 1A 1A 中：|MM 1|=21（|AA 1|+|BB 1|）=21（|AF|+|BF|）=21|AB|. ∴|MM 1|=21|AB|.故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切. 方法归纳 类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.例4 如右图所示，直线l 1和l 2相交于点1M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线段C上任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程.思路分析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x 、y 的取值范围. 解：如图以直线l 1为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段.其中A 、B 分别为曲线段C 的端点. 设曲线段C 的方程为y 2=2px （p>0）（x A ≤x≤x B ，y>0），其中x A 、x B 为A 、B 的横坐标，p=|MN|，所以M （2p -，0）、N （2p ，0）. 由|AM|=17，|AN|=3，得（x A +2p ）2+2px A =17， ① （x A -2p ）2+2px A =9. ② ①②联立解得x A =p4，代入①式，并由p>0， 解得⎩⎨⎧==1,4A x p 或⎩⎨⎧==.2,2Ax p 因为△AMN 为锐角三角形，所以A x p >2. 故舍去⎩⎨⎧==.2,2A x p 所以⎩⎨⎧==.1,4Ax p 由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN|-2p =4. 综上，曲线段C 的方程为y 2=8x （1≤x≤4，y>0）.。

2.7.2 抛物线的几何性质学习目标核心素养1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．(重点)2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(重点、难点)3．掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识．通过抛物线的几何性质的学习，培养直观想象、数学运算素养．如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等．当然这条性质本身也是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线——抛物线的几何性质．1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1思考1：抛物线x2＝2py(p＞0)有几条对称轴？[提示]有一条对称轴．思考2：抛物线的范围是x∈R，这种说法正确吗？[提示]抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2＝2px(p＞0)的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误．思考3：参数p对抛物线开口大小有何影响？[提示]参数p(p＞0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大．2．焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2＝2px(p＞0)|AB|＝x1＋x2＋py2＝－2px(p＞0)|AB|＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p＞0)|AB|＝y1＋y2＋px2＝－2py(p＞0)|AB|＝p－(y1＋y2)1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线是中心对称图形．( )(2)抛物线的范围为x∈R．( )(3)抛物线关于顶点对称．( )(4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但离心率都相同．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√[提示](1)×在抛物线中，以－x代x，－y代y，方程发生了变化．(2)×抛物线的方程不同，其范围不同，y2＝2px(p＞0)中x≥0，y∈R．(3)×(4)√离心率都为1，正确．2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点F的距离是( )A ．8B ．6C ．4D ．2 A [∵抛物线的方程为y 2＝8x ， ∴其准线l 的方程为x ＝－2， 设点P (x 0，y 0)到其准线的距离为d ， 则d ＝|PF |，即|PF |＝d ＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∵点P 到y 轴的距离是6， ∴x 0＝6， ∴|PF |＝6＋2＝8．]3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝ ．8 [∵y 2＝4x ，∴2p ＝4，p ＝2．∵由抛物线定义知：|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8．]4．顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是 ．y 2＝24x 或y 2＝－24x [∵顶点与焦点距离为6，即p2＝6，∴2p ＝24，又对称轴为x轴，∴抛物线方程为y 2＝24x 或y 2＝－24x ．]由抛物线的几何性质求标准方程【】(1)平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的标准方程是 ．(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．(1)y 2＝5x [线段OA 的垂直平分线为4x ＋2y －5＝0，与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，∴抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，∴其标准方程是y 2＝5x ．](2)解：椭圆的方程可化为x24＋y29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p ＞0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3．用待定系数法求抛物线方程的步骤提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置．不同的焦点设出不同的方程．[跟进训练]1．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P 到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线方程．[解] 设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点P (x 0，y 0)． 因为点P 到对称轴距离为6，所以y 0＝±6， 因为点P 到准线距离为10，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪x0＋a 2＝10．① 因为点P 在抛物线上，所以36＝2ax 0．②由①②，得⎩⎨⎧a ＝2，x0＝9或⎩⎨⎧a ＝18，x0＝1或⎩⎨⎧a ＝－18，x0＝－1或⎩⎨⎧a ＝－2，x0＝－9.所以所求抛物线方程为y 2＝±4x 或y 2＝±36x ．抛物线性质的应用【例2】(1)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线上一点，且∠AFO ＝120°(O 为坐标原点)，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是 ．(2)已知正三角形AOB 的一个顶点O 位于坐标原点，另外两个顶点A ，B 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，求这个三角形的边长．(1)43 [如图，设A (x 0，y 0)，过A 作AH ⊥x 轴于H ， 在Rt △AFH 中，|FH |＝x 0－1， 由∠AFO ＝120°，得∠AFH ＝60°， 故y 0＝|AH |＝3(x 0－1)， 所以A 点的坐标为错误!，将点A 坐标代入抛物线方程可得3x 20－10x 0＋3＝0， 解得x 0＝3或x 0＝13(舍)，故S △AKF ＝12×(3＋1)×23＝43．](2)解：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 2＝2px 2．又|OA |＝|OB |，所以x 21＋y 21＝x 2＋y 2， 即x 21－x 2＋2px 1－2px 2＝0， 整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0． ∵x 1＞0，x 2＞0,2p ＞0， ∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称． 由此得∠AOx ＝30°， 所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立， 解得y 1＝23p ．∴|AB |＝2y 1＝43p ．利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点：解决焦点弦问题．提醒：解答本题时易忽略A ，B 关于x 轴对称而出错．[跟进训练] 2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，求抛物线的标准方程．[解] 由已知得c a ＝2，所以a2＋b2a2＝4，解得ba＝3．即渐近线方程为y ＝±3x ，而抛物线准线方程为x ＝－p 2，于是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－32p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，32p ，从而△AOB 的面积为12·3p ·p 2＝3．可得p ＝2，因此抛物线开口向右，所以标准方程为y 2＝4x ．焦点弦问题[探究问题]以抛物线y 2＝2px (p ＞0)为例，回答下列问题： (1)过焦点F 的弦长|AB |如何表示？还能得到哪些结论？ [提示] ①|AB |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x0＋p 2(焦点弦长与中点关系)．②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin2θ(θ为AB 的倾斜角)．③A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p24，y 1·y 2＝－p 2．④S △AOB ＝p22sin θ．⑤1|AF|＋1|BF|＝2p(定值)． (2)以AB 为直径的圆与直线l 具有怎样的位置关系？[提示] 如图，AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，相应的准线为l ．所以以AB 为直径的圆必与准线l 相切． (3)解决焦点弦问题需注意什么？[提示] 要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．【例3】已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在直线的方程．[思路探究] 根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程． [解] ∵过焦点的弦长|AB |＝52p ，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵y 2＝2px 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0．∴直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2．由⎩⎨⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y2＝2px ，整理得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋14k 2p 2＝0(k ≠0)，∴x 1＋x 2＝k2p ＋2pk2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝k2p ＋2pk2＋p ， 又|AB |＝52p ，∴k2p ＋2p k2＋p ＝52p ，∴k ＝±2．∴所求直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2．1．(改变问法)本例条件不变，求弦AB 的中点M 到y 轴的距离． [解] 设AB 中点为M (x 0，y 0)， 由例题解答可知2x 0＝x 1＋x 2＝32p ，所以AB 的中点M 到y 轴的距离为34p ．2．(变换条件)本例中，若A 、B 在其准线上的射影分别为A 1，B 1，求∠A 1FB 1． [解] 由例题解析可知AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，即x ＝1k y ＋p2，代入y 2＝2px 消x 可得y 2＝2p k y ＋p 2，即y 2－2pky －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2， 由A 1点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y1，B 1点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y2，得kA 1F ＝－y1p ，kB 1F ＝－y2p． ∴kA 1F ·kB 1F ＝y1y2p2＝－1， ∴∠A 1FB 1＝90°．解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用，简化运算.1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．解决抛物线的轨迹问题，可以利用抛物线的标准方程，结合抛物线的定义． 3．抛物线y 2＝±2px (p ＞0)的过焦点的弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ，其中x 1，x 2分别是点A ，B 横坐标的绝对值；抛物线x 2＝±2py (p ＞0)的过焦点的弦长|AB |＝y 1＋y 2＋p ，其中y 1，y 2分别是点A ，B 纵坐标的绝对值．4．求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．1．若抛物线y 2＝2x 上有两点A 、B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．18A [线段AB 所在的直线方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12．]2．在抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A ．(42，±2) B ．(±42，2) C ．(±2,42)D ．(2，±42)D [抛物线y 2＝16x 的顶点O (0,0)，焦点F (4,0)，设P (x ，y )符合题意，则有错误!⇒错误!⇒错误!所以符合题意的点为(2，±42)．]3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF→＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)B [由题意知F (1,0)，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y204，y0，则OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y204，y0，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y204，－y0，由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∴点A 的坐标为(1，±2)，故选B ．]4．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是 ．158[设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，11 / 11 由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14． ∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∴y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y1＋y22＝158．] 5．已知点P (1，m )是抛物线C ：y 2＝2px 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF |＝2，直线l ：y ＝k (x －1)与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ．(1)求抛物线C 的方程；(2)若|AB |＝8，求k 的值．[解] (1)抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2， 由|PF |＝2得：1＋p 2＝2，得p ＝2． 所以抛物线的方程为y 2＝4x ．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由错误!可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16＞0，∴x 1＋x 2＝2k2＋4k2． ∵直线l 经过抛物线C 的焦点F ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k2＋4k2＋2＝8， 解得k ＝±1，所以k 的值为1或－1．。

2.4.2 抛物线的简单几何性质问题导学一、抛物线几何性质的应用活动与探究1已知抛物线的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上．若抛物线上一动点P 到A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，F 两点距离之和的最小值为4，且A 为抛物线内一点，求抛物线方程．迁移与应用1．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 的纵坐标为－42，该点到准线的距离为6，则抛物线方程为________________．2．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝__________．注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．二、抛物线的焦点弦活动与探究2已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．迁移与应用1．过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )．A ．45°B ．90° C．60° D．120°2．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，求1|AF |＋1|BF |的值．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 称为焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有下列性质：|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)，y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24等．三、直线与抛物线的位置关系活动与探究3已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．迁移与应用1．直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值为( )．A ．－1B ．2C ．2或－1D ．42．过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若AB 恰被Q 平分，求AB 所在的直线方程．1．直线与抛物线位置关系的判定：直线方程与抛物线方程联立得方程ax 2＋bx ＋c ＝0，当a ＝0时，直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，且只有一个交点；当a ≠0时，两者位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可，即①相交：两个不同交点⇔a ≠0且Δ＞0；②相切⇔a ≠0且Δ＝0；③相离⇔a ≠0且Δ＜0．2．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点问题，要注意“点差法”的运用，体现“设而不求”的优越性．答案：课前·预习导学 【预习导引】1．⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 x ＝－p 2 y ＝p2 x ≤0y ≤0 x 轴 y 轴 (0,0)预习交流1 提示：抛物线与双曲线的一支不相同．双曲线的一支有渐近线，离心率e ＞1；抛物线没有渐近线，它的离心率是唯一的，e ＝1．2．x 0＋p2x 1＋x 2＋p 2p预习交流2 提示：抛物线方程化为y 2＝13x ，2p ＝13，故其通径长为13．预习交流3 提示：不正确，若直线与抛物线相切，则它们只有一个公共点，但当直线与抛物线只有一个公共点时，直线不一定与抛物线相切，还可能是相交，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合．这一点与圆、椭圆是不同的，要注意区别．课堂·合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：先根据题目条件设出抛物线方程，再结合图形，探讨抛物线上的动点P 满足到A ，F 两点距离之和取最小值时的条件，进而列出等量关系．解：设所求的抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，其焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l ：x ＝－p2．如图所示，若A 点在“抛物线所包含的区域之内”， 过点P 作准线的垂线，垂足为H ，由抛物线定义可知|PF |＝|PH |． 当H ，P ，A 在同一条直线上时， |PA |＋|PF |取最小值|AH |＝2＋2p ＝4，解得p ＝4，故所求的抛物线方程为y 2＝8x ． 迁移与应用 1．y 2＝16x 或y 2＝8x 解析：由于抛物线的准线方程是x ＝－p2，而点M 到准线的距离为6，所以M 点的横坐标是6－p2，于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p2，－42，代入方程得32＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p2，解得p ＝8或p ＝4，故方程为y 2＝16x 或y 2＝8x ．2．2 解析：圆x 2＋y 2－6x －7＝0的圆心为(3,0)，半径为4，抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋p 2＝4，得p ＝2或－14(舍)．活动与探究2 思路分析：(1)由倾斜角可知斜率，从而得到l 的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义可求得|AB |的值；(2)由|AB |＝9求得弦AB 中点的横坐标即可求得M 到准线的距离．解：(1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3．又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3．又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92．迁移与应用 1．B 解析：如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AFA 1．又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AFA 1＝∠A 1FO ． 同理∠BFB 1＝∠B 1FO ．于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1． 故∠A 1FB 1＝90°．2．解：已知抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 对于直线AB ，分两种情况考虑： (1)若直线AB 的倾斜角为90°， 则有|AF |＝|BF |＝p ，所以112||||AF BF p+=； (2)若直线AB 的倾斜角不等于90°， 设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 与抛物线方程联立并消去y ，整理得k 2x 2－(k 2＋2)px ＋224k p ＝0，由韦达定理得，x 1＋x 2＝22(2)k p k +，x 1x 2＝24p ．另一方面，由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2p ，|BF |＝x 2＋2p． 于是121111||||22p p AF BF x x +=+++ ＝()122121224x x pp p x x x x +++++＝()()22222222=2424k p pk p k p p p pk ++++⋅+． 活动与探究3 思路分析：要求弦AB 的长，只需求出A ，B 两点的坐标．为此，设出A ，B 两点的坐标，利用OA ⊥OB 以及A ，B ，P 三点共线的条件求解．解：∵A ，B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 226，y 2． ∵OA ⊥OB ，∴OA u u u r ·OB uuu r＝0．由OA u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y 1，OB uuu r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 226，y 2， 得y 21y 2236＋y 1y 2＝0．∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36．①∵点A ，B 与点P (4,2)在一条直线上，∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226，化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2， 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24． 将①代入，得y 1＋y 2＝－6．②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝610．迁移与应用 1．B 解析：∵直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于两点，∴k ≠0．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝4k ＋8k2．而AB 中点的横坐标为2， ∴4k ＋8k2＝4，解得k ＝－1或k ＝2．而当k ＝－1时，方程k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0只有一个解，即A ，B 两点重合，∴k ≠－1． 2．解：方法1：显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －4)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －4)，y 2＝8x ，消去x ，整理得ky 2－8y －32k ＋8＝0．此方程的两根是弦AB 的端点A ，B 的纵坐标，由韦达定理得y 1＋y 2＝8k．又Q 点是弦AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2．∴k ＝4． 故弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)， 即4x －y －15＝0．方法2：设弦AB 的端点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 则有2118y x ＝，2228y x ＝，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)． 由于Q 点是弦AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2，于是y 1－y 2x 1－x 2＝4，即直线AB 的斜率k ＝4，故弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0． 当堂检测1．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3-，那么|PF |＝( )．A ．43B ．8C ．83D ．16答案：B 解析：如图，直线AF 的方程为3(2)y x =--，与准线方程x ＝－2联立得A (－2，43)．设P (x 0，43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6． ∴|PF |＝x 0＋2＝8．2．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则k 的值为( )． A ．1 B ．1或3 C ．0 D ．0或1答案：D 解析：联立22,8y kx y x=+⎧⎨=⎩得(kx ＋2)2－8x ＝0．整理得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0．当k ＝0时，方程变为－8x ＋4＝0，只有一解，这时直线与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，由Δ＝0得(4k －8)2－16k 2＝0，解得k ＝1． 综上，k ＝0或1．3．过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在x 轴上的正射影分别为D ，C ．若梯形ABCD 的面积为122p ＝__________．答案：2 解析：如图，抛物线焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB ：y －2p ＝x ，即y ＝x ＋2p ． 联立x 2＝2py ，得2,22,p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 得x 2－2px －p 2＝0，∴x 1＝(1＋2)p ，x 2＝(1－2)p ．∴|AD |＋|BC |＝y 1＋y 2＝x 1＋2p ＋x 2＋2p＝2p ＋p ＝3p ，|CD |＝|x 1－x 2|＝22p ． 由S 梯形ABCD ＝12(|AD |＋|BC |)·|CD |＝13221222p p ⋅⋅=，解得p 2＝4，∴p ＝±2．∵p ＞0，∴p ＝2．4．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．答案：－4 解析：由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)，∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴212242(2)2y y ⎧=⎨-=⎩,①,② ∴128,2,y y =⎧⎨=⎩∴P (4,8)，Q (－2,2)． 又∵抛物线可化为212y x =， ∴y ′＝x ，∴过点P 的切线斜率为4'4x y ==． ∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8． 又∵过点Q 的切线斜率为2'2x y =-=-，∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －2．联立48,22,y x y x =-⎧⎨=--⎩得x ＝1，y ＝－4，∴点A 的纵坐标为－4．5．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；答案：解：将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，∴p ＝2．故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 5l 的方程；若不存在，说明理由． 答案：假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ．由22,4y x t y x=-+⎧⎨=⎩得y 2＋2y －2t ＝0．∵直线l与抛物线C有公共点，∴Δ＝4＋8t≥0，解得12t≥-．另一方面，由直线OA与l的距离55d=，可得55=，解得t＝±1．∵11,2⎡⎫-∉-+∞⎪⎢⎣⎭，11,2⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，∴符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．。

2.4.1抛物线及其标准方程（第1课时）（名师：杨军君）一、教学目标（一）学习目标1.理解抛物线的定义，明确焦点、准线的概念；2.掌握抛物线的方程及标准方程的推导；3.熟练掌握抛物线的四个标准方程.（二）学习重点1.抛物线的定义；2.选择适当坐标系探求抛物线的标准方程.（三）学习难点四种形式的抛物线的标准方程的由来和区分.二、教学设计（一）预习任务设计1.预习任务写一写：（1）定义：平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，这个定点叫做抛物线的焦点，直线叫做准线.（2）抛物线的标准方程：焦点在x 轴上：22(0)y px p =>或22(0)y px p =-> 焦点在y 轴上：22(0)x py p =>或22(0)x py p =->.2.预习自测下列语句正确的个数（ ）（1）抛物线的方程都是二次函数;（2）抛物线的焦点到准线的距离是(0)p p >;（3）抛物线的开口方向由一次项确定;（4）焦点在坐标轴上的抛物线的开口方向有四种可能性.A.1B.2C.3D.4答案：C解析：【知识点】抛物线的定义与方程.【解题过程】抛物线的开口方向有四种，只有开口向上或向下的对应方程是二次函数，故（1）错误.点拨：利用抛物线的定义判断.（二）课堂设计探究一：结合实例，认识抛物线●活动①创设情景，引入新课展示彩虹、投篮、桥梁、隧道、太阳灶、手电筒等实例，引入新课，激发学生的学习热情.【设计意图】通过生活中的应用实例，一方面吸引学生的注意力，让学生对抛物线有一个感性上的认识，另一方面让学生意识到到研究抛物线的必要性，感受到数学来源与生活，生活离不开数学.提问：抛物线到底有什么样的几何性质？怎么样给抛物线下一个定义呢？如图，在黑板上画一条直线AB，使直尺与直线AB重合，然后取一个三角板，将一条拉链CD固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端用图钉固定在F点，将三角板的另一边直角边贴在直线AB上，在拉练M处放置一只粉笔，上下沿直线拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.●活动②归纳提炼，形成定义思考：。

高一数学第2章知识点总汇数学作为一门重要的学科，对于我们来说无疑是必修课程之一。

而在高中数学阶段，第2章是我们学习的重点。

本文将会总结高一数学第2章的知识点，帮助大家更好地掌握和理解这些内容。

一、集合论知识点集合论是数学中重要的基础，对于高中数学的学习也是至关重要的。

在第2章中，我们需要了解以下几个知识点：1. 集合的定义和表示方法：了解集合的概念以及集合的表示方法，例如列举法和描述法。

2. 集合间的关系：包括相等关系、包含关系、交集、并集等。

3. 集合的运算：包括并运算、交运算、差运算等。

4. 集合的分类：空集、全集、单元素集、有限集、无限集等。

二、函数知识点函数是数学中的重要概念，在高中数学中也是必不可少的内容。

在第2章中，我们需要掌握以下几个知识点：1. 函数的定义和表示方法：了解函数的概念以及函数的表示方法，例如映射法、解析法等。

2. 函数的性质：包括定义域、值域、单调性等。

3. 基本初等函数：了解常见的基本初等函数，例如线性函数、幂函数、指数函数、对数函数等。

4. 函数图像的性质：包括函数的对称性、奇偶性、单调性等。

三、数列知识点数列是高中数学中的一种数学对象，也是第2章的要点之一。

在这一部分，我们需要了解以下几个知识点：1. 数列的定义和表示方法：了解数列的概念以及数列的表示方法，例如通项公式、递推公式等。

2. 数列的性质：包括有界性、单调性等。

3. 等差数列和等比数列：了解等差数列和等比数列的概念、性质以及求和公式。

4. 数列的应用：了解数列在实际问题中的应用，例如生活中的数列模型。

四、概率知识点概率是高中数学中的一种重要内容，在第2章中也有涉及。

在这一部分，我们需要了解以下几个知识点：1. 概率的定义和表示方法：了解概率的概念以及概率的表示方法，例如事件的概率和样本空间。

2. 事件的运算：包括事件的并、交、余等运算。

3. 古典概型：了解古典概型的概念以及求解概率的方法。

4. 条件概率：了解条件概率的概念以及计算方法。

2.3.2 抛物线的简单几何性质1【学情分析】：由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。

【教学目标】：（1）知识与技能：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。

（2）过程与方法：重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。

（3）情感、态度与价值观：培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。

【教学重点】：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。

【教学难点】：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质及其应用。

【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：三、例题讲解例1 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点A（4,23），求这条抛物线的准线方程。

解：⑴若抛物线开口向右，设抛物线的标准方程为22(0)y px p=>∵()22324p=∴32p=∴抛物线的标准方程为34x=-⑵若抛物线开口向上，设抛物线的标准方程为22(0)x py p=>∵24223p=∴433p=∴抛物线的标准方程为233y=-例2 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处。

已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点距离是多少？让学生运用抛物线的几何性质，写出符合条件的抛物线的准线方程。

三、例题讲解分析：依标准方程特点和几何性质建系，由待定系数法求解，强调方程的完备性。

解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径．抛物线的标准方程为22(0)y px p=>，由已知条件可得点的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：230240p=，254p=所以所求抛物线的标准方程为2452y=，焦点坐标是.例3 过抛物线pxy22=的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜运用抛物线的几何性质解决现实生活中的问题，提高学生学习数学的兴趣和综合解题能力。

2．2 抛物线的简单性质学习目标：1.掌握抛物线标准方程的四种形式.2.掌握抛物线的简单性质．(重点)3.会用抛物线的性质解决与抛物线有关的综合问题．(难点)抛物线的性质1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线是中心对称图形，也是轴对称图形．( ) (2)抛物线的范围是x ∈R ，y ≥0.( ) (3)抛物线是二次函数的图像．( )[答案](1)×(2)×(3)×2．已知抛物线x2＝2py(p>0)的准线经过点(1，－1)，则抛物线的焦点坐标为()A．(0,1)B．(0,2)C．(1,0) D．(2,0)A[由抛物线x2＝2py(p>0)的准线为y＝－p2＝－1，得p＝2，故所求抛物线的焦点坐标为(0,1)．]3．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为π4的直线l，直线l与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长是________．[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，焦点F(2,0)，直线l的方程为y＝x－2，代入y2＝8x得x2－12x＋4＝0，x1＋x2＝12，|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.[答案]164．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．[解析]M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－1 16，设M(x，y)，则y＋116＝1，∴y＝1516.[答案]1516利用抛物线性质求标准方程【例1】已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．[解]如图，设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)， 则|y 1|＋|y 2|＝23， 即y 1－y 2＝23.由对称性知y 2＝－y 1，∴y 1＝3. 将y 1＝3代入x 2＋y 2＝4得x ＝±1，∴点(1，3)，(－1，3)分别在抛物线y 2＝2px ， y 2＝－2px 上．∴3＝2p 或3＝(－2p )×(－1)，p ＝32.故所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .利用抛物线的性质求抛物线的方程一般采用待定系数法，其步骤是： (1)定位置.根据条件确定抛物线的焦点在哪条对称轴上及开口方向； (2)设方程.根据所定位置，设出抛物线的标准方程； (3)寻关系.根据条件列出关于参数p 的方程； (4)得结论.解方程求得p 的值，从而得到其标准方程.1．已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．[解] 由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)， 焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l ：x ＝p 2，∴A 、B 两点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p .∴|AB |＝2|p |.∵△OAB 的面积为4，∴12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2·2|p |＝4. ∴p ＝±22.∴抛物线方程为y2＝±42x.抛物线性质的应用【例2】已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长．思路探究：设法证明三角形的另外两个顶点应满足什么关系，进而利用抛物线的性质求解边长．[解]如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，y21＝2px1，y22＝2px2.又因为|OA|＝|OB|，所以x21＋y21＝x22＋y22，即x21－x22＋2px1－2px2＝0.所以(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因为x1＞0，x2＞0,2p＞0，所以x1＋x2＋2p≠0.所以x1＝x2.即A，B两点关于x轴对称，则∠AOx＝30°，所以AB⊥x轴，所以y1＝x1tan 30°＝33x1.又因为x1＝y212p，所以y1＝23p.而|AB|＝2y1＝43p，即为所求边长．利用抛物线的性质可以解决的问题：(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题；(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题；(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题；(4)焦点：解决焦点弦问题.2．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．[解]根据题意可以知道，AB垂直于x轴，即A，B关于x轴对称．设AB 的方程为x＝x0，则A(x0，2px0)，B(x0，－2px0)，由k OA·k BF＝－1得2px0x0·－2px0x0－p2＝－1，解得x0＝52p，故直线AB的方程为x＝52p.抛物线的焦点弦问题[探究问题]1．已知抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝8，求抛物线的标准方程．[提示]设抛物线标准方程为y2＝2px(p≠0)，则|AB|＝|2p|＝8，∴p＝±4，故标准方程为y2＝±8x.2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，能否求|AB|的值？[提示]如图，∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.∴由抛物线定义知：|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.【例3】已知抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝52p，求AB所在直线的方程．思路探究：方法1：设出直线方程，用弦长公式求解；方法2：由于直线过抛物线的焦点，可利用抛物线定义转化为到准线的距离的和求解．[解] 法一：(代数法)焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p ＜52p .所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2. ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2 ＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝52p ，解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.法二：(几何法)如图所示，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，设A ，B 到准线的距离分别为d A ，d B ，由抛物线的定义知， |AF |＝d A ＝x 1＋p 2，|BF |＝d B ＝x 2＋p2， 于是|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2时，|AB |＝2p ＜52p ，所以直线AB 与x 轴不垂直．设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2＝32p ，解得k ＝±2，所以直线AB 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.求抛物线弦长问题的方法： (1)一般弦长公式|AB |＝|x 1－x 2|1＋k 2＝|y 1－y 2| 1＋1k 2.(2)焦点弦长设AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的一条过焦点F 的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长：|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p .即求抛物线的焦点弦长，通常是利用焦半径，把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决，这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点.1．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝±3yB ．y 2＝±6xC ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6yC [依题意，p2＝3，∴p ＝6. ∴抛物线的标准方程为x 2＝±12y .]2．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8 [答案] D3．函数y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a 的值等于________．[解析] 由⎩⎨⎧y ＝ax 2＋1，y ＝x得ax 2－x ＋1＝0，由Δ＝0得1－4a ＝0， ∴a ＝14. [答案] 144．设抛物线y 2＝16x 上一点P 到对称轴的距离为12，则点P 与焦点F 的距离|PF |＝______.[解析] 设P (x,12)，代入到y 2＝16x 得x ＝9， ∴|PF |＝x ＋p2＝9＋4＝13. [答案] 135．已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在直线的方程及|P 1P 2|.[解] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2.两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)． ∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3， ∴直线的方程为y －1＝3(x －4)， 即3x －y －11＝0.由⎩⎨⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11，得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22. ∴|P 1P 2|＝1＋1922－4×(－22)＝22303.。

2．3.1 抛物线及其标准方程预习课本P56～59，思考并完成以下问题1．平面内满足什么条件的点的轨迹叫做抛物线？它的焦点、准线分别是什么？2．抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？ [新知初探] 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px(p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0x ＝－p2y 2＝－2px(p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 x ＝p 2x 2＝2py (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py(p >0)⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2 y ＝p2[小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线( ) (2)抛物线y 2＝20x 的焦点坐标是(0,5)( ) 答案：(1)× (2)×2．抛物线x ＝－2y 2的准线方程是( ) A ．y ＝12B ．y ＝18C ．x ＝14D ．x ＝18答案：D3．若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( ) A ．(8,8) B ．(8，－8) C ．(8，±8) D ．(－8，±8)答案：C4．已知动点P 到定点(2,0)的距离和它到直线l ：x ＝－2的距离相等，则点P 的轨迹方程为________．答案：y 2＝8x抛物线的标准方程[典例] (1)过点M (－6,6)；(2)焦点F 在直线l ：3x －2y －6＝0上． [解] (1)由于点M (－6,6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上， 设其方程为y 2＝－2px (p >0)，将点M (－6,6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x .若抛物线开口向上，焦点在y 轴上， 设其方程为x 2＝2py (p >0)，将点M (－6,6)代入可得，36＝2p ×6， ∴p ＝3，∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是F (2,0)，∴p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y .求抛物线的标准方程的方法 定义法 根据定义求p ，最后写标准方程 待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程[注意] 当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y 2＝ax 或x 2＝ay (a ≠0)的形式，以简化讨论过程．[活学活用]1．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝______，准线方程为________． 解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1.答案：2 x ＝－12．抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5，求抛物线的标准方程．解：设所求焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点A (m ，－3)． 由抛物线的定义得|AF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋a 2＝5，又(－3)2＝2am ，∴a ＝±1或a ＝±9.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .抛物线定义的应用[典例] (1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.求点M 的轨迹方程．[解析] (1)由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.[答案] A(2)解：由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)， 其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p ＝1,2p ＝2， 故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)． [一题多变]1．[变结论]若本例(2)中点M 所在轨迹上一点N 到点F 的距离为2，求点N 的坐标． 解：设点N 的坐标为(x 0，y 0)，则|NF |＝2.又点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)，所以由抛物线的定义得x 0＋12＝2，解得x 0＝32.因为y 20＝2x 0，所以y 0＝±3，故点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3.2．[变结论]若本例(2)中增加一点A (3,2)，其他条件不变，求|MA |＋|MF |的最小值，并求出点M 的坐标．解：如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l的距离|MN |，于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |≥|AN |＝3＋12＝72.当A ，M ，N 三点共线时，|MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA |＋|MF |取最小值72，这时M 的纵坐标为2.可设M (x 0,2)，代入抛物线方程得x 0＝2，即M (2,2)．抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．抛物线的实际应用[典例] 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？[解] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴，建立直角坐标系．因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A (10，－2)． 设桥孔上部抛物线方程是x 2＝－2py (p >0)， 则102＝－2p ×(－2)，所以p ＝25， 所以抛物线方程为x 2＝－50y ，即y ＝－150x 2.若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x ＝8时，y ＝－150×82＝－1.28，即船体在x ＝±8之间通过，B (8，－1.28)，此时B 点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)． 而船体高为5米，所以无法通行．又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7， 150×7＝1 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．求抛物线实际应用的五个步骤[活学活用]如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为26米． 答案：2 6层级一 学业水平达标1．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C.148D.124解析：选C 将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124.故到焦点的距离最小值为148.2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：选C ∵抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，∴－p2＝－1，即p ＝2.3．若抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标是2的点M 到抛物线焦点的距离是3，则p ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：选B ∵抛物线的准线方程为x ＝－p 2，点M 到焦点的距离为3，∴2＋p2＝3，∴p＝2.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2解析：选C 焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则由点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，直线AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以点B 的横坐标为12，纵坐标为－2，所以S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322.5．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，由于c a ＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .6．已知抛物线C ：4x ＋ay 2＝0恰好经过圆M ：(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心，则抛物线C 的焦点坐标为_______，准线方程为________．解析：圆M 的圆心为(1,2)，代入4x ＋ay 2＝0得a ＝－1，将抛物线C 的方程化为标准方程得y 2＝4x ，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1.答案：(1,0) x ＝－17．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.解析：根据抛物线的定义得1＋p2＝5，p ＝8.不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1，故a ＝14.答案：148．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．答案：②④9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2，作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝5，而|MN |＝3＋p 2，3＋p2＝5，即p ＝4.所以抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2. 由m 2＝－8×(－3)＝24，得m ＝±2 6.法二：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2. 10.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．(1)以抛物线的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?解：如图所示．(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)， 因为点C (5，－5)在抛物线上， 所以该抛物线的方程为x 2＝－5y . (2)设车辆高为h ，则|DB |＝h ＋0.5， 故D (3.5，h －6.5)，代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．层级二 应试能力达标1．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．12解析：选B 由抛物线的方程得p 2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A ．2 3B ．4C ．6D ．4 3解析：选D 如图，∵△FPM 是等边三角形． ∴由抛物线的定义知PM ⊥l . 在Rt △MQF 中，|QF |＝2， ∠QMF ＝30°，∴|MF |＝4，∴S △PMF ＝34×42＝4 3.故选D. 3．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆D ．圆解析：选A 法一：设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r .由两圆外切，得圆心C 到点(0,3)的距离为r ＋1，也就是说，圆心C 到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，故点C 到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹为抛物线．法二：设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r ，点A (0,3)，由题意得|CA |＝r ＋1＝y ＋1，∴x 2＋y －32＝y ＋1，化简得y ＝18x 2＋1，∴圆心的轨迹是抛物线．4．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，如果A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1为( )A.π6B.π4C.π2D.2π3解析：选C 由抛物线的定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F .又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1，所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.5．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA ―→＋FB ―→＋FC ―→＝0，则|FA ―→|＋|FB ―→|＋|FC ―→|＝________.解析：因为FA ―→＋FB ―→＋FC ―→＝0，所以点F 为△ABC 的重心，则A ，B ，C 三点的横坐标之和为点F 的横坐标的三倍，即x A ＋x B ＋x C ＝3，所以|FA ―→|＋|FB ―→|＋|FC ―→|＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝6.答案：66．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．解析：将双曲线方程化为标准方程，得x 2a 2－y 23a2＝1，∴其焦点坐标为(±2a,0)，(2a,0)与抛物线的焦点重合，联立抛物线与双曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2－y 23a2＝1，y 2＝8ax⇒x ＝3a ， 而由⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，得a ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝8x ，其准线方程为x ＝－2.答案：x ＝－27.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2， 于是4＋p 2＝5，p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x . (2)由题意得A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)．又F (1,0)，所以k AF ＝43，则直线FA 的方程为y ＝43(x －1)． 因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34， 则直线MN 的方程为y ＝－34x ＋2. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－34x ＋2，y ＝43x －1得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝85，y ＝45，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.8．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点．(1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1,1)，求|PA |＋d 的最小值；(2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. 由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为22＋12＝ 5. (2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±12，因为12>2，所以点B在抛物线内部．自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.。

数学高二选修抛物线知识点抛物线是数学中的一个重要概念，它在高中数学的选修课程中占有重要地位。

在高二学年，学生将进一步深入研究和应用抛物线的相关知识。

本文将重点介绍高二选修课程中涉及的抛物线知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识。

一、抛物线的定义和性质1. 抛物线的定义：抛物线是平面上动点到定点和到定直线的距离之差恒等于定值的轨迹。

2. 抛物线的标准方程：y = ax² + bx + c （a ≠ 0）3. 抛物线的顶点坐标：顶点的横坐标为 -b/2a，纵坐标为 c -b²/4a。

4. 抛物线的对称轴：对称轴的方程为 x = -b/2a。

5. 抛物线的焦点坐标：焦点的横坐标为 -b/2a，纵坐标为 c -b²/4a + 1/4a。

6. 抛物线的准线：准线的方程为 y = c - b²/4a - 1/4a。

二、抛物线的平移和缩放1. 抛物线的平移：若抛物线的标准方程为 y = ax² + bx + c，将其向右平移 h 个单位，新的方程为 y = a(x-h)² + b(x-h) + c。

2. 抛物线的缩放：若抛物线的标准方程为 y = ax² + bx + c，将其纵坐标扩大 k 倍，新的方程为 y = kax² + bx + c。

三、抛物线的图像和性质1. 抛物线的开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

2. 抛物线的对称性：抛物线相对于其顶点具有对称性。

3. 抛物线的最值点：当 a > 0 时，抛物线的最小值为顶点的纵坐标；当 a < 0 时，抛物线的最大值为顶点的纵坐标。

4. 抛物线与坐标轴的交点：抛物线与 x 轴交点称为零点，与 y 轴交点称为截距。

四、抛物线的应用1. 抛物线在物理学中的应用：通过抛物线的运动轨迹，我们能够计算出抛物线在不同时间点的速度和加速度，从而研究物体受到的力和运动规律。