3.3.1抛物线及其标准方程教学设计-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

3.3.1 抛物线及其标准方程教程分析本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习抛物线及其标准方程在经历了椭圆和双曲线的学习后再学习抛物线，是在学生原有认知的基础上从几何与代数两个角度去认识抛物线.教材在抛物线的定义这个内容的安排上是：先从直观上认识抛物线，再从画法中提炼出抛物线的几何特征，由此抽象概括出抛物线的定义，最后是抛物线定义的简单应用.这样的安排不仅体现出《课程标准》中要求通过丰富的实例展开教学的理念，而且符合学生从具体到抽象的认知规律，有利于学生对概念的学习和理解.坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学教学目标与核心素养重点：抛物线的标准方程及其推导过程 难点：求抛物线标准方程 课前准备 多媒体. 教学过程一、问题导学我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，今天我们类比椭圆、双曲线的研究过程与方法，研究另一类圆锥曲线——抛物线．如图，把一根直尺固定在画图板内，直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的一端固定于三角板另一条直角边上点A，截取绳子的长等于A到l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直角尺左右滑动，这样铅笔就画出了一条曲线，这条曲线就叫做抛物线．1.抛物线的定义概念形成比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？同椭圆双曲线的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并求出抛物线的标准方程。

如图所示，以直线KF为x轴，线段KF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，此时，抛物线的焦点为F(p2,0),准线为x=−p2设M (x,y)是抛物线上一点，则M到F的距离为|MF|=√(x−p2)2+y2,则M 到直线l 的距离为|x +p2|, 所以√(x−p 2)2+y 2=|x +p2|,上式两边平方，整理可得y 2=2px. ①建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程。

教学设计教学案例基本信息学科数学学段第二学段年级高二案例名称抛物线及其标准方程教材书名：普通高中教科书（选择性必修第一册）出版社：人民教育出版社出版日期：2022年7月课程说明(信息技术与学科内容结合方面的指导思想与理论依据）建构主义学习理论是认知学习理论的一个重要分支.建构主义学习理论认为，对事物的理解不是简单由事物本身决定的，人是以原有的知识经验为基础来建构自己对现实世界的解释和理解，学习是一个积极的意义建构过程，教学并不是把知识经验从外部装进学生的头脑中，而是要引导学生从原有经验出发，生长(建构)起新的经验.由于建构主义所要求的学习环境得到了当代最新信息技术成果的强有力支持,教师注重对学习环境的创设，通过计算机多媒体技术和网络技术在教学中为学生提供个性化的支持和帮助，培养学生通过协作学习解决问题的能力，提高学生学习效率和教师教学效率.信息技术环境软硬件要求及搭建环境情况几何画板和flash动画软件，PPT软件，投影.教学背景分析教学内容:著名的李邦河院士曾说:“数学是玩概念的”，概念是进行一切数学活动的基础，因此，教学中要重视对数学的概念，定义的理解及应用，引导学生感悟数学本质.圆锥曲线问题是中学数学研究的一类重点问题，蕴含着经典的数学思想和方法.动点运动变化过程中的不变量是几何问题本身研究的核心内容，这类问题的背后有许多有趣的结论可探究，因此，本节课一方面为学生研究动点问题提供了相关方法;另一方面，让学生体验像数学家一样发现问题的方法，为进一步掌握和学习圆锥曲线内容提供行之有效的思想方法.抛物线是平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹，其中的定点、定直线(不经过定点)是确定抛物线的几何要素，这一概念反映了抛物线的几何特征.根据抛物线的概念，类比椭圆、双曲线标准方程的获得过程，通过建立适当的平面直角坐标系，用坐标法推导抛物线的标准方程.教学思想：本节内容包含的核心思想方法还是坐标法，这在结合抛物线的几何特征，推导抛物线标准方程的过程中得到了充分展示.另外还有多种研究方法，例如，类比椭圆、双曲线的研究过程与方法;在观察图形特征的基础上，形成抛物线的概念;在坐标系中研究焦点位置不同的抛物线得到的标准方程不同，用到了分类讨论的思想;求解教科书中的两个例题时使用了待定系数法:对二次函数的图象为什么是抛物线的研究用到了化归与转化思想等等.学情分析：所授课班级高二14班属理科尖子班，学生思维活跃，具有一定的归纳总结能力，但数学语言表达能力以及证明推理能力还有待提高.本节课是在学生学习了圆锥曲线椭圆和双曲线之后去学习另外一种圆锥曲线，有了研究之前两种曲线概念的经验，再加之借助几何画板的动态演示，学生有能力构建出抛物线的概念和特征，建立抛物线的标准方程.教学目标1.目标（1）能从几何情境中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的几何特征，发展直观想象和抽象概括素养.（2）能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象和数学运算素养.2.教学重点：抛物线的定义以及标准方程教学难点：抛物线定义的形成过程以及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）教学过程教学阶段教师活动学生活动设计意图技术应用时间安排设置情境导入新课利用flash动画软件给出生活实例：投篮和小球上抛的运动的动画.思考：篮球和小球运动过得轨迹是怎样的曲线？激发学生学习兴趣，直接引入主题.flash动画软件1分钟引导探究获得新知问题1：（几何画板展示）观察几何画板展示的点M的变化轨迹.思考：（1）动点M是如何强调“在操作中促进学习”，体现数学实验在学习数字中的应用价值.如图1：F是定点，l是不经过点F的定直线，H 是直线l上任意一点，过点H作lMH ，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，点M随之运动，你能发现M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？获得的？（2）线段FM和线段MH的几何意义分别是什么？（3）变化的量有哪些？变化顺序如何？变化中是否存在不变的关系？（4）当直线l经过点F时，线段FH的垂直平分线m与过点H的定直线l的垂线是什么位置关系？引导学生发现确定抛物线的几何要素，认识抛物线的几何特点，抽象出抛物线的概念，发展学生数学抽象素养.几何画板软件6-8分钟深入探究推导方程问题2：观察图1中的抛物线，如何选择坐标系可能使所求抛物线的方程形式简单？观察一下三种建立平面之角坐标系，根据抛物线的定义，推导抛物线的方程：学生观察抛物线的形状，思考建系的方式.（考虑对称性）思考：（1）类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，每个方程的推导过程是否满足抛物线上点的坐标与方程的解之间一一对应的关系？（2）三种不同形式的抛物线方程哪个更简单？为什么？（3）三种不同形式的抛物线方程是否有联系？注重学生思维的发生点，让学生类比椭圆与双曲线标准方程的推导方法，自主推导抛物线的标准方程，体验类比方法，对比分析，提升数学运算素养.类比椭圆与双曲线不同形式的标准方程，利用表格的形式呈现抛物线不同形式（焦点位置的不几何画板软件15-18分钟问题3：根据抛物线)0(22>=p px y 的方程，类比椭圆、双曲线标准方程的不同性质，再获得开口向左、上、下的抛物线的标准方程，确定相应的焦点坐标和标准方程，并将结论填写在表格中.小组合作完成完成上表.思考：（1）只研究表中四中形式的标准方策会给你基于怎样的思考？ （2）你能说明二次函数)0(2≠=a ax y 的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程.同）的标准方程.引导学生透过现象看本质，不断提升分析、总结与归纳等能力，也为分析例题和解决问题实际应用问题奠定理论基础.指导应用鼓励创新例题分析：例1：（1）已知抛物线的标准方程x y 62=，求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点是)2,0(-F ,求它的标准方程.动手操作，知识应用.根据抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程，根据抛物线焦点坐标求其标准方程.读懂题意，从给出的实物图中抽象出数学图形，建立坐标系，用待定系数法求解问题.理解抛物线方程中p 的意义，强化学生对抛物线标准方程、p 、焦点坐标以及准线方程的认识.让学生运用抛物线及其标准方程解决实际问题，经历将实际问题转化为数学问题，解决数学问8分钟例2.一种卫星接收天线如图，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处.已知接收天线的口径（直径）卫4.8m,深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标. 练习：教材133页练习题.（口答）题，进而解决实际问题的过程.课堂检测巩固新知1.已知抛物线的准线方程是32=x，求它的标准方程.2.已知抛物线xy162=上的点M与焦点的距离等于7，求点M的坐标.3.求抛物线0832=+yx的焦点坐标和准线方程.学生自主完成检测（3名学生上板演示，学生自主评价、纠错、完善解答过程），调整自己的认知结构和经验结构，完成经验的自主构建的过程.考查学生由已知条件求抛物线的标准方程.考查学生灵活运用抛物线标准方程及其几何特征解决问题.考查学生将方程变形为标准方程，然后运用标准方程获得焦点坐标、准线方程.6分钟课堂小结引导学生带着下列问题回顾本节课所学和学习过程：学生根据教师所列问题进行自我总结（学生回答，其余同学补充）引导学生自我反馈，自我总结、梳理数学知识、2分钟（1）抛物线的几何特征是什么？（2）抛物线的标准方程是如何获得的？（3）抛物线的标准方程有哪些不同的形式？感悟数学思体会数学研究方法，内化知识和经验，促进目标达成.作业布置必做：教材习题3.3第1-4题选做：探究二次函数)0(,2≠++=acbxaxy的图像为什么是抛物线？查阅资料，动手操作，对本节课所学知识进行巩固和梳理，构建自己的认知（初高中认知的统一）.作业梯度设计，以学生发展为本，使不同学生在数学上获得不同的发展，形成开放性的学习环境，满足不同学生的需求.1分钟学习效果评价本课教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在引导学生发现确定抛物线的几何要素，认识抛物线的几何特点，抽象出抛物线的概念，又通过坐标法推导出抛物线的四种标准方程.在教学过程中，教师是主导者，通过动画展示生活中的抛物线运动，又用几何画板展示抛物线轨迹的形成过程，让学生通过分析动点的几何特征，得到抛物线的几何要素；然后让学生类比椭圆、抛物线的标准方程的推导过程来推导抛物线的标准方程.课堂结合问题设置以及思考，将学生引导至课堂深处，整节课又以学生为主体，让学生积极参与，学生通过直观感知，将原本抽象的问题具体生动的与同学老师一起分享交流，始终保持较高的学习积极性，在理解数学概念，把握数学知识的过程中领会以数学知识为载体的数学思想方法，构建圆锥曲线概念体系和坐标法求解动点轨迹方程的一般方法.本教学设计与以往未使用信息技术教学设计相比的特点（300-500字数）本教学设计与以往未使用信息技术教学设计相比，在信息技术环境下，能将抽象的抛物线数学概念形象化、简单化，互动性更强，更好地将概念的形成发展过程清晰地展现在学生面前，很容易的让学生找到抛物线的几何要素，降低了概念理解对学生的困扰.此外，借助几何画板软件，学生可以通过动态感知如何建立平面直角坐标系更为合理，更有利于我们推导抛物线的标准方程.另外，在探究抛物线的开口方向、焦点位置与抛物线的标准方程之间的关系时，如果没有信息技术的支持，学生很难想象到焦点位置不同，抛物线会呈现出四种不同的形态，但是借助几何画板，学生通过动手操作，就很容易可以直观的感知抛物线焦点的位置决定了抛物线的开口，从而决定了标准方程，为学生的推导标准方程提供了明确的方向.同时利用信息技术也解决了课堂容量不够的问题，并为学生来展示自己的成果留出了时间，增加了学生的课堂参与度，课堂有效时间更多了.教学反思信息技术与数学教学整合能够有效地帮助学生构建新的知识结构，有利于学生的观察和思考，但传统教学方式也不可全盘否定.教学时，学生是学习的主体，要加强师生的互动性，不能单调枯燥的利用信息技术，也不能只为了追求知识的量而进行灌溉教学，而应该把计算机技术有机地融入到教学中，使用黑板、粉笔、多媒体三者的结合，才能更好地适应当前学生的实际情况.信息技术进入课堂已成为一种必然，恰当、有效地使用信息技术，可以大大地提高课堂教学的效率，但任何一种多媒体的使用都是为课堂教学服务的，使用信息技术只是一种手段,而不是目的，所以在数学课堂教学中我们需要根据不同的课型，不同的知识等灵活应用，切不可为了追求课堂的数字化而舍本逐末，应该选择恰当的地方进行信息技术辅助教学.。

《拋物线及其标准方程》教学设计一、教材分析《抛物线及其标准方程》是全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）第八章《圆锥曲线》第三节第一课时内容。

本节在教材中的地位和作用：在初中阶段，抛物线为学生学习二次函数2=++提供直观的图象感觉；在高中阶段，它在一元二次不等式的解法、y ax bx c求最大（小）值等方面有着重要的作用。

但学生并不清楚这种曲线的本质，随着学生数学知识的逐渐完备，尤其是学习了椭圆、双曲线的第二定义之后，已具备了探讨这个问题的能力。

从本章来讲，这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要，拋物e=的特例；另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次线是离心率1强化。

本节对拋物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图象遥相呼应，体现了数学的和谐之美。

教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则。

二、学情分析在此之前，学生已经熟练掌握二次函数图象、椭圆、双曲线的第二定义与求轨迹方程等内容，迫切想了解抛物线的本质特征。

但是在动手操作与合作学习等方面，发展不均衡，有待加强。

三、教学目标1．理解拋物线的定义，掌握拋物线的标准方程及其推导。

明确拋物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求拋物线标准方程问题。

2、通过对拋物线和椭圆、双曲线离心率的比较，体会三种圆锥曲线内在的区别和联系。

3、熟练掌握求曲线方程的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力。

4．营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学。

引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美。

培养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦。

发展数学应用意识，认识数学的应用价值。

四、教学重点和难点1、教学重点: 拋物线的定义及其标准方程的推导。

通过学生自主建立直角坐标系和对方程的讨论选择突出重点。

e=的画法设计，标准方程与二次函数的比较2、教学难点：拋物线概念的形成。

《抛物线及其标准方程》教案一、教学内容本节课的教学内容选自普通高中课程标准实验教科书，人教A版，必修5，第一章，抛物线及其标准方程。

具体内容包括：1. 抛物线的定义及其图形特征；2. 抛物线的标准方程及其性质；3. 抛物线与坐标轴的交点；4. 抛物线的焦点和准线。

二、教学目标1. 理解抛物线的定义及其图形特征，掌握抛物线的标准方程及其性质；2. 能够运用抛物线的性质解决一些简单问题；3. 培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。

三、教学难点与重点1. 抛物线的定义及其图形特征；2. 抛物线的标准方程及其性质；3. 抛物线与坐标轴的交点；4. 抛物线的焦点和准线。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、投影仪；2. 学具：教科书、笔记本、尺子、圆规、直尺。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示一些实际问题，如投篮、射击等，引导学生思考这些问题的背后是否存在某种数学模型。

2. 概念讲解：讲解抛物线的定义及其图形特征，让学生通过观察、思考、讨论，理解并掌握抛物线的概念。

3. 性质讲解：讲解抛物线的标准方程及其性质，引导学生通过举例、分析、归纳，掌握抛物线的性质。

4. 例题讲解：选取一些典型的例题，引导学生运用所学的抛物线性质解决问题，巩固所学知识。

5. 随堂练习：设计一些随堂练习题，让学生独立完成，检验学习效果。

6. 焦点和准线讲解：讲解抛物线的焦点和准线，让学生通过观察、思考、讨论，理解并掌握焦点和准线的作用。

7. 作业布置：布置一些有关抛物线的问题，让学生课后巩固所学知识。

六、板书设计1. 抛物线的定义及其图形特征；2. 抛物线的标准方程及其性质；3. 抛物线与坐标轴的交点；4. 抛物线的焦点和准线。

七、作业设计1. 题目：已知抛物线的标准方程为 \( y^2 = 4ax \)，求证抛物线与坐标轴的交点。

答案：抛物线与x轴的交点为 (a, 0)，与y轴的交点为 (0, 2a)。

2. 题目：已知抛物线的焦点为F(1,2)，求抛物线的标准方程。

抛物线及其标准方程【学习目标】1.掌握抛物线的定义及标准方程，明确p的几何意义（重点）.2.会求抛物线的标准方程及焦点坐标，准线方程（难点）.【学科素养】通过对抛物线及其标准方程的学习，提高学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理的数学核心素养.【使用说明】高二年级第一学期、选择性必修第一册专题学习.【学法指导】1.课前认真阅读教材3.3.1抛物线及其标准方程的有关内容；用红笔标注自己不明白的问题或提出你的疑问；用心记住最基础的知识和概念并完成预学单；2．课中积极参与探究学习，完成探究单，在老师导学过程中做好笔记；3．课后通过自主思考或小组合作完成拓展单.【课前—预学单】一、学生预学指导单1、我们学习了椭圆以及双曲线的三种定义，其中，对于第二定义的描述是怎样的呢？2、平面内到定点F的距离与到定直线l(直线l不经过点F)的距离的比是常数e （e=1）的点的轨迹是？【课中—探究单】一、自主探究探究1：阅读教材P130页探究内容，试画出动点M的轨迹？新知：在平面内,与一个________和一条________(___________) 的距离________的点的轨迹叫做________.点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________.想一想1：定义中当直线l经过定点F，则点M的轨迹是什么?l探究2：类比求椭圆、双曲线标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，得出抛F物线的方程？试推导抛物线的标准方程.（建系—设点—列式—化简—得方程）新知：想一想2：如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？二、典例分析例1：求满足下列条件的抛物线的标准方程（1）过点(−2,3).（2）焦点在直线x−y+2=0上.x2的焦点坐标是_____，准线方程是_____.例2：抛物线y=−16例3：（1）已知点M(2,4)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，点M到抛物线C的焦点的距离是（）A.4B.3C.2D.1（2）若F是抛物线y2=2x的焦点，A,B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=6，则线段AB的中点到y轴的距离为_____.三、课堂小结本节课主要学习了哪些内容？【课后—拓展单】一．学生拓展教材P133探究与发现二．课后作业1、必做题：《课时作业》三十七110.2、选做题：《课时作业》三十七1116.。

3.3.1 抛物线及其标准方程一、学习目标1．了解抛物线的定义、标准方程及其推导过程，能根据条件确定抛物线的标准方程．2．通过对抛物线的标准方程的学习，培养数形结合、分类讨论、对比的思想．二、知识导学1．抛物线的定义平面内与一个_____和一条定直线l (l 不经过F)的距离相等的点的轨迹叫做_____． 点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程及对应的图形三、例题解析【例1】求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）220y x = （2）280x y +=练习1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（3）22y x = （4）2250y x += 【例2】根据下列条件，写出抛物线的标准方程（1）焦点是F （3，0）；（2）准线方程是x =14-；（3）焦点到准线的距离是4。

练习2、求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(－3,2)； (2)焦点在直线x －2y －4＝0上．【例3】(1)抛物线y ＝4x 2上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是_______(2)在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2y ＝4x 上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6，则点P 的横坐标x ＝________.练习3、(1)抛物线24x y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．5(2)若点P 到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P 点的轨迹方程____________四、当堂检测1.顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，经过点M (－2，－4)的抛物线方程是( )A ．2y ＝8xB ．2y ＝－8x 或2x ＝－yC ．2x ＝－yD ．2x ＝－8y 或2y ＝－x2.若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．4 23.若P (0x ，0y )是抛物线2y ＝－32x 上一点，F 为抛物线的焦点，则|PF |＝( )A ．0x ＋8B ．0x －8C ．8－0xD ．0x ＋164.抛物线2y ＝12x 上与焦点的距离等于9的点的坐标是________．5.抛物线2y ＝16x 上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是________．6．一个动圆的圆心在抛物线2y ＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆 必过定点________．。