高考文数一轮复习课件：9.3点、线、圆的位置关系

2．(教材习题改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6 与直线 2x＋y－5＝0 的
位置关系是( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．相交过圆心 D．相离
【答案】B
【解析】由题意知圆心(1，－2)到直线 2x＋y－5＝0 的距离 d＝ |2×12－2＋2－1 5|＝ 5< 6，且 2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但 不过圆心．故选 B.
圆与圆的位置关系
1．(2016 山东，7)已知圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线 x＋y
＝0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x－1)2＋(y－1)2＝1 的
位置关系是( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
【答案】B
【解析】∵圆 M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
2．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0 条；②内切：1 条；③相交：2 条：④外切：3 条；⑤外离：4 条． (2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2 项系数相同)相减便可得公共 弦所在直线的方程．
1．对于圆的切线问题，尤其是从圆外一点引圆的切线，易忽视 切线斜率 k 不存在的情形．
2.(2019 河北石家庄高三模拟)圆 x2＋y2－2x＋4y＝0 与 2tx－y－
2－2t＝0(t∈R)的位置关系为( )
A．相离
B．相切
C．相交
D．以上都有可能
【答案】C
【解析】由题意知，直线 2tx－y－2－2t＝0(t∈R)恒过点(1，－2)， 而 12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，所以点(1，－2)在圆 x2＋y2 －2x＋4y＝0 内，所以圆 x2＋y2－2x＋4y＝0 与 2tx－y－2－2t＝0(t∈ R)的位置关系为相交，故应选 C.

第九章
第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,
判断直线与圆、圆与圆的位置 1.直线与圆的位置关系 直观想象
关系.
2.圆的切线与弦长问题 数学运算
2.能用直线和圆的方程解决一
3.圆与圆的位置关系
些简单的数学问题与实际问题.
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方
典例突破
例1.(1)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法错误的
是(
)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
(2)(2021北京人大附中模拟)已知圆C过点(-1,0)和(1,0),且与直线y=x-1只有
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )

y12 =4x1,②
由①②得 y12 -2y0y1+2 y02 -12=0, ∵Δ=4 y02-4(2 y02-12)>0,∴ y02<12. ∴r2=(3-5)2+ y02 =4+ y02 <16,∴r<4. 综上,r∈(2,4),故选D.
9.(2014江西,9,5分)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与
垂足为E)的长度.由点到直线的距离公式得OE=
答案 C 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直 线l过点C,所以2+a×1-1=0,得a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|= | AC |2 22 = 40 4=6.故 选C.
6.(2015广东,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是 ( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+ 5 =0或2x+y- 5 =0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+ 5 =0或2x-y- 5 =0
2
3.(2016课标全国Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( )
A.- 4 B.- 3 C. 3 D.2
3
4
答案 A 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为
| a 4 1| =1,解得a=- 4 .故选A.

(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长.
∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4， ∴点M在圆C外. 当过点M的直线的斜率不存在时， 直线方程为x＝3，即x－3＝0. 又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r， ∴直线x＝3是圆的切线； 当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0，
为2，那么实数k的值为
3 A.± 3 C. 3
3 B. 3
√D.± 3
圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径r＝2， 点(0,0)到直线 y＝k(x－2)的距离 d＝ 1|22＋k| k2， 则弦长为 2 r2－d2＝2，得 2 4－14＋k2k2＝2， 解得 k＝± 3.
(2)(2023·滁州模拟)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交 于A，B两点，则当|AB|＝2 3 时，直线l的方程为__x_＝__0_或__3_x_＋__4_y－__4_＝__0___.
(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为
A.相交、相切或相离
√C.相交
B.相交或相切 D.相切
方法一 直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直 线恒过定点(1,2). 因为12＋22－2×1－8<0， 所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部， 所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交. 方法二 圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径 为 3.圆心到直线 kx－y＋2－k＝0 的距离为|k＋1＋2－k2k|＝ 1＋2 k2≤2<3， 所以直线与圆相交.
知识梳理
相交 内切 内含

索引
感悟提升
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方 程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过 该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
索引
角度3 最值(范围)问题
例4 已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，点A是直线x－y＋2＝0上的一个动点，直线AP， AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围为__[_2__2_，__4_)___. 解析 由圆的方程知圆心C(2，0)，半径r＝2.连接AC，PC，QC(图略). 设|AC|＝x，则 x≥|2－02＋2|＝2 2. ∵AP，AQ为圆C的切线， ∴CP⊥AP，CQ⊥AQ， ∴|AP|＝|AQ|＝ |AC|2－r2＝ x2－4.
第八章 平面解析几何
索引
考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层精练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理
3)，
所以 kA′B＝3－2 a， 所以直线 A′B 的方程为
y＝3－2 ax＋a，
即(3－a)x－2y＋2a＝0.
由题意知直线A′B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，
易知圆心为(－3，－2)，半径为1，
索引
所以|－3（3－a（）3＋－（a）－2＋2）（×－（2）－22）＋2a|≤1， 整理得6a2－11a＋3≤0， 解得13≤a≤32， 所以实数 a 的取值范围是13，32.
索引
∵AC是PQ的垂直平分线， ∴|PQ|＝2×|AP|A|·C|P|C|＝4 xx2－4＝4 1－x42. ∵x≥2 2， ∴12≤1－x42＜1， ∴2 2≤|PQ|＜4， 即线段 PQ 的长的取值范围为[2 2，4).

, 到直线： − − = 的距离 =


≤ + ，解得−


≤≤

.

−−
+
=

+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(

A.

)
√

C.−

B.5
解析：选C.因为 −

+ −

D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −

+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=

+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.

当直线AB的斜率存在时,由抛物线与圆的对称性知,kAB>0和kAB<0时各有一条满足题意的直线l.
设圆的圆心为C(5,0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x0= x1 ,yx02= , y1 y2
2
2
∴kAB= y2 =y1
x2 x1
=y2 y.1
y22 y12
2 y0
44
∵kCM= y0,且kABkCM=-1,∴x0=3.
x0 5
∴r2=(3-5)2+ y02>4(∵y0≠0),即r>2.
另一方面,由AB的中点为M知B(6-x1,2y0-y1),
∵点B,A在抛物线上,∴(2y0-y1)2=4(6-x1),①
y12=4x1,② 由①②得 y12-2y0y1+2 y02-12=0, ∵Δ=4 y02-4(2 y02-12)>0,∴ y0<2 12. ∴r2=(3-5)2+ y02=4+ y02<16,∴r<4. 综上,r∈(2,4),故选D.
35
B3.- 或2 -
23
5C.- 4 或-
45
4 D.3- 或-
Байду номын сангаас34
答案 D 由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即
kx-y-2k-3=0.
∵反射光线所在直线与圆相切,∴ | 3=k 1,2解得2kk=3- | 或k=- . 4
3
k2 1
3
4
评析 本题主要考查直线和圆的位置关系.
答案 C 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直 线l过点C,所以2+a×1-1=0,得a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|= |=AC=|26.故22 40 4 选C.

(2t+3)t2·m+(2t+3)2-1=0,
显然t4≠1,Δ=4(t4+4t2+12t+8),
且m1+m2=
2(2t t4
3)t 1
2
,m1·m2=(2t
t4
3)2 1

1
,
所以|AB|=(t2+1)|m1-m2|=(t2+1)·2
t4
|
4t2 12t t4 1|
3
得 190 (x+3)2=1,所以,当P点坐标为
3

3 10 10
,
10 10

时,|PF|有最小值 10
-1.

(2)设R(2t,t2),过点R的圆的切线方程为
x-2t=m(y-t2),
令y=-1,则有x=2t-m(t2+1).
由题知点N到直线x-2t=m(y-t2)的距离为| 3 mt2 2t | =1,化简得(t4-1)m2-2 1 m2
方法技巧
方法 1 直线与圆的位置关系的解题策略
1.直线与圆的位置关系 (1)直线与圆相切⇔圆心到直线的距离等于半径长⇔直线与圆只有一个 公共点⇔直线和圆的方程组成的方程组只有一组解; (2)直线与圆相交⇔圆心到直线的距离小于半径长⇔直线与圆有两个公 共点⇔直线和圆的方程组成的方程组有两组解; (3)直线与圆相离⇔圆心到直线的距离大于半径长⇔直线与圆无公共点 ⇔直线和圆的方程组成的方程组无解. 2.判断直线和圆的位置关系的方法 用方程组解的个数或用圆心到直线的距离判断,一般情况下,后一种方 法相对简单,但如果判断两圆相交并求交点坐标,必须求方程组的解,这
知,该方程无整数解.故存在点R(0,0)满足题意.

一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.
∵反射光线所在直线与圆相切,∴ | 3k 2 2k 3 |=1,解得k=- 4 或k=- 3 .
k2 1
3
4
答案 D
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
公切线条数 4 3 2
1 0
4.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三 角形计算. (2)代数方法 运用根与系数的关系及弦长公式计算: |AB|= 1 k 2 |xA-xB|= (1 k 2 )[(xA xB )2 4xAxB ] . 【知识拓展】 1.常见的圆系方程 (1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数. (2)半径相等的圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中r是定值,a,b是参数.
高考数学（浙江专用）
9.3 点、线、圆的位置关系
考点清单
考点 直线与圆、圆与圆的位置关
考向基础
系
1.点与圆的位置关系 设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r,点P在圆外⇔d>r;点P在圆上⇔d= r;点P在圆内⇔d<r. 2.直线与圆的位置关系 设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：当 k＝ 33时，直线 l 为 y＝ 33(x＋2)，即 3x－3y＋2 3＝ 0，所以圆心(0，0)到直线 l 的距离为 d＝|0－( 03＋)22＋323|＝1＝r， 所以直线与圆相切.当直线与圆相切时，圆心(0，0)到直线 kx－y＋
解析：如图 D71，曲线 C：y＝ 1－x2 的图象为单位圆的上半
圆(包含端点)，直线 l：x＋y＝m 的斜率为－1，在 y
轴上的截距为 m.当直线 l 经过A(1，0)，B(0，1)两点 时，m＝1，此时直线 l 与曲线 C 有两个公共点.当直 线 l 与曲线 C 相切时，m＝ 2.因此当 1≤m< 2时， 直线 l 与曲线 C 有且只有两个公共点.
2k＝0 的距离为 d＝ k|22＋k| 1＝r＝1，解得 k＝±33.故“k＝ 33”是 “直线 l：y＝k(x＋2)与圆 O：x2＋y2＝1 相切”的充分不必要条件. 故选 A.
答案：A
2.若直线 l：x＋y＝m 与曲线 C：y＝ 1－x2 有两个公共点， 则实数 m 的取值范围是________________.
∵点(1，1)在圆 C：x2＋(y－1)2＝5 的内部， ∴直线 l 与圆相交.
(方法三，代数法)由mx2x＋－(yy－＋11)－2＝m5＝，0，
消去 y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， 因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线 l 与圆相交. 答案：A
(2)若直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，则 实数 m 的取值范围为( )
第四讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置 关系.