【最新】浙教版九年级数学上册四清导航课件3.4.1圆心角定理

知识提要1．圆心角的定义：顶点是圆心的角； 2．圆心角定理：在同圆或等圆．．．．．中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等．3．弧与圆心角的度数关系：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧，n °的圆心角所对的弧就是n °的弧．4．在圆中证弧相等，可以用垂径定理，也可以用圆心角定理．5．圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．6．圆心角定理应注意：①“在同圆或等圆中”是前提；②弦所对的弧有两条；③互相重合的弧是等弧，等弧隐含着同圆或等圆．例1：如图，AC ，BD 是⊙O 的两条直径． (1)图中有哪些弧(劣弧)相等？(2)当点A 在圆周上运动时，是否存在一点A ，使AB ＝BC ＝CD ＝DA.解：(1)AB ︵＝CD ︵，AD ︵＝BC ︵； (2)存在，当AC ⊥BD 时即可，∵AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝∠DOA ＝90°.∴AB ＝BC ＝CD ＝DA. 例2：如图，已知AB 为⊙O 的弦，从圆上任取一点作弦CD ⊥AB ，作∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，连结P A ，PB .求证：P A ＝PB.【解】 连结OP .∵CO ＝OP ，∴∠OCP ＝∠OPC .∵CP 是∠DCO 的平分线， ∴∠DCP ＝∠OCP .∴∠DCP ＝∠OPC ，∴OP ∥CD . ∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴P A ︵＝PB ︵，∴P A ＝PB .典型例题圆心角一、选择题1.下列命题，正确的是( D )A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．平分弦的直径垂直于弦C ．长度相等的两条弧相等D ．能够互相重合的弧是等弧2. 如图，点O 是两个同心圆的圆心，大圆的半径OA ，OB 交小圆于点C ，D ，有下列结论：①AB ︵＝CD ︵；②AB ＝CD ；③∠OCD ＝∠OAB .其中正确的个数是( B)A ．0B ．1 C．2 D ．3 3. 如图,在半径为2cm 的⊙O 内有长为23cm 的弦AB ，则此弦所对的圆心角∠AOB 为( C)A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 4. 观察下列4个图形及相应推理，其中正确的是( B )A ．如图1，∵∠AOB ＝∠A′OB′，∴AB ︵＝A′B′︵ B ．如图2，∵AD ︵＝BC ︵，∴AB ＝CD C ．如图3，∵AB ︵＝40°，∴∠AOB ＝80° D ．如图4，∵MN 垂直平分AD ，∴AM ︵＝ME ︵5. (舟山中考)把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC ︵的度数是( C )A ．120°B ．135°C ．150°D ．165°6. 如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ，垂足为D ，则弦AB 所对弧的度数为( D )同步练习A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．120°或240°7. 如图，AB 是AB ︵所对的弦，AB 的垂直平分线CD 交AB ︵于点C ，交AB 于点D ，EF 垂直平分AD ，GH 垂直平分BD.下列结论中，不正确的是( C )A.AC ︵＝CB ︵B.EC ︵＝CG ︵C.AE ︵＝EC ︵D ．EF ＝GH8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10.若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于( D )A ．5B ．6C ．5 2D ．5 3【解】D 连结CD ∵D 是AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴CD ＝AD ＝DB ＝12AB .又∵CD ＝CB ，∴BC ＝12AB ＝5.∴AC ＝5 3.9. 如图，已知AB ︵，CD ︵是同圆中的两段弧，且AB ︵＝2CD ︵，则弦AB 与CD 的关系是( B )A ．AB ＝2CDB ．AB <2CDC ．AB >2CDD ．不能确定【解】B 取AB ︵的中点P ，连结AP ，BP ，则AP ︵＝BP ︵＝CD ︵＝12AB ︵，∴AP ＝BP ＝CD .∵AB <AP ＋BP ，∴AB <2CD .二、填空题1．(菏泽中考)如图，在△ABC 中∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BD ︵的度数为_50°_______．2．如图，AB ，CD ，EF 都是直径，若AC ︵∶CE ︵∶BE ︵＝2∶3∶4，则∠4＝40°，∠6＝80°．3．如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于点E ，且AB ＝2DE ，∠E ＝18°，则∠AOC ＝___54°_____．4. 如图，AD ︵是以等边△ABC 的一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD ︵上任意一点．若AC＝5，则四边形AC BP 周长的最大值是【解】 ∵点P 在AD ︵上，B 是圆心，∴PB 的长是定值．又∵AC ，BC 的长也固定，∴只要AP 的长为最大值，四边形ACBP 的周长就最大． 当点P 运动到点D 时，AP 最长．∵AD ︵是以等边△ABC 的一边AB 为半径的四分之一圆周，∴∠DBA ＝90°. 由勾股定理，得AD ＝AB 2＋BD 2＝5 2，∴周长为5×3＋5 2＝15＋5 2.5. 已知AB ，CD 是⊙O 的直径，弦CE ∥AB ，∠COE ＝40°，则BE ︵的度数是70°或110°． 【解】 当点E 在劣弧BC ︵之间时，如解图①所示．∵∠COE ＝40°，OC ＝OE ，∴∠OCE ＝∠OEC ＝(180°－40°)÷2＝70°. ∵弦CE ∥AB ，∴∠BOE ＝∠OEC ＝70°. 当点C 在劣弧BE ︵之间时，如解图②所示．同理可得∠BOE ＝110°.6. 如图，有下列条件：①∠COA ＝∠AOD ＝60°；②AC ＝AD ＝OA ；③E 为AO ，CD 的中点；④OA ⊥CD ，且∠ACO ＝60°.其中能推出四边形OCAD 是菱形的条件有4个．【解】 ①∵OA ＝OC ，∠COA ＝60°，∴△AOC 为正三角形，∴OA ＝OC ＝AC . 同理，OA ＝AD ＝OD ，∴OC ＝AC ＝AD ＝OD ，∴四边形OCAD 为菱形． ②同理于①.③∵E 为AO ，CD 的中点，∴四边形OCAD 为平行四边形． 又∵OC ＝OD ，∴▱OCAD 为菱形．④易得△AOC 为正三角形，又∵OA ⊥CD ，∴∠OCD ＝30°. ∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD ＝30°，∴∠AOD ＝60°，∴△AOD 为正三角形． 同理于①，四边形OCAD 为菱形．综上所述，条件①②③④都能推出四边形OCAD 是菱形．三、解答题1. 如图，在⊙O 中，半径OC ，OD 分别交弦AB 于点E ，F ，且OE ＝OF. (1)求证：AE ＝BF ；(2)求证：AC ︵＝BD ︵.解：(1)过O 作OH ⊥AB 于点M ，交⊙O 于点H ，则AM ＝MB.又∵OE ＝OF ，OH ⊥AB ，∴EM＝MF ，∴AM －EM ＝MB －MF ，即AE ＝BF ； (2)∵OH ⊥AB ，∴AH ︵＝BH ︵，∵OE ＝OF ，OH ⊥AB ，∴∠EOM ＝∠MOF ，∴CH ︵＝DH ︵，∴AH ︵－CH ︵＝BH ︵－DH ︵，即AC ︵＝BD ︵.2. 如图，AB 为⊙O 的直径，∠DOC ＝90°，∠DOC 绕点O 旋转，D ，C 两点不与A ，B 重合．(1)求证：AD ︵＋BC ︵＝CD ︵；(2)AD ＋BC ＝CD 成立吗？为什么？解：(1)∵AB 为⊙O 直径，∠DOC ＝90°，∴∠AOD ＋∠BOC ＝∠DOC ＝90°，∴AD ︵＋BC ︵＝CD ︵；(2)不成立，理由：在CD ︵上截取DE ︵＝AD ︵，连结DE ，EC ，故EC ︵＝BC ︵，则DE ＝AD ，BC ＝EC ，在△DEC 中，DE ＋EC ＞DC ，故AD ＋BC ＞CD.2. 如图，MN 为半圆O 的直径，半径OA ⊥MN ，D 为OA 的中点，过点D 作BC ∥MN.求证：(1)四边形ABOC 为菱形； (2)∠MNB ＝18∠BAC.解：(1)∵BC ∥MN ，OA ⊥MN ，∴OA ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∵D 为AO 中点，∴四边形ABOC 为平行四边形，∵AO ⊥BC ，∴▱ABOC 为菱形； (2)∵OB ＝ON ，∴∠MNB ＝∠OBN ，∴∠MOB ＝∠MNB ＋∠OBN ＝2∠MNB ，∵OD ＝12AO ＝12BO ，∴∠OBD ＝30°.∴∠BOD ＝60°，∴∠MOB ＝30°，∠BOC ＝120°，∴∠MNB ＝15°，∠BAC ＝120°，∴∠MNB ＝18∠BAC.3.如图所示，在⊙O中，AD，BC相交于点E，OE平分∠AEC.(1)求证：AB＝CD；(2)如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE＝1，求AD的长．解：(1)证明：作OM⊥AD于M，ON⊥BC于N，连结OA、OC，如图，则AM＝DM，BN ＝CN，在Rt△OAM中，AM＝OA2－OM2，在Rt△OCN中，CN＝OC2－ON2，∵OE平分∠AEC，∴OM＝ON，而OA＝OC，∴AM＝CN，∴AD＝BC，∴AD︵＝BC︵，即AB︵＋BD︵＝BD︵＋CD︵，∴AB︵＝CD︵，∴AB＝CD；(2)∵AD⊥CB，∴∠MEN＝90°，∵OE平分∠MEN，∴∠MEO＝45°，∴△MEO为等腰直角三角形，∴OM＝EM，设ME＝x，则OM＝x，DM ＝ME＋DE＝x＋1，∴AM＝DM＝x＋1，在Rt△AOM中，∵OM2＋AM2＝OA2，∴x2＋(x ＋1)2＝52，解得x1＝3，x2＝－4(舍去)，故AD＝2AM＝8.4.如图，半圆的直径AB为2，C，D是半圆上的两点．若AC︵的度数为96°，BD︵的度数为36°，动点P在直径AB上，求CP＋PD的最小值．解：如图，将半圆补成整圆，作点D关于直径AB的对称点D′，连结OC，OD，OD′，CD′，CD′交AB于点P，此时CP＋PD最小，即为CD′的长．作ON⊥CD′于点N.∵AC︵的度数为96°，BD︵的度数为36°，∴∠DOB＝36°，∠AOC＝96°，∴∠COD＝48°，∠BOD′＝36°，∴∠COD′＝36°＋36°＋48°＝120°，∴∠OCN＝∠OD′N＝30°.∵半圆的直径AB为2，∴ON ＝12OC＝14AB＝12.∴CN＝1－⎝⎛⎭⎫122＝32，∴CD′＝ 3.∴CP＋PD的最小值为 3.。

3.4 圆心角（一）1.如图，点O 为圆心，∠AOB ＝20°，将AB ︵旋转n °得到CD ︵，则CD ︵的度数为(A)(第1题)A. 20°B. 40°C. 60°D. 80°2.已知弦AB 把圆周分成1∶5的两部分，则弦AB 所对应的圆心角的度数为(C) A. 30° B. 30°或150° C. 60° D. 60°或300°(第3题)3.如图，点C 在以AB 为直径的半圆O 上，∠BAC ＝20°，则∠BOC 等于(C) A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°4.如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点M ，若∠AOD ＝140°，则BC ︵的度数为(C) A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°(第4题) (第5题)5.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 长为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BD ︵的度数为50° .6.如图，O 为等腰三角形ABC 的底边AB 的中点，以AB 为直径的半圆分别交AC ，BC于点D ，E .求证：AD ︵＝BE ︵.(第6题)【解】 连结OD ，OE . ∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠B. ∵OA ＝OD ＝OE ＝OB ， ∴∠ODA ＝∠A ＝∠B ＝∠OE B.∴∠AOD ＝∠BOE . ∴AD ︵＝BE ︵.(第7题)7.如图，已知AB 是⊙O 的直径，OE ⊥AB ，D 是OE 的中点，且CD ∥A B.求证：AC ︵＝12CE ︵.【解】 连结OC ，CE . ∵CD ∥AB ，OE ⊥AB ， ∴CD ⊥OE .又∵D 是OE 的中点， ∴CE ＝CO ＝OE ， ∴△COE 为正三角形， ∴∠COE ＝60°，∴CE ︵＝60°. ∵∠AOC ＝∠AOE －∠COE ＝30°， ∴AC ︵＝30°.∴AC ︵＝12CE ︵.8.把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC ︵的度数是(C)(第8题)A. 120°B. 135°C. 150°D. 165°(第8题解)【解】 如解图，连结BO ，过点O 作OF ⊥AB 于点E ，交AB ︵于点F . 易得OF ＝OB ，EO ＝EF ＝12OF ，∴EO ＝12O B.∴∠EBO ＝30°.∵AB ∥CD ，∴∠BOD ＝∠EBO ＝30°. ∴∠BOC ＝150°，即BC ︵的度数是150°.9.如图，在⊙O 中，C 是AB ︵的中点，点D ，E 分别在半径OA 和OB 上，且AD ＝BE .求证：CD ＝CE .(第9题) (第9题解)【解】 如解图，连结O C. 在⊙O 中，∵C 是AB ︵的中点， ∴∠AOC ＝∠BO C.∵OA ＝OB ，AD ＝BE ，∴OD ＝OE . 在△COD 与△COE 中，∵⎩⎨⎧OC ＝OC ，∠COD ＝∠COE ，OD ＝OE ，∴△COD ≌△COE (SAS ).∴CD ＝CE .10.如图，∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 分别交OC ，OD 于点E ，F .求证：AE ＝C D.(第10题) (第10题解)【解】 如解图，连结A C.∵∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点， ∴∠AOC ＝∠COD ＝30°，∴AC ＝C D. 又∵OA ＝OC ，∴∠ACE ＝180°－30°2＝75°.∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝45°， ∴∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°， ∴∠ACE ＝∠AEC ，∴AE ＝AC ， ∴AE ＝C D.(第11题)11.如图，P 为⊙O 的直径EF 延长线上的一点，PA 交⊙O 于点B ，A ，PC 交⊙O 于点D ，C ，∠1＝∠2.求证：PB ＝P D.【解】 连结OB ，OD ，过点O 作OM ⊥AP 于点M ，ON ⊥CP 于点N ，则∠OMP ＝∠ONP ＝90°. 又∵∠1＝∠2，OP ＝OP ， ∴△OMP ≌△ONP (AAS ). ∴MP ＝NP ，OM ＝ON .∴MB ＝OB 2－OM 2＝OD 2－ON 2＝N D. ∴MP －MB ＝NP －ND ，即PB ＝P D.12.如图，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，连结A B. (1)求证：AB 平分∠OA C.(2)延长OA 至点P ，使得OA ＝AP ，连结P C.若⊙O 的半径R ＝1，求PC 的长.(第12题)【解】 (1)连结O C.∵∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点， ∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°. 又∵OA ＝OC ，∴△ACO是等边三角形，∴OA＝A C.同理，OB＝BC，∴OA＝AC＝BC＝OB，∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OA C.(2)由(1)知OA＝AC，又∵OA＝AP，∴AP＝AC＝OA，∴∠PCO＝90°.∴PC＝OP2－OC2＝ 3.初中数学试卷。