3.2.1《一元二次不等式的解法》课件(北师大版必修5)

(2)原不等式可化为 2x2－x＋6>0， ∵方程 2x2－x＋6＝0 的判别式 Δ＝(－1)2－4×2×6<0， ∴函数 y＝2x2－x＋6 的图像开口向上，与 x 轴无交点． ∴观察图像可得，不等式的解集为 R. (3)因为 4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2>0，
1 xx≠－ 所以原不等式的解集为 2 .

2

4．一元一次不等式：ax＞b，当a＞0时，解集 是 ；
b xx＜ a
b xx＞ a



当a＜0时，解集是 解集是 ； R 当a＝0，b≤0时，解集是
；当a＝0，b＞0时，
∅
.




1．一元二次不等式 一个 二次 一般地，含有 未知数，且未知数的最高 次数为 的不等式，叫做一元二次不等式． 使某个一元二次不等式 叫这 成立的x的值 个一元二次不等式的解． 一元二次不等式的 组成的集合，叫做 所有解 这个一元二次不等式的解集．
1．已知二次函数f(x)的两个零点分别为x1、x2 则f(x)＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ． 2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 当Δ<0时，没有 实数根；当Δ＝0时，有 两个相等 b 实数根x＝ ；当Δ>0时，有 －b± b －4ac 实 －2a 两个不等 2a 数根x＝ . {－1,3} 3．若y＝x2－2x－3，则当x∈ 时，y (－∞，－1)∪(3，＋∞) (－1,3) ＝0；当x∈ 时，y>0；当x∈ 时，y<0.
解析：

3.已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为 a＝－3， (1,2)，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的 即 ， b＝2 解集．
∴不等式 bx2＋ax＋1>0，就是 2x2－3x＋1>0. 1 由于 2x －3x＋1>0⇔(2x－1)(x－1)>0⇔x< 或 x>1. 2



1．下列不等式中一元二次不等式的个数为 ( ) ①(m＋1)x2－3x＋1＜0；②2x2－x＞2； ③－x2＋5x＋6≥0；④(x＋a)(x＋a＋1)＜0. A．1 B．2 C．3 D．4 解析： ③④符合一元二次不等式的定义；对 于①，当m＋1＝0时，不是一元二次不等式； 而②是指数不等式． 答案： B
2
－a＝1＋2， 由根与系数的关系，可得 b＝1×2，
∴bx ＋ax＋1>0
2
1 的解集为－∞，2∪(1，＋∞)．



1．解一元二次不等式解集的一般步骤 (1)化一元二次不等式为标准形式：ax2＋bx＋c ＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)； (2)求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根， 并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的简图； (3)根据图像写出不等式的解集． 当一元二次不等式为ax2＋bx＋c≥0或ax2＋bx＋ c≤0时，要注意解集的端点．
§2
一元二次不等式
2．1
一元二次不等式的解法



1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模 型． 2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应二 次函数、一元二次方程的联系． 3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不 等式，会设计求解的程序框图.



1.对一元二次不等式解法和三个“二次”关系 的考查是本节热点． 2.本节内容常与二次函数图像、一元二次方程、 集合等内容结合命题． 3.多以选择题、填空题形式考查.
若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－ 根据已知解集和一元二次不等式解的结构，逆 3<x<4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解
向推出a、b、c应满足的关系，进而求解不等 集． 式．一元二次不等式解集的两个端点值是一元 二次方程的两根．
[解题过程] ∵ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|－3<x<4}． ∴a<0，且－3,4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根． b －3＋4＝－a， 由韦达定理得 －3×4＝c， a
2 a＜0，所以原不等式的解集为xa＜x＜2 .
综上所述，原不等式的解集 当 a＝0 时为{x|x＜2}； 2 当 0＜a＜1 时为{x|x＞ 或 x＜2}； a
当 a＝1 时为{x|x≠2}； 2 当 a＞1 时为{x|x＞2 或 x＜a}； 2 当 a＜0 时为{x| ＜x＜2}． a
Δ＝b2－4ac

Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝f(x)的 2．二次函数、二次方程、二次不等式间的 示意图 关系 b f(x)＝0 的根 x1，x2 没有实数根 x0＝－ 2a b (－∞，x1)∪ (－∞，－2a)∪ f(x)＞0 的解集 (－∞， ＋∞) b (x2＋∞) (－2a，＋∞) ∅ ∅ f(x)＜0 的解集 (x1，x2)
求下列一元二次不等式的解集． (1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0； (3)－x2＋7x>6；(4)－x2＋6x－9>0.



由题目可以获取以下主要信息： ①(1)、(2)题二次项系数为正，(3)、(4)二次 项系数为负． ②(1)、(3)题对应方程的判别式大于零．(2)、 (4)题对应方程的判别式等于零． 解答本题可先将二次项系数化为正，再求对 应方程的根，并根据根的情况画出草图，观 察图像写出解集．
(4)原不等式可化为 x2－10x＋25≤0，即(x－5)2≤0， 故原不等式的解集为{x|x＝5}．


解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜ 0(a∈R)． [策略点睛]
[规范作答]ຫໍສະໝຸດ (1)当 a＝0 时，原不等式化为：x－1＜0⇔x＜1.
1 ax＋a(x－1)＜0.
(2)当 a≠0 时，原不等式化为 ①当 a＞0 ②当 a＜0
解析：
1 x|－ ＜x＜3，B＝{1,2,3,4,5}， A＝ 2
∴A∩B＝{1,2}．

答案： {1,2}



4．函数y＝x2 ＋4x－5的判别式Δ________0， 该图像与x轴有________个交点，其交点横坐 标为________，不等式x2＋4x－5＞0的解集是 ________ ， 不 等 式 x2 ＋ 4x － 5 ＜ 0 的 解 集 是 ________． 答案： ＞ 两 －5 1 (－∞，－5)∪(1， ＋∞) (－5,1)
b＝－a， ∴ c＝－12a.
∴不等式 bx2＋2ax－c－3b<0 即为－ax2＋2ax＋15a<0.



两边同除以－a>0，即x2－2x－15<0， 令x2－2x－15＝0，则Δ＝64>0，且x1＝－3，x2 ＝5是方程的两个根， 故所求的不等式的解集为{x|－3<x<5}． [题后感悟] 解一元二次不等式要密切联系其 所对应的一元二次方程以及二次函数的图 像．一元二次方程的根就是二次函数图像与x 轴交点的横坐标，对应不等式的解集，就是使 函数图像在x轴上方或下方的部分所对应的x的 集合，而方程的根就是不等式解集区间的端 点．

1.求下列不等式的解集． 解析： (1)原不等式可化为 2x2－3x－2>0， (1)－2x2＋3x＋2<0；(2)－2x2＋x－6<0； 1 2 ∵2x －3x－2＝0 的两根是 x＝－2或 x＝2， (3)4x2＋4x＋1>0；(4)x2＋25≤10x.
1 x|x>2或x<－ . ∴原不等式的解集为 2
解析： (1)当 a＝0 时，原不等式可化为－2x＋4＞0， 解得 x＜2，所以原不等式的解集为{x|x＜2}；
2.解关于x的不等式：ax2－2(a＋1)x＋4＞0. (2)当 a＞0 时，原不等式可化为(ax－2)(x－2)＞0，
2 对应方程的两根为 x1＝ ，x2＝2. a
2 ①当 0＜a＜1 时， ＞2， a
2 所以原不等式的解集为xx＞a或x＜2 ；
2 ②当 a＝1 时， ＝2， a 所以原不等式的解集为{x|x≠2}； 2 ③当 a＞1 时， ＜2， a
2 所以原不等式的解集为x|x＞2或x＜a.
(3)当 a＜0 时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)＜0， 2 对应方程的两根为 x1＝ ，x2＝2， a 又
1 1 时，原不等式等价于x＋a(x－1)＜0⇔－ ＜x＜1. a 1 时，原不等式等价于x＋a(x－1)＞0.
1 1 1° a＜－1，即－a＜1 时，①的解为 x＜－a或 x＞1. 当 1 2° a＝－1，即－a＝1 时，①的解为 x≠1. 当 1 1 3° 当－1＜a＜0，即－a＞1 时，①的解为 x＜1 或 x＞－a.

2．求解一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞ 0(a＞0)的解集过程可用如下程序框图表示．


(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0， 而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或x＝6. ∴不等式x2－7x＋6<0的解集为{x|1<x<6}． (4)原不等式可化为x2 －6x＋9<0，即(x－3)2<0， ∴原不等式的解集为∅.






[题后感悟] 解不含参数的一元二次不等式的 一般步骤： (1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0， 使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则 计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别 式说明方程无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二 次函数的草图． (5)根据图像写出不等式的解集．