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二重积分四则运算公式二重积分是微积分中的一个重要概念，也是数学计算中常用的工具之一、它是对二元函数在一些区域上的求和，可以用来计算曲线下面的面积、质心、重心、弯矩等问题。
在进行二重积分的计算时，有四个基本的运算公式，分别是加法公式、乘法公式、换元公式和分部积分公式。
下面将详细介绍这四个公式以及它们的应用。
一、加法公式加法公式是用来计算两个区域上的二重积分的和的公式，具体形式如下：∬(R1∪R2)f(x,y)dA=∬R1f(x,y)dA+∬R2f(x,y)dA其中，R1和R2是两个不相交的区域，f(x,y)是定义在R1∪R2上的函数，dA表示面积元素。
加法公式的应用非常广泛，可以用于计算不规则区域上的积分，将区域分成若干个小区域，然后分别计算每个小区域上的积分再求和即可。
二、乘法公式乘法公式是用来计算两个函数的乘积的积分的公式，具体形式如下：∬Rf(x,y)g(x,y)dA=∬Rf(x,y)dA·∬Rg(x,y)dA其中，f(x,y)和g(x,y)是定义在区域R上的函数，dA表示面积元素。
乘法公式可以简化积分的计算，将二重积分分成两个单变量的积分，分别计算再相乘即可。
三、换元公式换元公式是用来进行变量替换的公式，可以将一个二元函数在坐标变换后的区域上的积分转化为原区域上的积分，具体形式如下：∬Rf(x,y) dA = ∬R'(f(g(u,v),h(u,v)) ，J(u,v)， du dv其中，R是原区域，R'是通过坐标变换得到的新区域，f(x,y)是定义在R上的函数，J(u,v)，是变换后的雅可比行列式。
换元公式可以简化积分的计算，通过适当的坐标变换可以将原积分转化为更简单的形式，例如将直角坐标系中的积分转化为极坐标系中的积分等。
四、分部积分公式分部积分公式是用来计算二重积分中的积分运算的公式，具体形式如下：∬R(∂f/∂x + ∂g/∂y) dA = ∮C(f dx + g dy)其中，R是区域，C是区域R的边界曲线，f(x,y)和g(x,y)是定义在R上的函数，∂f/∂x和∂g/∂y分别表示函数f和g关于x和y的偏导数。
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要内容，用于计算平面上的曲线与坐标轴所围成的面积或求平面上的散布点的平均性质等。
在实际运用中，可以通过直接计算、换元法、极坐标法等多种方法来进行二重积分的计算。
一、直接计算法直接计算法是最常用也是最基础的计算二重积分的方法。
其基本步骤是将所给的二重积分转化为累次积分，先对一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分。
1.内部积分内部积分即对于每个固定的y值，对x进行积分。
可以根据具体的题目决定如何进行内部积分，常用的有定积分、不定积分和积分换元等方法。
2.外部积分外部积分即对内部积分的结果再进行一次积分，这一步是对y进行积分。
同样的，可以根据具体题目决定如何进行外部积分，可以选择定积分、不定积分和积分换元等方法。
需要注意的是，直接计算法在面对比较复杂的函数或曲线时计算量较大，需要进行复杂的代数计算，常常需要对整个积分范围进行划分，或者使用边界定理简化计算。
二、换元法换元法是将二重积分变换到坐标系上的简单区域。
换元法分为直角坐标系的变换和极坐标系的变换两种情况。
1.直角坐标系的变换直角坐标系的变换是指将原先的积分变为关于新的变量的积分，使得积分计算更加简化。
常见的直角坐标系变换有平移变换、旋转变换和放缩变换等。
例如，当变量的变化范围较大或边界不规则时，使用平移变换可以将积分范围变为一个更加简单的区域，从而简化计算。
2.极坐标系的变换极坐标系的变换是将原先的直角坐标系变为极坐标系，使得计算过程更加简单明了。
极坐标系变换常用于对称图形或圆形区域进行积分计算。
极坐标系变换需要通过变量替换来实现，通常需要将原函数和积分上下限由直角坐标形式转换为极坐标形式，再进行计算。
换元法可以大大简化积分计算过程，但需要选择合适的坐标变换，有时会引入更多的计算量。
需要根据具体问题的特点来决定选择哪种变换。
三、几何意义根据题目所给的条件，可以确定积分范围和被积函数形式，将二重积分转化为面积或长度的几何问题。
9.2.3二重积分的一般换元法则
定理 设函数),(y x f 在xoy 平面上的闭区域上D 连续，变换T ：⎩
⎨⎧==),()
,(v u y y v u x x ，
将uov 平面上的闭区域D '变为xoy 平面上D 的，且满足 （1）),(),,(v u y v u x 在D '上具有一阶连续偏导数， （2）在上D '，()()()
0,,,≠∂∂=
v u y x v u J ，
（3）变换T ：D D →'是一对一的，
则有 ()dudv v u J v u y v u x f dxdy y x f D D
),()],(),,([,⎰⎰⎰⎰'
=。
此公式称为二重积分的换元公式。
注：D v u J ' ),(只在内个别点上，或一条线上为零，而在其他点上不为零，那么换元公式仍成立。
例1．计算⎰⎰D
xydxdy ，其中D 由3,2,2,2
2====xy xy x y x y 围成。
解：令⎪⎩⎪
⎨⎧==xy
v x y u 2，则()⎪⎩⎪⎨⎧==-3121uv y v u x ，
在这变换下，的D 边界
3 ,2 ,2 ,2
2====xy xy x y x y 依次与3 ,2 ,2 ,1====v v u u 对应，
} 32 ,21 ),( {≤≤≤≤='↔v u v u D D ， ()()()()()u x y x
y x y x
y y x v u v u y x v u J 31
3121,,1,,,222-=-=-=∂∂=∂∂=
，
2ln 6523212ln 311312213
2311=⋅==-⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-'v vdv du u dudv u v dxdy xy D D 。
在变换为极坐标⎩⎨⎧ϕ
ρ=ϕρ=sin cos y x 下， ()()()ρ=ϕρϕϕ
ρ-ϕ=ϕρ∂∂=
ϕρcos sin sin cos ,,,y x J ， 按二重积分的换元公式，便得极坐标中的二重积分：
()⎰⎰⎰⎰'
θρρθρθρ=D
D d d f dxdy y x f )sin ,cos (,。
这里D D 是'在ϕρo 平面上对应的区域。
在上节内所证的相同公式上用的是D D '而不是，因为在那里把看作),(ϕρ同一平面上点),(y x 的极坐标，故积分区域仍记D 为。
例2．计算⎰⎰-
-
D
dxdy b
y a
x 2
22
21，其中为 D 椭圆
12
22
2=+
b
y a
x 所围成的围成区域。
解：作广义极坐标变换：⎩
⎨⎧θρ=θ
ρ=sin cos b y a x ，
在此变换下与xoy 平面上的闭区域⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤+=1),(2222b y a x y x D 对应的ϕρo 平面上的闭区
域{}π≤ϕ≤≤ρ≤ϕρ='20,10),(D ， ()()()ρ=θ
ρθθ
ρ-θ=θρ∂∂=
ϕρab b b a a y x J cos sin sin cos ,,,， ab d d ab dxdy b y
a x
D D
π=ϕρρρ-=-
-
⎰⎰⎰⎰'
32112
22
22。
