重积分的换元法

重积分换元法与分部积分法在高等数学领域，积分是一个重要的概念，通过对函数在一定区间上的“面积”进行求解，可以对函数的变化趋势和性质进行分析。

在积分中，重积分换元法和分部积分法是两种常用的积分方法，它们在求解复杂积分问题时发挥着重要的作用。

重积分换元法重积分换元法，也称为多重积分的换元法，是处理多重积分中变量替换的方法。

在进行多重积分时，往往需要通过变量代换的方式简化积分问题。

重积分换元法的基本思想是通过合适的变量替换，将原来的多重积分转化为一个简单的积分形式，从而更容易求解。

对于二重积分而言，重积分换元法的一般步骤如下： 1. 确定变量替换的形式，通常选择与坐标轴吻合的变换； 2. 计算变换后的积分区域，并变换原积分的被积函数； 3. 对新的积分进行求解。

通过重积分换元法，可以简化积分的计算过程，降低积分的难度，提高计算的效率。

分部积分法分部积分法是求解不定积分中的一种常用技巧，也可以应用于定积分的简化。

在定积分中，分部积分法是将积分号作用在两个函数的乘积上，通过对积分的展开和化简，将原积分转化成两个函数之积的形式。

分部积分法的基本思想是通过对被积函数进行拆分，选择一个函数进行求导，一个函数进行求不定积分，最终通过不断的交换角色，逐步简化和求解原积分。

对于定积分而言，分部积分法的一般步骤如下： 1. 选择一个函数进行求导，一个函数进行不定积分； 2. 对两个函数进行交替操作，最终将原积分问题转化为更容易求解的形式。

通过分部积分法，可以有效解决复杂积分问题，提高积分的求解速度和准确性。

综上所述，重积分换元法和分部积分法是高等数学中常用的积分方法，它们在不同的积分问题中发挥着重要的作用。

通过灵活运用这两种积分方法，可以更好地解决数学问题，提升问题的求解效率和准确性。

三重积分换元法三重积分是数学中的一个重要概念，它与物理、工程等领域密切相关。

三重积分中的换元法是其中一个非常重要的技巧，能够帮助我们更加高效地求解三重积分问题。

下面，我们将详细介绍三重积分换元法的相关知识。

1. 三重积分介绍三重积分是指对三维立体空间中的某一区域进行积分，其结果通常为一个实数或者也可能是一个向量值函数。

在三重积分中，我们通常会用到三个自变量，这三个自变量通常被称为 $x, y, z$。

对于三重积分问题，我们通常需要先确定被积函数和积分区域，然后再进行求解。

在实际应用中，三重积分通常被用来求解物理、工程等领域的问题。

2. 三重积分换元法的基本原理在求解三重积分时，有时候我们会发现积分区域的形状比较复杂，这时候我们可以使用换元法来简化计算。

三重积分换元法的基本原理是将三重积分中的自变量替换为新的自变量，使得积分区域转化为简单的坐标轴画图形式，从而将原积分区域直接变换为新的积分区域。

具体来说，我们通常会选取满足一定条件的替换，使得其中至少一个自变量的下限和上限随着新的自变量而发生变化，从而简化原有的计算问题。

3. 三重积分换元法的常用技巧在实际计算中，三重积分换元法有多种常用技巧。

下面我们就来分别介绍一下。

（1）圆柱换元法当积分区域为旋转体时，我们可以使用圆柱换元法。

具体而言，我们可以将三重积分中的自变量替换为极坐标系中的角度和半径，从而将积分区域转化为一个简单得多的圆柱体积分。

（2）球面换元法当积分区域为球体时，我们可以使用球面换元法。

具体而言，我们可以将三重积分中的自变量替换为球面坐标系中的极角、方位角和距离，从而将积分区域转化为一个简单得多的球体积分。

（3）柱坐标换元法当积分区域为柱体时，我们可以使用柱坐标换元法。

具体而言，我们可以将三重积分中的自变量替换为柱坐标系中的高度、极径和极角，从而将积分区域转化为一个简单得多的柱体积分。

4. 总结三重积分是数学中的一个重要概念，而三重积分换元法则是其中的一个重要技巧。

重积分的计算方法探讨重积分是微积分的重要内容之一，用于研究多元函数的积分。

它的计算方法有多种，包括直接计算、换元法、极坐标法、柱坐标法等。

本文将对这些方法进行探讨。

一、直接计算法：直接计算法是最基本的计算方法，它通过将重积分分解为一重积分、二重积分或三重积分的形式，逐层计算积分。

对于单元函数，直接计算法可以得到精确解。

但是对于复杂的函数，这种方法往往计算量大且难以求得解析解。

二、换元法：换元法在重积分的计算中起到了很重要的作用，它通过引入新的变量，将原积分转化为新的坐标系下的积分形式，从而简化了计算。

常用的换元法有直角坐标系到极坐标系的转换，柱坐标系到球坐标系的转换等。

通过适当选择变换的方式，可以将积分区域的形状转化为更简单的形式，使得计算更加便捷。

三、极坐标法：极坐标法是平面重积分计算中常用的方法之一，它将直角坐标系下的积分区域转化为极坐标系下的积分形式。

具体方法是利用坐标变换公式，将被积函数通过极坐标变换转化为极坐标下的函数，然后再进行积分计算。

极坐标法适用于具有旋转对称性的积分问题，可以减少计算的复杂度。

四、柱坐标法：柱坐标法是三维重积分计算中常用的方法之一，它将直角坐标系下的积分区域转化为柱坐标系下的积分形式。

具体方法是利用坐标变换公式，将被积函数通过柱坐标变换转化为柱坐标下的函数，然后再进行积分计算。

柱坐标法适用于具有旋转对称性的积分问题，可以减少计算的复杂度。

五、其他方法：除了上述介绍的方法外，还有一些其他的计算方法可以用于求解重积分。

比如分部积分法、格林公式、斯托克斯公式等。

这些方法利用了微积分中的一些定理和公式，通过变换和化简，将原积分转化为更容易求解的形式。

这些方法在特定情况下可以大大简化积分的计算过程。

综上所述，重积分的计算方法有多种，每种方法都有其适用的范围和特点。

在实际应用中，根据具体的问题和条件，选择合适的方法进行计算是十分重要的。

对于一些简单的积分问题，直接计算方法是较为常用的选择；对于具有对称性的问题，可以考虑使用换元法、极坐标法或柱坐标法进行计算；而在一些特殊情况下，其他方法也可以发挥作用。

重积分的积分变换和积分替换积分是高等数学中的一个重要概念，它被广泛应用在各个领域中，包括物理学、统计学、经济学等。

在微积分中，一类重要的积分就是重积分。

和单变量积分不同，重积分涉及到多个变量，其计算难度往往更大。

近年来，学者们发现，利用积分变换和积分替换的技巧，可以有效地简化重积分的计算过程。

本文就介绍一些有关积分变换和积分替换的基本知识和重要应用。

一、积分变换积分变换是将一类积分变换成另一类积分的过程，通常是通过一些数学技巧来实现的。

积分变换有很多种，包括线性变换、仿射变换、圆柱变换、球坐标变换等。

在这里，我们主要介绍球坐标变换和柱坐标变换两种。

1. 球坐标变换球坐标变换是将三维空间中的积分转化为球坐标系下的积分。

通过这种变换，可以将具有各向同性的问题转化为与方向无关的问题，从而简化积分的计算。

球坐标系下的积分变量包括径向距离r、极角θ和方位角φ。

一般来说，球坐标变换的步骤如下：（1）将被积函数写成球坐标的形式；（2）将坐标变量x、y、z表示为r、θ和φ的函数；（3）将分子（dx dy dz）替换成球坐标系下的积分元素r²sinθ dr dθ dφ；（4）对变量r、θ和φ进行变量替换，计算出新的积分区域。

例如，设空间中有一个函数f(x,y,z)，要求其在球形区域内的积分。

那么，将被积函数转化为球坐标系下的形式：f(x,y,z)→f(r,θ,φ)然后，把直角坐标系下的坐标写成球坐标系下的形式：x=r sinθ cosφ；y=r sinθ sinφ；z=r cosθ。

接着，计算出雅可比行列式，替换分子，并对积分区域进行调整。

最终得到球坐标下的积分表达式：∫∫∫f(x,y,z) dxdydz = ∫∫∫f(r,θ,φ) r²sinθ dr dθ dφ2. 柱坐标变换柱坐标变换是将三维空间中的积分转化为柱坐标系下的积分。

柱坐标系下的积分变量包括径向距离r、极角θ和高度z。

柱坐标变换的一般步骤如下：（1）将被积函数写成柱坐标系下的形式；（2）将直角坐标系下的坐标表示为柱坐标系下的形式；（3）将分子（dx dy dz）替换成柱坐标下的积分元素r d r dθ dz；（4）对变量r、θ和z进行变量替换，计算出新的积分区域。

和其他知识点的关联在学习概率统计的时候，我曾经碰到过卷积公式，当时学习的时候感觉很不理解，后来查了一些资料，其实就是二重积分换元。

在卷积公式中f(x,y)是二维随机变量(X,Y)的概率密度,概率密度区域为D ，则∬f(x,y)dxdy =1D现在有Z=Z(x,y)，求Z 的概率密度。

这个时候我们需要对xoy 这个平面进行转换，转为zoy 或xoz 。

我们首先选择xoz 进行分析设{ x =x y =y(z,x) ，这个转换其实就是重积分换元中将D 变成D’，此时∬f(x,y)dxdy =∬f(x,y(z,x))|J(x,z)|dxdz D ’D其中J= |ðy ðx ðy ðz ðx ðx ðx ðy |=|ðy ðx ðy ðz 10|=−ðy ðz所以原式：∬f(x,y)dxdy =∬f(x,y(z,x))|−ðy ðz |dxdz D ’D =1故(X,Z)联合概率密度g(x,z)=f(x,y(z,x))|−ðy ðz | Z 的边缘概率密度g Z (Z)=∫g(x,z)dx =∫f(x,y(z,x))|−ðy ðz |dx +∞−∞+∞−∞然后对zoy 进行分析，过程差不多：设{ y =y x =x(y,z) ，这个转换其实就是重积分换元中将D 变成D’，此时∬f(x,y)dxdy =∬f(x(y,z),y)|J(y,z)|dydz D ’D其中J= |ðx ðy ðx ðz ðy ðy ðy ðz |=|ðx ðy ðx ðz 10|=−ðx ðz所以原式：∬f(x,y)dxdy =∬f(x(y,z))|−ðx ðz |dxdz D ’D =1 故(X,Z)联合概率密度g(Z,Y)=f(x(y,z),y)|−ðx ðz |Z 的边缘概率密度g Z (Z)=∫g(y,z)dy =∫f(x(y,z),y)|−ðx ðz |dy +∞−∞+∞−∞下面我们来看卷积公式的例子例1：设f(x,y)={2y ∗e −x x >0,0<y <10 其他，求Z=X+Y 的概率密度 不使用卷积公式：设{y =z −x x =x → {0<y <1 x >0→ {x <z <x +1 x >0 J(x,z)=|−11 10| = -1 g(x,z)=f(x,z −x)|−1|=f(x,z −x)={2(z −x)∗e −x x >0,x <z <x +10 其他g z (z)=∫g(x,z)dx =∫2(z −x)∗e −x dx =+∞−∞+∞−∞{ 0,z <0∫2(z −x)e −x dx =2z +2e −z −2 ,0<z <1z 0∫2(z −x)e −x dx =2e −z ,z >1z z−1其中的计算如下图所示使用卷积公式：设{y =z −x x =x→ J =-1 则(x,z)联合概率密度为：g(x,y)=f(x,z −x)|J|={2(z −x)∗e −x x >0,x <z <x +10 其他故g z (z)=∫g(x,z)dx =∫2(z −x)∗e −x dx =+∞−∞+∞−∞{ 0,z <0∫2(z −x)e −x dx =2z +2e −z −2 ,0<z <1z 0∫2(z −x)e −x dx =2e −z ,z >1z z−1从上面的例子中我们可以看到，使用了卷积公式可以方便快捷的做出类似的题目。

三重积分的计算方法例题摘要：一、三重积分的概念及应用场景二、三重积分的计算方法1.重积分的计算2.重积分的换元法3.重积分的性质4.重积分的几何意义三、实例解析四、总结与拓展正文：一、三重积分的概念及应用场景三重积分是一种多元函数的积分形式，通常表示为对空间中一个几何体内部的属性进行积分。

它在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。

三重积分的计算方法有多种，包括重积分、换元法等。

二、三重积分的计算方法1.重积分的计算重积分是指对一个空间函数在某个区域内的值进行积分。

求解重积分的过程通常包括以下步骤：确定被积函数、确定积分区域、选择积分顺序、进行积分计算。

2.重积分的换元法重积分的换元法是一种求解重积分的高效方法。

通过引入一个新的变量，将复杂的重积分问题转化为简单的一重积分问题。

换元法的关键在于选择合适的换元函数，使得积分过程变得简洁。

3.重积分的性质重积分具有线性、可交换、满足乘法公式等性质。

这些性质使得重积分在实际计算中具有很好的灵活性，可以简化计算过程。

4.重积分的几何意义重积分在几何上的意义是对一个立体图形的质量进行求解。

具体来说，重积分可以表示为空间曲线长度、曲面面积或体积的函数。

这为求解空间几何问题提供了理论依据。

三、实例解析以一个球体的体积为例，介绍三重积分的计算过程。

设球体的半径为R，球体的密度为ρ。

我们需要求解球体内部某一区域内质量的分布。

1.确定被积函数：球体内部的密度函数，即ρ(x, y, z)。

2.确定积分区域：球体内部，用球坐标系表示为x^2 + y^2 + z^2 <R^2。

3.选择积分顺序：先对z积分，再对y积分，最后对x积分。

4.进行积分计算：利用重积分公式，计算出球体内部的质量分布。

四、总结与拓展本文详细介绍了三重积分的计算方法，包括重积分、换元法等。

通过实际应用场景和实例解析，加深了对三重积分的理解。

在实际问题中，三重积分有着广泛的应用，掌握其计算方法有助于解决诸多实际问题。

重积分换元法1. 二维情况（二重积分）- 在平面直角坐标系中，对于二重积分∬_{D}f(x,y)dxdy，如果我们作变量替换x = x(u,v)，y=y(u,v)。

- 这里(u,v)是新的变量，并且函数x(u,v)和y(u,v)具有一阶连续偏导数。

- 根据雅可比行列式的定义，雅可比行列式J=(∂(x,y))/(∂(u,v))=<=ftbegin{array}{ll}(∂ x)/(∂ u)&(∂ x)/(∂ v)(∂ y)/(∂ u)&(∂ y)/(∂v)end{array}right。

- 那么二重积分的换元公式为∬_{D}f(x,y)dxdy=∬_{D'}f[x(u,v),y(u,v)]| J| dudv，其中D'是D在uv平面上对应的区域。

2. 三维情况（三重积分）- 对于三重积分∭_{Ω}f(x,y,z)dxdydz，设变换x = x(u,v,w)，y = y(u,v,w)，z=z(u,v,w)。

- 雅可比行列式J=(∂(x,y,z))/(∂(u,v,w))=<=ftbegin{array}{lll}(∂ x)/(∂ u)&(∂x)/(∂ v)&(∂ x)/(∂ w)(∂ y)/(∂ u)&(∂ y)/(∂ v)&(∂ y)/(∂ w)(∂ z)/(∂ u)&(∂ z)/(∂ v)&(∂z)/(∂ w)end{array}right。

- 换元公式为∭_{Ω}f(x,y,z)dxdydz=∭_{Ω'}f[x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)]| J| dudvdw，其中Ω'是Ω在uvw空间中对应的区域。

1. 简化积分区域- 很多时候，原积分区域D（或Ω）的形状比较复杂，通过合适的变量替换，可以将其转化为比较规则的区域D'（或Ω'）。

例如，将一个由复杂曲线围成的平面区域通过极坐标变换转化为矩形区域。

αβD)(θϕ=r (2θϕ=r注: 利用例3可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式+∞ − x2 e dx 0 当D 为 R2 时,∫=π2+∞ − x2 e −∞①事实上,∫∫D e− x2 − y2d xd y = ∫d x∫+∞ − y 2 e −∞dy利用例3的结果, 得= 4⎛ ⎜∫ ⎝2+∞ − x 2 e 0d x⎞ ⎟ ⎠24⎛ ⎜∫ ⎝ 故①式成立 .+∞ − x2 e 0−a 2 ⎞ d x ⎟ = lim π (1 − e ) = π ⎠ a → +∞112 2 x + y = 2 ax 例4. 求球体 x + y + z ≤ 4 a 被圆柱面 (a > 0) 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 2 2 2 2解: 设 D : 0 ≤ r ≤ 2 a cosθ , 0 ≤ θ ≤ 由对称性可知π2zV = 4 ∫∫ = 4∫π0D 24 a 2 − r 2 r d r dθ dθo2y∫02 acosθ4a − r r dr22ax32 3 π 2 32 3 π 2 3 = a ∫ (1 − sin θ ) d θ = a ( − ) 0 3 2 3 312x2 y2 z 2 例5. 试计算椭球体 2 + 2 + 2 ≤ 1 的体积V. a b c 2 2 x y 解: 取 D : 2 + 2 ≤ 1, 由对称性 a b令 x = a r cosθ , y = b r sin θ , 则D 的原象为 D′ : r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2π ∂( x, y ) a cosθ − a r sin θ J= = = abr b sin θ b r cos θ ∂( r ,θ )V = 2 ∫∫ z d x d y = 2 c ∫∫DD1−x2 a2−y2 2 d xd by∴ V = 2 c ∫∫D1 − r 2 a b r d r dθ2π 0= 2 abc ∫dθ∫104 1 − r r d r = π abc 3213内容小结(1) 二重积分的换元法x = x(u , v) 下 ⎧ 在变换 ⎨ ⎩ y = y (u , v) ∂ ( x, y ) (u , v) ∈ D′, 且 J = ≠0 ( x, y ) ∈ D ∂ (u , v) 则 ∫∫ f ( x, y ) d σ = ∫∫ f [ x(u , v), y (u , v)] J d u d vD D′14极坐标系情形: 若积分区域为 D = { (r ,θ ) α ≤ θ ≤ β , ϕ1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ) } 则∫∫D f ( x, y) d σ = ∫∫D f (r cosθ , r sin θ ) rd r dθ= ∫ dθ ∫α β ϕ 2 (θ ) ϕ 1 (θ )f (r cosθ , r sin θ ) rd rβD r = ϕ 2 (θ ) oαr = ϕ1 (θ )15二、三重积分换元法定理: 设f (x, y, z)在有界闭区域Ω上连续变换: ⎧ x = x(u , v, w) ⎪ T : ⎨ y = y (u , v, w) (u , v, w) ∈ Ω′ → Ω ⎪ z = z (u , v, w) ⎩ 满足 (1) x, y , z在 Ω′上 有一阶连续偏导数;(2) 在 Ω′上 雅可比行列式 ∂ ( x, y , z ) ≠ 0; 注 J (u , v, w) = ∂ (u , v, w) (3) 变换 T : Ω′ → Ω 是一一对应的 ,则∫∫∫ = ∫∫∫Ωf ( x, y, z )d x d y d zf ( x(u , v), y (u , v), z (u , v)) J (u , v, w) d u d v d w 16 Ω′常用的变换 1. 柱面坐标变换设 M ( x, y, z ) ∈ R 3 , 将x, y用相应的极坐标 ρ ,θ 代替，则称 （ρ ,θ , z ) 为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:x = ρ cosθ y = ρ sin θ z=z坐标面分别为⎛ 0 ≤ ρ < +∞ ⎞ ⎜ 0 ≤ θ ≤ 2π ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ∞ < z < +∞ ⎠圆柱面 半平面 平面zzM ( x, y , z )ρ = 常数 θ = 常数z = 常数ox ρy θ ( x, y,0)17如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 d v = ρ d ρ dθ d z 因此zρ dθ∫∫∫Ω f ( x, y, z )d xd yd z = ∫∫∫ F ( ρ ,θ , z )ρ d ρ d θ d z Ωxzρodρ dzy其中 F ( ρ ,θ , z ) = f ( ρ cosθ , ρ sin θ , z ) 适用范围:θρdθdρ1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. 积分次序通常为 z → ρ → θ .18柱面 x 2 + y 2 = 2 x 及平面 z = 0, z = a (a > 0), y = 0 所围 成半圆柱体.例6. 计算三重积分 ∫∫∫ z x 2 + y 2 d xd yd z 其中Ω为由Ω0 ≤ ρ ≤ 2 cosθ 解: 在柱面坐标系下 Ω : 0 ≤ θ ≤ π 2 0≤ z≤a原式 = ∫∫∫ z ρ 2 d ρ dθ d zΩz ao= ∫ zd z ∫0aπ02 dθ∫02 cosθρ2 d ρ2 ρ = 2 cos θ xy=2 π 4a3∫02 cos 3θ8 2 dθ = a 9dv = ρ d ρ d θ d z19d xd yd z , 其中Ω由抛物面 例7. 计算三重积分 ∫∫∫ 2 2 Ω1 + x + y z x 2 + y 2 = 4 z 与平面 z = h (h > 0) 所围成 .hxoy20ox h d d θρρ),,(ϕθr Myo4πRr =o x y2 4πo xy24πvd )作业P163 1(2)(4), 2(2)(4), 3(4),6(1)(3)(6), 7(3), 12, 13, 1531。

绥化学院本科毕业设计（论文）重积分计算的换元法分析学生姓名：李婷婷学号：200854100专业：应用数学年级：2008级一班指导教师：齐秀丽副教授Suihua UniversityGraduationPaperStudentnameLiTingtingStudentnumber200854100MajorAppliedchemistry SupervisingteacherQiXiuliSuihuaUniversit摘要换元法是数学中求重积分时用到的一种非常重要的计算方法，它不仅是重点，也是难点。

本文共分为两章，第一章介绍的就是与二重积分和三重积分在换元法上的一些相关概念、定理及其公式推导过程，而第二章则是结合第一章的相关内容进一步运用到实例中进行分析研究及其说明。

关键词：二重积分；三重积分；换元法目录SuihuaUniversityGraduationPaper ......................... 错误!未指定书签。

SuihuaUniversit ............................................ 错误!未指定书签。

摘要 ....................................................... 错误!未指定书签。

目录 ..................................................................... 前言 ....................................................... 错误!未指定书签。

第1章重积分计算的换元法理论 ............................... 错误!未指定书签。

第1节二重积分换元法的理论分析.......................... 错误!未指定书签。

第2节三重积分换元法的理论分析.......................... 错误!未指定书签。