第七章 第二节 二重积分的换元法

y
r =ϕ(θ)
(2) y
r =ϕ(θ)
D
D
o
(2) − ≤θ ≤ 2 2
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x
o x 答: ( ) 0 ≤θ ≤π ; 1
π
π
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结束
例1. 计算
其中D: x2 + y2 ≤ a2.
0≤ r ≤ a 故 解: 在极坐标系下D: , π 0 ≤θ ≤ 2
原式 =
∫∫D
r dr dθ = ∫ dθ ∫0 re
y − 3x = 0 ⇒θ2 = x − 3y = 0 ⇒θ1 =
2 2
π
3
π
6
2
π
3
4sinθ 2 π r ⋅ r dr =15( − 2sinθ 2
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o
x
3)
结束
∴∫∫ (x + y )d xd y = ∫ dθ π
D
6
∫
∂x k +o(ρ) x4 − x = x(u,v +k) − x(u,v) = 1 ∂v (u,v) ∂y 同理得 y2 − y = h+o(ρ) 1 ∂u (u,v) ∂y k +o(ρ) y4 − y = 1 ∂v (u,v) 当h, k 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 x2 − x y2 − y1 1 ∆σ ≈ M M2 ×M M4 = 1 1 x4 − x y4 − y1 1
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x = r cosθ , y = rsinθ 例如
∂(x, y) cosθ −rsinθ J= = =r ∂(r,θ) sinθ −r cosθ
∴∫∫ f (x, y)dxd y
D
= ∫∫ f (r cosθ, rsinθ)r dr dθ
′ D
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通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边 形, 其对应顶点为 Mi (xi , yi ) (i =1 2,3 4) , ,
T
y
M4
M3
M 1
DM
2
令ρ = h +k , 则
2 2
o
x
∂x x2 − x = x(u +h,v) − x(u,v) = h+o(ρ) 1 ∂u (u,v)
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= ∫∫
u 1 ev − dudv 2 ′ D
= e −e
− 1
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例4. 计算由 所围成的闭区域 D 的面积 S . 2 2 y x x2 =by 解: 令 u = , v = , 则 y2 = qx y x y D y2 = px p ≤u ≤ q ′ D : D x2 = ay a ≤ v ≤b x 1 ∂(x, y) 1 o = J= =− v 3 ∂(u,v) ∂(u,v) b ′ D ∂(x, y) a ∴S = d xd y u
(3) 计算步骤及注意事项 • 画出积分域 图示法 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) • 写出积分限 不等式 • 计算要简便 充分利用对称性 应用换元公式
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1. 交换积分顺序 提示: 提示 积分域如图
r = acosθ r θ = arccos r a
o
r
r arccos a
=π
故①式成立 .
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例2. 求球体
2 2 被圆柱面 x + y = 2ax
所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 D: 0 ≤ r ≤ 2acosθ , 0 ≤θ ≤ 由对称性可知
π
2
z
V = 4∫∫
D
4a −r r dr dθ
2 2
o
2
y
∫0
2acosθ
4a −r r dr
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β
o
x
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 可逆.
v
v+k v
′ M4 M′ 1
在 o′v坐 面 , 用平行于坐标轴的 u 标 上
直线分割区域 D, 任取其中一个小矩 ′ 形, 其顶点为
′ D
′ M3 ′ M2
o′
u u+h u
′ M′(u,v), M2(u +h,v), 1 ′ ′ M3(u +h,v +k), M4(u,v +k).
r =ϕ(θ)
D
∫∫D f (rcosθ,rsinθ)rdrdθ
=∫
2π 0
dθ ∫
ϕ(θ)
0
f (r cosθ, rsinθ)r dr
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o
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若 f ≡1 则可求得D 的面积 1 2π 2 σ = dσ = ϕ (θ)dθ D 20
∫∫
∫
思考: 思考 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 问 θ 的变化范围是什么? (1)
≈
∂x ∂u ∂x ∂v
h k
∂y ∂u ∂y ∂v
h k
=
∂x ∂u ∂y ∂u
∂x ∂v ∂y ∂v
hk= J(u,v) hk
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因此面积元素的关系为 dσ = J(u,v) dudv 从而得二重积分的换元公式:
∫∫D f (x, y)dxd y = ∫∫ f (x(u,v), y(u,v)) J(u,v) dudv ′ D
D r =ϕ2(θ)
β
(2) 一般换元公式
x = x(u,v) 下 在变换 y = y(u,v) (x, y)∈D
则
o
α
r =ϕ (θ) 1
∫∫D f (x, y)dσ = ∫∫D′
∂(x, y) ≠0 且 J= ∂(u,v) f [x(u,v), y(u,v)] J dudv
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0
2π
a
−r2
dr
=π(1−e
由于 e
−x2
−a 2
)
的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
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注: 利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式
∫
+∞ −x2 e dx = 0
π
①
事实上, 当D 为 R2 时,
2
利用例6的结果, 得
令 x = ar cosθ , y =brsinθ , 则D 的原象为
D a b
′ D : r ≤1, 0 ≤θ ≤ 2 π ∂(x, y) acosθ −arsinθ J= = = abr bsinθ br cosθ ∂(r,θ )
D 2π
0
∴ V = 2c∫∫
1−r2 abr dr dθ
1 0
= 2abc∫ d θ∫
2
2a
x
32 3 π 2 = a( − ) 3 2 3
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二、二重积分换元法
定理: 定理 设f (x, y)在 域D 连 , 变换: 闭 上 续
v
′ D
x = x(u,v) (u,v)∈D →D ′ T: o′ y = y(u,v) ′ 一阶导数连续; 满足 (1 x(u,v), y(u,v)在D上 )
∫∫D op q b 1 1 q = ∫∫ J dudv = ∫ du∫ dv = (q − p)(b−a) ′ a D 3 3p
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例5. 试计算椭球体
的体积V.
x2 y2 解: 取D: 2 + 2 ≤1, 由对称性 a b 2 x2 − y d xd y = 2c∫∫ 1− 2 2
u
T
′ (2) 在D上雅可比行列式 ∂(x, y) J(u,v) = ≠ 0; ∂(u,v)
定积分换元法D →D是一一对应的 , (3) 变换 T : ′
b
y
D
则
dx = f f t(u, ′(t du ( x J(u )) ∫a, f (x)xd y= ∫α D′[ϕ((x)]ϕv),)y(t ,v))=ϕ(,tv) dudv ∫∫D f (x y)d ∫∫
r =ϕ2(θ) D
∫∫D f (rcosθ,rsinθ)rdrdθ
= ∫ dθ ∫ (θ) ϕ
α
1
β
β
ϕ2(θ)
o f (r cosθ, rsinθ)r dr
o
α
r =ϕ (θ) 1
r =ϕ2(θ)
0 ≤ r ≤ϕ(θ) 特别, 特别 对 D: π 0 ≤θ ≤ 2
β
α r =ϕ1(θ)
第二节 二重积分的换元法
一、利用极坐标计算二重积分 二、计算二重积分的换元法
第七章
机动
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一、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 θ =常数, 分划区域D 为
θ =θk + ∆θk θ =θk
∆ k (k =1, 2,L n) σ ,
o
r = rk x
a
x
I =∫ dr ∫ θ r f (r, θ )d 0 −arccos a
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a
2. 计算
2 2
∫∫D
(x2 + y2)dxd y, 其中D 为由圆 x2 + y2 = 2y,