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2020届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}|1A x x =<，(){}|30B x x x =-<，则AB =（ ） A ．()1,0- B ．()0,1C ．()1,3D ．()1,3- 2．若复数z 满足()112z i i +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种A ．24B ．36C ．48D ．60 4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图所示．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 5．在等比数列{}n a 中，4a 和12a 是方程2310x x ++=的两根，则8a =（ ） A ．32- B ．32 C ．1- D ．±1 6．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( )A ．−8B ．−6C ．6D ．87．下列函数中，在(0,)+∞内单调递减的是（ ）A ．22x y -=B ．11x y x -=+C ．121log y x= D ．22y x x a =-++ 8．函数()()sin f x A x ωφ=+()0,0,22A x R ππωφ⎛⎫>>-<<∈ ⎪⎝⎭的部分图象，如图所示，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．12 B．2 C ．12- D． 9．已知：0x >，0y >，且211x y +=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()4,2-B ．(][),42,-∞-+∞C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞10．已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将△ABC 折成直二面角，则过,,,A B C D 四点的球的表面积为A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π11．已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=8x 上一点A 到焦点F 的距离为6，若点P 为抛物线C 准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（ ）A ．4 B．C．D．12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=- ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =，则函数()()()1g x x f x π=-- 在区间3-,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π二、填空题13．已知()61ax -的展开式中3x 的系数为20，则a =________．14．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．15．ABC 中，a ，b ，c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边，2224ABC a b c S+-=，则C =_________.三、双空题16．已知函数()221x f x x =-，数列{}n a 的通项公式为()2019n n a f n N ⎛⎫=∈* ⎪⎝⎭，则2019a =____．此数列前2019项的和为____．四、解答题17．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==,四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒,E 是AD 的中点.(1)求证: BE ⊥平面PAD ；(2)求平面PAB 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值.19．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4 组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求a 的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X ，求X 的分布列与期望.20．在平面直角坐标系中，已知圆1C 的方程为22(1)9x y -+=，圆2C 的方程为22(1)1x y ++=，动圆C 与圆1C 内切且与圆2C 外切.(1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(2)已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与轨迹E 交于A ,B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值.21．已知a R ∈，函数()2ln f x a x x=+ (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若2x =是()f x 的极值点，且曲线()y f x =在两点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x ()126x x <<处的切线互相平行，这两条切线在y 轴上的截距分别为1b 、2b ，求12b b -的取值范围.22．在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1:4cos C ρθ=，2:cos 3C ρθ=．（1）求1C 与2C 的交点的极坐标；（2）设点Q 在1C 上，23OQ QP =，求动点P 的轨迹的极坐标方程． 23．设函数()52f x x a x =-+--.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】解不等式得出集合A 、B ，根据并集的定义写出A∪B．【详解】集合A ＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x ＜1}，B ＝{x|x （x ﹣3）＜0}＝{x|0＜x ＜3}，则A∪B＝{x|﹣1＜x ＜3}＝（﹣1，3）．故选：D ．【点睛】本题考查集合的运算，是基础题．2．C【解析】()()()()()1i 12i,1i 1i 12i 1i z z +=-∴+-=--,化为13213i,i 22z z =--∴=--，∴复数z 在复平面内所对应的点13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限，故选C.3．A【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有22A 种排法；第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有2323A A 种排法；∴23223224A A A =故选：A.4．A【分析】由算筹含义直接求解【详解】根据各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，知8771用算筹可表示为， 故选：A.【点睛】本题容易，只需找出规律即可求解.5．C【分析】利用韦达定理得到41241231a a a a +=-⎧⎨=⎩，再利用数列的性质计算8a . 【详解】 因为412,a a 是方程的根，故41241231a a a a +=-⎧⎨=⎩且4120,0a a <<， 由{}n a 是等比数列可知241281a a a ==,故81a =±，因为4120,0a a <<，故80a <，故81a =-故选：C【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若*,,,,m n p q N m n p q ∈+=+,则+m n p q a a a a =+；（2）()1,1,2,...,2k n k n n a a S k n +-+==且()2121n n S n a -=-; （3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （4）232,,...n n n n n S S S S S --为等差数列.6．D【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8．故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．7．A【分析】直接根据指数型函数的单调性判断出22x y -=在R 上递减，求得结果. 【详解】由题，22x y -=在R 上递减，所以在()0,+∞内单调递减， 故选A【点睛】本题主要考查了函数的单调性，利用函数的性质是解题的关键，属于基础题.8．B【分析】根据图像，可求出,,A ωφ的值，进而得出解析式，将3π代入即可得解. 【详解】由图可知，()f x 最大值为1，故()10A A => ()22421036T ππππωωω⎛⎫==⨯-=⇒=> ⎪⎝⎭则sin 166f ππφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为22ππφ-<<，故3πφ= 即()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则2sin sin 333f πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故选：B【点睛】根据图像解出三角函数解析式并对其性质进行考查是高考的高频考点，可从最大值点、周期、零点等角度入手，解答时要注意参数取值范围.9．A【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可.【详解】由题,因为211x y+=,0x >,0y >,所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.10．D【解析】折后的图形可放到一个长方体中， 故其外接球的半径为，其表面积为5π. 故选：D.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解． 11．C【分析】由已知条件，结合抛物线性质求出A 点坐标，求出坐标原点关于准线的对称点的坐标点B ，由|PO |＝|PB ，|知|P A |+|PO |的最小值为|AB |，由此能求出结果． 【详解】抛物线y 2=8x 的准线方程为x=-2，∵|AF|=6，∴A 到准线的距离为6，即A 点的横坐标为4，∵点A 在抛物线上，不妨设为第一象限，∴A 的坐标A （4，）∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为B （-4，0），∴|PO|=|PB|，∴|PA|+|PO|的最小值：=．故选C ．【点睛】本题主要考查抛物线的相关知识．两条线段之和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用． 12．D 【解析】函数()()()1g x x f x π=--在区间3,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点就是函数()y f x =与函数1()h x x π=-的交点的横坐标． ∵()()f x f x π+=-∴()()2f x f x π+=，即函数()f x 的周期为2π，且函数()f x 的图象关于直线2x π=又可得()()2f x f x π+=--，从而函数()f x 的图象关于点(π,0)对称． 函数1()h x x π=-的图象关于点(π,0)对称． 画出函数f(x),h(x)的图象（如下所示），根据图象可得函数f(x),h(x)的图象共有4个交点，它们关于点(π,0)对称．所以函数()()()1g x x f x π=--在区间3,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为2π+2π=4π． 选D ．点睛：解答本题的关键是将函数()()()1g x x f x π=--零点问题转化为两个函数图象交点的横坐标问题，借助函数图象的直观性使得问题得到解答，这是数形结合在解答数学题中的应用，解题中要求正确画出函数的图象．同时本题中还用到了函数的周期性、对称性、奇偶性之间的互相转化，对于这些知识要做到熟练运用． 13．1- 【分析】根据二项式定理求解3x 的系数再求解a 即可. 【详解】易得()61ax -中含3x 的项为()333336120C ax a x ⋅⋅-=-,故320201a a -=⇒=-.故答案为：1- 【点睛】本题主要考查了二项式定理求项的系数与参数的问题,属于基础题. 14．2y x = 【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】2222101y k y x x =∴==∴=+'+ 【点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点. 15．4π 【分析】 由2221sin 24+-==ABCa b c Sab C ，结合余弦定理得到tan 1C =求解. 【详解】 因为2221sin 24+-==ABCa b c Sab C ， 所以222sin cos 2a b c C C ab+-==，即：tan 1C =， 因为()0,C π∈， 所以4Cπ，故答案为：4π 【点睛】本题主要考查三角形面积公式与余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16．20192a = 2020 【分析】利用函数与数列的关系求出通项公式，即可求出；列出求和公式找到规律即可求出. 【详解】由题可知，2220192019120192201922019212019n nn n a f n n n ⋅⎛⎫====+ ⎪--⎝⎭⋅-则2019201912220192019a =+=⨯-201920192019201911 (12201942019220192019)S =++++++--⨯- 即()()()20191201822017100910102019...S a a a a a a a =+++++++2100922020=⨯+=故答案为：20192a = 2020 【点睛】本题综合考查函数、数列的相关性质，难度较易. 17．（Ⅰ）21,(2)n n a n S n n =+=+; （Ⅱ）4(1)nn +．【解析】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知3577,26a a a =+=可得1127{21026a d a d +=+= 解得1,a d ，则n a 及n S 可求；（2）由（1）可得111()41n b n n =-+，裂项求和即可 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有1127{21026a d a d +=+=， 解得13,2a d ==，所以32(1)21n a n n =+-=+，2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+. （2）由（1）知，21n a n =+， 所以22111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ====--+-++， 所以11111111(1)(1)42231414(1)n nT n n n n =-+-++-=-=+++， 即数列{}n b 的前n 项和4(1)n nT n =+.考点：等差数列的通项公式，前n 项和公式．裂项求和18．（1）见解析；（2【分析】(1) 连接BD ，根据几何关系得到PE AD ⊥, 由平面PAD ⊥平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，进而得到PE BE ⊥,再由三角形ABE 的角度及边长关系得到BE AD ⊥，进而得到结果;(2)建立空间坐标系得到面PAB 的法向量为n ，面PBC 的一个法向量为m ，根据向量夹角运算可得结果 【详解】（1）连接BD ，由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面PAD ⊥平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形 ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=，所以BE AD ⊥，从而BE ⊥平面PAD .（2）以E 为原点，,,EA EB EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，(P ，()()()1,0,0,,A B C -，有()(1,0,3,0,3,PA PB =-=，(PC =-，令平面PAB 的法向量为n ，由00PA n PB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得一个()3,1,1n =，同理可得平面PBC 的一个法向量为()0,1,1m =，所以平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为10m n m n⋅=. 【点睛】本题考查了面面垂直的证法，以及二面角的求法，证明面面垂直经常先证线面垂直，再得面面垂直，或者建立坐标系，求得两个面的法向量，证明法向量公线即可. 19．(1) 0.035a = (2) 2150（3）()12.5E X = 【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图求出a 的值；（2）设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ，由条件概率公式得到所求概率；（3）X 的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率值，从而得到X 的分布列与期望. 试题解析：（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =，（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ， 则()()()1227312122121021031221|.50C C P AB C P B A C C C C P A C ===+ （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的 概率为4,5P =X 的可能取值为0，1，2，3. ()30341015125P X C ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，()121344121155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()212344482155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()33346435125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 所以X 的分布列为4~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，()4123.55E X np ==⨯=20．(1) 221(2)43x y x +=≠- (2)6【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心C 的轨迹E 的方程；（2）设l 的方程为1x my =+，联立可得()2234690m y mx ++-=，通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形APBQ 面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最值即可. 试题解析：(1)设动圆C 的半径为r ，由题意知123,1CC r CC r =-=+从而有124CC CC +=，故轨迹E 为以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆，并去 除点()2,0-，从而轨迹E 的方程为()221243x y x +=≠-.（2）设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x 得()2234690m y mx ++-=，设点()()1122,,,A x y B x y ，有12122269,,3434m y y y y m m --+==++则()2212134m AB m +==+， 点()2,0P -到直线l()2,0Q 到直线l从而四边形APBQ 的面积()222121123434m S m m +=⨯=++令1t t =≥，有224241313t S t t t==++，函数13y t t=+在[)1,+∞上单调递增， 有134t t+≥，故2242461313t S t t t==≤++，即四边形APBQ 面积的最大值为6. 21．（1）见解析；（2）2ln203⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【分析】（1）根据导数和函数的关系即可求出函数的单调区间，（2）由x ＝2是f （x ）的极值点，以及导数的几何意义，可求出相对应的切线方程，根据切线平行可得11141b lnx x =+-，同理，22241b lnx x =+-．求出b 1﹣b 2，再构造函数， 利用导数，即可求出b 1﹣b 2的取值范围 【详解】 （1）()222a ax 2f'x x x x-=-+=， ①当a ≤0时，f'（x ）＜0在x ∈（0，+∞）上恒成立，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减；②当a ＞0时，2x 0a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时f'（x ）＜0，2x a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，时，f'（x ）＞0，即f （x ）在2x 0a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调递减，在2x a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，单调递增； （2）∵x=2是f （x ）的极值点，∴由（1）可知22a=， ∴a=1，设在P （x 1，f （x 1））处的切线方程为()112111221y lnx x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 在Q （x 2，f （x 2））处的切线方程为()222222221y lnx x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴若这两条切线互相平行，则2211222121x x x x -+=-+，∴12111x x 2+= ∵21111x 2x =-，且0＜x 1＜x 2＜6，∴11111162x x -＜＜，∴11114x 3＜＜， ∴x 1∈（3，4）令x=0，则1114b lnx 1x =+-， 同理，2224b lnx 1x =+-． 【解法一】∵21111x 2x =-，∴1212121111121111b b 4lnx lnx 4ln ln x x x 2x 2x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 设()1g x 8x 2lnx ln x 2⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，11x 43⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()22221116x 8x 1(4x 1)g'x 801x 2x x 2x x x2-+-=--==---＜ ∴g （x ）在区间1143⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，∴()2g x ln203，⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即b 1-b 2的取值范围是2ln203⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【解法二】 ∵1212x x x 2=-，∴11212121x 118b b 4lnx lnx 2ln 1x x x 2⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()8x g x ln 12x 2⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，其中x ∈（3，4） ∴()()()2222281x 8x 16(x 4)g'x 0x x 2x x 2x x 2-+-=-+==---＞ ∴函数g （x ）在区间（3，4）上单调递增，∴()2g x ln203，⎛⎫∈-⎪⎝⎭∴b 1-b 2的取值范围是2ln203⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【解法三】∵x 1•x 2=2（x 1+x 2）， ∴()()121212111121211212212222x 214x x 2x x x x x x 44b b lnx lnx ln ln ln x x x x x x x x x x 1x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭-=-+-=++=+⋅++═设()()21x g x lnx 1x-=++，则()22241(1x)g'x (1x)x x(1x)--=+=++∵112x x 111x 22⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，，∴g'（x ）＞0， ∴函数g （x ）在区间112⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增， ∴()2g x ln203，⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴b 1-b 2的取值范围是2ln203⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【点睛】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力，属于难题22．（1）6π⎛⎫± ⎪⎝⎭；（2）10cos ρθ= 【分析】（1）联立cos 34cos ρθρθ=⎧⎨=⎩，即可求出1C 与2C 的交点的极坐标.（2）设P,Q 两点极坐标，根据23OQ QP =，即能求出动点P 的轨迹的极坐标方程. 【详解】 （1）联立cos 34cos ρθρθ=⎧⎨=⎩，cos 2θ=±，6πθ=±，ρ=6π⎛⎫± ⎪⎝⎭（2）设(),P ρθ，()00,Q ρθ且004cos ρθ=，由已知2,3OQ QP =得0025ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩24cos 5ρθ∴=，点P 的极坐标方程为10cos ρθ=. 【点睛】本题主要考查极坐标方程的相关性质，难度较易，作此类题目时需要注意θ的取值范围. 23．(1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞. 【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围． 详解：（1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
长春外国语学校2020-2021学年第一学期期末考试高三年级数学试卷（文科）出题人 ：姜海军 审题人：于海君本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份，共6页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必需利用2B 铅笔填涂；非选择题必需利用0.5毫米黑色笔迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请依照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先利用铅笔画出，肯定后必需用黑色笔迹的签字笔描黑。
5. 维持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准利用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}=∈<-<-=<=B A N x x x B x A x 则,,12,42( ) A.}1{ B. }21|{<<-x x C. }1,0{ D. }2|{<x x 2.已知复数z 知足i iz 32+=,则z 对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知(),1,3,1||==b a 且a 与b 的夹角为90,则|2|b a +为（ ）A. 32B. 22C. 7D.24. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ ）A.π224+B.π220+C.π+24D.π+20 5. 已知命题p :),0(0+∞∈∃x ,使得00169x x -=，命题q : +∈∀N x ,0)1(2>-x 都有，则下列命题为真命题的是（ ）A.q p ∧B.q p ∨⌝)( C.()q p ⌝⌝∧)( D.())(q p ⌝⌝∨6. 运行如图所示的程序框图，若输出的S 是254，则①应为A.?5≤n B ．?6≤n C ．?7≤nD ．?8≤n7. 若实数y x ,知足⎪⎩⎪⎨⎧+-≤≥≥-402x y x y y x 求22-+=y x z 的最大值( )A.2B. 4C.6D.8 8. 已知31sin cos -=αα,则)4sin(2cos παα+的值为（ ）A. 32-B. 32C. 31D. 61- 9. 已知抛物线2ax y =上点)2,(0x P 到核心的距离为3,则点P 到y 轴的距离是（ ）A.22B.1C. 22D.2 10. 若函数xx x f 3log )(31-=的零点为0x ，若00x m <<,则)(m f 的值知足（ ）A.0)(=m fB.0)(>m fC.0)(<m fD.)(m f 的符号不肯定11. 已知21,F F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的左右核心,点P 是C 上一点,若2218||||a PF PF =⋅,且21F PF ∆的最小内角为 30,则双曲线的离心率为（ ）A.15-B. 5C. 13+D. 312. 已知函数())(2)(,ln 23R k kx ex x x g x x f ∈+-==,若函数)()(x g x f y -=有唯一零点,则下列说法错误的是（ ） A.ee k 12+= B.函数)(x g 在))(,(e g e 处的切线与直线0=-ey x 平行 C.函数22)(ex x g y +=在],0[e 上的最大值为122+eD.函数x e ex x g y 2)(--=在 ]1,0[上单调递减 第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
长春外国语学校第一学期期末考试高三年级数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合}21|{<<-=x x A ，}02|{2≤+=x x x B ，则=B A （ ）A ．}20|{<<x xB ．}20|{<≤x xC ．}01|{<<-x xD ．}01|{≤<-x x 2. 设i z +=1（i 是虚数单位），则=+z z 2（ ） A ．i 22- B ．i 22+ C ．i --3 D ．i +33. 已知)2,1(-=a ，)0,1(=b ，向量b a +λ与b a 4-垂直，则实数λ的值为 （ ）A ．31B ．31- C ．3 D ．3- 4. 点)1,2(M 到抛物线2ax y =准线的距离为2，则a 的值为（ ）A ．41 B ．121 C ．41或121- D ．41-或1215. 已知三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积是 （ ）A ．32B ．4C ．34D ．66. 若如下框图所给的程序运行结果为35=S ，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）A ．6=kB ．6≤kC ．6<kD ．6>k7. 设)(x f 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间]1,2(-上的图像，则=+)2013()2011(f f （ ）A ．3B ．2C ．1D ．08. 已知直线a y x =+与圆122=+y x 交于B A ,两点，O 是坐标原点，向量OB OA ,满足||||-=+，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1±D ．2±9. 椭圆1222=+y x 两个焦点分别是21,F F ，点P 是椭圆上任意一点，则21PF ⋅的取值范围是（ ）A ． ]1,1[-B ．]0,1[-C ．]1,0[D ．]2,1[- 10. 若函数x mx x x f 632)(23+-=在区间),1(∞+上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ． ]1,(-∞B ．)1,(-∞C ．]2,(-∞D ．)2,(-∞11. 二项式n x x )31(+的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A ．95B ．35C ．5D ．1512. 已知函数)(x f y =是R 上的可导函数，当0≠x 时，有0)()(>+'xx f x f ，则函数xx f x x F 1)()(-⋅=的零点个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2021年吉林省长春市大学外国语学院附属外国语中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 要得到函数y=sin(2x+)的图象,只需将函数y=cos2x的图象（）A.向左平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向右平移个单位参考答案：D2. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是（A）（B）1 （C）（D）2参考答案：C3. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1B. 结余最高的月份是7月份C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D. 前6个月的平均收入为40万元（注：结余=收入-支出）参考答案：D读图可知A、B、C均正确，对于D，前6 个月的平均收入＝45万元．4. （5分）一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的左（侧）视图的面积是（）A．2B．C． 4 D．2参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意可知左视图与主视图形状完全一样是正三角形，可得结论．解答：解：由题意可知左视图与主视图形状完全一样是正三角形，因为主（正）视图是边长为2的正三角形，所以几何体的左（侧）视图的面积S==故选：B．点评：本题考查由三视图求面积、体积，求解的关键是根据所给的三视图判断出几何体的几何特征．5. 已知等差数列的项和为，且满足，则数列的公差是A. B.1 C.2 D.3参考答案：C略6. 已知双曲线的右焦点为F，过F作双曲线C渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的标准方程可得右焦点F，渐近线方程，利用，求出A的坐标，代入渐近线y=x上，化简整理，由离心率公式，即可得出结论．【解答】解：取右焦点F（c，0），渐近线y=x．∵FA⊥OA，∴可得直线FA的方程为y=﹣（x﹣c），令x=0，解得y=，∴B（0，）．∵，∴A（，），即A（，），又A在渐近线y=x上，∴=?，解得b=a．∴该双曲线的离心率e===．故选：D．7. 已知函数的最小正周期为，则该函数的图象A. 关于点对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于直线对称参考答案：B8. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b=4，则△ABC的面积的最大值为A. B. C. 2 D.参考答案：A∵在△ABC中，∴（2a-c）cos B=b cos C，∴（2sin A-sin C）cos B=sin B cos C，∴2sin A cos B=sin C cos B+sin B cos C=sin（B+C）=sin A，约掉sin A可得cos B=，即B=，由余弦定理可得16=a2+c2-2ac cos B=a2+c2-ac≥2ac-ac，∴ac≤16，当且仅当a=c时取等号，∴△A BC的面积S=acsinB=ac≤故选A．9. Q是有理数集，集合M={-1，0，1}，N={0，1，4}，则M∩(?Q N)=A.{0}B.{-1}C.{1}D.{4}参考答案：B10. 已知（a﹣i）2=﹣2i，其中i是虚数单位，a是实数，则|ai|=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2参考答案：B【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．【解答】解：（a﹣i）2=﹣2i，其中i是虚数单位，a是实数，∴a2﹣1﹣2ai=﹣2i，∴a2﹣1=0，﹣2a=﹣2，∴a=1．则|ai|=|i|=1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则实数m的取值范围是．参考答案：12. 已知双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为．参考答案：y=±x【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】运用离心率公式和a，b，c的关系，可得b==a，即可得到所求双曲线的渐近线方程．【解答】解：由题意可得e==，即c=a，b==a，可得双曲线的渐近线方程y=±x，即为y=±x．故答案为：y=±x．13. 复数，则复数的模等于__________．参考答案：，．14. 某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为______.参考答案：【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积. 【详解】如图：此四棱锥的高为，底面是长为，宽为2的矩形，所以体积.所以本题答案为.【点睛】本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力.解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.15. △ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为．参考答案：【考点】正弦定理的应用；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】先利用余弦定理和已知条件求得BC，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：由余弦定理可知cosB==﹣，求得BC=﹣8或3（舍负）∴△ABC的面积为?AB?BC?sinB=×5×3×=故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在求三角形面积过程中，利用两边和夹角来求解是常用的方法．16. 方程的实数解的个数为.参考答案：【标准答案】2【试题解析】由数形结合的数学思想，可知与的图象有两个交点，故方程的实数解的个数为2个。
长长春外国语学校2020-2021学年上学期高三年级期末考试数学试卷（理科）本试卷共4页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生 信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{2,}x A y y x R ==∈，2{20}B x x x =+-≤，则A B =（ ）A ．[2,1]-B ．(0,)+∞C ．(2,)-+∞D ．[2,)-+∞ 2．已知复数1i z i+=，其中i 是虚数单位，则z 在复平面上对应的点在第几象限?（ ） A ．第 一象限B ．第二象限C ． 第三象限D ．第四象限 3．命题“[]0,,sin 0x x π∀∈≥”的否定为（ ）A ．[]0,,sin 0x x π∀∈≤B ．[]0,,sin 0x x π∀∉≥C ．[]00,,sin 0x x π∃∉<D ．[]00,,sin 0x x π∃∈< 4．已知平面向量()1,a m =，(1,3b =-，且a b a b -=+，则m =（ ） A 23 B 3C 3 D ．33 5. 若抛物线28x y =上一点Р到焦点的距离为8，则点Р的纵坐标为（ ）．A ．5B ．6C ．7D ．86.《九章算术》中有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，其大意为：有一女子擅长织布，每日织布尺数以相同数量递增，七天共织布二十八尺，且第二日、第五日、第八日所织布之和为十五尺，则第十日所织布的尺数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．117．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示，则函数()f x 解析式为（ ）A ．()3sin(2)3f x x π=+B ．()3sin(2)6f x x π=+ C ．5()3sin(2)6f x x π=+ D ．()3sin()6f x x π=+ 8．在直棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，其中12AB BC BB ===，点D 是AC 的中点，则异面直线1AB 与BD 所成角的大小为( )A .3πB ．4π C ．6π D ．2π 9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线将圆22:(2)(4)4C x y -+-=分成面积相等的两部分，则双曲线的离心率为（ ）A .3B ．5C ．322 D ．2 10.已知函数1(0,1)x y a a a -=>≠恒过定点A ,且点A 在椭圆221mx ny +=上，其中0,0m n >>，则14m n+的最小值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．911．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，斜率为2的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且弦AB 中点的纵坐标为1，则抛物线C 的标准方程为（ ）A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x = D ．28y x =12．已知函数()[)ln ,1+f x x ax x =-∈∞其中，，若不等式()0f x ≤恒成立， 则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)1,+∞B ．1,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎦⎝C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)0,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）x二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.10(2)x e x dx +=⎰_________14.已知1sin()43x π+=，则sin 2x 的值为____________. 15．函数()cos x f x e x =在0x =处的切线方程为____________. 16.已知ABC ∆三个顶点都在球O 的表面上，且1,2AC BC AB ===，S 是球面上异于A 、B 、C 的一点，且SA ABC ⊥平面，若球O 的表面积为16π，则球心O 到平面ABC 的距离为____________．三、解答题：本题共6小题，17-21题每题12分,22题10分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{}n a 是首项112a =的等比数列，其前n 项和n S 中342,,S S S 成等差数列， (1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 设12=log n n b a ，若n T 是n b 的前n 项和，求n T ． 18．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1cos 2b A ac +=． (1) 求角B 的大小； (2) 若AC 边上的中线BM 的长为3，求ABC ∆面积的最大值．19. 如图，平行四边形ABCD 中，62==AB AD ，F E ,分别为BC AD ,的中点．以EF 为折痕把四边形EFCD 折起，使点C 到达点M 的位置，点D 到达点N 的位置，且NA NF =．（1）求证：平面AFN ⊥平面NEB ；（2）若32=BE ，求MN 与平面BEM 所成角的正弦值．20.已知椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的离心率3e =,直线310x y +-=被以椭圆C 的短轴为直径的圆截得的弦长为3 .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(40)M ， 的直线l 交椭圆于,A B 两个不同的点，且||||||||MA MB MA MB λ+=⋅,求λ的取值范围.21.设函数2()cos ,()sin a f x x x g x x=+=． （1）当[0,]x π∈时，判断()f x 的单调性；（2）若当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式0)()(≤-x g x f 恒成立，求a 的取值范围． 22.已知曲线C 的极坐标方程是1=ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 232,21（t 为参数）.（1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x ,2得到曲线C '，设曲线C '上任一点为),(y x M ，求y x 32+的最小值.答案一．选择题1. D2.A3.D4.B5.B6.C7.C8.A9.B 10.D 11.B 12.C二．填空题13. e 14.97-15. 01=+-y x 16.214 三．解答题17. (1)n n n a )21()1(1--= (2)2)1(+=n n T n 18. (1)3π=B (3)319. (1) 略 （2）33 20.（1）1422=+y x （2）]32,13394(21.（1）增区间为],0[π ，无减区间 （2）42π≥a22.（1）0323=-+-y x 122=+y x （2）4-。
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长春外国语学校2018-2019学年第一学期期中考试高三年级数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1。
命题“若4πα=，则tan 1α=”的否命题是（ ）A.若4πα≠，则tan 1α≠B.若4πα=,则tan 1α≠C 。
若tan 1α≠,则4πα≠D.若tan 1α≠，则4πα=2.下列四个方程中有实数解的是（ ）A.02=xB.131-=⎪⎭⎫⎝⎛xC 。
31.0=xD 。
33-=-x3。
下列命题中,真命题是 （ )A.sin cos 1.5x x x ∃∈+=R ， B 。
(0)sin cos x x x π∀∈>，， C 。
21x x x ∃∈+=-R ， D.(0)e 1x x x ∀∈+∞>+，， 4．函数32lg )(2+-=x x x f 的零点位于下列哪个区间（ ） A.)5,4(B.)2,1( C 。
)3,2( D 。
)4,3(5.函数322+-=x x y 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值为2,m 的取值范围是（ ）A. ]2,(-∞B.]2,0[ C 。
]2,1[ D.),1[+∞6。
若函数()y f x =的定义域是[02]，,则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是 A.[01]，B..[01)， C 。
2020-2021学年吉林省长春外国语学校高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x<0}，B={x|−1<x≤2}，则A∪B=()A. (−1,2]B. (−1,0)C. (0,3)D. (−1,3)2.已知复数z满足zi=2+i，其中i是虚数单位，则|z+1|=()A. √5B. √10C. 2√2D. 83.已知命题p：∃x∈R，x2<e x−1，那么命题￢p为()A. ∃x∈R，x2≥e x−1B. ∀x∈R，x2<e x−1C. ∀x∈R，x2≥e x−1D. ∀x∈R，x2>e x−14.已知等比数列{a n}，a4=2，a8=10，则a16=()A. 50B. 100C. 150D. 2505.已知平面向量a⃗与b⃗ 的夹角为2π3，若a⃗=(√3,−1)，|a⃗−2b⃗ |=2√3，则|b⃗ |=()A. 1B. √2C. 2D. √36.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按顺时针方向旋转π6后经过点P(−4,3)，则cos(2π3+2α)=()A. −725B. 725C. 825D. −8257.函数f(x)=lnx+b在x=a处切线的方程为y=x，则a+b=()A. −2B. 0C. 1D. 28.函数f(x)=sinx+cosxx的大致图象为()A. B.C. D.9.已知函数f(x)=cos(ωx−π2)+√3cos(π+ωπ)(0<ω<32)的图象过点(5π3,2)，则要得到函数f(x)的图象，只需将函数y=2sinωx的图象()A. 向右平移2π3个单位长度 B. 向左平移2π3个单位长度 C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度10. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=an2a n +1，则数列{a n a n+1}的前n 项和T n =( )A. n2n−1B. n2n+1C. 2n2n+1D. n4n+211. 已知函数f(x)=e x +xx，a =f(ln 1e )，b =f(12)，c =f(1e )，则( )A. a >b >cB. c >b >aC. b >a >cD. b >c >a12. 已知函数f(x)={1 (x =1)|ln|x −1||(x ≠1)，若方程f 2(x)+af(x)+b =0有九个不同实根，则ab 的取值范围是( )A. (−∞,−2)∪(−2,0)B. (−∞,−1)∪(−1,+∞)C. (−∞, 14]D. (−2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等差数列{a n }，a 3=8，a 8=3，则a 11=______．14. 函数f(x)=−x 3+3x 2在[−1,1]上的最大、小值分别为M 和m ，则M +m =______． 15. 若函数f(x)=lnx +1x −a 有且只有一个零点，则实数a 的值为______．16. 已知函数f(x)=a ⋅2x +b 的图象过点(2,9)和点(4,45)，若数列{a n }的前n 项和S n =f(n)，数列{log 2a n 3}的前n 项和为T n ，则使得T n ≥55成立的最小正整数n =______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinA(a +b)+bsin(A +C)=asin 2C sinA．(Ⅰ)求角C ；(Ⅱ)若a =2，c =2√3，求△ABC 的面积S ．18.已知数列{a n}，其前n项和S n=n2，a1，a2，a5是等比数列{b n}的前三项．(Ⅰ)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)若c n=a n b n，求数列{c n}前n项和T n．19.如图，在梯形ABCD中，BC//AD，E在AD上，且BC=BE=ED=2.沿BE将△ABE折起，使得AB⊥CE．(Ⅰ)证明：AD⊥CE；(Ⅱ)若在梯形ABCD中，∠ADC=π3，折起后∠ABD=π3，点A在平面BCDE内的射影H为线段BD的一个四等分点(靠近点B)，求三棱锥D−ABC的体积．20.已知向量a⃗=(mcosx,sinx)，b⃗ =(sinx,−sinx)，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ，若其图象关于直线x=π8对称．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及实数m的值．(Ⅱ)当x ∈(0,π2)时，求函数f(x)的值域．21. 已知函数f(x)=lnx ．(Ⅰ)令g(x)=f(x)−axx+1，若函数g(x)在其定义域上单调递增，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)求证：f(x)<e x −2．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =√32ty =12t +2(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=6sinθ． (Ⅰ)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P(0,2)，求1|PA|+1|PB|的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x|x2−3x<0}={x|0<x<3}，B={x|−1<x≤2}，则A∪B={x|−1<x<3}=(−1,3)．故选：D．解不等式求得集合A，根据并集的定义写出A∪B．本题考查了解不等式与并集的运算问题，是基础题．2.【答案】C=−i(2+i)=1−2i，【解析】解：zi=2+i，则z=2+ii∴|z+1|=|1−2i+1|=|2−2i|=√22+(−2)2=2√2，故选：C．根据复数的运算可得z=1−2i，再根据复数模的定义即可求出．本题考查了复数的运算和复数的模，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：命题p：∃x∈R，x2<e x−1，故命题￢p为：∀x∈R，x2≥e x−1．故选：C．利用含逻辑联结词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定．本题考查特称命题、含逻辑联结词的否定形式，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：等比数列{a n}，a4=2，a8=10，∴a8=q4=5，a4∴a16=a4q12=2×53=250，故选：D．根据题意可得q4=5，则a16=a4q12，即可求出．本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵<a⃗,b⃗ >=2π3,|a⃗|=2，|a⃗−2b⃗ |=2√3，∴(a⃗−2b⃗ )2=4|b⃗ |2+4|b⃗ |+4=12，且|b⃗ |≥0，∴解得|b⃗ |=1．故选：A．可求出|a⃗|=2，再根据<a⃗,b⃗ >=2π3对|a⃗−2b⃗ |=2√3两边平方，进行数量积的运算得出|b⃗ |2+|b⃗ |−2=0，从而根据|b⃗ |≥0解出|b⃗ |即可．本题考查了向量数量积的计算公式和向量数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：∵P(−4,3)，∴|OP|=5，由题意，sin(α−π6)=35，即sin(π6−α)=−35，则cos(α+π3)=−35，∴cos(2π3+2α)=cos2(α+π3)=2cos2(α+π3)−1=2×(−35)2−1=−725．故选：A．由已知利用任意角的三角函数的定义求得sin(α−π6)=35，进一步得到cos(α+π3)=−35，再由二倍角的余弦求解cos(2π3+2α)的值．本题考查诱导公式、倍角公式及任意角的三角函数的定义，是基础的计算题．7.【答案】D【解析】解：f(x)=lnx+b的导数为f′(x)=1x，由切点(a,lna+b)，切线的方程y=x，可得切线的斜率为1a=1，即a=1，切点为(1,1)，可得ln1+b=1，即b=1，所以a+b=2．故选：D．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线方程解得a ，b 的值，可得所求和．本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】 【分析】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性，属于简单题．利用函数的奇偶性排除错误选项，然后再利用函数值的正负判断即可． 【解答】解：函数f(x)=sinx +cosx x，定义域关于原点对称，满足函数f(−x)=−sinx −cosx x=−f(x)，所以函数为奇函数，排除A 、C ， 因为x ∈(0,π2)时，sinx >0，cosx x>0，此时f(x)>0，所以排除D ，故选：B ．9.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)=cos(ωx −π2)+√3cos(π+ωπ)=sinωx −√3cosωx =2(12sinωx −√32cosωx)=2sin(ωx −π3)(0<ω<32)，根据f(x)的图象过点(5π3,2)，可得2sin(ω⋅5π3−π3)=2，∴ω⋅5π3−π3=2kπ+π2，k ∈Z ，令k =0，可得ω=12，f(x)=2sin(12x −π3).则要得到函数f(x)的图象，只需将函数y =2sinωx 的图象，向右平移2π3个单位长度即可， 故选：A ．利用三角恒等变换，化简f(x)的解析式，再利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：数列{a n }满足a 1=1，a n +1=a n2a n +1，则1an+1=2a n +1a n=1a n+2，故1an+1−1a n=2(常数)，所以数列{1a n}是以1a 1=1为首项，2为公差的等差数列，所以1a n=1+2(n −1)=2n −1，则a n =12n−1，a n+1=12n+1，所以a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，故T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1． 故选：B ．首先利用关系式的变换，整理得1an+1−1a n=2，进一步求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：f(x)=e x +x x=e x x+1(x ≠0)，f′(x)=e x (x−1)x 2，由f′(x)>0，可得x >1，由f′(x)<0，可得x <0或0<x <1， 故函数f(x)在(−∞,0)，(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， 所以当x >0时，f(x)在x =0时取得极小值也是最小值为f(1)=e +1， 因为0<1e <12<1，所以f(1e )>f(12)>e +1， 又f(ln 1e )=f(−1)=−1e +1<e +1， 所以f(1e )>f(12)>f(ln 1e )， 即c >b >a ， 故选：B ．利用导数求出函数f(x)的单调性，由ln 1e <1e <12，比较函数值的大小即可．本题主要考查导数的应用，利用导数求函数的单调性，从而比较函数值的大小，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：作出函数f(x)={1 (x =1)|ln|x −1||(x ≠1)的图象，如图：方程f 2(x)+af(x)+b =0有九个不同实根，由图象可知， f(x)=1和f(x)=m(m >0且m ≠1)， ∴1+m =−a 且1×m =b ，∴ab =−m(m +1)=−m 2−m =−(m +12)2+14(m >0且m ≠1)， ∴ab ∈(−∞,−2)∪(−2,0)． 故选：A ．作出函数f(x)的图象，方程f 2(x)+af(x)+b =0有九个不同实根，利用数形结合，可解决．本题考查了函数图象，二次方程的根，综合性强，属于难题．13.【答案】0【解析】解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 依题意有：{a 1+2d =8a 1+7d =3，解得：{a 1=10d =−1，∴a n =11−n ． 故a 11=11−11=0， 故答案为：0．由已知条件利用等差数列通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n }的通项公式，进而求解结论．本题考查数列的通项公式的求法，属于基础题．14.【答案】4【解析】解：∵f(x)=−x3+3x2，x∈[−1,1]，∴f′(x)=−3x2+6x=−3x(x−2)，令f′(x)=0，解得x=0，x=2(舍去)，当−1≤x<0时，f′(x)<0，当0<x≤1时，f′(x)>0，∴f(x)在[−1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴m=f(0)=0，∵f(1)=2，f(−1)=1+3=4，∴M=4，∴M+m=4，故答案为：4．利用导数求出函数的最大值和最小值即可得到结论．本题考查了导数与函数的最值的关系，属于基础题．15.【答案】1【解析】解：f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=1x −1x2=x−1x2，令f′(x)>0，解得：x>1，令f′(x)<0，解得：0<x<1，故f(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，若函数f(x)=lnx+1x−a有且只有一个零点，则f(x)极小值=f(1)=1−a=0，解得：a=1，故答案为：1．求出函数的导数，得到函数f(x)的单调区间，求出函数的极小值，根据函数的零点个数得到关于a的方程，解出即可．本题考查了函数的单调性，极值，零点问题，考查导数的应用，是一道基础题．16.【答案】11【解析】解：函数f(x)=a⋅2x+b的图象过点(2,9)和点(4,45)，可得4a+b=9，16a+b=45，解得a=3，b=−3；数列{a n}的前n项和当可知a1=3满足通项，则，log2a n3=n−1，数列{log2a n3}的通项公式为：n−1；数列{log2a n3}的前n项和为T n=n(n−1)2，T n≥55，即n2−n−110≥0，可得n≥11(n≤−10舍去)．使得T n≥55成立的最小正整数n=11．故答案为：11．求出a，b，推出数列的通项公式，化简数列{log2a n3}的通项公式，求解数列的和，利用T n≥55成立，求解最小正整数n．本题考查数列的通项公式的应用，数列求和函数与数列的综合应用，考查计算能力．17.【答案】解：(Ⅰ)因为sinA(a+b)+bsin(A+C)=asin2CsinA，可得sinA(a+b)+bsinB=asin2CsinA，由正弦定理可得：a(a+b)+b2=c2，可得a2+b2−c2=−ab，由余弦定理可得：cosC=a2+b2−c22ab =−ab2ab=−12，因为C∈(0,π)，所以C=2π3．(Ⅱ)因为a=2，c=2√3，C=2π3，所以由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，可得12=4+b2−2×2×b×(−12)，可得b2+2b−8=0，解得b=2，(负值舍去)，所以△ABC的面积S=12absinC=12×2×2×√32=√3．故答案为：2π3，√3．【解析】(Ⅰ)利用两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得a2+b2−c2=−ab，由余弦定理可得cosC=−12，结合范围C∈(0,π)，可求C的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)及已知利用余弦定理可得b2+2b−8=0，解得b的值，根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)数列{a n}，其前n项和S n=n2，①当n=1时，解得a1=1，当n≥2时，S n−1=(n−1)2②，①−②得：a n=S n−S n−1=2n−1(首项符合通项)，所以：a n=2n−1．由于，a1，a2，a5是等比数列{b n}的前三项，设公比为q，所以b1=a1=1，b2=a2=3，b3=a5=9，则：q=3，所以b n=3n−1，(Ⅱ)由于c n=a n b n=(2n−1)⋅3n−1，所以T n=1×30+3×31+⋯+(2n−1)⋅3n−1①，3T n=1×31+3×32+⋯+(2n−1)⋅3n②，①−②得：−2T n=1+2×(31+32+⋯+3n−1)−(2n−1)⋅3n，整理得T n=1+(n−1)⋅3n．【解析】(Ⅰ)直接利用数列的递推关系式的应用和等比数列的的定义和性质的应用求出数列的通行公式．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】证明：(1)设BD与EC交于点O，连接AO，∵BC//AD，BC=BE=ED=2，∴四边形BCDE为菱形，则BD⊥CE，又AB⊥CE，AB∩BD=B，∴CE⊥平面ABD，则CE⊥AD，即AD⊥CE；解：(2)在菱形BCDE中，∵∠EDC=π3，BC=BE=2，∴CE=2，BD=2√3，∵H为线段BD的一个四等分点(靠近点B)，∴BH=14BD=√32，∵AH ⊥平面BCDE ，∴AH ⊥BD ，又∠ABD =π3，∴AH =BH ⋅tan∠ABD =32，则四棱锥A −BCDE 的高为32． 又S △BCD =12×2×2×sin120°=√3，∴V D−ABC =V A−BCD =13S △BCD ⋅AH =13×√3×32=√32．【解析】(1)设BD 与EC 交于点O ，连接AO ，由已知可得四边形BCDE 为菱形，则BD ⊥CE ，再由AB ⊥CE ，利用直线与平面垂直的判定可得CE ⊥平面ABD ，进一步得到CE ⊥AD ； (2)由已知求得AH ，再由等体积法求三棱锥D −ABC 的体积．本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =msinxcosx −sin 2x =m2sin2x +12cos2x −12=√m 2+12sin(2x +φ)−12，其中sinφ=√m 2+1，cosφ=√m 2+1，故tanφ=1m ， ∴f(x)的最小正周期为T =2π2=π．∵f(x)的图象关于直线x =π8对称，∴2×π8+φ=π2+kπ，解得φ=π4+kπ，k ∈Z ，∴tanφ=tan(π4+kπ)=1m =1，∴m =1． (Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)=√22sin(2x +π4)−12，当x ∈(0,π2)时，2x +π4∈(π4,5π4)，∴−√22<sin(2x +π4)≤1，∴−1<f(x)≤√2−12， 故f(x)的值域是(−1,√2−12].【解析】(Ⅰ)利用辅助角公式化简f(x)解析式即可得出最小正周期，根据对称轴计算φ，从而可求出m 的值；(Ⅱ)根据x 的范围计算sin(2x +π4)的范围，再得出f(x)的范围．本题考查了平面向量的数量积运算，三角恒等变换，考查正弦函数的性质，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)g(x)=f(x)−axx+1=lnx−axx+1，(x>0)，则g′(x)=1x−a(x+1)2，①a≤0时，g′(x)>0，g(x)在(0,+∞)递增，符合题意，②a>0时，g′(x)=1x −a(x+1)2=x2+(2−a)x+1x(x+1)2，若函数g(x)在其定义域上单调递增，只需x2+(2−a)x+1≥0在(0,+∞)恒成立，即2−a≥−x2+1x在(0,+∞)恒成立，令p(x)=−x2+1x =−x−1x(x>0)，则p′(x)=1−x2x2，令p′(x)>0，解得：0<x<1，令p′(x)<0，解得：x>1，故p(x)在(0,1)递增，在(1,+∞)递减，故p(x)max=p(1)=−2，故2−a≥−2，解得：a≤4，故a的取值范围是：(−∞,4]；(Ⅱ)证明：令ℎ(x)=lnx−e x+2，则ℎ′(x)=1x −e x，ℎ″(x)=−1x2−e x<0，故ℎ′(x)在(0,+∞)递减，而ℎ′(1)=1−e<0，ℎ′(1e)=e−e1e>0，故存在x0∈(1e,1)，使得ℎ′(x0)=0，故1x0=e x0，lnx0=−x0，故x∈(0,x0)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增，x∈(x0,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减，故ℎ(x)max=ℎ(x0)=lnx0−e x0+2=−x0−1x+2<−2+2=0，故ℎ(x)<0，故f(x)<e x−2．【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)令ℎ(x)=lnx−e x+2，通过函数的单调性求出ℎ(x)的最大值小于0，证明不等式成立即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道常规题．22.【答案】解：(1)直线l 的参数方程为{x =√32ty =12t +2(t 为参数)，转换为直角坐标方程为x −√3y +2√3=0；曲线C 的极坐标方程为ρ=6sinθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθ，转换为直角坐标方程为x 2+(y −3)2=9．(2)把直线l 的参数方程为{x =√32ty =12t +2(t 为参数)，代入x 2+(y −3)2=9，得到t 2−5t −8=0．所以t 1+t 2=5，t 1t 2=−8， 所以1|PA|+1|PB|=|PA|+|PB||PA||PB|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√578．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．。
大学开学迎新横幅标语大学开学迎新横幅标语11、接过你的行囊，我们就是一家人。
2、因为年轻，未来属于我们。
3、提升教育质量，建设和谐校园。
4、不惧书山高千丈，哪怕学海浪万重。
5、不管你们将来是谁的女人，你们现在都是我们的女神。
6、信心是力量的源泉，坚持是成功的保证。
7、新生从这里进入，人才从这里走出！8、我自信，我出色；我拼搏，我成功。
9、建设先进文化，打造优良校风。
10、美好的大学生活，我们将一起度过。
11、百尺竿头，更进一步。
12、新起点高目标，迈向新的成功。
13、新生是理工最美的云彩，管院用心把你留下来。
14、志存高远，勤奋学习，全面成才。
15、青春列车，今日重新出发；新的起点，我们携手努力！16、欢迎你，我们的天之骄子。
17、青春列车今日重新出发；新的起点，我们携手努力！18、在羡慕别人成绩的同时，更要欣赏他们走过的足迹。
19、千里之行，始于足下。
20、经世济民做栋梁，海阔天空展雄才！21、插上理想的翅膀，扬起青春的风帆！22、提升教育质量，建设和谐校园！23、努力造就实力，态度决定高度。
24、为今天的成功喝彩，为明天的.事业奋斗！25、我望眼欲穿的等待，终于看见你的笑脸！26、分分秒秒做些有益的事，每时每刻戒掉无聊的行为。
27、一切为了学生，为了学生的一切。
28、模范遵守学校各项规章制度，做其他人的表率。
29、经世济民做栋梁，海阔天空展雄才。
30、坚持“三个面向”，加强素质教育。
31、让新生满意，让家长放心。
32、新生从这里进入，人才从这里走出。
33、实践新课程，创造新教育。
34、插上理想的翅膀，扬起青春的风帆。
35、开拓创新，再造辉煌，建设新世纪的新福大。
36、绿色育旅环英才，和谐成高尚品质。
37、万众一心，众志成城，勤学苦练，奋力扬鞭。
38、迎接新学年，迎接新同学！39、进门抛弃一切杂念，入室只想一心向学。
40、用x点燃梦想，用理想照亮人生。
41、乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。
42、开拓创新，再造辉煌，建设新世纪的神州！43、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。
长春外国语学校2020-2021学年第一学期期初高三年级数学试卷（文科）本试卷共4页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生 信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题：本题共12小题，每小题4分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若312i i z =++，则||=zA ．0B ．1CD ．2 2．已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则AB =A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}3．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.35. 已知)(x f 是奇函数，当0≥x 时，1)(-=xe xf （其中e 是自然对数的底数），则)21(ln f = A ．1-B ．1C ．3-D ．36．调查某市出租车使用年限x 和该年支出维修费用y （万元），得到数据如下：则线性回归方程是A ． 1.84.2ˆ+=x yB ．08.023.1ˆ+=x yC ．82.023.1ˆ+=x yD ．02.178.1ˆ+=x y7. 设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，已知23,233243-=-=a S a S ，则公比=q A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8. 函数()2e e x xf x x --=的图像大致为9. 设0,0>>b a ，若3是a 3与b3的等比中项，则ba 41+的最小值是 A ．9 B ．8 C ．6 D ．4 10. 函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3C ．4D ．511.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2,32]D ．[22,32]12. 设函数2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，第Ⅱ卷（非选择题 共72分）二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分.13. 若角α的终边经过点(1,2)P -则tan2α=_______．14. 直线12:310,:2(1)10,l ax y l x a y ++=+++=若12//l l ，则a =________． 15. 等差数列{}n a 中，12981,a a a +++=且2310171,a a a +++=则公差d =___16. 已知函数2()ln(1)1f x x x =++，()4f a =，则()f a -=________．三、解答题：本题共5小题，17-18题每题10分，19-21题每题12分,,解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在△ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C 所对的边，且13sin cos 02A A -= （1）求角A 的大小； （2）若3,4a B π==，求b.18．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ==⎧--⎪⎨-⎪⎩，﹢ (t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点. （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2,,PA AD E F ==分别是,PB AC 的中点.（1）证明：//EF 平面PCD （2）求三棱锥E ABF -的体积。
【高三】吉林省长春外国语学校2021届高三上学期期中考试（数学理）试卷说明：2022-2022学年第一学期，中、高中三年级科学数学论文作者：尹璐审核人：宋志刚第一卷（多项选择题）一、多项选择题：这道主题有12道小题，每道小题5分，总共60分。
在每个子问题中给出的四个选项中，只有一个符合问题的要求。
1.如果设置，则的值为a.0b。
1C。
2D。
4设（是一个虚单位），那么a.b.c.d.让抛物线的顶点在原点，拟线性方程为，那么抛物线的方程为a.b.c.d.在以下四个函数中，最小正周期为，且图像围绕直线对称为 b.c.d.5。
已知特定几何体的三个视图。
例如，根据图中标注的尺寸（单位：），可以获得该几何体b.cd。
阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出结果为a.123b 38 c、 11 d、 37。
在以下四个命题中，一个为真的命题是a。
命题“如果x2=4，那么x=2或x=-2”的反命题是“如果x”≠ 2或X≠ - 2，然后是x2≠ 4“B.如果命题p：所有幂函数的图像仅在第四象限，命题q：所有抛物线的偏心率为1，那么问题“p和q”为真C.如果命题p:X∈ R、 x2-2x+3>0，然后：x0∈ R、 x-2x0+3b，然后an>BN（n∈ n*）可以在以下条件下判断平面α和平行平面β是aα，β垂直于平面γb。
α从三个点开始，与βC不共线。
L，M是α内部的两条直线，L‖β，M∥ βd.L，m是不同平面上的直线，L‖α，m∥ α、l∥ β、m∥ β如果平面矢量和之间的夹角为60°，则等于a.b.2c。
4d。
12通过双曲线的左焦点使圆相切，切点为e，延伸为Fe，双曲线的右分支位于点P。
如果双曲线的偏心率为b.c.d.11，那么的值范围为a.b.c.d。
12函数的图像如图所示，那么函数零点所在的区间是a.b.c.d.第二卷（非多项选择题）填空题：这道主题有4个子题，每个子题有5分，总共20分。
