图形折叠与剪切型问题解法浅析

四边形的折叠与剪拼试题赏析由于特殊的四边形具有许多的特殊性，所以命题专家常在中考命题时将特殊四边形设计为折叠或剪拼型试题，以考查同学们的动手操作、探究创新的能力．为方便同学们的学习，现以中考试题为例说明如下：一.折叠问题例1 如图1所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（）A. 70°B. 65°C. 50°D. 25°解析:∵AD ∥BC ,∴∠DEF =∠EFB ＝65°,由折叠性质可知, ∠D ′EF=∠DEF ＝65°,∴∠AED ′=180°-2∠DEF = 50°,故本题应选 C.评注:求解特殊四边形的翻折问题应注意图形在变换前后的形状、大小都不发生改变，折痕是它们的对称轴．例2 如图2,矩形纸片ABCD 中，AB=4,AD =3,折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合,折痕为DG ,则AG 的长为()A.1B.43C.32D.2解析:本题以矩形为依托,利用折叠提出问题,这种在中考中屡有出现.在解答本题时,首先要了解矩形的性质,同时要注意在折叠过程中只是部分图形的位置发生了变化,而形状和大小关系没有改变.解答时可以先利用勾股定理算出DB =5.由折叠可知3,2,A DAD A B 设4AGA Gx BGx ，，利用勾股定理列方程得:22224xx,解之得:32x.评注:有关折叠问题的计算通常要想到直角三角形，利用勾股定理构造出方程求解．二.裁剪问题例3 如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是A ．B ．C ．D ．CBDAGA图2EDBC ′FCD ′A图1解析:由于折叠的图形是正方形，所以经过两次折叠后得到的是一个等腰直角三角形，且直角的顶点是原来正方形对角线的交点，腰是正方形对角线的一半，又等腰三角形中剪去的图形是三个圆孔，那么所剪的三个圆孔的圆心所在的直线平行于等腰直角三角形的斜边(即正方形边)，而且展开后应为12个圆孔,所以观察图形只有D 图形符合要求，故应选D ．评注:“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行”．我们知道，通过动手实践获取知识,并且了解知识发生的过程，其效果胜于直接吸收书本知识,本题以学生信手拈来的纸片为道具,通过纸条的折叠考查对称思想,真正体现了动手实践的教学理念.例4 如图3，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm 解析:本题是在动手操作的基础上考查菱形的性质，具有一定的灵活性.在解答过程中,要理解菱形的对角线把菱形分割成了四个全等的直角三角形，其面积实际上就是剪下的直角三角形的面积的四倍.所以面积为:1544402.也可根据题意得AC=8,BD=10.面积为1810402.评注:通过对本题的操作，不但能使有利于培养我们的动手能力，而且还更有利于培养我们的观察分析和解决问题的能力．ABCD图3动手操作折菱形折纸是一种既有趣味性，同时也能培养我们的动手操作能力和思维能力的一种活动，通过折纸可以得到许多美丽的图案，下面就谈谈如何将三角形或矩形的纸片折出一个菱形。

折叠与剪拼问题列析平阳三中邱福强2003.4《数学科考试说明》中指出，对空间想象能力的测试是数学科考试的宗旨之一，而“能根据条件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形”是《考试说明》对“空间想象能力”的要求。

空间想象能力的最高层次应是能对题中给出的图形进行分割一分解，组合一拼补，变形一转换、位移或从不同视角观察图形，从而寻找出解题的最佳方法。

由于折叠与剪拼问题立意新颖、解法灵活，能突出对考生的空间想象能力的考查，因而备受各级考试命题者的青眯。

本文结合实例对折叠与剪拼问题进行例析，供大家在学习中参考。

一、直线的位置问题立体图形画在平面必然与实际图形产生差异，容易造成错觉，正确认识各元素的空间位置和图形的空间结构应是空间想象能力的第一层次。

解决这类问题的关键应是观察折叠或剪拼前后各种直线的位置是否发生变化，找到变的直线与不变的直线。

例1、（2001北京、内蒙古春季招生11题）右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，N N M①BM与ED平行； D C M E F②CN与BE是异面直线；E A B D C③CN与BM成600角 F A B④DM与BN垂直。

以上四个命题中，正确命题的序号是（）A、①②③B、②④C、③④D、②③④分析：如图，把正方体的平面图展开图还原到原来的正方体，显然BM与ED为异面直线，故命题①不成立；而CN与BE平行，故命题②不成立；又四个选项中仅有选项C不含②，运用排除法。

故选C。

例2（2002上海春招10题）如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对。

分析：将展开图恢复成正方体后， C A得到有AB与CD、EF与GH、AB和G D BGH三对异面直线。

H EF评注：以上两题主要考查空间想象能力和可展开立体图形的展开图和原立体图相应线段的位置关系问题。

中考数学几何折叠问题的答题技巧折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题. 考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显.这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求.折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折1800，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中折是过程，叠是结果. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用. 所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质.根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴;互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分;对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等; 对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等. 在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁.1、利用点的对称例1.(2006 年南京市)已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合.(1)如果折痕FG 分别与AD、AB 交于F、G(如图①)，AF=，求DE 的长;(2)如果折痕FG 分别与CD、AB 交于F、G(如图②)，△AED 的外接圆与直线BC 相切，求折痕FG 的长.图①中FG 是折痕，点A 与点E 重合，根据折叠的对称性,已知线段AF 的长,可得到线段EF 的长，从而将求线段的长转化到求Rt△DEF 的一条直角边DE. 图②中，连结对应点A、E，则折痕FG 垂直平分AE，取AD 的中点M，连结MO，则MO=DE，且MO∥CD，又AE 为Rt△AED 的外接圆的直径，则O 为圆心，延长MO 交BC 于N，则ONBC，MN=AB,又Rt△AED 的外接圆与直线BC 相切，所以ON 是Rt△AED 的外接圆的半径，即ON=AE，根据勾股定理可求出DE=，OE=. 通过Rt△FEO∽Rt△AED，求得FO=，从而求出EF 的长.对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 本题把折叠问题转化为轴对称问题，利用勾股定理和相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理.二、利用线段的对称性质例2.(新课标人教版数学八年级下学期P126)数学活动1：折纸做300、600、150 的角对折矩形纸片ABCD，使AD 与BC 重合，得到折痕EF，把纸片展平，再次折叠纸片，使A 点落在折痕EF 上的N 点处，并使折痕经过点B 得到折痕BM，同时得到线段BN，观察所得到的ABM、MBN和NBC，这三个角有什么关系?(教师用书中给出了这样的提示：△ABM≌△NBC，作NGBC，则直角三角形中NG=BN，从而可得ABM=MBN=NBC=300.)若这样证明则要用到：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于300. 这个定理现行教材中没有涉及到，在这儿用不太合适. 如果直接运用轴对称思想说理应该比较简洁明了：连结AN，则AN=BN，又AB=BN，所以三角形ABN 为等边三角形，所以ABM=MBN=NBC=300.利用对称的思想来证明线段的相等比用其他方法快捷而且灵活.三、利用面对称的性质例3.(2006 年临安)如图，△OAB 是边长为2 的等边三角形，其中O 是坐标原点，顶点B 在y 轴的正方向上，将△OAB 折叠，使点A 落在OB 上，记为A`点，折痕为EF. 此题中第③问是：当A`点在OB 上运动，但不与O、B 重合时，能否使△A`EF 为直角三角形?这一问题需通过分类讨论，先确定直角顶点不可能在A`处. 当△A`EF 为直角三角形，且直角顶点在F 处时，根据轴对称性质我们可以得到AFE=A`FE=900，此时A`点与B 点重合，与题目中已知相矛盾，所以直角顶点在点F 处不成立. 同理可证，直角顶点亦不可能在点E 处. 故当A`点在OB 上运动，若不与O、B 重合，则不存在这样的A`点使△A`EF 为直角三角形.在折叠问题中,利用面的对称性可得到相等的角、全等的图形和相等的面积.解决折叠问题时，首先要对图形折叠有一准确定位，把握折叠的实质，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，发现其中变化的和不变的量. 进一步发现图形中的数量关系;其次要把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题. tips:感谢大家的阅读，本文由我司收集整编。

中考数学重难点解析之折叠剪切问题作者：佚名导读：折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.武汉巨人将陆续整理中学数学考试辅导信息，供广大小学生学习使用。

一、折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD 为折痕，则∠CBD的度数为()A.60°B.75°C.90°D.95°答案：C【2】如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于()A.50°B.55°C.60°D.65°答案：A【3】用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图(1)所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=度.答案：36°二、折叠后求面积【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为()A.4B.6C.8D.10答案：C【5】如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座"小别墅"，则图中阴影部分的面积是A.2B.4C.8D.10【6】如图a，ABCD是一矩形纸片，AB=6cm，AD=8cm，E 是AD上一点，且AE=6cm。

操作：(1)将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b;(2)将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c。

则△GFC 的面积是()A.1cm2B.2cm2C.3cm2D.4cm2答案：B家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。

2020年数学竞赛初二奥数之图形的折叠与剪拼专题24 图形的折叠与剪拼阅读与思考图形的折叠是指把某个图形或部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴，在折叠过程中，线短的长度、角的度数保持不变.图形的剪拼是指对某个图形通过有限次的剪裁后重新接成另外一个新的几何图形，在剪拼过程中，原图形与新图形的面积一般保持不变.解答图形的折叠与剪拼问题，要抓住折叠与剪拼过程中一些量的不变性，将计算、推理与合情想象结合起来，常用到全等三角形、勾股定理、面积等知识与方法.折叠问题的实质是对称问题，“遇到折叠用对称”就是运用对称的性质： ① 关于一条直线对称的两个图形全等； ② 对称轴是对应点连线的中垂线.例题与求解【例1】 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在D '处，则重叠部分△AFC 的面积为＿＿＿＿＿.（山东省竞赛试题）例1题图 例2题图解题思路：△AFC 的高为BC ，只需求出AF ，注意到D '∠＝090，AF ＝FC【例2】如图，直线26y x =-+ 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，把△POQ 沿PQ 翻折，点O 落在R 处，则点R 的坐标是（ ）A .2412(,)55B .（2,1）C .（6,3）D .（7，3.5）（江苏省竞赛试题）解题思路：过点R 作x 轴，y 轴的垂线，再利用相似三角形的性质可得垂线段的长度即求得点R 的坐标.解剪拼问题时先利用剪拼后的图形所需关键线段的长度，然后，从剪拼前的图形中寻找这些长度进行剪拼.【例3】 如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在CD 边上点E 处，然后压平折痕FG ，若FG ＝13cm ，求CE 长.A（北京市竞赛试题）解题思路：由折叠可得A 与E 关于FG 对称，则FG ⊥AE ，可证明FG ＝AE ，这是解本例的关键.【例4】 将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）．（1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；（2）当1t 时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标； （3）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平行？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．（绍兴市中考试题）解题思路：对于（3），假设能，由比例线段求出t 的值，关键是看相应t 的值是否在t 的取值范围. 折纸、剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，同时说明了存在的事实是怎样被发现的，现象又是怎样获得证实的，在平面几何的一些主要学习环节发挥重要作用.【例5】 用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接一个长方形.（1）求这个长方形的长和宽； （2）请画出拼接图.（“华杯赛”决赛试题）解题思路：运用剪拼前后图形面积不变求长方形的长和宽；利用长方形对边相等的性质画拼接图.图1OP A xB DC Qy图2OPA xBC Q yE【例6】 将正方形纸片ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 交于点G.（1）如果M 为CD 边的中点，求证：DE ：DM ：EM ＝3：4：5；（2）如果M 为CD 边上的任意一点，设AB ＝2a ，问△CMG 的周长是否有与点M 的位置关系？若有关，请把△CMG 的周长用含CM 的长x 的代数式表示；若无关，请说明理由．解题思路：折痕EF 两旁部分图形是关于EF 成对称的，对于（2），通过相似三角形性质，把△CMG 的周长用相关代数式表示，解题的关键是将几何问题代数化.对于例6，如图，当M 为CD 边上的中点，则有3BCBG，即G 为BC 的三等分点，这一结果是由日本筑波大学的生物学教授芳贺和夫发现的，被称为芳贺第一定理.作深入思考，进一步挖掘还能得到如下重要结论：（1）无论怎样折叠，若点M 落在CD 上，则MG ＝DM ＋BG ；（2）无论怎样折叠，若点M 落在CD 上，连MA ，GA ，则∠MAG ＝450.能力训练1、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，若将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 的长为＿＿＿cm.(宁夏回族自治区中考试题)2、如图，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使B 点落在AD 边上的中点E 处，则折痕FG的长为_________.第1题图第2题图第3题图(淮阴市中考试题) 3、如图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个等腰梯形的上底与下底长的比是_____.(陕西省中考试题) 4、如图，EF为正方形纸ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，则∠DKG ＝_______度.(武汉市竞赛试题) 5、如图，已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝080，则∠EGC的度数为________.第4题图第5题图第6题图(台州市中考试题) 6、将一张长为70cm的长方形纸片ABCD沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是______cm.(广东省中考试题) 7、如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为( )A.3B.4C.5D.6(宜宾市中考试题) 8、如图，在△ABC中，∠C＝900，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为( )A.12B、2C、3D、4(河北省中考试题)第7题图 第8题图 第9题图9、如图，有一块菱形的草地，要在其上面修筑两条笔直的道路，道路把这块草地分成面积相等的四部分，如果道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的方案.(广西赛区选拔赛试题)10、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕(对角线)BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折线DG ，若AB ＝2，BC ＝1，求AG.(安徽省中考试题)11、如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知折痕3.4EC AE FC == ，求矩形ABCD 的周长.(厦门市中考试题)12、如图1，一张矩形纸片ABCD ，其中AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，先沿对角线BD 对折，点C 落在点C ′处的位置，BC ′交AD 于点G. (1) 求证：AG ＝G C '；(2) 如图2，再折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，EN 交AD 于点M ，求EM 的长.A'ECAD(深圳市中考试题)B级1、如图，一张宽为3，长为4的矩形纸片ABCD，先沿对角线BD对折，点C落在C′的位置，BC′交AD于G，再折叠一次使D点与A点重合，得折痕EN，EN交AD于点M，则ME的长为__________.2、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则重叠部分△AFE的面积为_________.第1题图第2题图第3题图3、如图，矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，若AD＝8，AB＝4，则DE的长为________.4、如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴上，y轴上，连结AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若B(1，2)，则点D的横坐标是______.5、如图，在平面直角坐标系中，已知直线334y x=-+与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C(0，n)是y轴上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上B′处，则点C的坐标是_________.第4题图第5题图第6题图6、如图，矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_____cm.7、在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝900，AB＝6，BC＝8，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线上的T处，折痕为MN，当点T在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为__________(计算结果不取近似值)8、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，BG＝10.（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图．求△EFG的面积；（2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长.9、如图，已知三角形纸片ABC的面积为25，BC的长为10，∠B，∠C都为锐角，M是AB边上的一动点(M与A，B不重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN＝x.(1）用x表示△AMN的面积；（2）△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM所在的平面内），设点A落在平面BCNM内的点A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y．①用含x的代数式表示y，并写出x的取值范围．②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？10、如图：一正方形纸片，根据要求进行多次分割，把它分割成若干个直角三角形．具体操作过程如下：第一次分割：将正方形纸片分成4个全等的直角三角形；第二次分割：将上次得到的直角三角形中的一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的方法重复进行．（1）请你设计出两种符合题意的分割方案（分割3次）；（2）设正方形的边长为a，请你通过对其中一种方案的操作和观察，将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积S填入下表：（3）在条件（2）下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系？用数学表达式表示出来．11、如图1，将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠(点E ，F 分别在边AB ，CD 上)，使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连结EP .(1)如图②，若M 为AD 边的中点， ① △AEM 的周长＝_________cm ； ② 求证：EP ＝AE ＋DP ； （2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A 、D 重合），△PDM 的周长是否发生变化？请说明理由.12、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，点P 在线段AB 上运动，设AP ＝x ，现将纸片折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF (点E ，F 为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原.（1）当0 x 时，折痕EF 的长为________；（2）写出使四边形EPFD 为菱形的x 的取值范围，并求出当x ＝2时菱形的边长；（3）令2EF ＝y ，当点E 在AD 上、点F 在BC 上时，写出y 与x 的函数关系式（写出x 的取值范围），当y 取最大值时，判断△EAP 与△PBF 是否相似．若相似，求出x 的值；若不相似，请说明理由.专题24 图形的折叠与剪拼例1 10例2 A 提示：作RE ⊥y 轴于E ，RF ⊥x 轴于F ，则Rt △QRE ∽Rt △PRF ，从而PFQERF RE PR QR ==，设R (x ，y )，又PR ＝OP ＝3，QR ＝OQ ＝6，于是3636--==x y y x ，得x ＝524，y ＝512． 例3 7 提示：过F 作FM ⊥BC 于M ，证明△FGM ≌△ADE ，则FG ＝AE ＝13，DE ＝5例4 （1）OP ＝6－t ，OQ ＝t ＋32（2）D (1，3) （3）①PQ 能与AC 平行，若PQ ∥AC ，则OC OA OQ OP =，即326+-t t ＝36．得t ＝914，而0≤t ≤37，∴t ＝914． ②PE 不能与AC 垂直．若PE ⊥AC ，延长QE 交OA 于F ，则OC OQ AC QF =，即33253+=t QF，QF ＝5(t ＋32)．∴EF ＝QF －QE ＝QF －OQ ＝5(t ＋32)－(t ＋32)＝(5－1)t ＋32(5－1)． 又Rt △EPF ∽Rt △OCA ，∴OA OC EF PE =，即63)32)(15(6=+--t t ，t ≈3.45，而0≤t ≤37，∴t 不存在． 例5 （1）10个正方形的面积和：32＋52＋62＋112＋172＋192＋222＋232＋242＋252＝3055＝5×13×47． 因为所拼成的长方形面积是3055．长方形的宽显然≥25，所以它的宽应当是47，长应当是5×13＝65．（2）注意23+24=47,25+22=47,23+17+25=65,24+19+22=65.由此便可得拼图.（图略）例6 提示：（1）证明：设正方形边长为a ，DE 为x ，则DM =，EM=EA=a-x .在Rt △DEM 中，∠D =90°，∴,DE -2.+,DM -2.=,EM -2.，∴,x-2.+,,,a -2..-2.=，∴，EM=,5-8.a ，∴DE ：DM ：EM=：：,5-8.a =3:4:5（2）设DE=y ，则DM=2a-x ，EM=2a-y ，可证明△DEM ∽△CMG.,△CMG 周长-△DEM 周长.=,CM -DE .=,x -y .△CMG 的周长，在△DEM 中，由勾股定理得,（2a−y ）-2.=,y -2.+,（2a−x ）-2.，化简得4ay =x（4a-x ）即. ∴△CMG 的周长=,4a -4a−x .∙（y+2a-x+2a-y ）=（4a-x ）=4a ，为定值.A 级1. 2.,65-6. 3.1:2 4.75° 5.80° 6.10 提示：长方形纸片折叠时，AB 与CD 间的距离缩短了10cm 。

三角形折叠问题解题技巧
三角形折叠问题是一种常见的几何问题，它的解题技巧也有很多种。

本文将介绍一些解决三角形折叠问题的技巧和方法，帮助读者更好地理解和解决这类问题。

1. 观察三角形的形状和特征
在解决三角形折叠问题时，首先需要观察三角形的形状和特征。

三角形的形状和大小不同，折叠方式也会有所不同。

如果三角形是等边三角形，那么可以通过将三角形对折来确定对称轴，从而确定折叠的方向和方式。

2. 利用对称性质
三角形具有对称性，这也是解决三角形折叠问题的重要技巧之一。

利用对称性质，可以确定三角形的对称轴，并通过对折或旋转来确定折叠方式。

3. 利用三角形的三边关系
在解决三角形折叠问题时，还可以利用三角形的三边关系。

例如，如果已知三角形的三边长度，可以通过计算三角形的面积来确定折叠后
的形状和大小。

4. 利用平行四边形的性质
在一些情况下，三角形折叠问题可以转化为平行四边形折叠问题。

例如，如果已知三角形的一条边平行于另一条边，那么可以将三角形折叠为一个平行四边形，并利用平行四边形的性质来解决问题。

5. 利用剪裁和组合
在解决三角形折叠问题时，还可以利用剪裁和组合的方法。

例如，可以将三角形剪裁成一个矩形和两个三角形，然后将其组合成一个更简单的形状，再对其进行折叠。

这种方法可以大大简化问题的难度和复杂度。

综上所述，解决三角形折叠问题需要观察三角形的形状和特征，利用对称性质和三角形的三边关系，以及利用剪裁和组合的方法。

通过掌握这些技巧和方法，读者可以更好地解决三角形折叠问题，并提高其几何解题能力。

初中自招必备领先一步专题24 图形的折叠与剪拼阅读与思考图形的折叠是指把某个图形或部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴，在折叠过程中，线短的长度、角的度数保持不变.图形的剪拼是指对某个图形通过有限次的剪裁后重新接成另外一个新的几何图形，在剪拼过程中，原图形与新图形的面积一般保持不变.解答图形的折叠与剪拼问题，要抓住折叠与剪拼过程中一些量的不变性，将计算、推理与合情想象结合起来，常用到全等三角形、勾股定理、面积等知识与方法.折叠问题的实质是对称问题，“遇到折叠用对称”就是运用对称的性质：① 关于一条直线对称的两个图形全等；② 对称轴是对应点连线的中垂线.例题与求解【例1】 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在D '处，则重叠部分△AFC 的面积为＿＿＿＿＿.（山东省竞赛试题）A例1题图 例2题图解题思路：△AFC 的高为BC ，只需求出AF ，注意到D '∠＝090，AF ＝FC【例2】如图，直线26y x =-+ 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，把△POQ 沿PQ 翻折，点O 落在R 处，则点R 的坐标是（ ）A .2412(,)55B .（2,1）C .（6,3）D .（7，3.5）（江苏省竞赛试题）解题思路：过点R 作x 轴，y 轴的垂线，再利用相似三角形的性质可得垂线段的长度即求初中自招必备领先一步解剪拼问题时先利用剪拼后的图形所需关键线段的长度，然后，从剪拼前的图形中寻找这些长度进行剪拼.【例3】 如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在CD 边上点E 处，然后压平折痕FG ，若FG ＝13cm ，求CE 长.（北京市竞赛试题）解题思路：由折叠可得A 与E 关于FG 对称，则FG ⊥AE ，可证明FG ＝AE ，这是解本例的关键.【例4】 将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．动点Q从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）． （1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；（2）当1t 时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；（3）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平行？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．图1初中自招必备领先一步解题思路：对于（3），假设能，由比例线段求出t的值，关键是看相应t的值是否在t的取值范围.折纸、剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，同时说明了存在的事实是怎样被发现的，现象又是怎样获得证实的，在平面几何的一些主要学习环节发挥重要作用.【例5】用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接一个长方形.（1）求这个长方形的长和宽；（2）请画出拼接图.（“华杯赛”决赛试题）解题思路：运用剪拼前后图形面积不变求长方形的长和宽；利用长方形对边相等的性质画拼接图.【例6】将正方形纸片ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC交于点G.（1）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM＝3：4：5；（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB＝2a，问△CMG的周长是否有与点M的位置关系？若有关，请把△CMG的周长用含CM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．解题思路：折痕EF两旁部分图形是关于EF成对称的，对于（2），通过相似三角形性质，把△CMG的周长用相关代数式表示，解题的关键是将几何问题代数化.初中自招必备领先一步对于例6，如图，当M 为CD 边上的中点，则有3BC BG ，即G 为BC 的三等分点，这一结果是由日本筑波大学的生物学教授芳贺和夫发现的，被称为芳贺第一定理.作深入思考，进一步挖掘还能得到如下重要结论：（1）无论怎样折叠，若点M 落在CD 上，则MG ＝DM ＋BG ；（2）无论怎样折叠，若点M 落在CD 上，连MA ，GA ，则∠MAG ＝450.能力训练1、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，若将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 的长为＿＿＿cm.(宁夏回族自治区中考试题)2、如图，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使B 点落在AD 边上的中点E 处，则折痕FG 的长为_________.第1题图 第2题图 第3题图(淮阴市中考试题)3、如图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个等腰梯形的上底与下底长的比是_____.(陕西省中考试题)4、如图，EF 为正方形纸ABCD 的对折线，将∠A 沿DK 折叠，使它的顶点A 落在EF 上的G 点，则∠DKG ＝_______度.(武汉市竞赛试题)5、如图，已知等边△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ′处，DB ′，EB ′分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF ＝080，则∠EGC 的度数为________.初中自招必备领先一步第4题图第5题图第6题图(台州市中考试题) 6、将一张长为70cm的长方形纸片ABCD沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是______cm.(广东省中考试题) 7、如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为( )A.3B.4C.5D.6(宜宾市中考试题) 8、如图，在△ABC中，∠C＝900，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为( )A.12B、2C、3D、4(河北省中考试题)EA第7题图第8题图第9题图9、如图，有一块菱形的草地，要在其上面修筑两条笔直的道路，道路把这块草地分成面积相等的四部分，如果道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的方案.(广西赛区选拔赛试题)初中自招必备领先一步10、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕(对角线)BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折线DG ，若AB ＝2，BC ＝1，求AG.(安徽省中考试题)11、如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知折痕3.4EC AE FC == ，求矩形ABCD 的周长. (厦门市中考试题)12、如图1，一张矩形纸片ABCD ，其中AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，先沿对角线BD 对折，点C 落在点C ′处的位置，BC ′交AD 于点G.(1) 求证：AG ＝G C '；(2) 如图2，再折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，EN 交AD 于点M ，求EM 的长.(深圳市中考试题)初中自招必备领先一步B级1、如图，一张宽为3，长为4的矩形纸片ABCD，先沿对角线BD对折，点C落在C′的位置，BC′交AD于G，再折叠一次使D点与A点重合，得折痕EN，EN交AD于点M，则ME 的长为__________.2、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则重叠部分△AFE的面积为_________.第1题图第2题图第3题图3、如图，矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，若AD＝8，AB＝4，则DE的长为________.4、如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴上，y轴上，连结AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若B(1，2)，则点D的横坐标是______.5、如图，在平面直角坐标系中，已知直线334y x=-+与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C(0，n)是y轴上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上B′处，则点C的坐标是_________.第4题图第5题图第6题图6、如图，矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_____cm.初中自招必备领先一步7、在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝900，AB＝6，BC＝8，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线上的T处，折痕为MN，当点T在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动，则线段AT 长度的最大值与最小值之和为__________(计算结果不取近似值)8、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，BG＝10.（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图．求△EFG的面积；（2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF 的长.9、如图，已知三角形纸片ABC的面积为25，BC的长为10，∠B，∠C都为锐角，M是AB 边上的一动点(M与A，B不重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN＝x.(1）用x表示△AMN的面积；（2）△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM 所在的平面内），设点A落在平面BCNM内的点A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y．①用含x的代数式表示y，并写出x的取值范围．②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？初中自招必备领先一步10、如图：一正方形纸片，根据要求进行多次分割，把它分割成若干个直角三角形．具体操作过程如下：第一次分割：将正方形纸片分成4个全等的直角三角形；第二次分割：将上次得到的直角三角形中的一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的方法重复进行．（1）请你设计出两种符合题意的分割方案（分割3次）；（2）设正方形的边长为a，请你通过对其中一种方案的操作和观察，将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积S填入下表：（3）在条件（2）下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系？用数学表达式表示出来．初中自招必备领先一步11、如图1，将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠(点E ，F 分别在边AB ，CD 上)，使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连结EP .(1)如图②，若M 为AD 边的中点，① △AEM 的周长＝_________cm ；② 求证：EP ＝AE ＋DP ；（2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A 、D 重合），△PDM 的周长是否发生变化？请说明理由.12、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，点P 在线段AB 上运动，设AP ＝x ，现将纸片折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF (点E ，F 为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原.（1）当0 x 时，折痕EF 的长为________；（2）写出使四边形EPFD 为菱形的x 的取值范围，并求出当x ＝2时菱形的边长；（3）令2EF ＝y ，当点E 在AD 上、点F 在BC 上时，写出y 与x 的函数关系式（写出x 的取值范围），当y 取最大值时，判断△EAP 与△PBF 是否相似．若相似，求出x 的值；若不相似，请说明理由.初中自招必备领先一步。

图形的折叠、剪拼与分割一页普通的纸，童年时我们用稚气的双手把它折成有趣的动物，民间艺人可以把它剪成美丽的图案．折纸与剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，是丰富想象力与心灵手巧的结合．对图形进行折叠与剪拼，是学习几何不可或缺的重要一环，通过折叠与剪拼图形，我们可以发现一些几何结论并知晓这些结论是怎样被证明的．把图形或部分沿某直线翻折叫图形的折叠，对图形通过有限次的剪裁再重新拼接成新的图形叫图形的剪拼．解与图形折叠或剪拼相关的问题，利用不变量解题是关键，在折叠过程中，线段的长度、角的度数保持不变；在剪拼过程中，新图形与原图形的面积一般保持不变．例题求解【例1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于．(2002年南通市中考题)思路点拨设CD=x，由折叠的性质实现等量转换，将条件集中到Rt△BDE中，建立x的方程．注图形折叠与剪拼问题可考壹我们的动手操作能力和分析推理能力，解题时需要把计算、推理与合情想象结合起来．折叠问题可以对称观点认识：(1)折痕两边是全等的；(2)对应点连线被折痕垂直平分．解折叠问题常用到勾股定理、相似形、方程思想等知识与方法．【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( )A．12 D10 C．8 D．6 (2004年武汉市选拔赛试题)思路点拨只需求出AF长即可．【例3】取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，如图1；第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为B ′，得Rt △AB'E ，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF ，如图3．利用展开图4探究：(1)△AEF 是什么三角形?证明你的结论．(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由．(2003年山西省中考题)思路点拨 本例没有现成的结论，需经历实验、观察、猜想、证明等数学活动，从而探究得到结论．【例4】如图，是从边长为40cm 、宽为30cm 的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm 、宽为10cm 的矩形后，剩下的一块下脚料．工人师傅要将它作适当地切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件．(1)请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案(在图2和图3中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹)；(2)比较(1)中的两种方案，哪种更好一些?说说你的看法和理由．(2002年山东省中考题)思路点拨 拼接后正方形的边长为221030 ㎝，它恰是以30cm 和10cm 为两直角边的直角三角形的斜边的长，为此可考虑设法在原钢板上构造两直角边长分别为30㎝和l0cm 的直角三角形，这是解本例的关键．注 有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，应该通过观察、实验、操作、猜测、验证、推理等数学活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，从而使知识得到内化，形成能力．近年中考中涌现的设计新颖、富有创意的折叠、剪拼与分割等问题，注重对动手实践操作、应用意识、学习潜能的考查．【例5】 用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接成一个矩形．(1)求这个矩形的长和宽；(2)请画出拼接图．思路点拨 利用拼接前后图形面积不变求矩形的长和宽；运用矩形对边相等这一性质画拼接图．【例6】 如图，已知△ABC 中，∠B=∠C=30°，请设计三种不同的分法，将△ABC 分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形．请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数(或记号)．(画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法) (2003年温州市中考题)思路点拨 充分运用几何计算、推理和作图，综合运用动手操作、空间想象、解决问题．学历训练1． 将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕，如果对折n 次，可以得到 条折痕．(2002年南宁市中考题)2．一张直角三角形的纸片，像图中那样折叠，使两个锐角顶点A 、B 重合，若∠B=30°，AC=3，则折痕DE 的长等于 ． (2003年三明市中考题)3．如图，将一块长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折至DC 边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则线段PM= ．（第2题） （第3题） （第6题）4．在△ABC 中，已知AB=20，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小三角形ACD 与三角形BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的41，有如下结论：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于223a ；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等，其中，正确结论有个．(2003年天津市中考题)5．将四个相同的矩形(长是宽的3倍)，用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得大矩形的面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有( )A．1种B．2种C．3种D．4种(2003年南昌市中考题)6．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( ) A．∠A=∠1+∠2; B．2∠A＝∠1+∠2;C．3∠A＝2∠1+∠2; D．3∠A=2(∠l+∠2). (2003年北京市海淀区中考题)7．将一张矩形纸对折再对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分．将①展开后得到的平面图形是( )A．矩形B．三角形C．梯形D．菱形(2003年陕西省中考题)8．如图1，小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图2，再对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是( ) (2003年济南市中考题)9．如图，东风汽车公司冲压厂冲压汽车零件的废料都是等腰三角形的小钢板，其中AB=AC，该冲压厂为了降低汽车零件成本，变废为宝，把这些废料再加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件，销售给红星农业机械厂，这些零件的形状都是矩形．现在要把如图所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每次切割的次数最多两次(切割的损失可忽略不计)．(1)请你设计两种不同的切割焊接方案，并用简要的文字加以说明；(2)若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件(只切割一次)，则该三角形需满足什么条件? (2003年十堰市中考题)10．如图，ABCD是矩形纸片，E是AB上一点，且BE：EA＝5：3，EC=155，把△BCE 沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，求AB、BC的长．11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC=5，现将它折叠，使点B与点C重合，则折痕的长是．(2003年四川省竞赛题)（第11题）（第12题）（第13题）12．如图，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A，处，第二次过A，再折叠，使折痕DE∥BC，若AB=2，AC=3，则梯形BDEC的面积为．(2002年“宇振杯”上海市竞赛题)13．如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于．(第12届“希望杯”邀请赛试题)14．要剪切如图l(尺寸单位mm)所示的两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等．有两种面积相等的矩形铝板，第一种长500mm，宽300mm(如图2)；第二种长600mm，宽250mm(如图3)；可供选用．(1)填空：为了充分利用材料，应选用第种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共个，剪出这些零件后，剩余的边角料的面积是mm2．(2)画图，从图2或图3中选出你要用的铝板示意图，在上面画出剪切线，并把边角余料用阴影表示出来．15．如图，EF为正方形ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠使它的顶点A落在EF上的G 点，则∠DKG为( )A．15°B．30°C．55°D．75°（第15题）（第16）16．某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=30㎝，AB=50cm，依次裁下宽为1㎝的矩形纸条a1，a2，a3，…，若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A．24 B．25 C．26 D．27 (2001年山东省济南市中考题) 17．如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a＝1，则这个正方形的面积为( )A．2537+B．253+C．251+D．2)21(+. (2003年山东省竞赛题)、。

三年级折叠问题巧妙解题技巧
在三年级数学中，折叠问题是一个常见的题型。

这类问题通常涉及到图形折叠后的形状和大小变化。

为了更好地解决这类问题，我们需要掌握一些解题技巧。

解题技巧：
1. 理解折叠原理：折叠图形时，相对的两边会重合，而相对的两角会重合。

因此，在折叠前后的图形中，线段长度和角度大小是不变的。

2. 画图分析：通过画图可以帮助我们更好地理解题目的要求和图形的变化。

在画图时，要特别注意折叠后的图形与原图的关系，以及线段和角度的变化。

3. 利用已知条件：题目中通常会给出一些已知条件，如线段的长度、角度的大小等。

这些条件可以帮助我们确定折叠后的图形形状和大小。

4. 逻辑推理：在解决折叠问题时，逻辑推理是非常重要的。

我们需要根据已知条件和图形变化规律，逐步推导出未知的答案。

5. 反复练习：通过反复练习，我们可以加深对折叠问题的理解，提高解题速度和准确性。

示例题目：
1. 把一张长方形纸对折，每份是它的(1/2)，这张纸被折成多少份？
答案：2份
2. 把一张正方形纸对折两次，每份是它的多少？
答案：(1/4)
通过掌握这些解题技巧，我们可以更好地解决三年级数学中的折叠问题。

数学折叠问题解题思路折纸问题是数学中一个非常有趣的分支，它不仅能够让我们深入理解数学的几何概念，还能够启发我们思考和解决实际问题。

其中，数学折叠问题因其直观、有趣和实用而备受瞩目。

在本文中，我们将深入探讨数学折叠问题的解题思路以及如何通过数学折叠问题更好地理解抽象概念。

一、什么是数学折叠问题？数学折叠问题（origami），顾名思义，是指利用折纸来模拟和解决数学问题的一种方法。

在这些问题中，我们通常会用一张平面纸或一条带子，通过折叠或切割等方法，构造出具有一定几何形状或特性的结构。

同时，这些结构也可以被视为数学中的几何图形，具有一系列性质和关系。

举例来说，我们可以通过折纸的方法构造出各种不同形状的三角形、正方形、五边形等几何图形。

我们也可以利用折纸的方法来解决一些有趣的几何问题，例如黄金分割、对称性和模等等。

同时，在实际应用中，数学折叠问题也常常可以帮助我们解决各种实际问题，例如包装设计、建筑结构和无人机机翼设计等等。

二、解决数学折叠问题的思路要解决数学折叠问题，我们需要把它们抽象化，转化为数学模型。

然后，我们可以利用数学方法来分析和求解这些模型。

解决数学折叠问题的具体步骤如下：1. 构造模型在解决数学折叠问题之前，我们首先需要构造一个几何模型。

这个模型应该直观易懂，能够较好地反映出实际问题的本质。

同时，为了避免出现误解和模糊，我们需要确保模型的各个细节都被准确地描述出来。

2. 定义问题一旦我们有了几何模型，我们就需要明确问题，即要求解的目标。

不同的问题会有不同的定义方式，通常需要我们用数学符号和语言进行精确描述。

3. 分析问题在定义问题之后，我们需要通过分析模型和问题，来找到一些潜在的解决方法和路径。

这个过程中，我们需要运用数学知识和技巧，例如计算几何、向量和三角几何等等。

同时，我们也需要注意处理问题中可能出现的特殊情况和边界条件。

4. 求解问题一旦我们找到了解决问题的方法和路径，我们就可以开始具体的求解过程。