中考数学专题复习(折叠剪切问题)

折叠问题一、选择题1.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A. 78°B. 7 5°C. 60°D. 45°2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使DA与对角线DB重合，点A落在点A′处，折痕为DE，则A′G的长是A. 1B.C.D. 23.如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，E为AD边上一点，且AE= AB，连结BE，将△ABE沿BE翻折，若点A 恰好落在CE上点F处，则∠CBF的余弦值为（）A. B.C.D.4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=8，折叠该纸片，使得AB边落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，则线段EF的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 65.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，沿DE所在直线折叠，使点B恰好与点A重合，若CD=2，则AB的值为（）A. B.4 C.D. 8二、填空题6.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点N是线段BC上的一个动点，将△ACN沿AN折叠，使点C落在点C'处，当△NC'B是直角三角形时，CN的长为________．7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2 ，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的周长不变；③点C到线段EF的最大距离为1．其中正确的结论有________．（填写所有正确结论的序号）8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2 ，AC=2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE的长为________．9.如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=6，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点F为CD上一个动点，把△BCF沿BF折叠，当点D的对应点和点C的对应点都落在点D′处时，EF的长为________．10.矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=________ cm．11.如图，在▱ABCD中，AB=，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________.12.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′的度数为________.13.已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为________14.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为________．15.如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接、，若，，，则________（结果保留根号）．三、综合题16.已知将一矩形纸片ABCD折叠，使顶点A与C重合，折痕为EF．（1）求证：CE=CF；（2）若AB =8 cm，BC=16 cm，连接AF，写出求四边形AFCE面积的思路．17.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．折叠纸片使点B落在AD上，落点为B′．点B′从点A开始沿AD移动，折痕所在直线l的位置也随之改变，当直线l经过点A时，点B′停止移动，连接BB′．设直线l与AB相交于点E，与CD所在直线相交于点F，点B′的移动距离为x，点F与点C的距离为y．（1）求证：∠BEF=∠AB′B；（2）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．参考答案一、选择题1. B2. C3.B4.A5. C二、填空题6.或7.①③8.3或9. 10.5.811.3 12.50° 13.80° 14.或15 15.三、综合题16.（1）证明：∵矩形纸片ABCD折叠，顶点A与C重合，折痕为EF，∴∠1=∠2，AD∥BC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴CE=CF．（2）解：思路：连接AF① 由矩形纸片ABCD折叠，易证四边形AFCE为平行四边形；② Rt△CED中，设DE为x，则CE为16-x，CD=8，根据勾股定理列方程可求得DE，CE的长；③由CF=CE，可得CF的长；运用平行四边形面积公式计算CF×CD可得四边形AFCE的面积．17.（1）证明：如图，由四边形ABCD是矩形和折叠的性质可知，BE=B′E，∠BEF=∠B′EF，∴在等腰△BEB′中，EF是角平分线，∴EF⊥BB′，∠BOE=90°，∴∠ABB′+∠BEF=90°，∵∠ABB′+∠AB′B=90°，∴∠BEF=∠AB′B；（2）解：①当点F在CD之间时，如图1，作FM⊥AB交AB于点M，∵AB=6，BE=EB′，AB′=x，BM=FC=y，∴在Rt△EAB′中，EB′2=AE2+AB′2，∴（6﹣AE）2=AE2+x2解得AE=，tan∠AB′B==，tan∠BEF==，∵由（1）知∠BEF=∠AB′B，∴=，化简，得y=x2﹣x+3，（0＜x≤8﹣2）②当点F在点C下方时，如图2所示．设直线EF与BC交于点K设∠ABB′=∠BKE=∠CKF=θ，则tanθ==．BK=，CK=BC﹣BK=8﹣．∴CF=CK•tanθ=（8﹣）•tanθ=8tanθ﹣BE=x﹣BE．在Rt△EAB′中，EB′2=AE2+AB′2，∴（6﹣BE）2+x2=BE2解得BE=．∴CF=x﹣BE=x﹣=﹣x2+x﹣3 ∴y=﹣x2+x﹣3（8﹣2＜x≤6）综上所述，y=．。

2012年全国中考数学试题分类解析汇编159套63专题专题31：折叠问题一、选择题1. 2012广东梅州3分如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D、E分别是边AB、AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,A与A′重合,若∠A=75°,则∠1+∠2= A．150°B．210°C．105°D．75°答案A;考点翻折变换折叠问题,三角形内角和定理;分析∵△A′DE是△ABC翻折变换而成,∴∠AED=∠A′ED,∠ADE=∠A′DE,∠A=∠A′=75°;∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°,∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°;故选A;2. 2012江苏南京2分如图,菱形纸片ABCD中,∠A=600,将纸片折叠,点A、D分别落在A’、D’处,且A’D’经过B,EF为折痕,当D’F⊥CD时,CFFD的值为A. 312-B.36C.2316-D.318+答案A;考点翻折变换折叠问题,菱形的性质,平行的性质,折叠的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值;分析延长DC与A′D′,交于点M,∵在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,∴∠DCB=∠A=60°,AB∥CD;∴∠D=180°-∠A=120°;根据折叠的性质,可得∠A′D′F=∠D=120°,∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°;∵D′F⊥CD,∴∠D′FM=90°,∠M=90°-∠FD′M=30°;∵∠BCM=180°-∠BCD=120°,∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°;∴∠CBM=∠M;∴BC=CM;设CF=x,D′F=DF=y, 则BC=CM=CD=CF+DF=x+y;∴FM=CM+CF=2x+y,在Rt△D′FM 中,tan∠M=tan30°=D F y FM 2x y '==+x =;∴CF x FD y ==;故选A; 3. 2012江苏连云港3分小明在学习“锐角三角函数”中发现,将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠,使点A 落在BC 上的点E 处,还原后,再沿过点E 的直线折叠,使点A 落在BC 上的点F 处,这样就可以求出°角的正切值是A ＋1B ＋1C ．D 答案B;考点翻折变换折叠问题,折叠的性质,矩形的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,锐角三角函数定义,勾股定理;分析∵将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠,使点A 落在BC 上的点E 处,∴AB＝BE,∠AEB＝∠EAB＝45°,∵还原后,再沿过点E 的直线折叠,使点A 落在BC 上的点F 处, ∴AE＝EF,∠EAF＝∠EFA＝0452＝°;∴∠FAB＝°;设AB ＝x,则AE ＝EF x,∴°＝tan∠FAB＝t FB 1AB x==;故选B; 4. 2012广东河源3分如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC 纸片,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,将△ABC 沿着DE 折叠压平,A 与A′重合．若∠A＝75o,则∠1＋∠2＝A ．150oB ．210oC ．105oD ．75o答案A;考点折叠的性质,平角的定义,多边形内角和定理;分析根据折叠对称的性质,∠A′＝∠A＝75o;根据平角的定义和多边形内角和定理,得∠1＋∠2＝1800－∠ADA′＋1800－∠AEA′＝3600－∠ADA′＋∠AEA′＝∠A′＋∠A＝1500;故选A;5. 2012福建南平4分如图,正方形纸片ABCD的边长为3,点E、F分别在边BC、CD上,将AB、AD分别和AE、AF折叠,点B、D恰好都将在点G处,已知BE=1,则EF的长为A．32B．52C．94D．3答案B;考点翻折变换折叠问题,正方形的性质,折叠的性质,勾股定理;分析∵正方形纸片ABCD的边长为3,∴∠C=90°,BC=CD=3;根据折叠的性质得：EG=BE=1,GF=DF;设DF=x,则EF=EG＋GF=1＋x,FC=DC－DF=3－x,EC=BC－BE=3－1=2;在Rt△EFC中,EF2=EC2＋FC2,即x＋12=22＋3－x2,解得：3x2 =;∴DF=32,EF=1＋35=22;故选B;6. 2012湖北武汉3分如图,矩形ABCD中,点E在边AB上,将矩形ABCD沿直线DE折叠,点A 恰好落在边BC的点F处．若AE＝5,BF＝3,则CD的长是A．7 B．8 C．9 D．10答案C;考点折叠的性质,矩形的性质,勾股定理;分析根据折叠的性质,EF=AE＝5；根据矩形的性质,∠B=900;在Rt△BEF中,∠B=900,EF＝5,BF＝3,∴根据勾股定理,得BE4;∴CD=AB=AE＋BE=5＋4=9;故选C;7. 2012湖北黄石3分如图所示,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8 cm,现将其沿EF对折,使得点C与点A重合,则AF长为A. 25cm8B.25cm4C.25cm2D. 8cm答案B;考点翻折变换折叠问题,折叠对称的性质,矩形的性质,勾股定理;分析设AF=xcm,则DF=8-xcm,∵矩形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,现将其沿EF对折,使得点C与点A重合,∴DF=D′F,在Rt△AD′F 中,∵AF 2=AD′2＋D′F 2,即x 2=62＋8－x 2,解得：x=()25cm 4;故选B; 8. 2012湖北荆门3分如图,已知正方形ABCD 的对角线长为2,将正方形ABCD 沿直线EF 折叠,则图中阴影部分的周长为A ． 8B ． 4C ． 8D ． 6答案C; 考点翻折变换折叠问题,折叠的对称性质,正方形的性质,勾股定理;分析如图,∵正方形ABCD 的对角线长为22,即BD=22,∠A=90°,AB=AD,∠ABD=45°,∴AB=BDcos∠ABD=BDcos45°=222=22⨯; ∴AB=BC=CD=AD=2;由折叠的性质：A′M=AM,D′N=DN,A′D′=AD,∴图中阴影部分的周长为A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8;故选C;9. 2012四川内江3分如图,在矩形ABCD 中,AB=10,BC=5点E 、F 分别在AB 、CD 上,将矩形ABCD 沿EF 折叠,使点A 、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A 1、D 1处,则阴影部分图形的周长为答案D;考点翻折变换折叠问题,矩形和折叠的性质;分析根据矩形和折叠的性质,得A 1E=AE,A 1D 1=AD,D 1F=DF,则阴影部分的周长即为矩形的周长,为210+5=30;故选D;10. 2012四川资阳3分如图,在△ABC 中,∠C＝90°,将△ABC 沿直线MN 翻折后,顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处,已知MN∥AB,MC＝6,NC ＝23,则四边形MABN 的面积是A ．63B ．123C ．183D ．243答案C;考点翻折变换折叠问题,折叠对称的性质,相似三角形的判定和性质,分析连接CD,交MN 于E,∵将△ABC 沿直线MN 翻折后,顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处,∴MN⊥CD,且CE=DE;∴CD=2CE;∵MN∥AB,∴CD⊥AB;∴△CMN∽△CAB; ∴2CMN CAB S CE 1S CD 4∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭; ∵在△CMN 中,∠C=90°,MC=6,NC=23 ,∴CMN 11S CM CN 62 3 6 322∆=⋅=⨯⨯= ∴CAB CMN S 4S 46 3 24 3∆∆==⨯=;∴CAB CMN MABN S S S 24 36 318 3∆∆=-=-=四形边;故选C;11. 2012贵州黔东南4分如图,矩形ABCD 边AD 沿拆痕AE 折叠,使点D 落在BC 上的F 处,已知AB=6,△ABF 的面积是24,则FC 等于A ．1B ．2C ．3D ．4答案B;考点翻折变换折叠问题,折叠的性质,矩形的性质,勾股定理;分析由四边形ABCD 是矩形与AB=6,△ABF 的面积是24,易求得BF 的长,然后由勾股定理,求得AF 的长,根据折叠的性质,即可求得AD,BC 的长,从而求得答案：∵四边形ABCD 是矩形,∴∠B=90°,AD=BC;∵AB=6,∴S △ABF =12ABBF=12×6×BF=24;∴BF=8; ∴2222AF AB BF 6810=+=+=;由折叠的性质：AD=AF=10,∴BC=AD=10;∴FC=BC﹣BF=10﹣8=2;故选B;12. 2012贵州遵义3分如图,矩形ABCD 中,E 是AD 的中点,将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE,延长BG 交CD 于F 点,若CF=1,FD=2,则BC 的长为A ．32B ．26C ．25D ．23答案B;考点翻折变换折叠问题,矩形的性质和判定,折叠对称的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理;分析过点E 作EM⊥BC 于M,交BF 于N;∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A=∠ABC=90°,AD=BC,∵∠EMB=90°,∴四边形ABME 是矩形;∴AE=BM,由折叠的性质得：AE=GE,∠EGN=∠A=90°,∴EG=BM;∵∠ENG=∠BNM,∴△ENG≌△BNMAAS;∴NG=NM;∵E 是AD 的中点,CM=DE,∴AE=ED=BM=CM;∵EM∥CD,∴BN：NF=BM ：CM;∴BN=NF;∴NM=12CF=12;∴NG=12; ∵BG=AB=CD=CF+DF=3,∴BN=BG﹣NG=3﹣1522=;∴BF=2BN=5∴BC ==故选B;13. 2012山东泰安3分如图,将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠,使点B 与CD 的中点重合,若AB=2,BC=3,则△FCB′与△B′DG 的面积之比为A ．9：4B ．3：2C ．4：3D ．16：9答案D;考点翻折变换折叠问题,折叠对称的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质;分析设BF=x,则由BC=3得：CF=3﹣x,由折叠对称的性质得：B′F=x;∵点B′为CD 的中点,AB=DC=2,∴B′C=1;在Rt△B′CF 中,B′F 2=B′C 2+CF 2,即22x 1(3x)=+-,解得：5x 3=,即可得CF=54333-=; ∵∠DB′G=∠DGB′=90°,∠DB′G+∠CB′F=90°,∴∠DGB′=∠CB′F;∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′;根据面积比等于相似比的平方可得： 22PCB B DG S FC 416()S B D 39∆'∆'⎛⎫=== ⎪'⎝⎭;故选D; 14. 2012山东潍坊3分已知矩形ABCD 中,AB=1,在BC 上取一点E,沿AE 将ΔABE 向上折叠,使B 点落在AD 上的F 点,若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似,则AD= ．AD ．2 答案B;考点翻折变换折叠问题,折叠的性质,矩形的性质,正方形的判定和性质,相似多边形的性质; 分析∵矩形ABCD 中,AF 由AB 折叠而得,∴ABEF 是正方形;又∵AB=1,∴AF= AB=EF=1;设AD=x,则FD=x －1;∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似,∴EF AD FD AB =,即1x x 11=-; 解得115?x =2+,215x =2-负值舍去; 经检验115x 2+=是原方程的解;故选B; 15. 2012广西河池3分如图,在矩形ABCD 中,AD ＞AB,将矩形ABCD 折叠,使点C 与点A 重合, 折痕为MN,连结CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1︰4,则MN BM 的值为 A ．2B ．4C ．25D ．26 答案D;考点翻折变换折叠问题,折叠的性质,矩形、菱形的判定和性质,勾股定理;分析过点N 作NG⊥BC 于G,由四边形ABCD 是矩形,易得四边形CDNG 是矩形,又由折叠的性质,可得四边形AMCN 是菱形,由△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：4,根据等高三角形的面积比等于对应底的比,可得DN ：CM=1：4,然后设DN=x,由勾股定理可求得MN 的长,从而求得答案：过点N 作NG⊥BC 于G,∵四边形ABCD 是矩形,∴四边形CDNG 是矩形,AD∥BC;∴CD=NG,CG=DN,∠ANM=∠CMN;由折叠的性质可得：AM=CM,∠AMN=∠CMN,∴∠ANM=∠AMN;∴AM=AN;∴AM=CM,∴四边形AMCN 是平行四边形;∵AM=CM,∴四边形AMCN 是菱形;∵△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：4,∴DN：CM=1：4;设DN=x,则AN=AM=CM=CN=4x,AD=BC=5x,CG=x;∴BM=x,GM=3x;在Rt△CGN 中,()2222NG CN CG 4x x 15x =-=-=, 在Rt△MNG 中,()()2222MN GM NG 3x 15x =26x =+=+, ∴MN 26x ==26BM x;故选D; 16. 2012河北省3分如图,在平行四边形ABCD 中,∠A=70°,将平行四边形折叠,使点D 、C 分别落在点F 、E 处点F 、E 都在AB 所在的直线上,折痕为MN,则∠AMF 等于A ．70°B ．40° C．30° D．20°答案B;考点翻折变换折叠问题,平行四边形的性质,平行线的性质,平角的定义;分析∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD;∵根据折叠的性质可得：MN∥AE,∠FMN=∠DMN,∴AB∥CD∥MN;∵∠A=70°,∴∠FMN=∠DMN=∠A=70°;∴∠AMF=180°－∠DMN－∠FMN=180°－70°－70°=40°;故选B;17. 2012青海西宁3分折纸是一种传统的手工艺术,也是每一个人从小就经历的事,它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏,更是培养智力的一种手段．在折纸中,蕴涵许多数学知识,我们还可以通过折纸验证数学猜想．把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开,请选择所得到的数学结论A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等B．在直角三角形中,如果一个锐角等于30o,那么它所对的直角边等于斜边的一半C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D．如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形答案C;考点翻折变换折叠问题;分析如图②,∵△CDE由△ADE翻折而成,∴AD=CD;如图③,∵△DCF由△DBF翻折而成,∴BD=CD;∴AD=BD=CD,点D是AB的中点;∴CD=12AB,即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;故选C;二、填空题1. 2012上海市4分如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,点D在AC上,将△ADB 沿直线BD翻折后,将点A落在点E处,如果AD⊥ED,那么线段DE的长为▲ ．1;考点翻折变换折叠问题,折叠对称的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,等腰三角形的判定和性质;分析∵在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1, ∴0BC 1AC 3tan A tan30===∠; ∵将△ADB 沿直线BD 翻折后,将点A 落在点E 处,∴∠ADB=∠EDB,DE=AD;∵AD⊥ED,∴∠CDE=∠ADE=90°,∴∠EDB=∠ADB=00036090=1352-; ∴∠CDB=∠EDB﹣∠CDE=135°－90°=45°;∵∠C=90°,∴∠CBD=∠CDB=45°;∴CD=BC=1;∴DE=AD=AC﹣CD=31-;2. 2012浙江丽水、金华4分如图,在等腰△ABC 中,AB ＝AC,∠BAC＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O,点C 沿EF 折叠后与点O 重合,则∠CEF 的度数是 ▲ ． 答案50°;考点翻折变换折叠问题,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,线段垂直平分线的判定和性质;分析利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC＝40°,以及∠OBC＝∠OCB＝40°,再利用翻折变换的性质得出EO ＝EC,∠CEF＝∠FEO,进而求出即可：连接BO,∵AB＝AC,AO 是∠BAC 的平分线,∴AO 是BC 的中垂线;∴BO＝CO;∵∠BAC＝50°,∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O,∴∠OAB＝∠OAC＝25°;∵等腰△ABC 中, AB ＝AC,∠BAC＝50°,∴∠ABC＝∠ACB＝65°;∴∠OBC＝65°－25°＝40°;∴∠OBC＝∠OCB＝40°;∵点C 沿EF 折叠后与点O 重合,∴EO＝EC,∠CEF＝∠FEO;∴∠CEF＝∠FEO＝1800－2×400÷2＝50°;3. 2012浙江绍兴5分如图,在矩形ABCD 中,点E,F 分别在BC,CD 上,将△ABE 沿AE 折叠,使点B 落在AC 上的点B′处,又将△CEF 沿EF 折叠,使点C 落在EB′与AD 的交点C′处．则BC ：AB 的值为 ▲ ;答案3;考点翻折变换折叠问题,折叠的性质,矩形的性质,平行的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值;分析连接CC′,∵将△ABE沿AE折叠,使点B落在AC上的点B′处,又将△CEF沿EF折叠,使点C落在EB′与AD的交点C′处,∴EC=EC′,∴∠EC′C=∠ECC′,∵∠DC′C=∠ECC′,∴∠EC′C=∠DC′C.∴CC′是∠EC'D的平分线;∵∠CB′C′=∠D=90°,C′C=C′C,∴△CB′C′≌△CDC′AAS;∴CB′=CD;又∵AB′=AB,∴B′是对角线AC中点,即AC=2AB;∴∠ACB=30°;∴tan∠ACB=tan30°=AB1BC3=;∴BC：AB=3;4. 2012浙江台州5分如图,将正方形ABCD沿BE对折,使点A落在对角线BD上的A′处,连接A′C,则∠BA′C=▲ 度．答案;考点折叠问题,折叠的对称性质,正方形的性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,三角形内角和定理,平角定义;分析由折叠的对称和正方形的性质,知△ABE≌△A′BE,∴∠BEA′=,△A′DE是等腰直角三角形;设AE=A′E=A′D =x,则ED=2x;设CD=y,则BD=2y;∴ED2x BD2y==2==2A D x CD y'，;∴ED BD=A D CD';又∵∠EDA′=∠A′DC=450,∴△EDA′∽△A′DC;∴∠DA′C=∠DEA′=＋450=;∴∠BA′C=1800－=;5. 2012江苏宿迁3分如图,将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠,使顶点C,D分别落在点C’,D’处,C’E交AF于点G.若∠CEF=70°,则∠GFD’=▲ °.答案40;考点折叠问题矩形的性质,平行的性质;分析根据折叠的性质,得∠DFE=∠D’FE;∵ABCD 是矩形,∴AD∥BC;∴∠GFE=∠CEF=70°,∠DFE=1800－∠CEF=110°;∴∠GFD’=∠D’FE－∠GFE=110°－70°=40°;6. 2012江苏盐城3分如图,在△ABC 中,D,、E 分别是边AB 、AC 的中点,∠B=50°o.现将△ADE 沿DE 折叠,点A 落在三角形所在平面内的点为A 1,则∠BDA 1的度数为 ▲ °. 答案80; 考点翻折变换折叠问题,折叠对称的性质,三角形中位线定理,平行的性质; 分析∵D、E 分别是边AB 、AC 的中点,∴DE∥BC 三角形中位线定理;∴∠ADE=∠B=50°两直线平行,同位角相等;又∵∠ADE=∠A 1DE 折叠对称的性质,∴∠A 1DA=2∠B;∴∠BDA 1=180°－2∠B=80°;7. 2012江苏扬州3分如图,将矩形ABCD 沿CE 折叠,点B 恰好落在边AD 的F 处,如果AB 2BC 3=,那么tan∠DCF 的值是 ▲ ．答案52; 考点翻折变换折叠问题,翻折对称的性质,矩形的性质,勾股定理,锐角三角函数定义; 分析∵四边形ABCD 是矩形,∴AB＝CD,∠D＝90°,∵将矩形ABCD 沿CE 折叠,点B 恰好落在边AD 的F 处,∴CF＝BC,∵AB 2BC 3=,∴CD 2CF 3=;∴设CD ＝2x,CF ＝3x, ∴22DF=CF CD 5x -=;∴tan∠DCF＝DF 5x 5=CD 2x 2=; 8. 2012湖北荆州3分如图,已知正方形ABCD 的对角线长为2,将正方形ABCD 沿直线EF 折叠,则图中阴影部分的周长为 ▲答案8;考点翻折变换折叠问题,折叠的对称性质,正方形的性质,勾股定理;分析如图,∵正方形ABCD 的对角线长为22,即BD=22,∠A=90°,AB=AD,∠ABD=45°,∴AB=BDcos∠ABD=BDcos45°=222=22⨯; ∴AB=BC=CD=AD=2;由折叠的性质：A′M=AM,D′N=DN,A′D′=AD,∴图中阴影部分的周长为A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8;9. 2012湖南岳阳3分如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,沿AD 折叠,使点B 落在斜边AC 上,若AB=3,BC=4,则BD= ▲ ． 答案32; 考点翻折变换折叠问题;1052629分析如图,点E 是沿AD 折叠,点B 的对应点,连接ED,∴∠AED=∠B=90°,AE=AB=3,∵在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=3,BC=4,∴2222AC=AB +BC 3+45==;∴EC=AC﹣AE=5﹣3=2;设BD=ED=x,则CD=BC ﹣BD=4﹣x,在Rt△CDE 中,CD 2=EC 2+ED 2,即：4﹣x 2=x 2+4,解得：x=32;∴BD=32; 10. 2012四川达州3分将矩形纸片ABCD,按如图所示的方式折叠,点A 、点C 恰好落在对角线BD上,得到菱形BEDF.若BC=6,则AB 的长为 ▲ .答案23;考点翻折变换折叠问题,折叠的性质,菱形和矩形的性质,勾股定理;分析设BD 与EF 交于点O;∵四边形BEDF 是菱形,∴OB=OD=12BD; ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠C=90°;设CD=x,根据折叠的性质得：OB=OD= CD=x,即BD=2x,在Rt△BCD 中,BC 2+CD 2=BD 2,即62+x 2=2x 2,解得：x=23;∴AB=CD=23;11. 2012贵州黔西南3分把一张矩形纸片矩形ABCD 按如图方式折叠,使顶点B 和点D 重合,折痕为EF,若AB ＝3cm,BC ＝5cm,则重叠部分△DEF 的面积为 ▲ cm 2;答案5110;考点折叠问题,折叠的性质,矩形的性质,勾股定理;分析设ED=x,则根据折叠和矩形的性质,得A′E=AE=5－x,A′D=AB=3;根据勾股定理,得222ED A E A D ='+',即()222x 5x 3=-+,解得17x 5=; ∴DEF 11751S 3=2510∆=⋅⋅cm 2; 12. 2012河南省5分如图,在Rt△ABC 中,∠C=900,∠B=300,BC=3,点D 是BC 边上一动点不与点B 、C 重合,过点D 作DE⊥BC 交AB 边于点E,将∠B 沿直线DE 翻折,点B 落在射线BC 上的点F 处,当△AEF 为直角三角形时,BD 的长为 ▲答案1或2;13. 2012内蒙古包头3分如图,将△ABC 纸片的一角沿DE 向下翻折,使点A 落在BC 边上的A ′点处,且DE ∥BC ,下列结论：① ∠AED ＝∠C ；② A D A E DB EC''=； ③ BC= 2DE ；④ BD A E A C AD A E S S S ∆'∆''=+四形边;其中正确结论的个数是 ▲ 个;答案4;考点折叠问题,折叠对称的性质,平行线的性质,等腰三角形的判定和性质,直角三角形两锐角的关系,三角形中位线定理,全等、相似三角形的判定和性质;分析①∵DE ∥BC,∴根据两直线平行,同位角相等,得∠AED ＝∠C;∴①正确;②∵根据折叠对称的性质,A ′D=AD,A ′E=AE;∵DE ∥BC,∴根据两直线分线段成比例定理,得AD AE DB EC =;∴A D A E DB EC ''=;∴②正确;③连接A A ′,∵根据折叠对称的性质,A ,A ′关于DE 对称;∴A A ′⊥DE;∵DE ∥BC,∴A A ′⊥BC;∵A ′D=AD,∴∠DA A ′＝∠D A ′A;∴∠DB A ′＝∠D A ′B;∴BD= A ′D;∴BD=AD;∴DE 是△ABC 的中位线;∴BC= 2DE;∴③正确;④∵DE ∥BC,∴△ABC ∽△ADE;∵由③BC= 2DE,∴ADE ABC 1S S 4∆∆=;∵根据折叠对称的性质,△ADE ≌△A ′DE;∴ABC AD A E 1S S 2∆'=四形边;∴BD A E A C ABC 1S S =S 2∆'∆'∆+,即BD A E A C AD A E S S S ∆'∆''=+四形边;∴④正确;综上所述,正确结论的个数是4个;14. 2012黑龙江绥化3分长为20,宽为a 的矩形纸片10＜a ＜20,如图那样折一下,剪下一个边长等于矩形宽度的正方形称为第一次操作；再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形称为第二次操作；如此反复操作下去,若在第n 次操作后,剩下的矩形为正方形,则操作停止．当n=3时,a 的值为 ▲ .答案12或15;考点翻折变换折叠问题,正方形和矩形的性质,剪纸问题,分类归纳图形的变化类;分析根据操作步骤,可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽．所以首先需要判断矩形相邻的两边中,哪一条边是矩形的宽;当10＜a ＜20时,矩形的长为20,宽为a,所以,第一次操作时,所得正方形的边长为a,剩下的矩形相邻的两边分别为20－a,a;第二次操作时,由20－a＜a可知所得正方形的边长为20－a,剩下的矩形相邻的两边分别为20－a,a－20－a=2a－20;∵20－a－2a－20=40－3a,∴20－a与2a－20的大小关系不能确定,需要分情况进行讨论;第三次操作时,①当20－a＞2a－20时,所得正方形的边长为2a－20,此时,20－a－2a－20=40－3a,∵此时剩下的矩形为正方形,∴由40－3a=2a－20得a=12;①当2a－20＞20－a时,所得正方形的边长为20－a,此时,2a－20－20－a=3a－40,∵此时剩下的矩形为正方形,∴由3a－40=20－a得a=15;故答案为12或15;15. 2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分如图所示,沿DE折叠长方形ABCD的一边,使点C落在AB边上的点F处,若AD=8,且△AFD的面积为60,则△DEC的面积为▲答案2898;考点翻折变换折叠问题,矩形的性质,折叠对称的性质,勾股定理; 分析∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=90°,BC=AD=8,CD=AB;∵△AFD的面积为60,即12ADAF=60,解得：AF=15;∴DF17==;由折叠的性质,得：CD=CF=17;∴AB=17;∴BF=AB－AF=17－15=2; 设CE=x,则EF=CE=x,BE=BC－CE=8－x,在Rt△BEF中,EF2=BF2＋BE2,即x2=22＋8－x2,解得：x=174,即CE=174,∴△DEC的面积为：12CDCE=12×17×17289=48;三、解答题1. 2012天津市10分已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A11,0,点B0,6,点P为BC边上的动点点P不与点B、C重合,经过点O、P折叠该纸片,得点B′和折痕OP．设BP=t．Ⅰ如图①,当∠BOP=300时,求点P的坐标；Ⅱ如图②,经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ,若AQ=m,试用含有t 的式子表示m ；Ⅲ在Ⅱ的条件下,当点C′恰好落在边OA 上时,求点P 的坐标直接写出结果即可． 答案解：Ⅰ根据题意,∠OBP=90°,OB=6;在Rt△OBP 中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t;∵OP 2=OB 2+BP 2,即2t 2=62+t 2,解得：t 1=23,t 2=－23舍去． ∴点P 的坐标为23 ,6;Ⅱ∵△OB′P、△QC′P 分别是由△OBP、△QCP 折叠得到的,∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP;∴∠OPB′=∠OPB,∠QPC′=∠QPC;∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°,∴∠OPB+∠QPC=90°;∵∠BOP+∠OPB=90°,∴∠BOP=∠CPQ;又∵∠OBP=∠C=90°,∴△OBP∽△PCQ;∴OB BP PC CQ=; 由题意设BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,则PC=11－t,CQ=6－m ．∴6t 11t 6m =--;∴2111m t t 666=-+0＜t ＜11; Ⅲ点P 的坐标为11133-,6或11+133,6; 考点翻折变换折叠问题,坐标与图形性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质;分析Ⅰ根据题意得,∠OBP=90°,OB=6,在Rt△OBP 中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t,然后利用勾股定理,即可得方程,解此方程即可求得答案;Ⅱ由△OB′P、△QC′P 分别是由△OBP、△QC P 折叠得到的,可知△OB′P≌△OBP, △QC′P≌△QCP,易证得△OBP∽△PCQ,然后由相似三角形的对应边成比例,即可求得答案;Ⅲ首先过点P 作PE⊥OA 于E,易证得△PC′E∽△C′QA,由勾股定理可求得C′Q 的长,然后利用相似三角形的对应边成比例与2111m t t 666=-+,即可求得t 的值： 过点P 作PE⊥OA 于E,∴∠PEA=∠QAC′=90°;∴∠PC′E+∠EPC′=90°;∵∠PC′E+∠QC′A=90°,∴∠EPC′=∠QC′A ;∴△PC′E∽△C′QA;∴PE PC AC C Q'='';∵PC′=PC=11－t,PE=OB =6,AQ=m,C′Q=CQ=6－m, ∴22AC C Q AQ 3612m '='-=-; ∴611t 6m3612m -=--; ∵6t 11t 6m =--,即611t t 6m -=-,∴66=t3612m -,即23612m=t -; 将2111m t t 666=-+代入,并化简,得23t 22 t 36=0-+;解得：12111311+13t t 33-==，; ∴点P 的坐标为11133-,6或11+133,6; 2. 2012海南省11分如图1,在矩形ABCD 中,把∠B、∠D 分别翻折,使点B 、D 分别落在对角线BC 上的点E 、F 处,折痕分别为CM 、AN.1求证：△AND≌△CBM.2请连接MF 、NE,证明四边形MFNE 是平行四边形,四边形MFNE 是菱形吗请说明理由3P 、Q 是矩形的边CD 、AB 上的两点,连结PQ 、CQ 、MN,如图2所示,若PQ=CQ,PQ∥MN;且AB=4,BC=3,求PC 的长度.答案1证明：∵四边形ABCD 是矩形,∴∠D=∠B,AD=BC,AD∥BC;∴∠DAC=∠BCA;又由翻折的性质,得∠DAN=∠NAF,∠ECM=∠BCM,∴∠DAN=∠BCM;∴△AND≌△CBMASA;2证明：∵△AND≌△CBM,∴DN=BM;又由翻折的性质,得DN=FN,BM=EM,∴FN=EM;又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC,∴FN∥EM;∴四边形MFNE 是平行四边形;四边形MFNE 不是菱形,理由如下：由翻折的性质,得∠CEM=∠B=900,∴在△EMF 中,∠FEM＞∠EFM;∴FM＞EM;∴四边形MFNE 不是菱形;3解：∵AB=4,BC=3,∴AC=5;设DN=x,则由S△ADC=S△AND＋S△NAC得3 x＋5 x=12,解得x=32,即DN=BM=32;过点N作NH⊥AB于H,则HM=4－3=1;在△NHM中,NH=3,HM=1,由勾股定理,得∵PQ∥MN,DC∥AB,∴四边形NMQP在△CBQ中由勾股定理,得BQ=1;∴NP=MQ=12;∴PC=4－32－12=2;考点翻折问题,翻折的性质,矩形的性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,菱形的判定,勾股定理;分析1由矩形和翻折对称的性质,用ASA即可得到△AND≌△CBM;2根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明;3设DN=x,则由S△ADC=S△AND＋S△NAC可得DN=BM=32;过点N作NH⊥AB于H,则由勾股定理可得NM=从而根据平行四边形的性质和已知PQ=CQ,即可求得;因此,在△CBQ中,应用勾股定理求得BQ=1;从而求解;3. 2012广东省9分如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点,线段EF交AD于点H,把△FDE 沿EF折叠,使点D落在D′处,点D′恰好与点A重合．1求证：△ABG≌△C′DG；2求tan∠ABG的值；3求EF的长．答案1证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成,∴∠C=∠BAG=90°,C′D=AB=CD,∠AGB=∠DGC′,∴∠ABG=∠ADE;在△ABG≌△C′DG中,∵∠BAG=∠C,AB= C′D,∠ABG=∠AD C′,∴△ABG≌△C′DGASA;2解：∵由1可知△ABG≌△C′DG,∴GD=GB,∴AG+GB=AD;设AG=x,则GB=8﹣x,在Rt△ABG中,∵AB2+AG2=BG2,即62+x2=8﹣x2,解得x=74;∴7AG74tan ABGAB624∠===;3解：∵△AEF是△DEF翻折而成,∴EF垂直平分AD;∴HD=12AD=4;∵tan∠ABG=tan∠ADE=724;∴EH=HD×724=4×77=246;∵EF垂直平分AD,AB⊥AD,∴HF是△ABD的中位线;∴HF=12AB=12×6=3;∴EF=EH+HF=725 +3=66;考点翻折变换折叠问题,翻折变换的性质,矩形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,锐角三角函数定义,三角形中位线定理;分析1根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°,C′D=AB=CD,∠AGB=∠DGC′,故可得出结论;2由1可知GD=GB,故AG+GB=AD,设AG=x,则GB=8-x,在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长,从而得出tan∠ABG的值;3由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD,故HD=12AD=4,再根据tan∠ABG的值即可得出EH的长,同理可得HF是△ABD的中位线,故可得出HF的长,由EF=EH+HF即可得出结果;4. 2012广东深圳8分如图,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点C与点A重合,折痕交AD于点E、交BC于点F,连接AF、CE.1求证：四边形AFCE为菱形；2设AE=a,ED=b,DC=c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．答案1证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠AEF=∠EFC;由折叠的性质,可得：∠AEF=∠CEF,AE=CE,AF=CF,∴∠EFC=∠CEF;∴CF=CE;∴AF=CF=CE=AE;∴四边形AFCE为菱形;2解：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2;理由如下：由折叠的性质,得：CE=AE;∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90°;∵AE=a,ED=b,DC=c,∴CE=AE=a;在Rt△DCE中,CE2=CD2+DE2,∴a、b、c三者之间的数量关系式可写为：a2=b2+c2;考点翻折变换折叠问题,矩形的性质,折叠的性质,平等的性质,菱形的判定,勾股定理;分析1由矩形ABCD与折叠的性质,易证得△CEF是等腰三角形,即CE=CF,即可证得AF=CF=CE=AE,即可得四边形AFCE为菱形;2由折叠的性质,可得CE=AE=a,在Rt△DCE中,利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2;答案不唯一5. 2012广东珠海9分已知,AB是⊙O的直径,点P在弧AB上不含点A、B,把△AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在⊙O上．1当P、C都在AB上方时如图1,判断PO与BC的位置关系只回答结果；2当P在AB上方而C在AB下方时如图2,1中结论还成立吗证明你的结论；3当P、C都在AB上方时如图3,过C点作CD⊥直线AP于D,且CD是⊙O的切线,证明：AB=4PD．答案解：1PO与BC的位置关系是PO∥BC;21中的结论PO∥BC成立;理由为：由折叠可知：△APO≌△CPO,∴∠APO=∠CPO;又∵OA=OP,∴∠A=∠APO;∴∠A=∠CPO;又∵∠A与∠PCB都为PB所对的圆周角,∴∠A=∠PCB;∴∠CPO=∠PCB;∴PO∥BC;3证明：∵CD为圆O的切线,∴OC⊥CD;又∵AD⊥CD,∴OC∥AD;∴∠APO=∠COP;由折叠可得：∠AOP=∠COP,∴∠APO=∠AOP;又∵OA=OP,∴∠A=∠APO;∴∠A=∠APO=∠AOP;∴△APO为等边三角形;∴∠AOP=60°;又∵OP∥BC,∴∠OBC=∠AOP=60°;又∵OC=OB,∴△BC为等边三角形;∴∠COB=60°;∴∠POC=180°﹣∠AOP+∠COB=60°;又∵OP=OC,∴△POC也为等边三角形;∴∠PCO=60°,PC=OP=OC;又∵∠OCD=90°,∴∠PCD=30°;在Rt△PCD中,PD=12 PC,又∵PC=OP=12AB,∴PD=14AB,即AB=4PD;考点折叠的性质,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,平行的判定和性质,切线的性质,全等三角形的性质,等腰三角形的性质,等边三角形的判定和性质,含30度角的直角三角形的性质;6. 2012福建龙岩12分如图1,过△ABC的顶点A作高AD,将点A折叠到点D如图2,这时EF 为折痕,且△BED和△CFD都是等腰三角形,再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG 折叠,使B、C两点都与点D重合,得到一个矩形EFGH如图3,我们称矩形EFGH为△ABC的边BC上的折合矩形．1若△ABC的面积为6,则折合矩形EFGH的面积为；2如图4,已知△ABC,在图4中画出△ABC的边BC上的折合矩形EFGH；3如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形,且BC=2a,那么,BC边上的高AD= ,正方形EFGH的对角线长为．答案解：13;2作出的折合矩形EFGH：32a ；;考点新定义,折叠问题,矩形和正方形的性质,勾股定理;分析1由折叠对称的性质,知折合矩形EFGH的面积为△ABC的面积的一半,2按题意,作出图形即可;3由如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形,且BC=2a,那么,正方形边长为a,BC边上的高AD为EFGH边长的两倍2a;根据勾股定理可得正方形EFGH;7. 2012福建龙岩13分矩形ABCD中,AD=5,AB=3,将矩形ABCD沿某直线折叠,使点A的对应点A′落在线段BC上,再打开得到折痕EF．1当A′与B重合时如图1,EF= ；当折痕EF过点D时如图2,求线段EF的长； 2观察图3和图4,设BA′=x,①当x的取值范围是时,四边形AEA′F是菱形；②在①的条件下,利用图4证明四边形AEA′F是菱形．答案解：15;由折叠轴对称性质知A′D=AD=5,∠A=∠EA′D=900;在Rt△A′DC中,DC=AB=2,∴ A C4'==;∴A′B=BC－A′C=5－4=1;∵∠EA′B＋∠BEA′=∠EA′B＋∠FA′C=900,∴∠BEA′=∠FA′C;又∵∠B=∠C=900,∴Rt△EBA′∽Rt△A′CF;∴A E A BA F FC''=',即A E153'=∴5A E3 '=;在Rt△A′EF中,EF;2①3x5≤≤;②证明：由折叠轴对称性质知∠AEF=∠FEA′,AE=A′E,AF=A′F;又∵AD∥BC,∴∠AFE=∠FEA′ ;∴∠AEF=∠AFE ;∴AE=AF;∴AE=A′E=AF=A′F;∴四边形AEA′F 是菱形;考点折叠的性质,矩形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,平行的性质,等腰三角形的性质,菱形的判定;分析1根据折叠和矩形的性质,当A′与B 重合时如图1,EF= AD=5;根据折叠和矩形的性质,以及勾股定理求出A′B 、A′F 和FC 的长,由Rt△EBA′∽Rt△A′CF 求得5A E 3'=,在Rt△A′EF 中,由勾股定理求得EF 的长; 2①由图3和图4可得,当3x 5≤≤时,四边形AEA′F 是菱形;②由折叠和矩形的性质,可得AE=A′E,AF=A′F;由平行和等腰三角形的性质可得AE=AF;从而AE=A′E=AF=A′F;根据菱形的判定得四边形AEA′F 是菱形;8. 2012湖北恩施8分如图,用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD,先折出BC 的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB 落到线段EA 上,折出点B 的新位置B′,因而EB′=EB．类似地,在AB 上折出点B″使AB″=AB′．这是B″就是AB 的黄金分割点．请你证明这个结论． 答案证明：设正方形ABCD 的边长为2,E 为BC 的中点,∴BE=1;∴AE =;又1;1;∴)AB AB 12"=：：;∴点B″是线段AB 的黄金分割点; 考点翻折折叠问题,正方形的性质,勾股定理,折叠对称的性质,黄金分割;分析设正方形ABCD 的边长为2,根据勾股定理求出AE 的长,再根据E 为BC 的中点和翻折不变性,求出AB″的长,二者相比即可得到黄金比;9. 2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田12分如图,抛物线y=ax 2+bx+2交x 轴于A ﹣1,0,B4,0两点,交y 轴于点C,与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D,点P 是抛物线上一动点． 1求抛物线解析式及点D 坐标；2点E 在x 轴上,若以A,E,D,P 为顶点的四边形是平行四边形,求此时点P 的坐标；3过点P 作直线CD 的垂线,垂足为Q,若将△CPQ 沿CP 翻折,点Q 的对应点为Q′．是否存在点P,使Q′恰好落在x 轴上若存在,求出此时点P 的坐标；若不存在,说明理由． 答案解：1∵抛物线y=ax 2+bx+2经过A ﹣1,0,B4,0两点,。

二轮复习：图形变换（一）—折叠图形变换历来是中考必考点之一。

考试大纲要求：会运用图形变换的相关知识进行简单的作图与计算，并能解决相关动态需求数学问题，并能进行图案设计。

图形变换一般包括，折叠、平移、旋转、对称、位似和图形的探究。

在图形变换的考题中，最多题型是折叠、旋转。

在解决折叠问题时，应注意折叠前后相对应的边相等、角相等。

下面着重从三个方面进行讲述：三角形折折叠、特殊平行四边形折叠和在平面直角坐标系内的图形折叠三大类进行。

（一）三角形的折叠：题型1、一般三角形的折叠：1、如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β2、（2019•江西）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝°．3、如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为___．题型2、等腰或等边三角形的折叠：4、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为_____.5、如图，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 、F 分别在边AC 和BC 上，则CF CE=_______．（利用相似三角形周长的比等于相似比△AED 相似△DBF）题型3、直角三角形的折叠：6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，CD 是斜边AB 上的中线，将△BCD 沿直线CD 翻折至△ECD 的位置，连接AE ．若DE ∥AC ，计算AE 的长度等于．7、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（二）特殊平行四边形的折叠：题型1、矩形折叠：1、（求角）.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点，已知,则的度为A. B. C. D.2、（求三角函数值）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB：AD=2：3，那么tan∠EFC值是．3、（求边长）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为4、（求折痕长）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为5、（求边的比）如下图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为。

DE中考数学中的折叠问题为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折叠问题。

几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。

处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。

所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。

即对应角相等，对应线段相等。

有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。

这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。

例1 （成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠， EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在'B M 或'B M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是（ ）A 、85°B 、90°C 、95°D 、100°分析与解答：本题考查了有关折叠的知识。

由题意可知：∠BME=∠'EMC ，∠CMF=∠'FMC ，''180BMC CMC ∠+∠=°，又'C M 与'B M 重合，则∠EMF=∠'EMC +∠'FMC =''11()18022BMC CMC ∠+∠=⨯°= 90°，故选B 。

例2 （武汉市实验区中考题）将五边形ABCDE 纸片按如图的方式折叠，折痕为AF, 点E 、D 分别落在'E 、'D 。

已知∠AFC=76°，则'CFD ∠等于（ ）A 、31°B 、28°C 、24°D 、22°分析与解答：本题同样是考查了折叠的知识。

根据题意得：'AFD AFD ∠=∠=180°-76°=104°，则'CFD ∠=104°-76°=28°，故选B 。

例3（河南省实验区中考题）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连结OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点'A 的位置，若1tan 2BOC ∠=，则点'A 的坐标为 。

中考数学复习《折叠问题》真题练习（含答案）（2017贵州安顺第7题）如图，矩形纸片ABCD 中，AD =4cm ，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E处，AE 交DC 于点O ，若AO =5cm ，则AB 的长为（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm【答案】C ．（2017江苏无锡第10题）如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ D ）A ．2B ．54 C ．53 D ．75（2017新疆乌鲁木齐第9题）如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为43且60,2AFG GE BG ∠==，则折痕EF 的长为（ C ）A ．1B ．3 C. 2 D ．23（2017重庆A 卷第18题）如图，正方形ABCD 中，AD =4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 的中点，则△EMN 的周长是 ．(2017河南第15题)如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，21BC =+，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MBC∆为直角三角形，则BM 的长为 ．【答案】1或212+. （2017江苏苏州第18题）如图，在矩形CD AB 中，将C ∠AB 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，C B 的对应边C ''B 交CD 边于点G ．连接'BB 、CC '，若D 7A =，CG 4=，G ''AB =B ，则CC '='BB （结果保留根号）．【答案】745. （2017海南第17题）如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么cos ∠EFC 的值是 ．【答案】35.（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为﹣1．（2016·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为3a（用含a的式子表示）．（2016河南）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE 折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为或．（2017甘肃兰州第26题）如图，1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：BDF△是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DG BE∥，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若6AB，8AD，求FG的长.【答案】(1)证明见解析;(2) 152．【解析】试题分析: （1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．试题解析：（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，又AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴∠DBE=∠ADB，∴DF=BF，∴△BDF是等腰三角形；（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG，又∵FD∥BG，∴四边形BFDG是平行四边形，∵DF=BF，∴四边形BFDG是菱形；②∵AB =6，AD =8， ∴BD =10． ∴OB =12BD =5． 假设DF =BF =x ，∴AF =AD ﹣DF =8﹣x ．∴在直角△ABF 中，AB 2+A 2=BF 2，即62+（8﹣x ）2=x 2， 解得x =254， 即BF =254， ∴FO =222522()54BF OB -=-=154，∴FG =2FO =152．(2017浙江金华第23题)如图1，将ABC ∆纸片沿中位线EH 折叠，使点A 的对称点D 落在BC 边上，再将纸片分别沿等腰BED ∆和等腰DHC ∆的底边上的高线EF ，HG 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将ABCD 纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段_____，_____；:ABCDAEFG S S=矩形 ______.(2)ABCD 纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若5EF =，12EH =，求AD 的长．(3)如图4，四边形ABCD 纸片满足,,,8,10AD BC AD BC AB BC AB CD <⊥==．小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出,AD BC 的长．【答案】（1）（1）AE ；GF ；1:2；（2）13；（3）按图1的折法，则AD =1，BC =7；按图2的折法，则AD =134 ,BC =374. 【解析】试题分析：（1）由图2观察可得出答案为AE ,GF ,由折叠的轴对称性质可得出答案为1：2；（2）由EF 和EH 的长度根据勾股定理可求出FH 的长度，再由折叠的轴对称性质易证△AEH ≌△CGF ；再根据全等三角形的性质可得出AD 的长度；（3）由折叠的图可分别求出AD 和BC 的长度.（3）解：本题有以下两种基本折法，如图1，图2所示.按图1的折法，则AD =1，BC =7. 按图2的折法，则AD =134 ,BC =374.（2015年河南3分）如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE =3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B ′处，若△CDB ′恰为等腰三角形，则DB ′的长为 ▲ ．【答案】16或45.（2015年江苏泰州3分）如图， 矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ， PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，则AP 的长为 ▲ ．【答案】245. （2015湖北鄂州第8题3分）如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D .（2015•四川自贡,第10题4分） 如图，在矩形ABCD 中，AB 4AD 6==，,E 是AB 边的中点，F 是线段BC边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△'EB F ,连接'B D ‘,则'B D ‘的最小值是 （ A ）B 'EDA BCFA . 2102-B .6C .2132-D .4（2015•绵阳第12题，3分）如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB =1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF =（ B ）A ．B ．C ．D ．（2015•四川省内江市，第14题，5分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，E 为CD 上一点，分别以EA ，EB 为折痕将两个角（∠D ，∠C ）向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处．若AD =2，BC =3，则EF 的长为．（2015•浙江滨州,第17题4分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠（点E 在边DC 上），折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处.若点D 的坐标为(10,8），则点E 的坐标为 .【答案】（10,3）。

中考数学专题训练：图形的折叠问题（附参考答案）1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD＝5，OA∶OD＝1∶4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1处，则点E的坐标是( )A．(1，2) B．(－1，2)C．(√5－1，2) D．(1－√5，2)2．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G.已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是( )A．30°B．45°C．74°D．75°3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2√5，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos ∠ECF的值为( )A．23B．√104C．√53D．2√554．把一张矩形纸片ABCD按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF.若BC＝1，则AB的长度为( )A．√2B．√2+12C．√5+12D．435．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC 上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．2076．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为__________．7．如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB.若BC＝2，则CA′＝_______．8．如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC 上的点F处．若BC＝10，sin ∠AFB＝45，则DE＝_____．9．如图，在扇形AOB中，点C，D在AB⏜上，将CD⏜沿弦CD折叠后恰好与OA，OB 相切于点E，F.已知∠AOB＝120°，OA＝6，则EF⏜的度数为________；折痕CD 的长为_______．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点(不含端点)，将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为______；DP的最大值为_______．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝√7，动点P在矩形的边上沿B→C→D →A运动．当点P不与点A，B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB′，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为_________．12．如图，DE平分等边三角形ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是______．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G.若AGGE ＝73，则tan A＝______．14．如图，在等边三角形ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′，已知AB＝2.给出下列四个结论：①CN＋NB′为定值；②当BN＝2NC时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB′M＝18°；④当AB′最短时，MN＝7√21.20其中正确的结论是__________．(填序号)15．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(3，0)，点C(0，6)，点P在边OC上(点P不与点O，C重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t.(1)如图1，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；(2)如图2，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；(3)若折叠后重合部分的面积为3√3，则t的值可以是__________________________________________．(请直接写出两个不同．．．．的值即可)16．如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝4.将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有________．(填序号)①BD＝8；②点E到AC的距离为3；③EM＝103；④EM∥AC.17．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ.(1)如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝________；(填度数)(2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)如图2，判断∠MBQ与∠CBQ 的数量关系，并说明理由．参考答案1.D 2．D 3．C 4．A 5．D6. 3√2－3 7．2√3 8．5 9．60°4√6 10．10 2√511．－2 12．√m2+n2 13．3√7714．①②④15．(1)∠O′QA＝60°点O′的坐标为(32，√32)(2)O′E＝3t－6，其中t的取值范围是2<t<3 (3)3或103(答案不唯一，满足3≤t<2√3即可) 16．①④17．(1)30°(2)∠MBQ＝∠CBQ，理由略。

中考专题：折叠问题折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。

折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。

图形折叠问题中题型的变化比较多，主要有以下几点：1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；3．将长方形纸片折叠，三角形是否为等腰三角形；4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；5．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。

折叠问题数学思想：(1)思考问题的逆向(反方向)，(2)从一般问题的特例人手，寻找问题解决的思路；(3)把一个复杂问题转化为解决过的基本问题的转化与化归思想；(4)归纳与分类的思想(把折纸中发现的诸多关系归纳出来，并进行分类)；(5)从变化中寻找不变性的思想.用“操作”、“观察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的方法。

折叠问题主要有以下题型：题型1：动手问题此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．题型2：证明问题动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明．题型3：探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系．此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理论。

典型例题一．折叠后求度数例1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．600B．750C．900D．950练习1．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于（）A．50°B．55°C．60°D．65°2．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=_______°，∠2=_______°A3. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝度。