中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转与动点最值问题

二轮复习：图形变换（一）—折叠图形变换历来是中考必考点之一。

考试大纲要求：会运用图形变换的相关知识进行简单的作图与计算，并能解决相关动态需求数学问题，并能进行图案设计。

图形变换一般包括，折叠、平移、旋转、对称、位似和图形的探究。

在图形变换的考题中，最多题型是折叠、旋转。

在解决折叠问题时，应注意折叠前后相对应的边相等、角相等。

下面着重从三个方面进行讲述：三角形折折叠、特殊平行四边形折叠和在平面直角坐标系内的图形折叠三大类进行。

（一）三角形的折叠：题型1、一般三角形的折叠：1、如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β2、（2019•江西）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝°．3、如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为___．题型2、等腰或等边三角形的折叠：4、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为_____.5、如图，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 、F 分别在边AC 和BC 上，则CF CE=_______．（利用相似三角形周长的比等于相似比△AED 相似△DBF）题型3、直角三角形的折叠：6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，CD 是斜边AB 上的中线，将△BCD 沿直线CD 翻折至△ECD 的位置，连接AE ．若DE ∥AC ，计算AE 的长度等于．7、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（二）特殊平行四边形的折叠：题型1、矩形折叠：1、（求角）.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点，已知,则的度为A. B. C. D.2、（求三角函数值）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB：AD=2：3，那么tan∠EFC值是．3、（求边长）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为4、（求折痕长）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为5、（求边的比）如下图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为。

第5讲解题技巧专题：平行四边形中折叠、旋转、线段最值问题(4类热点题型讲练)目录【考点一平行四边形中折叠求角度问题】 (1)【考点二平行四边形中折叠求线段长或证明】 (4)【考点三平行四边形中旋转问题】 (12)【考点四平行四边形中求线段最值问题】 (18)【考点一平行四边形中折叠求角度问题】1．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在ABCD Y 中，将ABCD Y 沿EF 折叠，使点C 落在AD 边上的点G 处，若158,242︒︒∠=∠=，则C ∠的度数为．2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，将ABCD Y 先沿BE 折叠，再沿BF 折叠后，A 点落在线段BF 上的A '处，C 点落在E 处，连接EA '，EF ．若恰有EF EA '⊥，则A ∠=．【答案】126︒/126度【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，跟进中河底得出ABE A BE CBF '∠=∠=∠，A EB AEB '∠=∠，C BEF ∠=∠，求出22A EB AEB EBC A BE ABE ''∠=∠=∠=∠=∠，A C BEF ∠=∠=∠，根据90BEF A EB '∠-∠=︒，1801803A ABC ABE ∠=︒-∠=︒-∠，得出1803290ABE ABE ︒-∠-∠=︒，求出18ABE ∠=︒，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，A C ∠=∠，由折叠得ABE A BE CBF '∠=∠=∠，A EB AEB '∠=∠，C BEF ∠=∠，∴22A EB AEB EBC A BE ABE ''∠=∠=∠=∠=∠，A C BEF ∠=∠=∠，∵EF EA '⊥，∴90A EF ¢Ð=°，∴90BEF A EB '∠-∠=︒，∵A BEF ∠=∠，2A EB ABE '∠=∠，∴290A ABE ∠-∠=︒，∵1801803A ABC ABE ∠=︒-∠=︒-∠，∴1803290ABE ABE ︒-∠-∠=︒，∴18ABE ∠=︒，∴1803126A ABE ∠=︒-∠=︒，故答案为：126︒．3．（2024·吉林松原·一模）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边CD 上一点，将ADE V 沿AE 折叠至AD E ' 处，AD '与CE 交于点F ．若53B ∠=︒，20DAE ∠=︒，则FED '∠的大小为度．【答案】34【分析】根据折叠性质，得20DAE D AE '∠=∠=︒，D D '∠=∠，根据平行四边形的性质，得53D B ∠=∠=︒，127BAD ∠=︒，AB CD ，利用三角形外角性质，平行线性质解答即可，本题考查了折叠性质，平行四边形的性质，三角形外角性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】根据折叠性质，得20DAE D AE '∠=∠=︒，D D '∠=∠，∴40DAD '∠=︒，∵平行四边形ABCD ，∴53D B ∠=∠=︒，127BAD ∠=︒，AB CD ，∴1274087BAF AFD ∠=∠=︒-︒=︒，∴34FED AFD D ''∠=∠-∠=︒，故答案为：34．4．（2024·浙江·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，点E ，F 在BC 边上，把ABE 沿直线AE 折叠，CDF 沿直线DF 折叠，使点B ，C 落在对角线AC 上的点G 处，若110AGD ∠=︒，则B ∠的度数为．折痕折叠纸片，使点C ，D 落在纸片所在平面上,C D ''处，折痕与AD 边交于点M ；再以过点P 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在C P '边上B '处，折痕与AB 边交于点N ．若74MPC ∠=︒，则NPB ∠'=°．【考点二平行四边形中折叠求线段长或证明】1．（2024·山东青岛·一模）如图，在ABCD Y 中，AB =12AD =，30C ∠=︒，点M ，N 分别在边BC ，AD 上，沿MN 折叠平行四边形，使点C 与点A 重合，则线段BM 的长度为．∴AB CD ，∴30ABE C ∠=∠=︒，又 43AB =，为CD 、AB 的中点，点E 在边AD 上运动，将EDF 沿EF 折叠，使得点D 落在D ¢处，连接BD '，点M 为BD '中点，则MN 的最小值是．MN ∴为BAD ' 的中位线，12MN AD '∴=，∴当AD '取得最小值时，(1)证明BE EF ＝；(2)如果6AC cm =，B 、D 两点间距离为8cm ，请在对角线AC 上找一点O ，使得OB OF +的值最小，并求最小值；(3)探索：线段AF 与BC 满足什么关系时，点D 、C 、F 在同一条直线上，请给出证明．【答案】(1)见解析(2)8cm(3)当线AF 与BC 互相平分时，点D 、C 、F 在同一条直线上，理由见解析【分析】（1）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明AE CE =；（2）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明OD OF =；（3）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明90ACF ACD ∠=∠=︒．【详解】（1）解：证明：如图1中，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC AD BC ∴=∥，，DAC ACB ∴∠=∠，DAC 翻折得到FAC ，AD AF DAC FAC ∴=∠=∠，，ACB FAC ∴∠=∠，AE CE ∴=，,AD BC AD AF == ，BC AF ∴=，BE EF ∴=；（2）连接BD 交AC 于点O ，连接OF ，点F 与D 关于AC 对称，OD OF ∴=，∴当点O 为AC 与BD 交点时，OB OF +的值最小，最小值为线段BD 的长，即最小值为8cm ；（3）当线段AF 与BC 互相平分时，点D 、C 、F 在同一条直线上．理由： AF 与BC 互相平分，AF BC =，EA EB EC EF ∴===，,EAC ECA ECF F ∴∠=∠∠=∠，180EAC ECA ECF F ∠+∠+∠+∠=︒Q ，90ECA ECF ∴∠+∠=︒，即90ACF ∠=︒，DAC 翻折得到FAC ，90ACF ACD ∴∠=∠=︒，∴点D 、C 、F 在同一条直线上．4．（2023·浙江杭州·模拟预测）将ABCD Y 纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，点D 落在点G 处．(1)求证：BE GF =；(2)若AGF 的面积等于8，32EC BE =，试求ABCD Y 的面积．由（1）知，ABE AGF ≌8ABE AGF S S ∴== ，32EC BE =，3ACE S ∴=，即3ACE S = AE 折叠，点B '是点B 的对应点．(1)如图1，当点B '恰好落在AD 边上时，求证：四边形ABEB '是平行四边形；(2)如图2，若6069B AB BC Ð=°==，，，点B '落在DE 上时，求B D '的长；(3)如图3．若60906B BAC AB �靶=�，，，取B D '的中点F ，连接CF ，求CF 的取值范围∥，∵AD BC∴DAE BEA∠=∠∵点B'落在DE上，∴DEA BEA∠=∠∴DAE DEA∠=∠∵6090,6B BAC AB �靶=�，∴9030ACB B ADC ���靶，∴212AD BC AB ===∴DT AT ==126AD CD ==∴DCT △是等边三角形，∴180B AC BAC ¢Ð+Ð=°，∴,,B A B '三点在同一条直线上，∴AB CD '∥且AB CD '=，∴四边形ACDB ¢是平行四边形，∵90B AC '∠=︒，∴四边形ACDB ¢是矩形，【考点三平行四边形中旋转问题】1．（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，OABC 的顶点C 在y 轴上，对角线AC x ∥轴，10OC =，8AC =．将OABC 绕点O 逆时针旋转，每秒旋转90︒，则第2023秒结束时，点B 的对应点B '的坐标为（）A ．()8,20B ．()20,8-C ．()20,8-D ．()8,20--【答案】B 【分析】本题主要考查旋转的性质、平行四边形的性质，点坐标的规律探究，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键．先根据平行四边形的性质求出点B 的坐标，再作出旋转后的图形，然后找到B 点的坐标规律，并按照规律解答即可．【详解】解： OABC 中，10OC =，8AC =，AC x ∥轴，10AB OC ∴==，90CAB ∠=︒，()8,10A ，()8,20B ∴，如图：将OABC 绕点O 逆时针旋转，每秒旋转90︒，1秒时，由旋转角的性质得：1OC 与x 轴重合，111,OC OC AC A C ==，10OC =，8AC =，∴11110,8OC AC ==，()110,8A ∴-，四边形OABC 是平行四边形，∴四边形111OA B C 是平行四边形，∴11110A B OC ==，11A B x 轴，∴()120,8B -，同理可得：()()()()23458,20,20,8,8,20,20,8,B B B B ---- ，则：每旋转4秒则回到原位置，∵202345053÷= ，∴第2023秒时，完成了505次循环，又旋转了3次，∴当第2023秒旋转结束时，点B 的对应点B '是()20,8-．故选：B ．2．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，在平行四边形ABCO 中，()1,2A ，()5,2B ，将平行四边形绕O 点逆时针方向旋转90︒得平行四边形A B C O '''，则点B '的坐标是（）A ．()2,4-B ．()2,5-C ．()1,5-D ．()1,4-【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及旋转的性质，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．直接利用旋转的性质B 点的对应点到原点距离相同，进而得出坐标．【详解】解：∵将平行四边形ABCO 绕O 点逆时针方向旋转90︒得平行四边形A B C O '''的位置，()5,2B ，∴点B '的坐标是：()2,5-．故选：B ．3．（23-24九年级上·江西宜春·期末）如图，把平行四边形ABCD 绕点A 旋转α︒得平行四边形AB C D '''，点B '落在CD 边上，若76C ∠=︒，当B ，B '，C '三点共线时，α的度数为．【答案】28︒/28度【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，图形旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用平行四边形和图形旋转的性质是解答本题的关键，由图形旋转的性质可知76C '∠=︒，由平行四边形的性质可知76AB B '∠=︒，再用等腰三角形的性质推得76ABB '∠=︒，最后根据三角形的内角和定理即可得到答案．【详解】 平行四边形ABCD 绕点A 旋转α︒得平行四边形AB C D '''，76C C '∴∠=∠=︒，AB C D '''∥，76AB B C C ''∴∠=∠=∠=︒，=AB AB ' ，76AB B ABB ''∴∠=∠=︒，180180767628BAB ABB AB B '''∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：28︒．4．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平行四边形ABCD 中，10AB =，15BC =，面积为120，点P 是边AD 上一点，连接PB ，将线段PB 绕着点P 旋转90︒得到线段PQ ，如果点Q 恰好落在直线AD 上，那么线段AQ 的长为综上，AQ 的长为2或14；故答案为：2或14．5．（2023·河北承德·一模）如图，在四边形沿AC 剪下来，以A 为旋转中心逆时针旋转()0180αα︒<<︒，旋转过程中，AD 、AC '与BC 所在的直线的交点分别为E 、F ．(1)求证：ABC CAD ≌△△；(2)当旋转角为45︒时，如图2所示，求重叠部分的面积；(3)在旋转过程中，若1CE =，如图3所示，求CF 的长；(4)在旋转过程中，若CE x =，请直接写出BF 的长（用含x 的式子表示）．∵90,45CAB EAF ∠=︒∠=︒，∴45CAE BAF ∠+∠=︒，∵CAE BAN ∠=∠，【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．【考点四平行四边形中求线段最值问题】1．（2024·山东青岛·一模）如图，在平行四边形ABCD 中，6,8,AD BD AD DB ==⊥，点M N 、分别是边AB BC 、上的动点（不与、、A B C 重合），点E F 、分别为DN MN 、的中点，连接EF ，则EF 的最小值为．∵点E F 、分别为DN MN 、的中点，∴12EF DM =，当DM AB ⊥时，DM 最小，则EF 最小，与BD 交于点O ，将直线l 绕点O 按顺时针方向旋转，分别交AD 、BC 于点E 、F ，则四边形ABFE 周长的最小值是． ∴30BAG ∠=︒，∴122BG AB ==，224AG AB BG ∴=-= ABCD解题关键是利用三角形全等的性质转换线段之间的关系表达出周长．3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知点D 与点(4,0)A ，(0,6)B ，(,)C a a -是平行四边形的四个顶点，则CD 长的最小值为．∵点F 是平行四边形对角线交点，∴F 为AB 中点，2CD CF =，∴∴132FH OB ==，FH BO ∥，∴()2,3F ，当CF CO ⊥时，CF 最短，由(,)C a a -可知点C 与点O 的水平距离和铅锤距离均是Q 是BC 边上一动点，将BPQ V 沿PQ 所在直线翻折得到B PQ '△，连接B D '，则B D '长度的最小值是．∵四边形BCDA 为平行四边形，∴DA BC ，4BA CD ==，∵点P 为BA 的中点，60B ∠=︒，∴1AP PB ==，60GAP B ∠∠==︒，顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接OC，则OC的最小值是．∴===，∠2AB BD AD平行四边形ABCD中，AB∴===，2CD BC BD∴ 是等边三角形，∠CBD△是等边三角形，，CBDCE BD⊥为BD中点，。

2019中考数学专题复习和折叠有关的题型突破（ Word版，无答案）以折叠为背景的题型分析【解题思路】折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题. 考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显.这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求.本专题内容在考查中常涉及到特殊平行四边形的折叠与性质、特殊三角形的判定、勾股定理的运用，角平分线的性质等. 因此考生在复习中应熟练掌握一些基本图形的性质和判定定理以及图形折叠的性质. 图形折叠是中考中常考题型，这种题型主要考察学生对图形的认知，特别是考察轴对称的性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形等知识综合运用。

【中考原题】【例 1】如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E 是 AB 的中点，点 F 是AD 边上的一个动点，将△AEF 沿EF 所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C 的长的最小值是．（考点：折叠动点）2019中考数学专题复习和折叠有关的题型突破（ Word版，无答案）【例2】如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE，此时PD=3．（1）求MP 的值；（4 分）（考点：勾股定理）（2）在AB 边上有一个动点F，且不与点A，B 重合．当AF 等于多少时，△MEF的周长最小？（4 分）（考点：折叠性质将军饮马）（3）若点G，Q 是AB 边上的两个动点，且不与点A，B 重合，GQ=2．当四边形MEQG 的周长最小时，求最小周长值.（计算结果保留根号）（4 分）（考点：将军饮马）【例 3】已知二次函数及一次函数 y = x 2 + x + 6 ,将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象(如图所示)当直线 y=x+m 与新 图象有 4 个交点时,m 的取值范围是（） （考点：函数的交点判断）(A) - 254 < m < 3 (B) - 254< m < -2(C) - 2 < m < 3 (D) - 6 < m < -2【相关知识扩展】类型1 与角度有关的折叠1．把一张长方形纸片按如图所示折叠2 次，若∠1=50︒，则∠2的度数为()A．10︒ B．15︒C．20︒D．25︒3．如图，在∆ABC 中，∠B = 32︒，将∆ABC 沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，则∠1 -∠2 的度数是()A．32︒ B．64︒C．65︒D．70︒4．如图，点D 为∆ABC 边BC 的延长线上一点．∠ABC 的角平分线与∠ACD 的角平分线交于点M ，将∆MBC 以直线BC 为对称轴翻折得到∆NBC ，∠NBC 的角平分线与∠NCB 的角平分线交于点Q ，若∠A=48︒，则∠BQC 的度数为()A．138︒B．114︒C．102︒ D．100︒6.已知长方形ABCD ，E 点和F 点分别在AB 和BC 边上，如图将∆BEF 沿着EF 折叠以后得到△B'EF，B'E与AD相交于点M，B'F与AD相交于点G ，则∠1与∠2的数量关系为．7. 如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，ED 交BC 于点F ．若∠ABD=48︒，∠CFD=40︒，则∠E的度数为．8.如图，在四边形ABCD 中，∠B = 120︒，∠B 与∠ADC 互为补角，点E 在BC 上，将∆DCE 沿DE 翻折，得到△DC'E，若AB//C'E，DC'平分∠ADE，则∠A的度数为︒．9. 如图，在△ABC中，将△ABC沿DE 折叠，使顶点C 落在△ABC三边的垂直平分线的交点O 处，若BE=BO，则∠BOE=度．10.如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在△ABC 外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180°﹣α﹣β类型2 与长度、周长、面积有关的折叠1. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，B C=8cm，点D 在BC 边上，将直角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处，则线段CD 的长为．A DC MFDNB E A B E C第1 题图第2 题图2. 如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在点F处，折痕为MN，则线段CN 的长为．3. 如图，在长方形ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF，则△ABE 的面积为．A E DB F CC'4. 如图，折叠长方形的一边AD，使点D 落在BC 边上的点F 处，若AB=4cm，B C=5cm，则EF的长为．A DEB F C5. 如图，在△ABC 中，AB=20，AC=12，BC=16，E 为BC 边上一点，把△ABC 沿AE 折叠，使AB 落在直线AC 上，求重叠部分（阴影部分）的面积．AC6. 如图，正方形ABCD 的边长为3，E、F 分别是AB、CD 上的点，且∠CFE=60°，将四边形BCFE 沿EF 翻折，得到B′C′FE，C′恰好落在AD 边上，B′C′交AB 于点G，则GE 的长是（）A. 4B. 5C. 4-5-7. 如图，四边形ABCD 是边长为9 的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B'处，点A 的对应点为A'．若B'C=3，则CN=_ ，AM=_．A'A M DFA M DB' EB NC B N C第7 题图第8 题图8. 如图，将长为4cm，宽为2cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边的中点E 处，压平后得到折痕MN，则线段AM 的长为．9. 如图，在△ABC 中，AB=3，BC=4，∠B=90°，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合．若折痕分别交AC，BC 于点E，F，则BF= ，EF= _．AEB F C10. 如图，将长方形ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF，若AB=3，AD=4，则DE的长为．A E DB F C11. 如图，在长方形纸片ABCD 中，AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕交BC 于点E，若EF=3，则AB 的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6A DFB E C第11 题图12. 把长方形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，则DE= ．A'A E D(B')B F C13. 如图，将正方形纸片ABCD 沿MN 折叠，使点D 落在边AB 上，对应点为D′，点C 落在C′处．若AB=6，AD′=2，则DM=，CN= ．FD CN A E DC'MB CA D' B第13 题图第14 题图14. 如图，在长方形ABCD 中，BC=4，CD=3，将该长方形沿对角线BD 折叠，使点C 落在点F 处，BF 交AD 于点E，则EF=．A F DGB E CD'C'第15 题图15. 如图，已知在长方形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE=2CE，将长方形沿着过点E 的直线翻折后，点C，D 分别落在边BC 下方的点C′，D′处，且点C′，D′，B 在同一条直线上，折痕与边AD 交于点F，D′F 与BE 交于点G．设AB=t，那么△EFG 的周长为．（用含t 的代数式表示）16. 如图，长方形ABCD 中，AB=15cm，点E 在AD 上，且AE=9cm，连接EC，将长方形ABCD沿直线BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A'处，则A'C= cm．A E D A E DA' M A′NB C B F C第18 题图第19 题图17. 如图，将长方形纸片ABCD 对折，得折痕MN，展开后再沿过点B 的直线折叠，使点A 落在MN 上的A′处，得折痕BE，连接EA′并延长交BC 于点F．若AB=2，则BE=，EF=．18. 如图，在∆ABC 中．∠ACB = 90︒，AC = 4 ，BC ，点D 在AB 上，将∆ACD 沿CD 折叠，点A 落在点A1 处，A1C 与AB 相交于点E ，若A1 D / / BC ，则A1 E 的长为( )2019中考数学专题复习 和折叠有关的题型突破 （ Word 版，无答案）A ．B ．83C ．3D ．4 - 220. 如图，矩形ABCD 中， AB = 4 ， BC = 3 ，点 E 是 DC 边上一点，连接 BE ，把 ∠C 沿 BE 折叠，使点 C 落在点 F 处，当 ∆DEF 为直角三角形时， DE 的长为 ．第 20 题图 第 21 题图21. 图，矩形ABCD 中， AB = 5 ， BC = 8 ，点 E 、 G 为直线 BC 上两个动点， BE = CC ，连接 AE ， 将∆ABE 沿 AE 折叠，将 ∆DCC 沿 DG 折叠，当对应点 F 和 H 重合时， BE 的长为 ．22. 将一张宽为5cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形， 则这个三角形面积的最小值是 ()A ．3 cm 2 B ．252cm 2 C ． 25cm 2D ．3 cm 223. 如图， 在矩形ABCD 中， AB = 4 ，BC = 6 ，E 为 BC 的中点 ． 将 ∆ABE 沿 AE 折叠， 使 点 B 落在矩形内点 F 处， 连接CF ，则 ∆CDF 的面积为 ( )A ．3.6B ．4.32C ．5.4D ．5.7624. 如图，在ABCD 中，BC = 4 ，CD = 6 ，点E 是AB 边上的中点，将∆BCE 沿CE 翻折得∆FCE ，连结DF ，射线CF 交直线DA 于点P ，当∠CPD = 90︒时，∆DCF 的面积是．25. 如图，有一张矩形纸片ABCD ，AB = 8 ，AD = 6 ．先将矩形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将∆AEF 沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则∆GCF 的周长为．26. 如图，在四边形ABCD 中，AB = 10 ，BD ⊥AD ．若将∆BCD 沿BD 折叠，点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为．27. 如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，E 是边CD 上一点，连接AE 、折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若DE = 5 ，则GE 的长为．第27 题第28 题28. 如图，矩形纸片ABCD 中，AD = 6 ，AB = 10 ，E 为CD 中点，将矩形纸片沿AE 折叠，点D 落在点D'处，延长AD'交BC 于点F ，则D'F 的长度为．29. 如图，在矩形ABCD 中，AD = 2 ．将∠A 向内翻折，点A 落在BC 上，记为A'，折痕为DE ．若将∠B 沿EA'向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B'，则AB = ．第29 题第30 题30. 如图，矩形ABCD 中，AB =，BC = 12 ，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将∆AEF 沿EF折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是．31. 如图，在∆ABC 中，∠ABC = 45︒，AB = 3 ，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AE =1．连接DE ，将∆AED 沿直线AE 翻折至∆ABC 所在的平面内，得∆AEF ，连接DF ．过点D 作DG ⊥DE 交BE 于点G ．则四边形DFEG 的周长为( )A．8 B．C．+ 4 D．+ 232. 形纸片ABCD 如图 2 那样折叠，使顶点B 与顶点D 重合，折痕为EF . 若AB , AD = 3 ，则∆DEF 的周长为.33. 如图（1）的矩形纸片折叠，B、C 两点恰好重合落在AD 边上的点P 处，如图（2），已知∠MPN=90º，PM=3，PN=4，那么矩形ABCD 的周长为。

中考数学专题复习《特殊平行四边形中的折叠问题》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图 在矩形纸片ABCD 中 将BCD △沿BD 折叠 C 点落在C '处 则图中共有全等三角形（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对2．如图 对折矩形纸片ABCD 使AB 与DC 重合得到折痕EF 将纸片展平 再一次折叠 使点D 落到EF 上点G 处 并使折痕经过点A 展平纸片后DAG ∠的大小为（ ）A ．40︒B ．60︒C ．55︒D ．75︒3．如图 在矩形ABCD 中 5AB = 8BC = 点E 和F 是边BC 上的两点 连结AE DF 、 将ABE 和CDF 沿AE DF 、折叠后 点B 和点C 重合于点M 则EF 的长是（ ）A ．2.5B ．3C ．1.5D ．44．如图 在矩形纸片ABCD 中 已知8AD = 折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合 点B 落在点F 处 折痕为AE 且3EF = 则ABE 的面积为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．75．如图 在矩形OABC 中 9OA = 15AB = E 是BC 上一点 沿AE 折叠 使点B 恰好落在x 轴的点D 处．E 点坐标是（ ）A ．()5,15B ．()3,15C ．()15,2D ．()15,4 6．如图 在矩形ABCD 中 点E 是边CD 的中点 将ADE 沿AE 折叠后得到AFE △ 且点F 在矩形ABCD 的内部 将AF 延长后交边BC 于点G 且45CG GB = 则AB AD 的值为（ ）A ．43B ．56C ．1D ．77．如图 把矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠 设重叠部分为EBD △ 则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AB CD = B ．BAE DCE ≌△△C ．EB ED = D ．30ABE ∠=︒ 8．如图 在一张菱形纸片ABCD 中 2AB = 30B ∠=︒ 点E 在BC 边上（不与B C 重合）将ABE 沿直线AE 折叠得到AFE △ 连接BF EF DF 有以下四个结论：AE EF =① 105BFD ∠=︒② ③当AE BC ⊥时 FD AC = ④当FE 平分AFB ∠时 则23FD = 其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二 填空题9．如图 正方形纸片ABCD 的边长为12 E 是边CD 上一点 连接AE 折叠该纸片 使点A 落在AE 上的点G 并使折痕经过点B 得到折痕BF 点F 在AD 上．若5DE = 则GE 的长为 ．10．将一张长方形纸片ABCD 按如图所示方式折叠 AE AF 为折痕 点B D 折叠后的对应点分别为B' 'D 若''4B AD ∠=︒ 则EAF ∠的度数为 ．11．如图 在长方形ABCD 中 3AD = 2AB = 点F 是AB 上一点 1AF = 点E 是BC 上一动点 连接EF 将BEF △沿EF 折叠 记点B 的对应点为点B ' 连接DB ' 则FB DB '+'的最小值是 ．12．如图 在矩形ABCD 中 5AB = 8AD = 边AD 上有一动点P 连结BP 把ABP沿BP 折叠当点A 的对应点A '刚好落在BC 的垂直平分线上时 点A '到AD 的距离为 ．13．如图所示 在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD 中 8AB = 16BC = 将上面的矩形纸片折叠 使点C 与点A 重合 折痕为EF 点D 的对应点为点G 连接DG 则图中阴影部分的面积为 ．三 解答题14．如图 正方形纸片ABCD 的边长12AB = E 是DC 上一点 5CE = 折叠正方形纸片 使点B 和点E 重合 折痕为FG 试求FG 的长．15．如图 把一张长方形纸片ABCD 折叠起来 使其对角顶点A 与C 重合 D 与G 重合 若长方形的长BC 为8 宽AB 为4(1)求DE 的长(2)求阴影部分的面积．16．如图1 将矩形纸片()ABCD AD AB >折叠 使点C 刚好落在线段AD 上 且折痕分别与边BC AD 相交 设折叠后点C D 的对应点分别为点G H 折痕分别与边BC AD 相交于点E F ．（1）求证：四边形CEGF 是菱形（2）如图2 若3AB = 9BC = 当点G 与点A 重合时 求折痕EF 的长.17．如图 在四边形纸片ABCD 中 AD BC ∥ AD CD > 将纸片沿过点D 的直线折叠 使点C 落在AD 上的点C '处 折痕DE 交BC 于点E 连接C E '．(1)请确定四边形CDC E '的形状 并说明理由(2)若30BCD ∠=︒ 2CE = 过点C '作C F BC '⊥于F 连接CC '交DE 于点M 连接FM ： ①四边形CDC E '的面积为①2FM = ．18．已知矩形ABCD 中 4AB = 6AD = 点P 是边AD 的中点．(1)如图1 连接BP 并延长 与CD 的延长线交干点F 问：线段CF 上是否存在点Q 使得PFQ △是以PF 为腰的等腰三角形 若存在 请直接写出DQ 的长 若不存在 请说明理由．(2)①如图2 把矩形ABCD 沿直线MN 折叠 使点B 落在点D 上 直线MN 与AD BD BC 、、的交点分别为M H N 求折痕MN 的长．①如图3：在①的条件下 以点A 为原点 分别以矩形ABCD 的两条边AD AB 、所在的直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系 若点R 在x 轴上 在平面内是否存在点S 使以R M N S 为顶点的四边形是菱形？若存在 请求出点S 的坐标 若不存在 请说明理由．(3)如图4：若点E 为CD 边上的一个动点 连结PE 以PE 为边向下方作等边PEG △ 连结AG 则AG 的最小值是______．（请直接写出答案）参考答案：1．C2．B3．B4．B5．D6．A7．D8．B9．491310．43︒111012．213．72514．解：如图 过点F 作FM BC ⊥ 垂足为M 连接BE ．①四边形ABCD 为正方形①AB BC CD AD === 90A ABC C D ∠=∠=∠=∠=︒①90A ABC BMF ===︒∠∠∠①四边形ABMF 为矩形①12MF AB BC ===①将正方形纸片ABCD 折叠 使点B 落在边CD 上的点E 折痕为FG ①90C FMG ∠=∠=︒ BE FG ⊥①90BNG C ∠=∠=︒①90MGF CBE BEC CBE ∠+∠=∠+∠=︒ ①MGF CEB ∠=∠在FMG 和BCE 中 MGF CEB FMG C FM BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS FMG BCE ≌①MG CE =．又①5CE =①5MG =．在Rt MFG 中 根据勾股定理得13FG == 即FG 的长是13．15．（1）设DE EG x == 则8AE x =- 在Rt AEG △中 222AG EG AE +=所以()22168x x +=-解得：3x =即3DE =（2）过点G 作GM AD ⊥于M 则1122AG GE AE GM ⨯=⨯4AG AB == 5AE = 3GE = 所以1143522GM ⨯⨯=⨯⨯所以125GM = 所以11825CED S GM DE =⨯=△． 16．解：（1）证明：①四边形ABCD 是矩形 ①AD ①BC①①GFE =①FEC①图形翻折后点G 与点C 重合 EF 为折线 ①①GEF =①FEC FG =FC EG =EC ①①GFE =①FEG①GF =GE①GE =EC =CF =FG①四边形CEGF 为菱形（2）当G 与A 重合时 由折叠的性质得AE =CE ①①B =90° AB =3 BC =9 BE =9-CE ①Rt ①ABE 中 AE 2=AB 2+BE 2即CE 2=32+(9-CE )2解得 CE =5．AC 222239310AB BC ++=由（1）知四边形CEGF 为菱形 ①12CEGF S EF AC CE AB =⨯=⨯菱形 ①10310EF == 17．（1）解：四边形CDC E '是菱形 理由如下： 根据折叠的性质可得：CD C D C DE CDE '∠=∠ CE C E '= ①AD BC ∥①C DE CED '∠=∠①CDE CED ∠=∠①CD CE =①CD C D C E CE ''===①四边形CDC E '为菱形（2）①①四边形CDC E '是菱形 ①2C E CE '== C E CD '∥ CM C M '= ①30C EF DCB '∠=∠=︒ ①C F BE '⊥ ①112C F C E ''== EF F '=①四边形CDC E '的面积212CE C F '=⨯=⨯= 故答案为：2①①EF = 2CE =①2CF =①(2222218C C C F CF ''=+=+=+①C F BC CM C M ''⊥=， ①12FM C C '=①22124FM C C '==故答案为：2 18．（1）解：存在 理由如下： 四边形ABCD 是矩形 90A ADC ∴∠=∠=︒ AB CD = 90FDP ∴∠=︒点P 是边AD 的中点 AP DP ∴=又APB DPF ∠=∠ ()ASA ABP DFP ∴△≌△ PF PB ∴= AB DF = 4,6AB AD ==4DF AB ∴== 132AP PD AD === 90A ∠=︒在Rt ABP 中：2222345PB AB AP +=+=5PF ∴=PFQ △为等腰三角形 以PF 为腰的等腰三角形分为两种情形： ①当PF PQ =时 此时点Q 与点C 重合 故4DQ DC == ①当FP FQ =时 如图：5PF = 5FQ = FD =4541DQ FQ FD =-=-=综合①① DQ 的长为：4或1（2）解：①如图：连接BM DN根据题意可知：MN 垂直平分BD ,MN BD BH DH ∴⊥= ,NB ND MB MD == 四边形ABCD 是矩形AD BN ∴MDH HBN ∴∠=∠ 又MHD NHB ∠=∠MHD NHB ∴△≌△MH HN ∴= MD NB =∴四边形MBND 是菱形设AM b = 则6MD MB b ==-在Rt AMB △中222BM AM AB =+即：222(6)4b b -=+ 解得：53b = 5513,6333AM BM ∴==-= 在Rt △ABD 中BD 12BH BD ∴=MH BD ⊥∴在Rt MHB △中MH ==2MN MH ∴== ①建立平面直角坐标系如图：由①知：53AM = 133BN MD MB ===4AB = MN = ①5130433M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， R M N S 为顶点的四边形是菱形 点R 在x 轴上当MR 为对角线时 MR NS ⊥,M R 都在x 轴上 ∴,N S 关于x 轴对称 1343S ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 当MN 为对角线时 MN RS ⊥ 由（2）知 四边形MBND 是菱形 则S 与点B 重合 ∴此时(0,4)S -当MS 为对角线时 则MR SN ∥ MR SN =MN = 13(,4)3N -①1343S ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭综上可知 存在点S 使得以R M N S 为顶点的四边形是菱形 点S 坐标为：134134⎫--⎪⎪⎝⎭ 134134⎫+-⎪⎪⎝⎭ 13,43⎛⎫⎪⎝⎭ (0,4)- （3）解：如图：分别以PD PC 为边向下方作等边,PDF PCH △△ 过点F 作FI AD ⊥垂足为I 连接AF HF P 为AD 中点 ∴132AP PD AD ===PDF △为等边三角形1322PI PD ∴== 60DPF ∠=︒ PD PF =PA PF = 60DPF ∠=︒30PAF PFA ∴∠=∠=︒120APF ∴∠=︒92AI AP PI ∴=+=点E 为CD 边上的一个动点 以PE 为边向下方作等边PEG △ 当点E 与点D 重合时 点G 与点F 重合 当点E 与点C 重合时 点G 与点H 重合 ∴点G 在线段FH 上运动 当AG HF ⊥时 AG 最小 PEG △为等边三角形60EPG ∴∠=︒ PE PG =60 FPG FPE FPE EPD∴∠+∠=∠+∠=︒FPG DPE∴∠=∠∴FPG DPE△≌△PDE PFG∴∠=∠90PDE∠=︒∴90PFG∠=︒PF FH∴⊥当AG HF⊥时AG PF120,30APF PAF∠=︒∠=︒18012060PAG∴∠=︒-︒=︒603030 FAG PAG PAF∠=∠-∠=︒-︒=︒IAF GAF∴∠=∠FI AD⊥90AIF∴=︒在AFI和AFI中AIF AGFAF AFFAG FAI∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASAAFI AFI≌AG AI∴=∴当AG HF⊥时92AG AI==故答案为：92．。

A图 （2） 中考数学专题复习——折叠剪切问题折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.一、折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）A．600 B ．750 C ．900D ．950答案：C【2】如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65° 答案：A【3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.答案：36°二、折叠后求面积【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10答案：C【5】如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的图（1）第3题图虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是A ．2B ．4C ．8D ．10答案：B【6】如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。

操作：（1）将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；（2）将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c 。

则△GFC 的面积是（ ）A.1cm 2B.2 cm 2C.3 c m 2D.4 cm 2 答案：B三、折叠后求长度【7】如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是（ ） （A）15 （B）10-（C ）5 （D ）20-答案：D 四、折叠后得图形【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将E A A A B B B C C C GD D D F F F 图a 图b 图c 第6题图 第7题图第10题图①展开后得到的平面图形是（ ）A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形答案：D【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ）A. B. C. D.答案：D【10】小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )答案：D 【11】将一圆形纸片对折后再对折，得到图1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（ ）答案：C【12】如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）第8题图第9题图A B CD图3图1 第12题图答案：C【13】 如图，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，AD ⊥BC ，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案：D五、折叠后得结论【14】亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______°.”答案：180【15】从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是（A.a 2–b 2 =(a+b)(a-b) Ｂ.(a –b)2 = a 2–2ab+b 2Ｃ.(a+b)2 = a 2 +2ab+ b 2 Ｄ.a 2 + ab = a (a+b) 答案：A【16】如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB ＝a cm ，宽BC ＝b cm ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于（ ）． A ．1:2 B ．2:1 C ．1:3 D ．3:1第14题图第15题图（1） 第17题图 （2）答案：A六、折叠和剪切的应用【17】将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）.（1）如果M 为CD 边的中点，求证：DE ∶DM ∶EM=3∶4∶5；（2）如果M 为CD 边上的任意一点，设AB=2a ，问△CMG 的周长是否与点M 的位置有关？若有关，请把△CMG 的周长用含DM 的长x 的代数式表示；若无关，请说明理由.答案：（1）先求出DE=AD 83，AD DM 21=，AD EM 85=后证之.（2）注意到△DEM ∽△CMG ，求出△CMG 的周长等于4a ，从而它与点M 在CD 边上的位置无关.【18】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国的报纸一般都有一个共同的特征:每次对折后,所得的长方形和原长方形相似,问这些报纸的长和宽的比值是多少?答案：2∶1.【19】用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分,其中M 为AD 的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt △BCE 就是拼成的一个图形.(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt △BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt △BCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB 和BC 的长分别为a 厘米、b 厘米,且a 、b 恰好是关于x 的方程01)1(2=++--m x m x 的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.答案：（1）如图ABCDEF MG 第19题图 E B A C B A M C D M 图3 图4 图1 图2 第21题图 BACBAMCEM图3图4E第21题答案图（2）由题可知AB ＝CD ＝AE ，又BC ＝BE ＝AB ＋AE∴BC ＝2AB ， 即a b 2=由题意知 a a 2,是方程01)1(2=++--m x m x 的两根 ∴⎩⎨⎧+=⋅-=+1212m a a m a a消去a ，得 071322=--m m 解得 7=m 或21-=m 经检验：由于当21-=m ，0232<-=+a a ，知21-=m 不符合题意，舍去. 7=m 符合题意.∴81=+==m ab S 矩形答：原矩形纸片的面积为8c m 2.【20】电脑CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”。