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郝桐生--第6章 空间力系和重心(执行)

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第六章 空间力系

第六章 空间力系

二、力对点之矩
上式为力对点的矩的解析表达式。 上式为力对点的矩的解析表达式。
三、力对点之矩与力对过该点的轴的矩的关系
6.2 力 r r r r r r r r r r r mO ( F ) = [mO ( F )]x i + [mO ( F )]y j + [mO ( F )]z k 对 r r 比较前两式， 轴 比较前两式，得： [mO ( F )]x = ( yZ − zY ) r r 之 [mO ( F )]y = ( zX − xZ ) 矩 r r 和 [mO ( F )]z = ( xY − yX ) 力 r r r 比较上式和例2的结果 的结果， 对 比较上式和例 的结果，得： mO ( F ) x = mx ( F ) r r r 点 mO ( F ) y = m y ( F ) 之 r r r 矩 mO ( F ) = mz ( F )
R = (∑ X ) 2 + (∑ Y ) 2 + (∑ Z ) 2 ∑X ∑Y ∑Z cos α = , cos β = , cos γ = R R R
R =∑F =0
∑ X = 0, ∑ Y = 0, ∑ Z = 0
即为空间力系的平衡方程。 即为空间力系的平衡方程。 平衡方程
例1
重为P的物体用杆AB和位于同 6.1 空 一水平面的绳索AC与AD支承，如 C 图。已知P=1000N，CE=ED=12cm， 间 o
mz ( R ) = ∑ mz ( F )
例2 6.2 r 力 F Br 对 Fy A( x , y , z ) r 轴 Fx z 之 r y x 矩 Fy y a r 和 r Fx x 力 Fxy b = zX − xZ r r r r 对 mz ( F ) = mz ( Fx ) + mz ( Fy ) + mz ( Fz ) 点 = xY − yX 之 矩 以上三式是力对轴的矩的解析表达式。

lllx第六章静力学空间力系重心-精选文档

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z
F

B
b C c y
D
力对轴之矩 a A M ( F ) yF zF x z y x b F sin a 0 F sin b M ( F ) zF xF y x z


a ( F cos ) ( c ) F sin Fc sin Fa cos
Northeastern University
第六章 空间力系
重心
1
工程中的空间力系问题
2
力在空间坐标轴上的投影 力对轴之矩
3
4 5
空间力系的平衡方程
重心
PAG 1
Northeastern University
§6-1
工程中的空间力系问题
空间力系:力系各分力的作用线分布在空间,而且不能 简化到某一平面的力系。
y
F3
' ' F , i ) F F 方向 cos( R ix R
PAG 9
Northeastern University
§6-4
空间力系的平衡方程
MO
一、空间一般力系向一点的简化
空间力偶系的合力偶之矩 — 主矩
z M1
B
M M o O i C M i M j M k Ox Oy Oz x M3 [ M ( F )] i [ M ( F )] j [ M ( F )] k x i y i z i ( y F z F ) i ( z F x F ) j ( x F y F ) k i iz i iy i ix i iz i iy i ix
一、空间的力对轴之矩 — 代数量

静力学 第6章空间力系及重心

静力学 第6章空间力系及重心
3
,
y2
4r
3
b
,
y3
0
yC
Ai yi A
yC
A1 y1 A2 y2 A3 y3 A1 A2 A3
40.01mm
3)． 实验法 （1） 悬挂法
（2） 称重法
P xC F1 l
xC
F1 P
l
xC
F1 P
l
整理后，得
zC
r
F2 F1 P
1 H
l2 H2
作业
•6-2,6-3,6-5
MO 0
FR MO 成 角
FR 0 MO 0
ห้องสมุดไป่ตู้
力螺旋 平衡
力螺旋中心线通过简化中心
简化中心到力螺旋中心轴距离
d MO sin / FR
与简化中心的位置无关
2. 空间一般力系的平衡条件
空间任意力系平衡的充分必要条件：
空间任意力系的平衡方程
3. 特殊力系的平衡条件
⑴.空间汇交力系的平衡方程 力多变形法则对空间汇交力系仍然适用
力螺旋力螺旋中心线通过简化中心主矩最后结果说明合力合力作用线过简化中心合力偶平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关空间任意力系的简化结果简化中心到力螺旋中心轴距离sin空间一般力系的平衡条件空间任意力系的平衡方程
第六章 空间力系与重心
§6.1 工程中的空间力系问题 §6.2 力在空间坐标轴上的投影 §6.3 力对轴之矩 §6.4 空间力系的平衡方程 §6.5—物体的重心坐标公式与求法
§6.3 力对轴之矩 ( moment of a force about an axis )
M z F MO Fxy Fxy h
F
力与轴相交或与轴平行（力

空间力系 重心

空间力系 重心

（2）方向:转动方向
（3）作用面：力矩作用面.
MO ( F ) r F
第六章 空间力系 重心
§6–3 力对点的矩和力对轴的矩
力对轴的矩
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力 对该轴的矩为零。
重心C的矢径
Pi ri rC Pi
式中的ΔPi可以是物体中任一部分的重量，而不仅限于微元体。 对由简单形体组成的物体，可用这种方法求重心，称为分割法。
第六章 空间力系 重心
1．计算重心坐标的公式 对y轴用合力矩定理
P xC P x1 P x2 .... P xn P xi 1 2 n i
（1)实际重心偏后，飞机拉起时尾部摩擦跑道导致起火； （2)实际重心偏前，飞机冲到跑道尽头仍然拉起困难；
（3)直升机重心偏离旋翼轴心，使飞行员难以操纵飞机。
第六章 空间力系 重心
•重心：物体所受的重力是一种体积 分布力。不论物体如何放置，其重力 的合力作用线相对于物体总是通过一 个确定的点，这个点称为物体的重 心 。
如一空间力系由F1、F2、…、Fn组成，其合
力为FR，则合力FR对某轴之矩等于各分力对同
一轴之矩的代数和。
M z ( FR ) M z ( Fi )
i
第六章 空间力系 重心
§6–4 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
•简化过程：
将力系向已知点 O 简化 —— O 点称为简化中心。
R
z
Rx
第六章 空间力系 重心
活页铰
第六章
空间力系 重心
滑动轴承
第六章

第六章空间力系

第六章空间力系
Fx Fy Fz
kr Oj
ih x
A(x,y,z) y
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
4.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投
z
影为
[M O (F )]x yFz zFy
MO(F)
[M O (F )]y zFx xFz [M O (F )]z xFy yFx
求力F在三轴上的投影和对三轴的矩。
z
解：
Fx F cos cosj
Fa a2 b2 c2
c
Fy F cos sinj
Fb a2 b2 c2
x
Fz F sin
Fc a2 b2 c2
M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) Fyc
MO F'R
＝ F'R
O
O
4.4.2 空间任意力系的简化结果分析
F'R ≠ 0，MO≠0 ，同时两者既不平行，又不垂直，此时 可将MO分解为两个分力偶M"O和M'O，它们分别垂直 于F'R和平行于F'R，则M"O和F'R可用作用于点O'的力 FR来代替，最终得一通过点O '的力螺旋。
MO
F'R

O
a
FB
y b Fxy
符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之 取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。
由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力 对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。

工程力学第6章 空间力系重心

工程力学第6章 空间力系重心

载荷F。钢丝OA和OB所构成的
平面垂直于铅直平面Oyz，并与
该 平 面 相 交 于 OD ， 而 钢 丝 OC
则沿水平轴y。已知OD与轴z间
的 夹 角 为 β ， 又 ∠ AOD =
∠BOD = α，试求各钢丝中的
拉力。
空间汇交力系
例题4
A
D
Bz F3
F2 αα β
x
O
yC F1
解： 取O点为研究对象，受
力分析如图所示，这些力构 成了空间共点力系。
F
空间汇交力系
例题4
力F2与x轴之间 的 夹 角 为 90o － α ， 故它在该轴上的投 影为：
F2x F2 cos (90o ) F2 sin
空间汇交力系
例题4
DB z
A
F' F3
F2 αα β
x
O
yC F1
列平衡方程
Fx 0， F2 sin F3 sin 0 Fy 0,
例题3
Fx
Fz
6-4 空间力系的平衡方程
空间力系的平衡方程为：
Fx 0, mx (F ) 0 Fy 0, my (F ) 0 Fz 0, mz (F ) 0
空间汇交力系
例题4
如图所示为空气动力天平
上测定模型所受阻力用的一个
悬挂节点O，其上作用有铅直
Fz 0,
FAz FBz (F3 F4 ) cos 30 (F1 F2 ) 0
Mx 0, FAZ 0.25 m FBZ 1.25 m (F3 F4) cos 30 0.75 m 0
M y 0, (F1 F2 ) 0.4 m (F3 F4 ) 0.2 m 0 Mz 0, FAx 0.25 m FBx 1.25 m (F3 F4 )sin 30 0.75 m 0

06空间力系 重心(new)


合力偶Ｍo称为力系的主矩
M ox M x F M oy M oz
空间力系的平衡方程：
y
M F M F
z
Fx 0, Fy 0, Fz 0
M x F 0, M y F 0, M z F 0



空间汇交力系的平衡方程：
Fx 0 Fy 0 Fz 0
§6-3 力对轴之矩
1、力对轴之矩概念
定义:力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该轴 之矩，是用来量度力使物体绕轴转动效应的物理量。
F对转轴z的矩：
mz F mo F2 F2 d

Fz
Fy
Fx
通常规定：从z轴 的正向看去，逆 时针方向转动的 力矩为正，顺时 针方向转动的力 矩为负。
y
xC
重心坐标式
xi Ai A y A yC i i A
o
xc
C yc
x
§6-7 物体重心的求法
1、对称性法—当研究的物体具有对称轴、对称面或对称中心的均抽物体，其
重心一定在对称轴、对称面或对称中心上。
2、分割法—将形状较复杂的物体分成具有简单几何形状的几个部分，每一部 分容易确定，然后，再根据重心坐标求出组合形体的重心（简单几何图形的重 心坐标公式可以查表）。
mx W
W1
Wn W2 z 2 zn x1 W xc x2
c
m W ,
n x i i 1
z1 z
y1 y2 X
Y xn
y
c
W . yC W1 y1 W2 y 2 Wn y n my W
m W ,
n y i i 1 n z i i 1

第六章 空间力系 重心


z
F5 O x F4 m2 y F2 F1 m1
F6 F3
M z ( R) m z ( F i ) ( a F a 2a F a ) ( a F a a F a ) 2a F a a F a a F a (0 m3) a F a m3
三、空间力系平衡的充要条件 力系中诸力在坐标轴上的投影的代数和为零，对各轴 之矩代数和为零。 四、空间一般力系的平衡方程
§ 6-3
一、力对点之矩
力对点之矩和力对轴之矩
z F
mO(F) = r×F
力矩是(定位于矩心的) 定位矢量，其方向由右 手螺旋定则确定。 设r=xi+yj+zk， F=Fxi+Fyj+Fzk，
i j y Fy k z Fz
x
O
y
mO(F) 在坐标轴上 的投影为：
[mO ( F )]x yFz zFy [mO ( F )]y zFx xFz [mO ( F )]z xFy yFx
【例6-4】不计杆件和圆盘自重，求图示结构中夹紧端 A处的约束反力。
【解】1)对结构作受力分析。
2)列平衡方程：
F iz P F A 0 m x ( F i ) Pl m Ax 0 m y ( F i ) m Ay P (l D 2) 0
m (F ) 0 m (F ) 0
x i
y i
z
O未知数 其平衡方程为： F iy 0 m z ( F i ) 0
空间平行力系是空间一般力系的特例。 即： F ix 0
y
F
iz
0
m (F ) 0
mz (F xy) mz (F x) mz (F y)

第六章 空间力系


B C
α
α
解：
30
1. 先取滑轮 为研究对象。注意 ， 先取滑轮B为研究对象 。 注意， 为研究对象
起重杆AB为桁架构件，两端铰接， 起重杆 为桁架构件，两端铰接，不 为桁架构件 计自重，它是一个二力构件， 计自重 ，它是一个二力构件 ，把滑轮
5m
D
60
B简化为一点 ， 它的受力图如图所示 。 简化为一点， 它的受力图如图所示。 简化为一点 这是一平面汇交力系， 这是一平面汇交力系，列平衡方程
Mz = M1z + M2z + M3z = 41.2 N m
O
x
3.合力偶矩矢 的大小和方向。 合力偶矩矢M 的大小和方向。 合力偶矩矢
2 2 2 M = Mx + My + Mz = 42.7 N m
Mx cos( M, i) = = 0 , ∠( M, i) = 90° M My cos( M, j) = = 0.262 , ∠( M, j) = 74.8° M Mz cos( M, k) = = 0.965, ∠( M, k) = 15.2° M 4. 为使这个刚体平衡，需加一力偶，其力偶矩矢为 为使这个刚体平衡，需加一力偶，
∑Miy ∑Mix cos β = cosθ = M M
∑Miz cosγ = M
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等 于零， 于零，即 M = 0 有 ∑Mix = 0
∑ Miy = 0
∑Miz = 0
称为空间力偶系的平衡方程。 称为空间力偶系的平衡方程。 空间力偶系的平衡方程
例题6-4 例题
=
F = F′ = F2 1 1
= F2′ = F3 = F3′
= =

第六章 空间力系和重心


F
x
0, Fy 0, Fz 0,
例6-2
已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；
30
0
求：杆受力及绳拉力 解：画受力图，列平衡方程
F
x
0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
FFy0源自FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
z
0

F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
例6-3 已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力. 解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受 力图。
F F
M O ( F , F ) (rA rB ) F M
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转 ，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体 的作用效果不变.
=
=
=
) rBA FR rBA ( F1 F2 ) M ( FR , FR rBA F1 rBA F2 rBA F1 M ( F1 , F1)
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另 一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.
=
=
F1 F1 F2
F2 F3 F3
=
=
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩矢相等的力偶等效——空间力 偶等效定理 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
例6-4 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削力 偶矩均为80N·m. 求：工件所受合力偶矩在 x, y, z 轴上的投影 解：把力偶用力偶 矩矢表示，平行移 到点A .
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第六章
空间力系和重心
例4-4 在边长为a的正方体的顶角B作用了一大小为F的力，其作 用线过棱边CG的中点K，如图所示，试计算该力对轴HE 的矩。 H G K O C
F
z
D E B a y A
作为作业
x
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第六章
空间力系和重心
§6－5 空间任意力系向已知点的简化·主矢与 主矩·空间力系的合力矩定理
第六章
空间力系和重心
§6－2 空间汇交力系的合成与平衡
空间汇交力系的几何法与平面汇交力系类似。
FR = F 1 +F 2 +F 3 +"= ∑F i
各力首尾连接形成 空间力多边形，封闭边 代表合力；P104 注意合力作用线通 过汇交点。
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第六章
空间力系和重心
空间汇交力系的解析法
各分力
空间力对点之矩由右手法则确定矢量方向，以矩心为力矩矢 量起点。由于力对点之矩大小和方向均与矩心有关因此是一个 定位矢量；而力偶矩是自由矢量。P109 空间力对点之矩矢量与矩心位置有关； 而空间力偶矩矢量与矩心位置无关。
i j k rOA=( x, y,z) MO(FAB) = rOA× FAB x y z = FAB=(Fx ,Fy ,Fz ) Fx Fy Fz
1、空间任意力系向已知点的简化 简化理论依据是: 力的平移定理。 力的平移定理: P112 作用于刚体上的任一力,可平移 至刚体的任意一点,欲不改变该 力对于刚体的作用,则必须在该 力与指定点所决定的平面（力 矩面）内加一力偶,其力偶矩矢 等于力对于指定点之力矩矢量.
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第六章
空间力系和重心
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第六章
空间力系和重心
作业： 今天交上次：全部交 布置本次：课后习题 5-2；6-4
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第六章
空间力系和重心
根据力对于点O之矩与力对于通过 该 点O的某方向轴之矩间的关系可 以利用矢量计算来计算力与轴夹角 不易确定情况下力对该轴之矩 力矩关系定理:力对于任一点之矩矢 在通过该点的任一轴上的投影等于力 对于该轴之矩。
（2）二次投影法(先向包括投影轴在内的平面投影)P103
z
Fz
这里注意力向坐标轴投影是代数量 而力向某平面投影是矢量。P103 若引入单位矢量，则力F沿直角 坐标轴分解的表达式为 x
Fx
θ
F
Fy y
ϕ F xy
F = Fx + Fy + Fz = Fx i + Fy j + Fz k
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第六章
空间力系和重心
图示斜五面体OABCDE沿坐标轴正向三个棱边的长度OA＝4，OC ＝3，OE＝3（单位m），斜平面ABDE沿对角线EB间作用一力P ＝10kN，则该力在x轴上的投影Px=_______kN。在y轴上的投影 Py=_______kN。在z轴上的投影Pz=_______kN。
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同样，将 M O 及 M O (F ) 均投影在同一坐标轴上，并应用 力对点矩与对轴矩关系，则得 M Ox = ∑ [ M O ( F )]Ox = ∑ M Ox ( F ) M Oy = ∑ [ M O ( F )]Oy = ∑ M Oy ( F )
' ' ' cos α = ∑ Fx FR , cos β = ∑ Fy FR , cos γ = ∑ Fz FR
3 3 3 2 2 1 = (− i + j + k ) F 3 3 3
i j −a 2 3
CM
rAC = AC = − aj
k 0 1 3
a y A
x
C
M A ( F ) = rAC × F = F ⋅ 0 2 − 3 1 2 = (− i − k ) ⋅ aF 3 3 AH = (− a,−a, a ) ⇒ e AH = (−
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空间力系和重心
例6-3 在边长为a的正方体的顶角C作用了一大小为F的力，其作 用线过棱边BD的中点M，如图所示，试计算该力对轴AH 2 2 1 a 的矩。 【解】 CM = (− a, a, ) ⇒ e = (− , , ) H G z D E M B O
F
2
F = F ⋅ eCM
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第六章
空间力系和重心
第六章 空间力系和重心
§6－1 §6－2 §6－3 §6－4 空间力沿坐标轴的分解与投影 空间汇交力系的合成与平衡 空间力偶理论 力对于点之矩与力对于轴之矩
§6－5 空间任意力系向已知点的简化·主矢 与主矩·空间力系的合力矩定理 §6－6 空间任意力系的平衡条件与平衡方程 §6－7 平行力系的中心与重心
F2
F1
F
FRx ∑ Fx cos α = = FR FR
cos β =
FRy FR
F ∑ = FR
y
y
FRz ∑ Fz cos γ = = FR FR
x
Fn
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第六章
空间力系和重心
平衡的必要与充分条件：该力系的合力为零。 空间汇交力系的平衡方程
FR = (∑ Fx ) 2 + (∑ Fy ) 2 + (∑ Fz ) 2 = 0
Fxy = F sin θ Fx = Fxy cos ϕ = F sin θ ⋅ cos ϕ Fy = Fxy sin ϕ = F sin θ ⋅ sin ϕ Fz = F cos θ 反之 F = Fx2 + Fy2 + Fz2
cos α = Fx / F , cos β = Fy / F , cos γ = Fz / F
2、空间任意力系向任一点简化
FR = ∑ F ′ = ∑ F
M O = ∑ M = ∑ M O (F )
空间任意力系向任一点简化的结果。一般可得到一力和一力偶， 该力作用于简化中心，其力矢等于力系的主矢，该力偶 的力偶矩矢等于力系对于简化中心的主矩。 P113 与平面力系一样，空间力系的主矢与简化中心的位置无关， 而主矩一般将随着简化中心的位置不同而改变。
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第六章
空间力系和重心
3.力对于点O之矩与力对于通过点O的轴之矩间的关系P109 力矩关系定理:力对于任一点O之矩矢在通过点O的任一轴上的 投影等于力对于该轴之矩。
[ M O ( F )]OZ = M O ( F ) cos γ = M Oz ( F )
高等数学空间几何
=
MO(F) ⋅ eOZ
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第六章
空间力系和重心
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第六章
空间力系和重心
(1) FR = 0, M 0 = 0, 平衡条件。
(3) FR′ ≠ 0, M 0 = 0,
20111017空间任意力系简化结果的分 析 ′P114
(2) FR′ = 0, M 0 ≠ 0, 最后合成一个力偶。
(最后合成为一个力，其作用线过简化中心)
∑M
z
(F ) ≠ 0
1答：力螺旋。
∑F
2、Oxyz为直角坐标系，已知一空间任意力系满足：
Fi = Fix i + Fiy j + Fiz k
空间合力投影定理 合力在某一轴上的投影，等于力系中所有各 力在同一轴上的投影的代数和 FRx = ∑Fx FRy = ∑Fy FRz = ∑Fz 则合力
2
FR = FRxi + FRy j + FRzk
2 2
z
FR = FRx + FRy + FRZ = (∑ Fx ) 2 + (∑ Fy ) 2 + (∑ Fz ) 2
1 1 1 ,− , ) 3 3 3
M AH ( F ) = M A ( F ) ⋅ e AH a C = (a,0,0) M = (0, a, ) H = (0,0, a ) A = (a, a,0) 2
1 1 1 2 1 aF =− = − aF ⋅ (− ) + 0 ⋅ (− ) + (− aF ) ⋅ 3 3 3 3 3 3 3
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第六章
空间力系和重心
力偶矩矢是一矢量。 力偶的矢量方向用右手螺旋法则确定。从力偶矢末端看去， 逆时针转动为正。 空间力偶是一个自由矢量（在作用面内或平行平面可自由移转）。 P107 力对刚体来讲是滑动矢量，可沿作用线移动。 力对变形体来讲是定位矢量 空间力对点之矩是定位矢量 空间力偶的等效定理：凡矩 矢相等的力偶均为等效力偶。 第八讲 P108
M O = [∑ M Ox ( F )]2 + [∑ M Oy ( F )]2 + [∑ M Oz ( F )]2
cos α ' = ∑ M Ox ( F ) M O cos β ′ = ∑ M Oy ( F ) M O cos γ′ = ∑ M Oz ( F ) M O
M Oz = ∑ )
∑F
x
= 0,∑ Fy = 0,∑ Fz = 0,
各力首尾连接形成封闭空间力多边形。P105
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第六章
空间力系和重心
§6－3 空间力偶理论
1、空间力偶的等效定理，力偶矩矢的概念 同平面内力偶等效条件：力偶矩大小相等，转向相同。 平行平面间的力偶的等效条件：作用面平行的两个力偶，若其力 偶矩大小相等，转向相同，则两力偶等效。P107 注意：分别作用在不平行平 面内的两个力偶对于刚体的 效应是不同的 空间力偶的三要素：P107 大小、力偶在作用面内的转向 和力偶作用面在空间的方位。 力偶矩矢是一矢量。
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第六章
空间力系和重心
§6－4 力对于点之矩与力对于轴之矩