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高等数学逆矩阵ppt课件

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高等数学第四章课件-矩阵的逆

高等数学第四章课件-矩阵的逆

( AB ) B −1 = EB −1 ,
例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆 . ⎛ 1 2 3⎞ (1) A = ⎜ 2 2 1 ⎟ ⎜ 3 4 3⎟ ⎝ ⎠ 1 2 3 −1 ∴ A 存在. 解: ∵ A = 2 2 1 = 2 ≠ 0, 3 4 3 2 1 2 1 2 2 A11 = = 2, A12 = − = −3, A13 = = 2, 3 3 3 4 4 3 同理可得, A21 = 6, A22 = −6, A23 = 2,
2 A − 3 A − 10 E = 0 相矛盾. 这与
所以, A + 2 E 与 A − 5 E 不同时可逆.
例2’’ 设方阵 A 满足 A2 − 3 A − 10 E = 0, 若 A ≠ 5 E , 证明: A + 2 E 不可逆. 证： （反证法） 假设A+2E可逆,
−1 2 ( A + 2 E ) ( A − 3 A − 10 E ) = 0 则 −1 即( A + 2 E ) ( A + 2 E )( A − 5 E ) = 0
⎛ A1 (3) 设 A1 , A2 是 n1 , n2 级可逆矩阵, A = ⎜ ⎝ A3 解: 因为 A1 , A2可逆
0⎞ ⎟. A2 ⎠
A1 ∴| A |= A3
0 =| A1 || A2 |≠ 0. A2
故A可逆. ⎛ X 11 −1 设A =⎜ ⎝ X 21 ⎛ A1 则 ⎜ ⎝ A3
⇒ B = 6( A − E ) .
−1 −1
B = 6( A − E )
−1
−1
⎡⎛ 2 ⎜ ⎢ = 6 ⎜0 ⎢ ⎜0 ⎢ ⎣⎝
0 4 0
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高等数学逆矩阵ppt课件

高等数学逆矩阵ppt课件

268.
例7: 设方阵A满足矩阵方程 A2–A–2E = O, 证明: A, A+2E 都可逆, 并求它们的逆矩阵.
证明: 由 A2–A–2E=O, 得 A(A–E)=2E,
则
A
1
(
A
E
)
A1 E,
故A可逆, 且A-1 = 1 ( A E ).
2
2
又由 A2–A–2E=O, 得 (A+2E)(A–3E)+4E=O,
1 3
2, A12
2 3
1 3
3, A13
2 3
2 4
2,
同理可得 A21 6, A22 6, A23 2,
A31 4, A32 5, A33 2. 所以,
A
2 3
2
6 6
2
4 5
,
2
故
A1
|
1 A A|
1 3
1
2
3 3
1
5
122.
7
例3: 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵.
由伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | E, 知
当| A | 0时,
A 1 A 1 A A E, | A| | A|
按逆矩阵的定义得, A1
1
A .
| A|
当| A | = 0 时, 称A为奇异矩阵, 否则称A为非奇异
矩阵.
4
由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非 奇异矩阵.
§2.3 逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念和性质
在数的运算中, 当数 a 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1.
其中 a1 1 为a 的倒数, 或称a的逆(元). a

课件：逆矩阵

课件：逆矩阵
(3) 若A, B为同阶方阵且均可逆, 则 AB亦可逆, 且
( AB)1 B1A1 (4) 若A可逆，则AT也可逆，且( AT )1 ( A1)T.
(5) 若A可逆，则 A1 A 1 .
(6)( A )1 ( A1) A 1 A. (7)( A ) A n2 A,当n 2时，( A) A
证明：若 AB E，则 AB A B 1，故 A 0， 即 A可逆, 且 B ( A1A)B A1( AB) A1, 同理，B可逆，且 A B1 .
方阵A的逆矩阵的求法:
(1) 利用公式 A1 1 A, (适用于二阶、三阶矩阵求逆) A
(2) 寻找方阵 B , 使得 AB E. (适用于抽象矩阵求逆)
【例9】设
3 1 0
A
2
2
0
0 0 4
解 AX A 2X
解方程 AX A 2X .
AX 2X A
( A 2E) X A,得到
X ( A 2E )1 A,
1 1 0 1 3 1 0
X
2
4
0
2
2
0
0 0 2 0 0 4
4 1 0 3 1 0
1 2
5 10
5 15
，
5 0 0 1 0 0
则
A1
A* A
1 25
0 0
5 10
5 15
1 5
0 0
1 2
13
若|A|＝ 0, 则称 A为奇异矩阵 (退化矩阵) . 若|A|≠ 0, 则称 A为非奇异矩阵 (非退化矩阵).
推论： 设A、B为同阶方阵，若 AB E，
则 A和 B都可逆，且 A1 B，B1 A .
(8)(AB) BA
注： ( A B)1 A1 B1

第1.1.3逆矩阵PPT课件

第1.1.3逆矩阵PPT课件
1.1.3: 逆矩阵（n阶方阵）
定义 1.7 (逆矩阵)
设A是一个n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使得: AB=BA=E
则称A为可逆阵,B是A的逆矩阵(inverse),逆阵, 可逆阵也称为非退化阵或非奇异阵.（互为逆阵）
2020/10/13
(共3页)
1
➢性质 1.1 如果方阵A可逆,则A有惟一的逆阵. ➢性质 1.2 如果矩阵A可逆,且AB=I,则必有BA=I;如果 矩阵A可逆,且BA=I,则必有AB=I.
感谢阅读！为了方便学习和使用，本文档的内容可以在下载后随意修改，调整和打印。欢迎下载！
汇报人：XXXX 日期：20XX年XX月XX日
➢性质 1.3 如果n阶方阵A,B都可逆,则AB也可逆, 并且(AB)-1=B-1A-1
性质1.3可推广到有限个方阵相乘的情形
( A 1 A 2 A n ) 1 A n 1 A 2 1 A 1 1
2020/10/13
(共3页)
2
谢谢您的指导
YOU FOR YOUR GUIDANCE.

逆矩阵PPT课件

逆矩阵PPT课件
学习目标：1、了解逆矩阵的概念及性质
2、掌握逆矩阵的求法
学习重点：会判别逆矩阵是否存在；如何求逆矩阵 学习难点：熟练运用公式求逆矩阵
一、概念的引入
当数 在数的运算中， 其中 为 时， 有
的倒数， （或称
的逆）；
在矩阵的运算中， 单位阵 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 ， 如果存在一个矩阵 , 使得
证明： 若设
可得 所以 的逆矩阵是唯一的,即
(2)、
(3)、
证明
例
设
目前只能利用定义，用待定系数法解决！
解 则 设 是 的逆矩阵,
又因为
所以
显然当阶数大时，很繁！深切渴望好 方法！！！
三、逆矩阵的求法
定理 矩阵 可逆的充要条件是 ，且
牢 记 这 个 定 理
注：
现在有两种方法：待定系数法（略）和公式法。 例1 求方阵 的逆矩阵.
逆矩阵的计算方法
思考题
思考题解答
答Leabharlann 则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
1、 定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并 ,使得 把矩阵 称为 的逆矩阵. 例 设
注意：
要同时成立！
现在要解决的问题：1. 方阵 满足什么条件时可逆? 2. 可逆时，逆阵怎样求？
2、性质 若 (1)、 是可逆矩阵，则 和 是 的逆矩阵是唯一的. 的可逆矩阵，则有
解
同理可得
用伴随阵求三阶以上 矩阵的逆阵计算量大
故
显然当阶数大时，还是有点很繁哦！继续 渴望好方法！！！
例2
解
用伴随阵求三阶以上矩阵的逆阵计算量大
例3
设
解
于是

逆矩阵ppt课件

逆矩阵ppt课件

例 5 利用逆矩阵求解线性方程组
32xx11x22
x2
x3 3, 5x3 2,
3x1 2x2 3x3 1.
解
2 2 1
令
Hale Waihona Puke A3 31 2
53 ,
x1 3
则
A
x2
2
.
x3 1
7 4 9
由例2知，A1
6
3
3
7
,
2 4
x1
3 7 4 9 3 4
则
A21 A22 A23
A31
A32
A33
M11 M21 M31 7 4 9
M12
M 22
M 32
6
3
7
M13 M23 M33 3 2 4 10
例3
设
P
2 0
2
1
,
B
1 0
1 1
，且 AP PB, 求 An.
解：因| P | = 2，，则 P 可逆，且
A1
ad
1
bc
d c
b
a
9
2 2 1
例2
求3阶方阵
A
3
1
5
的逆矩阵.
3 2 3
解：| A | = 1， M11 7, M12 6, M13 3, M21 4, M22 3, M23 2, M31 9, M32 7, M33 4,
则
A1
|
1 A|
A*
A*
A11 A12 A13
证明： A2 3A 5E 0 ( A E)( A 4E) 9E 所以A + E 可逆，且
( A E)1 1 ( A 4E) 9

逆矩阵的计算ppt课件

可见AB为恒等变换所对应的矩阵，故AB = E 。
上页 下页 返回
26
用(8)代入(10)，得 X = B( AX ) = ( BA )X
即有 BA = E。 于是有AB = BA = E。 具有这种性质的矩阵A称为是可逆的，而矩阵B 称为 矩阵A 的逆矩阵。
上页 下页 返回
27
证 AT ( A1 )T ( A1 A)T ET E.
上页 下页 返回
8
当| A | 0时, 定义 A0 E, Ak ( A1 )k ,
其中 k 为正整数。
当| A | 0,, 为整数时,有
A A A ,( A ) A .
上页 下页 返回
9
例9
1 求方阵 A 2
2 2
13 的 逆 阵.
上页 下页 返回
11
解 于是
A1
1 3
3 3
2 1
1
X A1CB1
52 , 21
B 1
3 5
21,
1 3
2 1
3 3 1
5221
1 2 3
3 0 1
3 5
21
1 0
0
1 2 2
3 5
21
2 10 10
1 4. 4
上页 下页 返回
12
矩阵的运算小结
一、已定义过的运算：
★矩阵与矩阵的加、减法； ★矩阵与数的乘积； ★矩阵与矩阵的乘积； ★方阵的行列式； ★逆矩阵； ★矩阵的转置。
Ex.4
设A
2 0
0 3
00 , 求A的 逆 矩 阵.
0 0 4
解 因| A| 24 0,故A可逆. 又
A11 12, A22 8, A33 6, Aij 0(i, j 1,2,3,且i j),

逆矩阵PPT课件

（ii）如果 = diag(1 , 2 , … , n)为对角矩阵, 则 k = diag(1k , 2k , … , nk)，从而
高等代数
() = a0 E + a1 + … + am m
1
1

1m


a0


1



a1
定义2 当|A|=0时，称A为奇异矩阵（退化矩阵）， 否则称A为非奇异矩阵（非退化矩阵）， 由定理2可知，可逆矩阵就是非奇异矩阵。
高等代数
逆矩阵的求法一：待定系数法
例1:
设
2
A


1
1
0

,
求A的逆矩阵。
解：
设
a
B


c
b d

是A的逆矩阵,
高等代数
逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
项式，A 为 n 阶矩阵，记
(A) = a0 E + a1 A + … + am A m ，
(A) 称为矩阵 A 的 m 次多项式.
高等代数
2. 计算方法
（i）如果 A = P P -1，则 Ak = Pk P –1，从而 (A) = a0 E + a1 A + … + am A m = Pa0EP -1 + Pa1P -1 + … + PammP –1 = P ()P -1 .
3
求 (A) = A3 + 2A2 – 3A .
高等代数
学习导引 1，为什么提出矩阵分块法？体现了一种什么思想？ 2，方阵A的伴随矩阵 是分块矩阵吗？ 3，分块矩阵的加法、数乘运算要注意哪些问题？ 4，如何对分块矩阵进行乘法运算、转置运算？ 5，分块对角阵的行列式、逆矩阵、高次幂如何运算？

高等代数课件：第十八课 逆矩阵

3 A1 1
0 0 1
A2 1
0
1 0 0 3
A
0 0 0
1 0 0
0 1 0
1
0 1
E2 0
B
E2
1 0
E2
0
1
B
0 0
3 1
12
例： 1
A
0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
3
1
0 1
1
2
3 4
1 (1 0 0 3) 2 (0 1 0 1) 3 (0 0 1 0) 4 (0 0 0 1)
A1
E2
A1
0
E2
A1B2 B4 E2 B4 E2
27
行列式知识回顾
a11
a1k
0
D ak1
akk
c11
c1k b11
b1n
cn1
cnk bn1
bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1 det(aij )
, D2 det(bij )
,
ak1 akk
bn1 bnn
a11
令
A
a21
an1
a12 a22
an2
a1n
a2n
,
ann
x1
X
x2
,
xn
b1
B
b2
bn
则线性方程组的矩阵表示为 AX B
若方阵A可逆，则方程两边同时左乘 A1 ， 得
A1AX A1B EX A1B X A1B
7
四、矩阵方程
① 矩阵方程 Ann Xns Bns , 若A为可逆矩阵，则方阵两边同时左乘 A1 得 A1AX A1B 得 X A1B .

2-5逆矩阵PPT课件


可改写为 XA + X(2E) = B, 即 X(A+2E) = B ,
其中 A 2E 3 2, 该矩阵可逆，其逆
1 1
1 2
( A 2E )1 1 1 51
2 3
5 1
5 3
.
5 5
2
故
X
B(
A
2E
)1
1
2
3 1 2
1
5 1
5
2
5 3
5
1 0 0
1 1 . 2
推论2 若A, B都是方阵，且满足AB = E (或 BA=E )，则A可逆，且A-1 = B .
证 由AB = E 得 |A||B| = 1, 于是|A|≠0，A可逆； 则A-1存在，又 B = EB = (A-1 A)B = A-1E = A-1.
推论2说明，在验证B是否为A的逆矩阵时，只 需验证一个等式AB = E 或BA=E 即可, 但注意A, B 须是方阵的前提下才能如此验证.
0 0 4 2
求
例3 A-1,
设A
B-1 .
1 0 0
3 0 0
0 1 2
0 11
,
B
0 3 1
0 1 0
5 0 0
2
0 0
解 把A, B分块化为分块对角阵：
1
A
1 0 0
2 3 0 0
0 0 1 2
0 0 11
A11 0
0 A22 ,
而
A1 11
|
1 A11
|
A* 11
1 5
二、可逆矩阵的判定及其求法
1、伴随矩阵法
定义4 设A (aij )为n阶矩阵，Aij为行列式 | A |
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由伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | E, 知
当| A | 0时,
A1 A 1 AAE, |A| |A|
按逆矩阵的定义得, A1
1
A.
| A|
当| A | = 0 时, 称A为奇异矩阵, 否则称A为非奇异
矩阵.
高等数学逆矩阵
4
由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非 奇异矩阵.
推论: 若 AB=E (或 BA=E), 则 B=A-1. 证明: 由 AB = E 得, | A | | B | = | E | = 1, 故| A | 0. 因而, A-1存在, 于是
B = EB = (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-1. 故结论成立.
当| A | 0 时, 定义
7
例3: 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵.
A 112
2 1 3
323,
B211
3 3
5
1511.
解: | A|
1 2 1
2 1 3
3 2 3
1 0 0
2 3
1
3 4
0
3 1
4 0
40
所以, A可逆. 由于
A11
1 3
2 3
3, A1212
2 3
4, A13
2 1
1 3
5,
同理可得 A 21 3 , A 22 0 , A 23 1 ,
A 31 1 , A 32 4 , A 33 3 .
所A 以1 , |A 1|A|A 1|A A A高1 1 1等3 2 1数学A A A 逆2 2 2矩3 2 1 阵
A A3 32 1 A33
14543
3 0 1
1 834.
2 3 1 由于 |B| 1 3 5 0, 故B不可逆.
1 5 11
求矩阵X使其满足 AXB=C.
343
A11
2 4
1 3
2,
A123 2
1 3
3, A13
2 3
2 4
2,
同理可得 A 2 1 6 ,A 2 2 6 ,A 2 3 2 ,
A 3 1 4 ,A 3 2 5 ,A 3 3 2 .所以,
2 A3
2
6 6
2
54, 2
故
A1 1 | A|
高等数学逆矩阵
A
311
2
3 3
1
2 512.
A0 = E, A-k = (A-1)k (k为正整数).
且此时对任意整数, , 有
AA = A+, (A) = A.
逆矩阵的运算性质
(1) 若矩阵A可逆, 则A-1亦可逆, 且(A-1)-1 = A.
高等数学逆矩阵
5
(2) 若矩阵A可逆, 且 0, 则 A 亦可逆, 且
A11A1.
(3) 若A, B为同阶可逆方阵, 则AB亦可逆, 且
则矩阵A称为可逆矩阵, 称A-1为A逆阵.
定义: 对于n 阶方阵A, 如果存在一个n 阶方阵B,
使得
AB = BA = E
则称矩阵A是可逆的, 并称矩阵B为A的逆矩阵. A的逆
矩阵记作A-1.
高等数学逆矩阵
1
例如: 设 A 1 11 1 ,B 1 12 21 12 2 , 由于 AB = BA = E, 所以, B为A的逆矩阵. 说明: 若A是可逆矩阵, 则A的逆矩阵是唯一的. 事实上: 若设B和C是A的逆矩阵, 则有
如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是
不可行的, 必须寻求可行高等而数学有逆矩效阵 的方法.
3
定理1: 矩阵A可逆的充要条件是| A | 0, 且 A1 1 A, | A|
其中A*为矩阵A的伴随矩阵.
证明: 若A可逆, 则有A-1, 使得AA-1 = E.
故, | A || A-1 | = | E | = 1, 所以, | A | 0.
例4:
求
a c
b d
的逆矩阵( ad – bc
0 ).
解: 用伴随矩阵的方法求A逆阵.
设 A ac db, | A | = ad – bc 0. 则A可逆且
A11 = d, A21 = –b, A12 = –c, A22 = a .
A A A1121 A A2221dc ab .
则
A 1|A 1|A a1 d b c d ca b .
AB = BA = E, AC = CA = E, 可得: B = EB = (CA)B = C(AB) = CE =C. 所以, A的逆矩阵是唯一的, 即
B = C = A-1.
例1: 设 A21 01, 求A的逆矩阵.
解: 利用待定系数法. 设 B ac db 是A的逆矩阵,
高等数学逆矩阵
2
则
AB 2 1 0 1a c
d b
1 0
0 1
即
2a ac2b bd 1 01 0
2a c 1
a 0
则
2b d 0 a0 b 1
解得,
b c d
1 1 2
又因为
2 1
01
0 1
21 01
21
2 1
01
1 0
10,
即
AB = BA = E,
所以
A1 01 21.
(5) 若矩阵A可逆, 则有| A-1 |=| A |-1.
证明: 因为 AA-1 = E, 所以, | A | | A-1 | = | E | = 1,
因此,
| A阵的计算
例2:
求方阵
A
1 2 3
2 2 4
133 的逆矩阵.
123
解: 因为 | A | 2 2 1 20,所以A-1存在.
求二阶矩阵A的逆可用“两调一除”的方法, 其做
法如下:
高等数学逆矩阵
9
先将矩阵A中的主对角元素调换其位置, 再将次对 角元素调换其符号, 最后用A的行列式|A|除矩阵A的每 一个元素, 即可得A的逆矩阵A-1.
例5: 设 A 1 3 24 2 21 3 3 ,B 5 21 3 ,C 1 3 21 0 3 ,
§2.3 逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念和性质
在数的运算中, 当数 a 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1.
其中 a 1 1 为a 的倒数, 或称a的逆(元). a
在矩阵的运算中, 单位阵E相当于数的乘法运算中
的1, 那么, 对于矩阵A, 如果存在一个矩阵A-1, 使得
AA-1 = A-1A = E,
(AB)-1 = B-1A-1.
证明: (AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E,
所以,
(AB)-1=B-1A-1.
(4) 若矩阵A可逆, 则AT 亦可逆, 且(AT)-1=(A-1)T.
证明: AT(A-1)T =(A-1A)T=ET =E,
所以,
(AT)-1=(A-1)T.