东南大学高等数学实验二 一元函数图形及其性态

高等数学A（下册）数学实验实验报告姓名：刘川学号：02A13306实验一：空间曲线与曲面的绘制实验题目利用参数方程作图，作出由下列曲面所围成的立体（1）Z =,= x及xOy面；（2）z = xy, x + y – 1 = 0及z = 0.实验方案：(1)输入如下命令：s1=ParametricPlot3D[{u,v,u*v},{u,-1,1},{v,-1,2},DisplayFuncti on→Identity];s2=ParametricPlot3D[{1-u,u,v},{u,-1,1},{v,-1,2},DisplayFuncti on→Identity];s3=ParametricPlot3D[{u,v,0},{u,-1,1},{v,-1,1},DisplayFunction →Identity];Show[s3,s2,s1,DisplayFunction→$DisplayFunction] 运行输出结果为：(2)输入如下命令：s1=ParametricPlot3D[{u,v,u*v},{u,-1,1},{v,-1,2},DisplayFuncti on→Identity];s2=ParametricPlot3D[{1-u,u,v},{u,-1,1},{v,-1,2},DisplayFuncti on→Identity];s3=ParametricPlot3D[{u,v,0},{u,-1,1},{v,-1,1},DisplayFunction →Identity];Show[s3,s2,s1,DisplayFunction→$DisplayFunction] 运行输出结果为：实验二：无穷级数与函数逼近实验题目1、观察级数的部分和序列的变化趋势，并求和。

实验方案输入如下命令：s[n_]:=Sum[k!/k k,{k,1,n}];data=Table[s[n],{n,0,20}];ListPlot[data]运行输出结果为：1.81.71.61.55101520输入如下命令：运行输出结果为：实验结论：由上图可知，该级数收敛，级数和大约为 1.87；运行求和命令后，得近似值：1.887985.实验题目：2、改变函数中m及x0的数值来求函数的幂级数及观察其幂级数逼近函数的情况：实验方案：输入如下命令：m=-3;f[x_]:=(1+x)^m;x0=1;g[n_,x0_]:=D[f[x],{x,n}]/.x→x0;s[n_,x_]:=Sum[g[k,x0]/k!*(x-x0)^k,{k,0,n}];t=Table[s[n,x],{n,20}];p1=Plot[Evaluate[t],{x,-1/2,1/2}];p2=Plot[(1+x)^m,{x,-1/2,1/2},PlotStyle→RGBColor[0,0,1]];Show[p1,p2]运行输出结果为：543210.40.20.20.4输入如下命令：m=-2;f[x_]:=(1+x)^m;x0=2;g[n_,x0_]:=D[f[x],{x,n}]/.x→x0;s[n_,x_]:=Sum[g[k,x0]/k!*(x-x0)^k,{k,0,n}];t=Table[s[n,x],{n,20}];p1=Plot[Evaluate[t],{x,-1/2,1/2}];p2=Plot[(1+x)^m,{x,-1/2,1/2},PlotStyle→RGBColor[0,0,1]]; Show[p1,p2]运行输出结果为：3.53.02.52.01.51.00.50.40.20.20.4输入如下命令：m=-5;f[x_]:=(1+x)^m;x0=2;g[n_,x0_]:=D[f[x],{x,n}]/.x→x0;s[n_,x_]:=Sum[g[k,x0]/k!*(x-x0)^k,{k,0,n}];t=Table[s[n,x],{n,20}];p1=Plot[Evaluate[t],{x,-1/2,1/2}];p2=Plot[(1+x)^m,{x,-1/2,1/2},PlotStyle→RGBColor[0,0,1]];Show[p1,p2]运行输出结果为：43210.40.20.20.4实验结论：由以上各图可知：当x趋近于某个值时，幂级数逼近原函数实验题目：3、观察函数展成的Fourier级数的部分和逼近的情况。

实验一空间曲线与曲面的绘制本实验的目的是利用数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。

1、空间曲线的绘制绘制空间曲线时一般使用曲线的参数方程，利用命令“ParametricPlot3D”。

如画x x(t )出参数方程 y y(t ) , t1t t 2所确定的空间曲线的命令格式为:z z(t )ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,tmin,tmax},选项 ]例1画出旋转抛物面 z x 2y 2与上半球面z 11x 2y2交线的图形。

x cost解：它们的交线为平面 z 1 上的圆x2y 2 1 ，化为参数方程为y sin t , t [ 0, 2 ] ，z1下面的 mathematica 命令就是作出它们的交线并把它存在变量p 中：p ParametricPlot3D Cos t,Sin t , 1 ,t,0,2Pi运行即得曲线如图 1 所示。

10.5在这里说明一点，要作空间曲线的图形，必须先求出该曲线的0-0.5-1F ( x, y, z)0参数方程。

如果曲线为一般式，其在 xOy 面上的投G( x, y, z)0影柱面的准线方程为H ( x, y) 0 ，可先将 H ( x, y)0 化为参数方21.510.5-1-0.50.5x x(t)1程，再代入 G ( x, y, z) 0 或 F ( x, y, z)0 解出y y(t )图 1z z(t) 即可。

2、空间曲面的绘制作一般式方程z f (x, y) 所确定的曲面图形的Mathematica 命令为：Plot3D[f[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},选项 ]x x(u, v)作参数方程y y(u, v),u [u min ,max ], v[ v min ,v max ] 所确定的曲面图形的z z(u,v)Mathematica 命令为：ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,umin,umax},{v,vmin,vmax},选项]例2作出上半球面 z 1 1 x 2y2的图形。

第四节 一元函数的单调性、凸凹性判别法及画图为了描绘出函数()x f y =，()b a x ,∈的图形，我们需要知道函数的极值点，单调性、凹凸性和拐点等等。

本节研究这些函数的基本特征．一、 曲线单调性的判断比定理6.6更进一步，我们可以得到如下充分必要条件定理6.20设函数()x f y =在[]b a ,上可导，且函数是单调增加的，则()0≥'x f ；反之若[]b a x ,∈时，()0'≥x f ，则函数是在[]b a ,上单调增加的．证 由于()()()t x t f x f x f xt --='→lim，而函数()x f y =是单调增加的，故当t x >时，()()t f x f ≥，所以()()()0lim≥--='→tx t f x f x f xt ．反之，如果[]b a x ,∈时，()0>'x f ，则由于()()()0lim≥--='→tx t f x f x f xt ，所以当 δ<-||x t 时，()()()ε<---'tx t f x f x f ，所以当t x >时，()()t f x f ≥，于是函数()x f y =是单调增加．同样，可以证明当()0≤'x f 时，函数是单调减少的．反之函数单调减少，则()0≤'x f ． 例6.25 研究函数x x y sin -=在区间]2,0[π上的单调性． 解 在区间]2,0[π，0cos 1≥-='x y ，所以函数是单调增加的．推论6.4 设()x f y = 在区间[]b a ,上可导，()0='c f )(b c a <<而()c x x f ≠>',0，则()x f y = 在区间[]b a ,上是严格单调的．证 在区间],[c a 上，()0>'x f ，所以()x f y = 在区间[]c a ,上是严格单调的． 同样，在区间],[b c 上，()0>'x f ，所以()x f y = 在区间],[b c 上是严格单调的． 任取()()b c x c a x ,,,21∈∈，则()()()21x f c f x f <<． 所以函数()x f y = 在区间[]b a ,上是严格单调的．由推论6.4，容易得到例6.25中函数是严格单调增加的。

高等数学数学实验报告实验人员：院（系） 经济管理学院 学号 14B13310 姓名 夏清晨 实验地点：计算机中心机房实验一空间曲线与曲面的绘制一、实验题目利用参数方程作图，做出由下列曲面所围成的立体：二、实验目的和意义利用数学软件mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。

三、计算公式● v u x sin *cos = v v y sin *sin = v z cos = （0<u<2∏ 0<v<0.5∏） ● u x sin *5.0= u y cos = z=v (0<u<2∏ -1<v<2) ● x=u y=v z=0 (-2<u<2 -2<v<2)四、程序设计s1=ParametricPlot3D[{u,v,1u 2v 2},{u,-1,1},{v,-1,1},PlotRange →{-1,1},AxesLabel →{"X","Y","Z"},DisplayFunction →Identity]; s2=ParametricPlot3D[{u 2+v 2-u,u,v},{u,-1,1},{v,-1,1},AxesLabel →{"X","Y","Z"},DisplayFunction →Identity]; s3=ParametricPlot3D[{u,v,0},{u,-1,1},{v,-1,1},AxesLabel →{"X","Y","Z"},DisplayFunction →Identity]; Show [s1,s2,s3,DisplayFunction →$DisplayFunction]五、程序运行结果六、结果的讨论和分析利用Mathematica，直观地展示了图形的空间结构以及交界情况。

高等数学数学实验报告实验人员：院（系） __________学号___________姓名_________成绩_________ 实验时间：注：部分实验环境为Mathematica 8，另一部分为Mathematica 4.(文档下载者请在安装有Mathematica 4 的电脑打印此报告，否则公式是乱码，打印时请删去这一行文字)实验一 观察数列的极限一、实验题目通过作图，观察重要极限：e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim二、实验目的和意义利用数学软件Mathematica 加深对数列极限概念的理解。

三、计算公式 nn n ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim data=Table[,{，}] ListPlot[data,PlotRange {,},PlotStylePointSize[],AxesLabel{,}]四、程序设计①data=Table[(1+(1/n))^n,{n,70}] ListPlot[data,PlotRange {1.5,3}, PlotStyle PointSize[0.018],AxesLabel {n,lim (1+1/n)^n}]②f[x_]:=(1+1/x)^x;For[x=1000,x 10000,x=x+1000,m=N[f[x]];Print["x=",x," ","f[",x,"]","=",m]]五、程序运行结果(Mathematica 8)010203040506070n1.61.82.02.22.42.62.83.0lim1n1n六、结果的讨论和分析通过观察图像和数据可知，极限为e。

实验二一元函数图形及其性态一、实验题目已知函数())45(212≤≤-++=xcxxxf，作出并比较当c分别取-1,0,1,2,3时的图形，并从图上观察极值点、驻点、单调区间、凹凸区间以及渐近线。

数学与统计学院实验报告实验项目名称所属课程名称实验类型实验日期班级学号姓名成绩3.掌握用Mathematica，AMGS作平面曲线的方法与技巧；4.掌握用高等数学图形系统；5.完成数学实验报告，总结方法，增强数学思维能力。

【实验原理】1．在平面直角坐标系中作一元函数图形的命令Plot命令Plot的基本使用形式是Plot[f[x],{x,min,max,选项}]其中f[x]要代入具体的函数，也可以将前面已经定义的函数f[x]代入，min和max 分别表示自变量x的最小值和最大值，即说明作图时自变量的范围，必须输人具体的数值．Plot可以有很多选项(Options)，这样才能满足作图时的种种需要，例如输入Plot[x^2，{x，-1，1}，AspectRatio1，PlotStyle RGBColor[1，0，0]，PlotPoints30]然后同时按下shift和Enter键，则作出函数y=x2在区间-1≤x≤1上的图形，选项AspectRatio1使图形的高与宽之比为1﹕1．如果不输入这个选项，则命令默认图形的高宽之比为黄金分割值．选项PlotStyle RGBColor[1，0，0]使曲线采用某种颜色．选项PlotPoints30令计算机描点作图时在每个单位长度内取30个点，增加这个选项会使图形更加精细．注符号“一>”是通过输入减号键和大于号键得到的．Plot命令也可以在同一个坐标系内作出几个函数的图形，只要用集合的形式jfl[x]，f2[x]，…}代替f[x]．例如输入Plot[{x^2，Sqrt[x]}，{x，0，2}]则在同一坐标系内作出了函数y=x2和y= Sqrt[x]的图形2．在平面直角坐标系中利用曲线参数方程作出曲线的命令ParametricPlot 命令ParametricPlot的基本形式是ParametricPlot[{g[t],h[t]},{x,min,max},选项]其中g(t)，h(t)是曲线的参数方程．例如输入ParametricPlot[{Cos[t]，Sin[t]}，{t，0，2Pi}，AspectRatio1]则作出了一个单位圆3．极坐标方程作图命令PolarPlot如果想利用曲线的极坐标方程作图，则首先要打开作图软件包，输入<<Graphics’Graphics’执行以后，可使用PolarPlot命令作图，其基本形式是PolarPlot[f[t],{t,min,max,选项}]例如曲线的极坐标方程为r=3cos 3t，要作出它的图形，输入<<Graphics`Graphics`PolarPlot[3Cos[3t]， {t， 0， 2Pi}]便得到了一条三叶玫瑰线4．隐函数作图命令ImplicitPlot先打开作图软件包，输入<<Graphics\Implicit.m命令ImplicitPlot的格式是ImplicitPlot [隐函数方程，自变量的范围，作图选项]例输入ImplicitPlot[(x^2+y^2)^2x^2-y^2， {x， -1， 1}]输出的图形是一条双纽线【实验环境】Lenovo：Intel(R)Core(TM)i5-2430M CPU @2.40GHz 4.00GB的内存Windows-7 PCMathematic 5.2附录1：源程序附录2：实验报告填写说明1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。

东南大学高等数学期末考试试卷(含答案) 一、高等数学选择题
1．不定积分．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
2．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
3．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
4．函数在点处连续．
A、正确
B、不正确
【答案】A
5．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
6．函数的图形如图示，则是函数的
( )．
A、极小值点也是最小值点
B、极小值点但非最小值点
C、最大值点
D、极大值点
【答案】A
7．函数的单调减少区间是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
8．微分方程的通解是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】A
一、一选择题
9．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
10．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
11．曲线在点处切线的方程为（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
12．是偶函数.
A、正确
B、不正确
【答案】A
13．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
14．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】A
15．．
A、正确
B、不正确
【答案】B。

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通过此实验对数列极限概念的理解形象化、具体化。

三、计算公式 Lim(1+1/n)^n=？N→∞四、程序设计五、程序运行结果六、结果的讨论和分析由运行结果和图像可知，重要极限在2.5到2.75之间，无限趋近于e。

实验二一、实验题目一元函数图形及其性态二、实验目的和意义本实验的目的是让同学熟悉数学软件Mathematica所具有的良好的作图功能，并通过函数图形来认识函数，运用函数的图形来观察和分析函数的有关性态，建立数形结合的思想。

三、计算公式 y=sincx 四、程序设计五、程序运行结果六、结果的讨论和分析由实验结果我们可以清楚地认识到参数c对函数图形的影响。

实验三一、实验题目泰勒公式与函数逼近二、实验目的和意义通过mathematic软件作出的函数图形，观察泰勒公式展开的误差。

三、计算公式 f(x)=cosx 四、程序设计 (一)（二）（三）（四）五、程序运行结果（一）（二）（三）（四）六、结果的讨论和分析从本实验我们可以得到一些结论，函数的泰勒多项式对于函数的近似程度随着阶数的提高而提高，但对于任意确定的次数的多项式，它只在展开点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度。

实验四一、实验题目计算定积分。

§ 3.4一元二次函数的图象和性质复习目标1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。

知识回顾1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。

2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。

3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2ab ac a b --，对称轴是直线a bx 2-=。

（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442min-=，无最大值。

② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max -=，无最小值。

（3）当0>a ，函数在区间)2,(ab --∞上是减函数，在),2(+∞-a b 上是增函数。

当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab--∞上是增函数。

【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。

2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。

例题精解一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】)128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x 以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下： x … -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 …y … 25 0 23- -2 23-25… 【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。