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转专业复习高等数学知识清单2019.7一．极限，连续，微分学1.1极限1.1.1数列极限的定义式：1.1.2函数极限的定义式：1.1.3函数极限和数列极限的局部有界性：1.1.4局部保序（号）性：1.1.5海涅定理：1.1.6利用极限求函数渐近线的方法：1.1.7极限存在准则：夹逼定理：1.1.8单调有界性原理：1.1.9柯西收敛准则：1.1.10二元函数极限的定义：1.1.11二元函数连续的定义：1.1.12二元函数极限存在（不存在）的判断：1.2两个重要极限1.2.1第一个重要极限：1.2.2第二个重要极限：1.3无穷小与无穷大1.3.1无穷小的定义：1.3.2无穷大的定义：1.3.3等价无穷小的定义：1.3.4高阶无穷小同阶无穷小的符号表示：1.3.5常见的等价无穷小代换：1.4函数的连续1.4.1一元函数连续的定义：1.4.2一元函数与其反函数连续的关系：1.4.3函数的间断点的定义及判断：1转专业复习1.5连续函数的性质：1.5.1最值定理：1.5.2介值定理：1.5.3零点存在性定理：1.6函数的一致连续性1.6.1一致连续性的定义：1.7导数1.7.1一元函数导数的定义和可导性的定义：1.7.2一元函数可导性与连续性的关系：1.7.3常见一元函数的导数公式：1.7.4隐函数求导的方法：1.7.5高阶导数求导方法：（注意：莱布尼兹公式86页和多个数乘积的区别）1.7.6二元函数偏导数的定义与可偏导：1.7.7二元函数的高阶偏导数：1.8微分1.8.1一元函数的微分和可微的定义：1.8.2一元函数某点的线性主部与局部线性化：1.8.3高阶微分的计算：1.8.4二元函数的全微分与可微：1.8.5二元函数可微的充分条件：1.8.6一元函数连续，可导，可微的关系：1.8.7二元函数连续可导可微偏导连续的关系：1.8.8二元函数复合函数微分法：1.8.9一阶全微分形式不变性：1.8.10二元函数隐函数微分法：1.8.11※多元函数隐函数微分法：1.9微分基本定理：1.9.1费马引理：2转专业复习1.9.2罗尔中值定理：1.9.3拉格朗日中值定理：1.9.4拉理之有限增量公式：1.9.5柯西中值定理:1.9.6洛必达法则求未定式极限：1.9.7泰勒公式：1.9.8麦克劳林公式，peano余项，拉格朗日余项：1.9.9一些特殊函数的泰勒公式：1.10一元函数性态的研究1.10.1一元函数单调性：1.10.2一元函数极值定义：1.10.3一元函数极值第一充分条件：1.10.4一元函数取极值第二充分条件：1.10.5一元函数求最值：1.10.6※一元函数的凹凸性：1.10.7拐点与驻点：1.10.8平面曲线的曲率和曲率半径：1.10.9多元函数极值的必要条件：1.10.10多元函数极值的充分条件：1.10.11多元函数的最值：1.10.12多元函数在约束条件下的极值的求法：1.10.13多元函数的方向导数：1.10.14空间曲线的切线与法平面：（参数方程）1.10.15空间曲线的切线与法平面：（两柱面交线或两一般方程交线）：1.10.16空间曲面的法线和切平面（参数方程）：1.10.17空间曲线的法线和切平面（z=f（x，y）形式）：3转专业复习4二．一元函数积分学2.1基本积分方法2.1.1第一换元积分法：2.1.2第二换元积分法：2.1.3分部积分法：2.1.4以上积分方法在定积分中的运用：2.2一些特殊函数的积分公式2.2.1tanx=2.2.2cotx=2.2.3secx=2.2.4cscx=2.2.5secx ×tanx=2.2.6cscx ×cotx= 2.2.722a x += 2.2.822a x -= 2.2.922x a -= 2.2.10221a x ±= 2.2.11221x a - = 2.2.12==⎰⎰x x n n 220cos sin ππ2.3有关反常积分的初步探究2.3.1用定义法求反常积分的书写：2.3.2用定义法判断反常积分的敛散性：2.4一元函数积分学的综合运用2.4.1弧微分（直角坐标形式）：2.4.2弧微分（极坐标形式）：2.4.3弧微分（参数方程形式）：2.4.4图形面积（直角坐标形式）：转专业复习2.4.5图形面积（极坐标形式）：2.4.6图形面积（参数方程形式）：2.4.7截面面积已知求体积：2.4.8与坐标轴连接的平面绕轴转：2.4.9“球壳”型旋转体：2.4.10一重积分求质量：2.4.11一重积分求做功：2.4.12一重积分求液体压力2.5定积分的定义2.5.1定积分的定义：三．微分方程3.1一阶可分离变量微分方程3.1.1直接求解：3.1.2如何转化成？（3种情况）：3.2 一阶线性微分方程3.2.1一阶线性齐次微分方程的形式和通解：3.2.2一阶线性非齐次微分方程的特解：3.2.3常数变易法：3.3伯努利方程3.3.1形式：3.3.2解法：3.4可降阶的高阶微分方程3.4.1解法：3.5二阶线性微分方程3.5.1齐次通解的三种形式3.5.2e的幂指数乘幂函数型非齐次通解：3.5.2e的幂指数乘三角函数型非齐次通解：5转专业复习3.6高阶微分方程3.6.1高阶齐次微分方程通解的特征：3.7欧拉方程3.7.1欧拉方程的形式：3.7.2欧拉方程的解法：四．多元函数积分学4.1二重积分4.1.1定义式：4.1.2极坐标式：4.2三重积分4.2.1切片法：4.2.2细棒法：4.2.3柱坐标：4.2.4球坐标：4.3第一型曲线积分：4.3.1直角坐标形式：4.3.2极坐标形式：4.3.3参数方程形式：4.4第二型曲线积分：4.4.1直角坐标形式：4.4.2极坐标形式：4.4.3参数方程形式：4.5第一型曲面积分：4.5.1隐函数式形式：4.5.2一般方程形式：4.6第二型曲面积分：4.6.1定义法求解：4.7第一型曲面→第二型曲面关系式：4.8格林公式4.8.1定义式：4.8.2四个等价命题：4.9高斯公式：6转专业复习4.10.斯托克斯公式4.10.1定义式：4.10.2四个等价命题：（p167）4.11场论4.11.1梯度grad：4.11.2散度div:4.11.3旋度rot：4.11.4（罕见）格林第一公式（P162）：※4.11.5有势场=无源场=保守场（P171）4.11.6势函数：五．有关复变函数5.1复数5.1.1辐角定义：5.1.2共轭复数：5.1.3欧拉公式：5.2复变函数的导数与解析函数5.2.1复变函数可微的定义：5.2.2复变函数导数的定义：5.2.3柯西黎曼条件：5.2.4可微的充要条件：5.2.5解析函数的定义与判断：5.2.6可单独表示定理：5.2.7调和函数：5.2.8共轭调和函数：5.2.9如何将有关x，y的函数化为有关z的：5.3初等函数的复变函数5.3.1指数函数去指数法：5.3.2主值：5.3.3三角函数化为指数函数：5.3.4对数函数的化简公式：5.3.5幂函数的指数化：5.3.6幂函数的多值性问题：7转专业复习85.4复变函数的积分5.4.1复变函数积分定义法展开式： 5.4.2⎰-L n z z )(dz 0=5.4.3何时积分实部=实部积分：5.4.4柯西积分定理：5.4.5复合闭路定理：5.4.6闭路变形原理：5.4.7柯西积分公式：5.4.8高阶柯西积分公式：六．常数项级数与函数项级数1常数项级数的性质6.1.1级数收敛的必要条件：6.1.2余项的趋向：6.1.3柯西收敛准则：6.2常数项级数的判敛法6.2.1与部分和数列的关系：6.2.2比较判敛法：6.2.3比较判敛法的极限形式：6.2.4比值判敛法：6.2.5根值判敛法：6.2.6积分判敛法：6.3交错级数的判敛法6.3.1莱布尼兹判别法：6.3.2条件收敛与绝对收敛：6.4反常积分的判敛法6.4.1无穷区间上的反常积分：6.4.2无界函数的反常积分：6.5.√函数6.5.1特征：6.5.2对某几个特殊值时的函数值：6.6一致收敛性6.6.1定义：转专业复习6.6.2柯西一致收敛准则：6.6.3M判别法：6.6.4P227页两个定理6.7幂级数6.7.1阿贝尔定理：6.7.2求收敛域的方法：6.7.3 求幂级数和函数的两种方法：6.7.4如何将函数展开为幂级数：6.7.5实函数可以展开为幂级数的条件：6.7.6一些常见函数展开为幂级数的形式：6.8罗伦级数6.8.1如何将函数在圆域内展开为罗伦级数：6.9孤立奇点与留数6.9.1奇点的三个分类与判别方法6.9.2如何判断极点的级数6.9.3有关无穷远点处极点的判断的不同之处6.9.4 留数的定义：6.9.5计算一级，n级极点处留数公式6.9.6比值形式下留数的计算公式：6.9.7无穷远处留数6.9.8留数定理求复积分6.9.9三类利用留数计算的实积分：6.10傅里叶级数6.10.1公式：6.10.2奇偶延拓，正余弦函数：6.10.3杜利克雷条件：6.10.4将函数展开为傅里叶级数的方法9转专业复习六．其他知识7.1三角公式7.1.1和差化积（4个）7.1.2积化和差（4个）7.1.3万能公式（3个）7.2常见曲线及其表达式7.2.1星型线7.2.2摆线7.2.3心形线7.2.4阿基米德螺旋线7.2.5对数螺线7.2.6双曲螺线7.2.7伯努利双扭线7.2.8贝努利双扭线7.2.9三叶玫瑰线7.2.10四叶玫瑰线（2种）10。
（完整word版）第⼀章求极限练习题答案1．求下列极限：(1) 2221lim (1)n n n n →∞++- 解：原式=2221lim 21n n n n n →∞++-+=22112lim 211n n n n n→∞++-+=2 (2) 20lim(1)x x x →+解：原式=12lim[(1)]x x x →+=2e(3) 32lim3x x →- 解：原式=3x →=x →=14(4) 1lim (1)x x x e →∞-解：原式=1(1)lim1xx e x→∞-=1(5) 0x ≠当时，求lim cos cos cos 242n n x x x→∞L .解：原式=cos cos (2cos sin )2422lim2sin 2n n n n x x x x x →∞L =1cos sin22lim 2sin 2n n nx x x →∞-=sin lim 2sin 2n nn x x →∞ =sin 2lim()sin 2n n n x x x x →∞g =sin x x(6) 21sinlim x x 解：原式=21limx x g=limx=limx=(7)22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++++++++L 解：令2221212n ny n n n n n n n=+++++++++L 因 2222(1)(1)12122211n n n n n n ny n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++L L ⽽2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++， 2(1) 12lim 12n n n n n →∞+=++，故222121n n n n n n n n n →∞+++=++++++L(8) n →∞解：原式=2n n →∞→∞==1.3 函数的极限作业1. 根据函数极限的定义,验证下列极限: (1) 3 1lim0x x→∞= 解: 0ε?>,要使3311|0|||x x ε-=<,即||x >只要取X =,则当||x X >时,恒有 31|0|x ε-<, 所以31lim 0x x →∞=.(2) 42x →= 解: 0ε?>,要使|4||2|2x ε-=<<,则当0|4|x δ<-<时,恒有|2|ε<,所以42x →=. 2. 求下列数列极限:(1) 22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++++++++L 解：令2221212n ny n n n n n n n =+++++++++L 因 2222(1)(1)12122211n n n n n n ny n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++L L ⽽2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++， 2(1) 12lim 12n n n n n →∞+=++，故222121lim()122n n n n n n n n n →∞+++=++++++L(2) n →∞解：原式=2n n →∞→∞==3．求下列函数极限：(1) 225lim 3x x x →+- 解：原式=-9(2) 224lim 2x x x →-- 解：原式=2 lim(2)x x →+=4(3) 21lim1x x →-解：原式=14x x →→==-(4) x →∞ 解：原式=0x =(5) 2(21)(32)lim (21)x x x x →∞--+ 解：原式=226723lim4412x x x x x →∞-+=++ (6) 2121lim()11x x x →--- 解：原式=211(1)11lim lim 112x x x x x →→---==--+ 4. 设23 2 0() 1 01 1 x>11x x f x x x x ?+≤=+<≤-? ，分别讨论()f x 在0x →，1x →和2x →时的极限是否存在.解：0lim ()2x f x -→=，0lim ()1x f x +lim ()x f x →不存在. 1lim ()2x f x -→=，1lim ()x f x +→趋向⽆穷⼤，故1lim ()x f x →不存在. 2lim ()1x f x -→=，2lim ()1x f x +→=，故2lim ()1x f x →=.1.43．求下列函数极限：(1) 225lim 3x x x →+-=-9(3) 224lim 2x x x →--=2lim(2)x x →+=4 1x →14x x →→==-(7) 000h h h →→→===(9) x →∞=0x =(11) 2(21)(32)lim (21)x x x x →∞--+=226723lim 4412x x x x x →∞-+=++(13) limlim0x x == (15) 2121lim()11x x x →---=211(1)11lim lim 112x x x x x →→---==--+ 2. 设10100()01112x x x f x x x x -?==<极限，并说明这两点的极限是否存在. 解：001lim ()lim11x x f x x --→→-==-，00lim ()lim 0x x f x x ++→→==，00lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠ 故lim ()x f x →不存在.11lim ()lim 1x x f x x --→→==，11lim ()lim11x x f x ++→→== 11lim ()lim ()x x f x f x -+→→= 1lim ()1x f x →=. 1.51．求下列极限：(1) 0sin 3sin 3lim lim 333x x x xx x→→=?=00tan 333(3)limlim sin 444x x x x x x →→==222200022sin 222(5)lim 2sin 224()2x x x x x x x xx→→→?===? 注:在0(0,)U δ，2sin 02x ≥.222000222(5)lim 2sin24x x x x x x x →→→===(7) 02cos lim sin 2x x x →解: 原式=2021sin cos lim sin cos )2x x x x=2002sin sin lim sin 2x x x x x x →→+g =2021sin sin lim2()2x x x xx →+220sin sin 2lim ()x x x x x →=+=4 注意: 代数和中的⼀部分不能⽤⽆穷⼩替换. 错原式=0x →220212lim 1cos )4x x x x x →+ (8) 01sin cos lim1sin cos x x xx xββ→+-+-解: 原式=2022sin cos 2sin 222lim 2sin cos 2sin 222x x x x x x x βββ→++=0sin (cos sin ) 222lim sin (cos sin )222x x x x x x x βββ→++=00sin cos sin 222limlim sin cos sin222x x x x x x x x βββ→→++g =02lim 12x x x β→g =1β注意: 代数和的⼀部分不能⽤⽆穷⼩替换.错 01sin cos lim 1sin cos x x x x x ββ→+-+-=202112lim 12x x x x x βββ→+=+ 33333(9)lim(1)lim[(1)]xx x x e x x →∞→∞+=+=244424(11)lim()lim[(1)]22x x x x x e x x +---→∞→∞--=+=++330(13)lim(13)lim[(13)]x x x x x x e →→+=+=4. 当0x →时，下列函数中哪些是x 的⾼阶⽆穷⼩，哪些是x 的同阶⽆穷⼩，哪些是x的低阶⽆穷⼩？32(1)1000x x +322001000lim lim (1000)0x x x x x x x→→+=+=解：因为 321000()x x o x +=所以3(2)2sin x 32002sin sin lim lim 2sin 0x x x x x x x→→=?=解：因为 3sin ()x o x =所以(3) ln(1)x +解: 100ln(1)limlim ln(1)1x x x x x x→→+=+=因为ln(1)~x x +所以 (4) 1cos x -解: 2002sin sin1cos 22limlim lim(sin )022x x x x xxx xxx →→→-===g 因为，1cos ()x o x -=所以(5) sin x x + 解: 因为 0sin limx x x x →+=0sin lim(1)x xx→+=2，故sin x x +是x 的同阶⽆穷⼩.(6): 因为0x →=1312033sin 11lim[())cos x x xx x →g g =∞，故是x的低阶⽆穷⼩.或：因为0x →=0x →0x →x 的低阶⽆穷⼩. 思考题：1．11331lim (39)lim 9(1)3x x xx xx x x x →+∞→+∞+=+g g =1331lim 9[(1)]3x xx x x →+∞+g =90e =9 2．0arccot limx x x →=∞，因为当0x →时，arccot 2 x π→.习题2.2 1．求下列函数的导数：2(1)cos y x x =+解：'sin 2y x x =-+=2cos (sin )()'222x x x -g g =2cos (sin )22x x -gcos sin 22x x -g(7)sin 3y x =解：'3cos3y x =2(9)sin(1)y x x =++解：2'(21)cos(1)y x x x =+++3(11)ln y x =解：1139'(ln )'(3ln )'222y x x x x x=+=+=(6) 6(21)y x =+解：5'6(21)2y x =+g =512(21)x + (10) ln(ln )y x =解：1'(ln )'ln y x x ==11ln x x g(11)ln ln(sin )y x =解：1'(sin )'sin y x x =+1cos sin x x +g2．在下列⽅程中，求隐函数的导数： (1)cos()y x y =+解：'sin()(1')y x y y =-+?+(2)222333x y a +=解：113322x y y --+=3. 求反函数的导数：(1)ln y x x =+解：1111dx dy dy dx x==+(2) arcsin x y e =解：sin ln x y =，故1cos ln dx y dyy=?=4. 求下列函数的导数(1) 2sin y x x =解：'y =22sin cos x x x x + 3(3)ln y x x=23221'3ln 3ln y x x x x x x x=+=+解： (5) 1ln 1ln xy x-=+解：21ln 1ln '(1ln )x xx x y x +---=+211ln y x=-++ 22212'0(1ln )(1ln )y x x x x =-=-++ (7) 21cosy x x=解1'2cos y x x =+2x 1(sinx -12cos x x +2x 1(sin)x -(9)ln(y x ='y x =+==解：(10)12(0)xxy x e a =->解：112'2xxy xe x e =+g g(ln (x x a a a --(11) arccos ln x y x = -arccos ln(1ln xy x x=--解：1'y x=-+2arccos 1x x x =-+2arccos x x =- ln (13)x y x =2ln ln (ln )x x x y e e ?==解： ln ln 11'2ln 2ln x x y x x x x x-=??=? (14) cos (sin )xy x =解：ln cos lnsin y x x =Q ，对该式两边求导数得11'sin ln sin cos cos sin y x x x x y x=-+cos '(sin )(sin ln sin cos tan )x y x x x x x ∴=-+ (15) y x =11ln ln ln(1)ln(1)22y x x x =+--+Q ，对该式两边求导数得1111'2(1)2(1)y yxx x =---+arcsin lnx y x =-解：'[ln(1(ln )'y x =++(11x +(2)x -1x +1x4. 求反函数的导数：(1)ln y x x =+解：1111dx dy dydx x==+arcsin x y e =解：sin ln x y =，故=?=求下列参数⽅程的导数'y ： 211(1)(1)x t t y t ?=?+?=+242(1)2(1)'()1(1)1'()1(1)t t t dy y t t t dx x t t t +-?+-+===+-+解：(2)3233131at x t at y t ?=??+??=?+? 解：322332323326(1)333(2)(1)3(1)333(12)(1)at t at t dydy at t t dt dx a x at t dxa t dt t +-?-+===+-?-+(3)2ln(1)arctan x t y t t ?=+?=-? 解：222111221dy dyt dt tdx t dx t dt t-+===+2．若()F x 在点a 连续，且()0F x ≠。
第二章极限与连续［单选题］1、若x T 0时，函数f（x）为x2的高阶无穷小量，则=^0^=（）A 0!B、二C、1D> oo【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶无穷小.lim^^ = 0根据高阶无穷小的定义，有z，P［单选题］2、/优+0）与九-0）都存在是j①函数在，一4点处有极限的（A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】pT'时.J8 极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若f④函数在工■ %点处有极限，则必有〃%+。
）与/偏都存在 .但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限. ［单选题］3、hm（护］^一加二（）.TA、2B、1C、400D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】「/ n 、r 丹+ 同一界「n 1附+n-n\ -lim , ——= lim-, ——=-1。
…值“ +竹…必二十桂2［单选题］4、k如果limx灯口一二5,则上二().TT0 XA、0B、1C、2D、5【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】上笈口_lim ^sin - = ilim ―^-=±=* 二5、S X界T9 上根据重要极限，工［单选题］.4 9 - k - 2 lim — =…2工+2工+3 ().A 、0B 、00C 、2D 、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】 您未答题【答案解析】分子分母同除以X 2,即 ［单选题］6、lim(-)=W1 i-l 工一工 ().A 、0B 、00C 、2D 、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】 您未答题hm ( -- - ——) - lim --- = hm --- : ----- = lim (A + 1) = 2［答案解析］2工一1工一工 11武1一1) 亡 乳工一D “1 ［单选题］7、产.+4)-/⑴二 元+20 x = _2 网/⑴=设 〔5 x -」 ，则 »+ (). 4x a -x-2 i 可 x / 4 4,lim —s ---- = lim -- 77—k — —— 2,221+3 2 3 2TA、2B、2C、+ooD、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题「sin（2x + 4）sin（2z+4）lim /（ij = lim----- = 2 lim -------- = 2 【答案解析】1+口+ 工+2 芥T-N+21+4［单选题］8、当」时,与曲）£_等价的无穷小量是（）.A、以B、?C、sm3x+xD、ln（l+刈【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】1sin x1［由于E / 一’故sinx3与d等价，推广，当/gTO时，［单选题］9、XT O时，与等价的无穷小量是（）.A、FB、工C 、tD 、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 【您的答案】 【答案解析1 □in ! - 1 -2s H A-2工 ，故。
工科数学分析习题习题1.11．设{}1A =≤，{}02B x x =<<是实数域中两个子集，写出,,\A B A B A B 及\B A 的表达式。
2．如果集A 有n 个元素，问A 共有多少个子集？A 的真子集有几个？ 3．设{1,2,3,4}, {3,4,5,6}A B ==,求,,\,\A B A B A B B A . 4．设{,}, {2,3}, {3,4}X a b Y Z ===,求()()X Y X Z ⨯⨯ .5．证明：若A B C D φ⨯=⨯≠，则A C =且B =D. 6．设{}111,sin 2A x x B y y ⎧⎫=-<<==⎨⎬⎩⎭,求A B ⨯. 7．证明 ① \c A B A B = ;②c B A A B φ⊂⇔= .8．设,m n 为奇整数，求证：2220x mx n ++=没有有理数根. 9．证明：如果一个数集的上确界（下确界）存在，那么它必定唯一. 10．写出A ⊆R 下无界，上无界的定义.11．设A ⊆R ，证明：A 有界的充分必要条件是：0M ∃>，使得x A ∀∈，恒有||x M ≤. 12．设A ⊆R ，写出inf A 的定义.13．求下列数集的上确界和下确界，并问集合的最大值，最小值存在吗？ （1）{5,1,3,8,10,50}A =--；（2）1(1)4nnA n +⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭N ；（3）,,mA n m n m n +⎧⎫=∈>⎨⎬⎩⎭N ； （4）sin12n n A n n π+⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭N . 14．设A ，B 是两个非空有界数集，且A B ⊂，证明：inf inf sup sup B A A B ≤≤≤.15．举例：（1）有上确界但无下确界的数集；（2）有下确界但无上确界的数集，（3）达到下确界而达不到上确界的数集.16．设,A A φ⊆≠R ，证明：sup inf A A A =⇔是仅由一个元素组成的集合.17．设,A B ⊆R ，若它们都是有界集，证明：,A B A B 也是有界集，若A ，B 均无界，,A B A B 也是无界集吗？习题1.21．设映射:f A B →是可逆的，证明：它的逆映射是唯一的。
高数极限习题50题分步骤详解1. 求极限)]12ln()12[ln(lim --+∞→n n n n解：依题意，对算式进行变形，得到原式＝1212ln lim -+∞→n n n n＝12212ln lim -+-∞→n n n n ＝)1221ln(lim -+∞→n n n 【注：当∞→n 时，122~)1221ln(--+n n 】 ＝122lim -∞→n nn ＝12. 求极限xx x e x x sin 1lim 3202--→解：本题为0型未定式，可运用洛必达法则求极限。
因为 )0(~sin 43→x x x x所以 原式＝4201lim 2x x e x x --→＝30422lim 2x xxe x x -→ （洛必达法则）＝2021lim 2x e x x -→＝x xe xx 42lim 2∞→ （洛必达法则）＝2lim 20xx e →＝213. 求极限2sin 0cos )21(lim x xx x x -+→解：本题属于“幂指函数”，不适合直接应用洛必达法则求导。
应先对算式适当变形，再求极限。
过程如下：原式＝2sin 0)1(cos ]1)21[(lim xx x x x ---+→ （注：表达式的分子加1减1，恒等变形。
） ＝2sin 01)21(lim x x x x -+→-201cos lim x x x -→ （注：和差的极限，等于极限的和差。
） ＝20sin 2lim xx x x →-2202lim x x x -→ ＝2202lim x x x →+21 ＝25 （注：当时0→x ，.2~1cos ,2~sin 2~1)21(22sin x x x x x x x---+）4. 求极限x xe e x x x cos 1320lim ----→解：本题看似很复杂，其实完全可以通过两次运用洛必达法则求出极限，具体过程如下：因为 )0(2~cos 12→-x x x 所以 原式＝23220lim x xe e x x x ---→ ＝x e e x x x 3220lim -+-→ （第一次运用洛必达法则）＝1420lim xx x e e -→- （第二次运用洛必达法则）＝35. 求极限)1ln(2)cos(sin 12lim x x x +-→ 解：本题可运用洛必达法则，但建议优先采用等价无穷小替换。
高数极限基础练习题一、数列极限1. 计算下列数列的极限：(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+3}$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 1}{n^2 + 1}$(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + n}}{n + 1}$ 2. 判断下列数列极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{n \to \infty} (1)^n$(2) $\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi)$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$二、函数极限1. 计算下列函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 1}{x 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x 1}{x}$2. 判断下列函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$三、无穷小与无穷大1. 判断下列表达式是否为无穷小：(1) $\frac{1}{x^2}$ 当 $x \to \infty$(2) $\sin \frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$(3) $e^{x}$ 当 $x \to \infty$2. 判断下列表达式是否为无穷大：(1) $x^3$ 当 $x \to \infty$(2) $\ln x$ 当 $x \to \infty$(3) $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 当 $x \to 0^+$四、极限运算法则1. 利用极限运算法则计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} (3x^2 + 2x 1)$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 3x^2 + 2x}{x^2 2x + 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} (x^3 2x^2 + 3)$2. 利用极限的性质，计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{1}{\cos x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x e^{x}}{2x}$五、复合函数极限1. 计算下列复合函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sqrt{x^2 + 1})}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} 1}{x^2}$2. 判断下列复合函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e^x + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 \cos(\sqrt{x})}{x}$六、极限的应用1. 计算下列极限问题：(1) 设 $f(x)2. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$，求 $\lim_{x \to 1} f(x)$。
极限与连续专题答案1.2.1()sin, (), f x A f x x CD x==举反例：令排除，令排除。
3. 【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ， 所以 原式=.121ee=-4. 0cos 2tan lim cos tan lim lim 22002=⋅==+++→→→⎰⎰xxx dtt dt t x xx x x αβ，可排除(C),(D)选项，又 xx xx dtt dtt x xxx x tan 221sin lim tan sin lim lim 2300302⋅==+++→→→⎰⎰βγ=∞=+→20lim 41xxx ，可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B). 5. 【详解】 当1<x 时，11lim )(3=+=∞→n nn x x f ；当1=x 时，111lim )(=+=∞→n n x f ；当1>x 时，.)11(lim )(3133x xx x f nnn =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).6.直接等价无穷小，等于27.lim ,sin ,0,lim =0n n x x l x l l l x →∞→∞===令则所以8.9.10.11.()n n x f x B 若单调，则单调有界，所以收敛，选 12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43. 【详解】因为1lim(1)x x e x→∞+=lim()x x x c x c →∞+-2lim()xx x c c x c→∞-+=- (把x c +写成2x c c -+)222lim()x c cx c x cx x c c x c-⋅-→∞-+=- (把x 写成22x c cx c x c -⋅-) 222lim (1)cx x cx ccx c x c --→∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦(利用幂函数的性质()mnm n aa =)222ln (1)lim cxx c x cc c x c x e--⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦→∞= (利用对数性质ln ()()f x ef x =)222ln (1)lim x c c cx c x c x c x e-⎡⎤⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦→∞= (利用对数性质()ln ()()ln ()g x f x g x f x =)222lim ln (1)x cc x cx c x c x c e-→∞⎡⎤⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦= (利用x y e =函数的连续性，lim ()()lim x f x f x x ee→∞→∞=)222limlim ln (1)x c c x x cx c x c x c e-→∞→∞⎡⎤⎢⎥⋅+--⎢⎥⎣⎦=(当各部分极限均存在时，lim ()()lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →∞→∞→∞⋅=⋅)222limln lim (1)x c c x x cx c x c x c e-→∞→∞⎡⎤⎢⎥⋅+--⎢⎥⎣⎦= (利用ln y x =函数的连续性，lim[ln ()]ln[lim ()]x x f x f x →∞→∞=)2ln c e e ⋅= (利用1lim(1)x x e x →∞+=)2c e = (ln 1e =)又因为()f x 在(),-∞+∞内可导，故在闭区间[1,]x x -上连续，在开区间(1,)x x -内可导，那么又由拉格朗日中值定理，有()(1)()[(1)](),1f x f x f x x f x x ξξξ''--=--=-<<左右两边同时求极限，于是lim[()(1)]lim '()x x f x f x f e ξ→∞→∞--==，因为1x x ξ-<<，x 趋于无穷大时，ξ也趋向于无穷大由题意，lim()lim[()(1)],x x x x c f x f x x c →∞→∞+=--- 从而2c e e =，故12c =44. 【详解】ln “”里面为1∞“”型，通过凑成重要极限形式来求极限， 1(12)12211limln limln 1(12)(12)nn a an n n na n a n a -⋅-→∞→∞⎡⎤⎡⎤-+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦(12)11lim ln 112(12)n a n a n a -→∞⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦11ln 1212e a a==-- 45. 【详解】22000003arctan(1)arctan(1)limlim 1(1cos )2xu x u x x t dt du t dt du x x x→→⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰等22arctan(1)lim32x x t dt x →+⎰洛洛20arctan(1)2lim 3x x x x →+⋅2346ππ=⋅=46.47.48.49.50. 【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ， 所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a ,b )内有界.51. 【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 00u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令xu 1=)，又g (0) = 0，所以， 当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时， )0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).52. 【详解】xx x x x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→ =346)4(21lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22020304220==-=-=-→→→→xx x x x x x x x x x x x x 53. 【详解】 12sin lim 2+∞→x x x x =.212lim 2=+∞→x x x x 54. 【详解】 )1(1lim )111(lim 200x xx x x e x e x x x e x --→-→-+-+=--+ =2201lim x e x x xx -→+-+ =xe x xx 221lim 0-→-+ =.2322lim 0=+-→x x e 55. 【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim e e n n n n n n n n n n n n -→∞-++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭，而数列{}(1)n -有界，1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1lim(1)ln 0n n n n →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故 ()101lim e 1n n n n -→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭.56.抓大头，0×有界所以等于057. 【详解】 ()()0000()lim ()lim lim 0x x x x f t dt g x f x f x →→→===⎰， 所以0x =是函数()g x 的可去间断点．58. 【详解】由题设知||0c x ≥≥，所以22,()1,2,x x c f x x c x c x x c >⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-<-⎩因为 ()22lim lim(1)1x c x c f x x c --→→=+=+，()22lim lim x c x c f x x c++→→== 又因为()f x 在(,)-∞+∞内连续，()f x 必在x c =处连续所以 ()()lim lim ()x c x c f x f x f c +-→→==，即2211c c c+=⇒=. 59. 【详解】方法一：22001sin 1sin lim ln lim ln 11x x x x x x x x →→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 32000sin cos 1sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→--===-=- 方法二：2230001sin cos sin cos sin lim ln lim lim 2sin 2x x x x x x x x x x x x x x x→→→--=洛必达法则 20sin 1lim 66x x x x →-=-洛必达法则 60. 【解析】()3sin x x f x xπ-= 则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±61. 【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则 222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b ax a→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除(B)、(C). 另外201cos lim 3x a ax bx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除(D). 所以本题选(A).62.【解析】cos cos 100x x x x -→→=02(1cos )lim 13x e x x →-=20212lim 13x e x x →⋅=32e =.。
