东南大学高数重修试卷.ppt

⾼数重修试题⼀（1）设k j i b k j i a 42,253++=-+=，问λ和µ有什么的关系，能使得b aµλ+与z 轴垂直？（2）已知k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ?的⾯积。

（3）已知23,3,2,1,,3A a bB a b a b a b π=+=-===求,BA B prj A ?（4）设向经,522k j i M O ++=从点)1,2,1(P 出发，向M O 作垂线PQ ,求向量Q P和长度。

（5）分别画出223yx z +-=,2211y x z ---=⽅程所表⽰的曲⾯。

（6）求上半球2220yx a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a axy x 的公共部分在xoy 坐标⾯上的投影。

（7）求两平⾯012=+-+z y x 和012=-++-z y x ⾓平分⾯的⽅程。

42012=--+=--+z y x z y x 的直（8）求过点)1,2,1(-，并且平⾏直线线⽅程。

（9）求直线211232-+=-=+z y x 与平⾯08332=-++z y x 的交点和夹⾓。

（10）求点)0,2,1(-在平⾯012=+-+z y x 上的投影。

（11）求点)1,3,2(在直线322217+=+=+z y x 上的投影。

4201=-+-=+-+z y x z y x 的距离。

（12）求点)2,1,3(-P 到直线（13）求直线22x y z=??=?绕z 轴旋转⼀周的曲⾯⽅程并画出它的⼤致图形。

（14）求过直线026x y x y z +=??-+=?且切于球⾯2229x y z ++=的平⾯⽅程。

（15）设122112:,:112211x y z x y z L L -++-====--（1）判断12,L L 是否相交，若相交求出交点P 和相交平⾯π；（2）在平⾯π上求⼀过P 点直线L ，且L 与1L 和2L 的夹⾓相同。

⼆：（1）求1)sin(1lim)0,0(),(--→xy xy y x 。

东南大学高等数学（A ）期末试卷03年——10年2003级高等数学（A ）（下）期末试卷一. 填空题（每小题3分，满分15分）：1．幂级数11(1)2nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为 。

2．当常数p 满足条件时，级数1(1)n n ∞=-∑绝对收敛。

3．设2sin ()(1)zf z z z=-，则()f z 在0z =的留数Re [(),0]s f z = 。

4．微分方程()9()0y x y x ''''-=的通解为 。

5．设C 为抛物线21y x =-上自点A （-1，0）到点B （1，0）的一段弧，则曲线积分22()()()C AB x y dx x y dy ++-⎰的值为 。

二.单项选择题（每小题4分，满分12分）：1．微分方程356x y y y xe '''-+=的特解形式为（其中A 、B 为常数） （ ） （A ）3x y Ae *= （B ）3x y Axe *= （C ）3()x y Ax B e *=+ （D ）3()x y x Ax B e *=+2．设2,02()0,24x x f x x +≤<⎧=⎨≤<⎩，1()sin ()4n n n xS x b x π∞==-∞<<+∞∑，其中 401()sin (1,2,)24n n xb f x dx n π==⎰，则(2)(9)S S +-等于 （ ） （A ）-1 （B ）1 （C ）5 （D ）73．设级数1(1)n n n a ∞=-∑条件收敛，则必有 （ ）（A ）1n n a ∞=∑收敛 （B ）21n n a ∞=∑收敛（C ）11()n n n a a ∞+=-∑收敛 （D ）21n n a ∞=∑与211n n a ∞-=∑都收敛三．（每小题7分，满分35分）：1．计算积分10xydx dy y⎰。

2． 计算复积分2221(1)x ce dz z z --⎰，其中c 为正向圆周：3z =。

10-11-2高数期末试卷(150分钟)一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1．2lim ()()a xbx x x a x b e +→∞⎛⎫= ⎪--⎝⎭；2．曲线sin()ln()(0,1)xy y x x +-=在点的切线方程是1y x =+；3．曲线3221x y x =+的斜渐近线方程是2y x=；4．若曲线321y x ax bx =+++有拐点(1,0)-，则3b =；5．函数()ln(12)0(0)n y x x n y =-==在处的阶导数2(1)!n n --；6．设可导函数220()sin x yxt y y x e dt x t dt +-==⎰⎰是由方程所确定，则1 x dydx =-=； 7．2π=⎰4 π-；8．1x -=⎰23-； 9．微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的特解是1y x=。

二.按要求计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分） 10．求极限20(sin sin(sin ))sin lim1cos x x x x x →-- 13= 11. 求反常积分211 (1)dx x x +∞+⎰1ln 22= 12．求定积分1sin ln exdx ⎰()1sin1cos122e =-+ 13．求不定积分1sin 2cos dx x x ⎰ ()1sec ln csc cot 2x x x C =+-+三（14）．（本题满分7分）设sin , 02(),0,()0, 2x x f x x x g x x ππ⎧≤≤⎪⎪=≥=⎨⎪>⎪⎩，分别求022x x ππ≤≤> 与 时积分()()xf tg x t dt -⎰的表达式。

()()()() ()()()()sin , 021, 2x xx x xf tg x t dt f x u g u dux u g u du x g u du ug u du x x x x x ππ-=-=-=-⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰关键步骤：四（15）．（本题满分8分） 求由sin , (0)2y x x y x x π==≤≤所围图形的面积及此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

东 南 大 学 考 试 卷 B 卷课程名称： 高等数学(下) 考试学期 XX 得分适用专业：非电类各专业 考试形式：闭卷 考试时间长度：150分钟 共2页一．单项选择题（每小题4分，满分16分）：1．设(,)u u f x y xy x y∂=+∂∂2具有二阶连续偏导数,则等于 [ ] （A ）22xyf （B ）1222xf xyf +（C ）21222f xf xyf ++ （D ）2111222()f f x y f xyf ++++2．设{(,)02,0D x y y x =≤≤≤，则Dxdxdy ⎰⎰的值为 [ ]（A ）23（B ）1 （C ）2 （D ）π 3．设C 是从(2,0)B 经(1,1)A -到(0,0)O 的有向折线，则曲线积分3232()()C I x xy dx y x y x dy =++++⎰的值等于 [ ]（A ）5 （B ）4 （C ）-5 （D ）-84．设级数1(1)n n n a ∞=-∑条件收敛，则必有 [ ]（A ）1n n a ∞=∑收敛 （B ）21n n a ∞=∑收敛（C ）21n n a ∞=∑与211n n a ∞-=∑都收敛 （D ）11()n n n a a ∞+=-∑收敛二．填空题（每小题3分，满分15分）：1．设向量{1,2,3},{1,1,0}a b ==，若非负实数β使向量a b β+与a b β-垂直，则β= 。

2．幂级数11(1)2n n n x n ∞=-⋅∑的收敛域为 。

3．函数222()()2()u x y z x y z =-+---在点(1,2,2)M 处方向导数的最大值是 。

4．若函数(,)z f x y =可微，且22(,)1,(,)x f x x f x x x ==，则当0x ≠时，2(,)y f x x = 。

5．交换积分次序2113(3)20010(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰⎰⎰ 。

东南大学高数（上）至年期末考试（附答案）作者:日期:x 3.一、单项选择题 1.设函数03〜10级高等数学 2003级高等数学（ （每小题 4分，共16分） y （x ）由方程1"dt （A ）（上册）期末试卷A ）（上）期末试卷x 确定，则 (C)e-1(A)e 1；(B)1-e;(D)2e .（A ） y （C ） y * 二、填空题 Acos2x;Ax cos2x Bxsin2x;(B) (D)1. x m 0(e x2.（每小题 1X)x 2arcta n— x 3分，共18 分）e f 仏x），其中f 可导，则dydx .1 、八 一、 x sin-, 设 f(x) x0, Axcos2x; Asi n2x若导函数f （X ）在x 0处连续，则 的取值范围是4.若 f (x)x 2t 4_ 3 dt,则f (x)的单增区间为,单减区间为5•曲线y xe X 的拐点是6.微分方程 y 4y 4y 0的通解为y三、计算下列各题(每小题 6分，共36 分)dx计算积分一dx一2 cosx5.设f(x)连续，在x 0处可导，且f (0)x 0(t t f(u)du)dt0, f (0) 4，求 lim —一 ------------x 0x sinx1计算积分arcta n x . —dxx 2)2 (1.计算积分5COS x寸223.计算积分x 3e x dx4.6.求微分方程2xydy (x22y2)dx 0的通解四.（8分）求微分方程3y 2y 2xe x满足条件y0的特解xo 0,y五.（8分）设平面图形x2y22x与y x所确定，试求D绕直线x 2旋转一周所生成的旋转体的体积。

x5t 2 （7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线 C::y t2a[a, a]，使得 a f (x)dx七.（7分）设函数f （X ）在［a,a ］上有连续的二阶导数，且 f （0） 0,证明：至少存在一t与X 轴所围成，试求其质量m2t1. 2. 3. 4. 5. .填空题 函数f 已知F 设函数2004级高等数学（A ）（上）期末试卷（每小题4分，共20分）1X ——1—的间断点 X 是第 类间断点.x 是f X 的一个原函数，且f X 0,则 f X 1 X 2X 2005 e x e x dxSint/—U 4du dt ,则 f 0 2xdt 。

03～09级高等数学（A ）（上册）试卷答案2003级高等数学（A ）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分） 1.B 2.A 3.D二、填空题（每小题4分，共24分） 1.522.0=x ,第一类（跳跃）间断点3.(1)23432(5(1))2(1)(1)(1)(1) (01)234!-+-+-+-+-+-<<x e x e e e x x x x θθθ 4.(cos())cos()--x xy e xy dx x xy e5.(1)!--n6.222sin 2(cos )2sec '-+xf x x x 三、（每小题7分，共28分） 1.e2.lim 0→+∞=x3. 212()24(1)'=+-y e πππ 4.设222sin , 1=-=-dy d yt dx dx . 四、（8分）求证时当 0 >x ，x x x sin 63<-. (用函数的单调性来证明) 五、（6分）是一个相关变化率的问题，2144 /==t dsm s dtπ。

六、（8分）2>-a 时，有两个相异的实根；2=-a 时，有一个实根；2<-a 时，没有实根。

七、（6分）设3()()=F x x f x ，对()F x 在区间[0,1]上用罗尔定理即可得证。

八、（8分）所求点为(, )22P a 。

2004级高等数学（A ）（上）期中试卷一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 3=n 2. 2=-a 3. ()10(0)90=f4.1(1,)2-- 5. ()()()()()211, 01211--+<<+-x x x θθ 二. 选择题(每小题4分,共16分) 1.C 2.D 3.C 4.D2三. 计算题(每小题7分,共3 5分)1. 0111lim cot sin 6→⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭x x x x2. ()12sin 201sin 3e 1lim ln 12→⎡⎤⎢⎥⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦x x x x x x x e 3. ()21e d 2cos e +++=-x yx yx dy x y y x 4. 2222322d 1d 13 d 2(1)d 4(1)+==-++y y t x t t x t t . 5. 1,1,12===a b c （注意：分段点的导数一定要用导数的定义来求） 四.(8分) 用函数的单调性来证明。

08-09-3高数A期末试卷（A）参考答案及评分标准09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分1. 曲面在点处的法线方程是；2.设，则梯度；3.设幂级数的收敛半径是，则幂级数的收敛区间是；4.设闭曲线，取逆时针方向，则曲线积分的值是；5.设函数具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是；6.将函数在上展开为余弦级数，其和函数在点处的函数值；7. 设为圆周，取逆时针方向，则积分的值是；8.留数；9.取（注：答案不唯一），可使得级数收敛，且级数发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分10．（本小题满分7分）设，其中具有连续的二阶偏导数，具有连续导数，计算.解，（3分）（4分）11．（本小题满分7分）判别级数的敛散性．解，（5分）由比值法得知级数收敛。

（2分）12．（本小题满分8分）判别级数是否收敛，若收敛，判别是绝对收敛，还是条件收敛？并说明理由.解显然，记，令，得，当时，单调递减，由判别法得知级数收敛，（4分）且，而级数发散，由比较判别法得知级数发散，（3分）故条件收敛。

（1分）13. （本小题满分8分）将函数展开为以为周期的级数.解，（1分），（2分），（3分）于是由收敛定理得：（2分）三（14）．（本题满分7分）求幂级数的收敛域与和函数.解收敛域为，（1分）令，则（3+3分）四（15）。

（本题满分7分）将函数在圆环域内展开为级数.解（1+2分）（2+2分）五（16）.（本题满分7分）计算，其中为曲线，方向沿增大的方向.解记，由公式得（2+1+3+1分）六（17）（本题满分7分）计算，其中为被所截部分，取上侧.解补一个面，取下侧，由和所围成的区域记为，由公式得（3+2+1+1分）七（18）（本题满分6分）设，若存在常数，使得，则收敛.证由于，故正数列单调递减且有下界，数列收敛，（3分）从而得正项级数的部分和收敛，即收敛，再由比较判别法得收敛.（3分）或证由，得正项级数的部分和有上界，即得收敛，（3分）再由比较判别法得收敛.（3分）。

东 南 大 学成 贤 学 院考试卷 （A 卷）课程名称 高等数学B （上） 适 用 专 业 11级工科各专业 考试学期 11 - 12 - 2 考 试 形 式 闭 卷 考 试 时 间 长 度 120 分钟 学 号 姓 名 得 分题 号 一二三四五得 分一、 选择题： （每小题 3 分）1、设 f (x ) = x (x − 1)2 (x − 2)3 ，则 f ′ 0() 等于A 、 − 6B 、 6C 、 8D 、 − 82、曲线 y = ln(x 2 − 1) 是区间(−∞,− 1) 内( )。

A 、单增的凸弧段B 、单增的凹弧段C 、单减的凸弧段D 、单减的凹弧段x →+∞A 、 0B 、C 、 ∞D 、不存在24、下列广义积分收敛的是( )。

C 、dx D 、xdx)。

x = t − 1 5、平面2x − y + z = 3 与直线 y = t + 2 的夹角是(z = 2t − 3π π π 6 4 3二、 填空题： （每小题3分）1、 lim = ( x →a x − a、2)。

2、设 f (x ) = xe − x，则 f(2012)0() = ( )。

3、∫dx = ( )。

π 4、∫−2π(x 2 sin x + cos 5 x )dx = ( )。

25、曲线 绕 z 轴旋转一周所成的旋转面方程是( )。

x = 0三、 计算题： （每小题 7 分）1、计算极限 lim 3 。

2、求 y = x 3 − 3x 2 − 9x +14 的单调区间及极值点。

3、计算不定积分 ∫x sin(3x + 2)dx 。

4、计算定积分∫5、设 f (x ) = 1 (x + 1)2x x≤ 1 > 1 ，求 xf (x − 1)dx 。

- 1 -密 封线自觉遵守考场 纪律如考试作弊 此答 卷无 效D t cos t 2dt 2B 、 A 、A 、B 、C 、arctan x − arctan a πx1 2 x 1 − x 2 z 2 = 5 + y 2x →0 x3、 lim (− x ) = ( )。

东南大学04-05-3高数电（期中）考试参考答案及评分标准04-05-3高数电(期中)考试参考答案及评分标准05.4.23一.填空(每题4分,共24分)1.ln2i(32k);2.0dyy2f(某,y)dy;3.12y3322;4.d某2dy;65.12,0,1;6.32二.选择题(每题4分,共16分)1.B;2.C;3.A;4.A三.(每题7分,共21分)1.zf某yf1某ye某yf2某3分2z2某f1(2某某2y)e某yf2某2yf112某2ye某yf12某2ye2某yf22某y2.vu2某1,u某2某(y)y某2分4分vu2y(y),(y)y2C,u某2y2某C某y2分f(z)某2y2某Ci(2某yy)令y0,得f(某)某2某C于是f(z)zzC2分2222f(0)0得C022f(z)zz21分3.L某yz((某y)z1)2分L某2某2(某y)0,Ly2y2(某y)0,Lz2z2z0,(某y)2z211分求得1111,,0或,,022222分12由问题的实际意义知原点到曲面存在最短距离,故dmin四(第一题7分,其余每题8分,共39分)2分某y12d1.2d(inco)d(4分)20122某yinco1某24y2某2y2(3分)2.原式=zdv(2分)2某5y12d2zdz1(12某25y2)d3分22某25y21=210210012d03d14103分某y某yQPy2某22某y3.P2,Q2,22某y某y某y(某2y2)2原式=2分21d某(2分)2d某(2分)2ln22分4.原式=11yzdzd某(2分)(zdv0dzd某)33(2分)2742分2分=320z(9z)dz35.某cot,原式=022yint,z2cotint0t23分2cotint22cotintcotcotintcotintdt2分3分=0dt2。

东南大学2012-2013学年第二学期《高等数学(±)»期中考试试卷课程名称高等数学A、B (期中) 考试学期12-13-2 得分1 21.设斜率为的直线乙是曲线!/ = -{x > 0)的切线，则乙的方程为:」勿2.函数/(了)= 宀的全部间断点分别是它们的类型依次分别为；2_至,3.设/(x) = x(x + 1)(干 + 2)…(=+ 2012),则尸(一1) = ;4.设y = /(ln(x + 其中/(u)为可微函数,则微分dg = ;5.函数/(r) = e®nT带Peano余项的2阶Maclaurin公式是t6.分别举出符合下列各题要求的一例，并将其填写在横线上：(1)极限lim |a…|存在,但极限lim %不存在的数列％ =: n-»oo n->oo⑵极限lim/(g)与lim f(x)g(x)都存在，但极限limg(z)不存在的函数JT O x-*O/(Z)= ____________ , 9(Z)= ___________ ；(3)在z = 0处导数不存在，但z = 0是极值点的连续函数有・二、单项选择题(本題共3小題，每小题4分，满分12分)(1 - z)i, X > 0(b, 1 = 0在x = 0处连续，则[ ]z sin j - a, z < 0(A)Q = b = e (B) Q = b = e" (C) a = —6 = e~l (D) a = —b = —e-12.设f(x)= (z + I sin”) cos则[ ](A) r(0) = 2 (B) r(0) = 0 (C) r(0) = I (D) /(z)在z = 0 处不可导3.下列命题正确的是： [ ](A)任何两个无穷小量之比的极限必存在(极限值为有限实数或8)；(B)若数列｛%卜1｝和｛a^｝都收敛，则数列｛%｝也收敛；(C)若数列0｝收敛，数列0｝发散,则数列｛oA｝必发散；(D)若数列｛%｝单调增加，数列｛虬｝单週减少，且lim (% - b n) = 0,则lim 0… = lim 如.n->oo三、计算下列各题(本題共5小題，每小題7分，満分35分)1.求极限lim .十那-时竺2.求极限lim响〒»-»0 (1 - COSZ)皿X n-*oo3.设！/ = y(x)是由方程x + y- arctan(x 一y)所确定的隐函数,求导数翌.ax4设尙=蛆刁'求爬(砂5.设幽=｛訂二\求殺礬心.四、(本觀满分8分)证明：当了>0时，x2 + l >lnx.五、(本题満分8分)设函数/(时在闭区间[0,3a] (a>0)上连续，在开区冋(0,3a)内可导，且/(3a) = /(a) < /(0) < /(2a).证明：至少存在一点f G(0,2a),使得r(f) = /任+ a).六、(本題满分8分)⑴证明气等式：击 < In (1+ =)<：;(2)设务.=1 + ： + ； + •.. +丄-]nn,利用単调有界原理证明数列｛乌｝收敏.Z O TI12-13-2高等数学（A, B ）期中试卷参考答案一、 填空题（本題共6小题，前5题每题4分，第6題9分，共29分）1. 了 + 2y - 4 = 0：2. 0,1;可去,无穷;3. -2011!;4.。

共 7 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）（共4页第1页）课程名称高等数学（B ）期中考试学期X -3 得分适用专业 选学高数（B ）的各专业 考试形式闭卷考试时间长度 120分钟一、 填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．设{}{}1,4,5,1,1,2==a b ，若()()λλ+⊥-a b a b ，则λ= ； 2．函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的方向导数的最大值是 ；3．曲线22390x z y ⎧+=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为 ；4．曲线22222241644x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩在xOy 平面上投影曲线的方程为 ； 5．幂级数()2124nnn x n ∞=-∑的收敛域为 。

二．选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分） 6．级数()1(1)1cos 0n n n λλ∞=⎛⎫--> ⎪⎝⎭∑常数 [ ]（A ） 绝对收敛；（B ）条件收敛；（C ）发散；（D ）敛散性与λ的取值有关. 7．已知两直线12412113::235324x y z x y z L L -+++--====-和，则1L 与2L [ ] （A ） 相交； （B ）异面； （C ）平行但不重合； （D ）重合.8．设二元函数(,)z x y =在点(),x y 处可微，下列结论不正确的是 [ ]（A ） (),f x y 在点(),x y 连续；（B ）(),f x y 在点(),x y 的某邻域内有界； （C ） (),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都存在； （D ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都连续.共 7 页 第 2 页9．设函数2(),f x x =101,()sin ,nn x S x bn x π+∞=≤<=∑而,x -∞<<+∞其中 （第2页）102()sin d ,(1,2,...),n b f x n x x n π==⎰则12S ⎛⎫-= ⎪⎝⎭[ ](A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 12三．计算下列各题（本题共5小题，每小题7分，满分35分）10．求点()4,1,2A -到直线50240x y z x z -++=⎧⎨+-=⎩的距离。