【高等数学 东南大学】0数学讲座(极限与连续)

经济数学前言一、“高等数学”的学科定位“高等数学”，是以极限论为工具研究变量和变量关系的学科，又称为微积分，在数学专业课中又称为“数学分析”。

研究的对象是函数，基础是实数域，运用分析的工具是极限。

以下我们根据课程的特点和内容从不同角度对其进行说明。

1、高等数学初等数学，2、，其主要内容是微分学和积分学两部分。

而它们的基础是函数与极限，我们再根据其对象是一元函数和多元函数将其分为一元微积分和多元微积分。

3、同样是微积分，还有层次的高低问题。

4、在内容的系统上，其主线是运用极限论工具对函数的各特性进行讨论。

这里在内容体系展开上就有一个认识上的矛盾。

因为极限论从认识的角度看要比函数的微积分难得多。

若一开始就深入的徘徊在极限理论之中，必然偏离我们高数的学习目的。

为了解决这个矛盾，我们尽量地简化了极限论的分析，只是罗列了一些要用的必需结论（这也是与数学分析的主要区别之一）。

但是对它的简单化将使我们在运用极限这个工具时，感到有点把握不住，这是很正常的。

希望大家一定要正确对待这一难关。

我们的处理是在后继内容的一些具体问题中去逐步地完善对极限的认识，可能到后面的总结时，才能较好地体会和归纳出它的实质。

二、在学习中要注意的一些思想方法人们往往对数学有一个看法，认为数学很难，这一看法辨证地说既对又不对。

所谓难与不难是相对的，关键在认识方法上，若方法对路，相对较难的内容也能较容易地掌握。

根据高数的特点，我们列举出以下几对矛盾，希望同学们在学习的全过程中，随时多想想，找到问题的症结，对症下药，对学习会有一定的帮助。

1、常量与变量的矛盾2、内容和形式上的矛盾3、感性和理性的矛盾4、有限和无限的矛盾5、局部和整体的矛盾6、连续和离散的矛盾三、准备首先在这里先给两个数学符号，是全课程中大量运用的符号。

1）符号“∀”，即任意选取一个，或说对于每一个∀：即在区域D中任意选取一个Dx∈元素x，或说对于D中的每个x。

2）符号“∃”：至少存在一个∃：即在D中存在一个元素x。

极限与连续的关系在数学领域中，极限与连续是两个重要的概念。

它们之间存在着紧密的联系，同时也有着一定的区别。

本文将探讨极限与连续的关系，并从不同的角度进行分析。

一、极限的定义与性质极限是数学中一个基本的概念，它描述了一个变量趋近于某个确定值的过程。

在数学中，我们通常用符号“lim”来表示极限。

具体而言，对于一个函数f(x)，当自变量x无限接近于某个值a时，如果函数值f(x)也无限接近于某个值L，则称L为函数f(x)在点a处的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。

极限的定义可以用数列的极限来解释。

数列是指由一系列数按照一定规律排列而成的序列。

当数列中的数无限接近于某个值时，我们称该数为数列的极限。

而函数的极限可以看作是无穷多个点的极限的集合。

极限具有一些重要的性质。

首先，极限的唯一性：如果函数f(x)在点a处的极限存在，那么该极限是唯一的。

其次，极限的保号性：如果函数f(x)在点a的左侧或右侧有极限L，且L大于（或小于）零，那么函数f(x)在点a处的极限也大于（或小于）零。

此外，极限还具有四则运算的性质，即加法、减法、乘法和除法。

二、连续函数的定义与特性连续函数是极限的一种特殊情况，它在数学中具有重要的地位。

连续函数的定义可以用极限来描述。

具体而言，对于一个函数f(x)，如果它在某个点a的极限存在，并且该极限等于函数在点a处的函数值f(a)，那么称函数f(x)在点a处连续。

连续函数具有一些重要的特性。

首先，连续函数的运算性质：如果函数f(x)和g(x)在点a处连续，那么它们的和、差、积、商（除数不为零）在点a处也连续。

其次，连续函数的复合性质：如果函数f(x)在点a处连续，而g(x)在点f(a)处连续，那么复合函数g(f(x))在点a处连续。

三、极限与连续之间存在着密切的联系。

首先，连续函数的极限与函数值相等。

也就是说，如果一个函数在某个点处连续，那么它在该点处的极限等于函数值。

这是连续函数定义的直接推论。

第二章 极限与连续极限是高等数学中最主要的概念之一，也是研究微积分的重要工具，如导数、定积分、重积分等定义都需要用极限来定义，因此，掌握极限的思想和方法是学好微积分学的基本前提．第一节 极限的定义教学目的：1.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

2.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

教学重难点：1.极限的概念和左极限与右极限概念及应用；2.无穷小及无穷小的比较；本节将在中学学习过的数列的极限的基础上学习函数的极限、极限性质、无穷小的定义及性质、无穷大的定义及其与无穷小的关系．一、数列的极限定义 对于数列{}n x ，如果当n 无限增大时)(∞→n ，n x 无限趋近于一个确定的常数A ， 则称A 为数列{}n x 的极限．记作=∞→n n x lim A 或 A x n →（n ∞→）． 亦称数列{}n x 收敛于A ；如果数列{}n x 没有极限，就称数列{}n x 是发散的．数列极限的运算法则为：如果∞→n lim =n x A , ∞→n lim =n y B ，那么 法则1 ∞→n lim (n x ±n y ) ∞→=n lim n x ±∞→n lim =n y A ±B ；法则2 ∞→n lim (nx n y ) ⋅=∞→n n x lim n n y ∞→lim AB =；法则3 ∞→n lim lim n n n Cx C x →∞==CA (C 是常数)； 法则4∞→n lim B A y x y x nn n n n n ==∞→∞→lim lim ()0≠B ． 以上法则1，法则2可以推广到有限个数列的和与积的情形．二、函数的极限1．当∞→x 时，函数)(x f 的极限定义 如果当x 的绝对值无限增大（即∞→x ）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记为 A x f x =∞→)(lim 或 当∞→x 时，A x f →)(． 如图1－5（b ）所示, 函数xx f 1)(=当x 的绝对值无限增大时, 函数xx f 1)(=的图象无限接近于x 轴．也就是，当∞→x 时，)(x f 无限地接近于常数零，即01lim=∞→xx ． 在上述定义中，自变量x 的绝对值无限增大指的是既取正值无限增大（记为+∞→x ），同时也取负值而绝对值无限增大（记为-∞→x ）．但有时自变量的变化趋势只能或只需取这两种变化的一种情形，为此有下面的定义：定义 如果当+∞→x (或-∞→x )时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当+∞→x (或-∞→x )时的极限，记为 lim ()x f x A →+∞=或当x →+∞时，()f x A →； lim ()x f x A →-∞=或当x →-∞时，()f x A →． 由图1－5（b ）可以看出，01lim=+∞→xx 及01lim =-∞→x x ，这两个极限与01lim =∞→x x 相等，都是0．由图1－11（b ）可以看出，2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x ．由于当+∞→x 和-∞→x 时，函数x y arctan =不是无限趋近于同一个确定的常数，所以x x arctan lim ∞→不存在．由上面的讨论，我们得出下面的定理： 定理 A x f x =∞→)(lim 的充要条件是： )(lim x f x +∞→A x f x ==-∞→)(lim ．（证明略）2．当0x x →时，函数)(x f 的极限定义 设函数()y f x =在点0x 的某个近旁（点0x 本身可以除外）内有定义，如果当x 趋于0x （但0x x ≠）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为A x f xx =→)(lim 0或 当0x x →时，A x f →)(．例1 考察极限C x x 0lim → (C 为常数)和x xx 0lim →． 解 因为当0x x →时，)(x f 的值恒为C ，所以=→)(lim 0x f x x C C xx =→0lim ． 因为当0x x →时，()x ϕx=的值无限接近于x ，所以lim ()x x x ϕ→=00lim x x xx =→． 3．当0x x →时，)(x f 的左、右极限因为0x x →有左右两种趋势，而当x 仅从某一侧趋于0x 时，只需讨论函数的单边趋势，于是有下面的定义：定义 如果当x 从0x 左侧趋近0x （记为0x x -→）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那末A 称为函数)(x f 当0x x →时的左极限，记为 0lim ()x x f x A -→=．如果当x 从0x 右侧趋近0x （记为0x x +→）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那末A 称为函数)(x f 当0x x →时的右极限，记为 0lim ()x x f x A +→=定理 A x f xx =→)(lim 0的充要条件是： 0lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==． （证明略）例2 讨论函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩当0→x 时的极限．解 观察图2－1可知：0lim ()x f x -→1)1(lim 0-=-=-→x x ，0lim ()x f x +→1)1(lim 0=+=+→x x ．因此，当0→x 时，)(x f 的左右极限存在但不相等，由定理2知，极限 )(lim 0x f x →不存在． 例3 研究当x →0时, x x f =)(的极限．解 观察图2－2可知：⎩⎨⎧≥<-==0)(x x x x x x f 由于)(lim 0x f x -→0)(lim 0=-=-→x x ,=+→)(lim 0x f x 0lim 0=+→x x ．所以当x 0→时，)(x f 的左, 右极限都存在且相等．由定理2知x →0时, x x f =)(的极限存在，且等于0．三、无穷小量实际问题中，常有极限为零的变量．例如，电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋近于零．对于这样的变量，有下面的定义：1．无穷小量的定义定义 极限为零的变量称为无穷小量，简称为无穷小． 如果0lim ()0x x x α→=，则变量()x α是0x x →时的无穷小，如果lim ()0x x β→∞=，则称()x β是x →∞时的无穷小，类似的还有0x x +→，0x x -→，x →+∞，x →-∞等情形下的无穷小．根据定义可知，无穷小是一种变化状态，而不是一个量的大小，无论多么小的一个数都不是无穷小，只有零是唯一的一个可作为无穷小的常数，无穷小是有极限变量中最简单而最重要的一类，在数学史上，很多数学家都致力于“无穷小分析”．2．无穷小量的性质定理 有限个无穷小的代数和为无穷小．（证明略）注意，无穷个无穷小之和未必是无穷小，如n →∞时，21n ，22n ，2nn 都是无穷小，但是222212(1)2n n n n n n n +++⋅⋅⋅+=，当n →∞时2(1)122n n n +→，所以不是无穷小．定理 有界函数与无穷小的积为无穷小． （证明略） 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. （证明略）图2－1图2－2推论2 有限个无穷小的积为无穷小．（证明略） 例4 求极限01lim sin x x x→． 解 因为x 是当0→x 时的无穷小，而x1sin 是一个有界函数，所以1lim sin0x x x→=． 3．函数极限与无穷小的关系 设A x f xx =→)(lim 0，即0x x →时()f x 无限接近于常数A ，有()f x A -就接近于零，即()f x A -是0x x →时的无穷小，若记()()x f x A α=-，于是有 定理 3 （极限与无穷小的关系）A x f xx =→)(lim 0的充分必要条件是()()f x A x α=+，其中()x α是0x x →的无穷小．例如11x x +→当()x →∞时，有111x x x +=+，其中1x就是()x →∞时的无穷小．四、 无穷大量 1．无穷大的定义定义 6 若当0x x →（x →∞）时，函数()f x 的绝对值无限增大，则称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷大.函数()f x 当0x x →（或x →∞）时为无穷大，它的极限是不存在的，但为了便于描述函数的这种变化趋势，我们也说“函数的极限为无穷大”，并记为lim ()x x f x →=∞ 或 lim ()x f x →∞=∞． 例如，当0→x 时，x1是一个无穷大，又例如， 当x →+∞时，x e 是一个无穷大．注意，说一个函数()f x 是无穷大，必须指明自变量x 的变化趋向；无穷大是一个函数，而不是一个绝对值很大的常数．2．无穷大与无穷小的关系我们知道，当2x →时，2x -是无穷小，12x -是无穷大；当x →∞时，x 是无穷大，1x是无穷小．一般地，在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 为无穷大，则)(1x f 是无穷小；反之，如果)(x f 为无穷小，且)(x f 0≠，则)(1x f 是无穷大． 利用这个关系，可以求一些函数的极限．例5 求极限13lim1-+→x x x ． 解 因为031lim1=+-→x x x ，由无穷大与无穷小的关系，所以∞=-+→13lim 1x x x ．五、无穷小量比较 由无穷小的性质，我们知道两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小．但两个无穷小的商却会出现不同的情况．例如，当0x →时， x 2、2x 、x sin 均为无穷小，而02lim 20=→x x x ，∞=→202lim x x x ，1sin lim 0=→xx x ．两个无穷小之比的极限的不同情况，反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢”程度．一般地，对于两个无穷小之比有下面定义：定义 设α和β都是同一过程的两个无穷小量，即lim 0α=，lim 0β=，1．若lim0αβ=，则称α是β的高阶无穷小量；记作()o αβ=，此时也称β是α的低阶无穷小量．2．若lim 0C αβ=≠，则称α与β是同阶的无穷小量．记作()O αβ=．3．若lim 1αβ=，则称α与β是等价无穷小量．记作βα~．例16 当1x →时，比较无穷小1x -与31x -的阶． 解 由于 0)1(lim 1=-→x x ，0)1(lim 31=-→x x ，且 3111limx x x --→3111lim 21=++=→x x x ， 所以当1x →时，1x -与31x -是同阶无穷小．例17 当0→x 时，证明x cos 1-与22x 等价．解 由于 0)cos 1(lim 0=-→x x ，02lim20=→x x ，且=-→2cos 1lim 20xx x 122sin 2lim 220=→x xx ．所以，当0→x 时，x cos 1-与22x 为等价无穷小．习题训练1．利用函数图像，观察函数的变化趋势，并写出其极限： （1）21limx x →∞； （2）lim 2x x →-∞； （3）1lim ()10x x →+∞； （4）1lim(2)x x→∞+；（5）2lim(45)x x →-； （6）2lim sin x x π→． 2．设2,1()1,1x x f x x ⎧≥-=⎨<-⎩，作出它的图象，求出当1-→x 时，()f x 的左极限、右极限，并判断当1-→x 时，()f x 的极限是否存在？3．设1()1x f x x -=-，求(10)f -和 (10)f +，并判断()f x 在1→x 时的极限是否存在？4．设21()1x f x x-=-，求0lim ()x f x →，1lim ()x f x →． 5．下列函数在自变量怎样变化时是无穷小？无穷大？ （1）31y x = ； （2）211y x=+；（3） ln y x =；（4）y =6．求下列函数的极限：（1） sin limx x x →∞； （2）01lim cos x x x→； （3） 1lim1x xx →-； （4）32222lim (2)x x x x →+-．第二节 极限的运算教学目的：1.掌握极限的性质及四则运算法则;2.掌握利用两个重要极限求极限的方法。

极限与连续知识点总结在高等数学中，极限与连续是非常重要的基础概念，它们贯穿了整个数学分析的学习过程。

下面，我们就来对极限与连续的相关知识点进行一个系统的总结。

一、极限的概念极限是指当自变量无限趋近于某个值时，函数值无限趋近于一个确定的常数。

例如，对于函数$f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄，当$x$趋近于 1 时，＄f(x)＄的极限为 2。

这是因为通过化简$f(x) ＝ x ＋ 1$，当$x$趋近于1 时，＄f(x)＄趋近于 2。

极限的定义有多种形式，常见的有$＼epsilon ＼delta$定义。

二、极限的计算1、代入法对于一些简单的函数，如果在极限点处函数有定义且连续，直接将极限点代入函数即可计算极限。

2、因式分解法当分子分母有公因式时，可以通过因式分解约去公因式来计算极限。

3、有理化法对于含有根式的式子，可以通过有理化来消除根式，从而计算极限。

4、利用重要极限常见的重要极限有：＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1$，＄＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e$。

5、洛必达法则当遇到分子分母同时趋近于 0 或无穷大的情况，可以使用洛必达法则，对分子分母分别求导来计算极限。

三、无穷小与无穷大1、无穷小如果函数$f(x)＄在某个变化过程中极限为 0，那么称$f(x)＄为该变化过程中的无穷小。

例如，当$x ＼to ＼infty$时，＄＼frac{1}｛x}＄是无穷小。

2、无穷大如果在某个变化过程中，函数的绝对值无限增大，那么称该函数为无穷大。

例如，当$x ＼to 0$时，＄＼frac{1}｛x^2}＄是无穷大。

无穷小与无穷大之间有着密切的关系：在同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大。

四、极限的性质1、唯一性极限如果存在，则一定是唯一的。

2、有界性如果函数在某个区间上有极限，那么在该区间上一定有界。

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极限与连续๑▪数列有界的充要条件是数列既有上界又有下界。

▪数列极限存在与否、极限是什么，与数列前面的有限项无关,只与后面的无穷多项有关。

若改变数列有限项，不影响数列的极限。

▪数列极限的性质：1)极限的惟一性：若数列收敛，则其极限惟一。

若=a，则=a2)有界性：收敛数列必有界. （数列有界是数列收敛的必要非充分条件）3)保号性：若=a，=b，且a，则存在正整数N，当n N时,恒有。

若=a，且a(或a b）,则存在正整数N，当n N时，有(或b)若=a,且a(或a0)，则存在正整数N，当n N时，有（或0）▪函数极限=A的充要条件是==A▪分段函数极限与该点有无定义无关，只与左右极限有关.即=▪函数极限的性质：1)极限的惟一性:若函数f(x)当（或）时有极限,则其极限惟一.2)局部有界性3)局部保号性▪极限运算法则:设limf（x）=A，limg（x）=B，则1）lim[f(x）]=A B2）lim［f(x)g(x)］=AB3）当B时,lim =4）lim［cf（x)］=climf（x） (c为常数）5）lim[f(x)= ［limf(x） (k为常数）▪当，时，有 =▪复合函数运算法则：=▪数列的夹逼准则：设有3个数列{}{｝{｝,满足条件：1）（n=1，2,…）；2）==a，则数列{}收敛，且=a▪函数的夹逼准则：设函数f（x),g（x)，h(x)在点的某去心邻域内有定义，且满足条件：1)g（x)f(x)h（x）；2)=A，。

《高等数学》(一)极限与连续学习的几点建议在高等数学(一)极限与连续学习中，极限的理解和运用是重点。

掌握好极限的思想方法和具体技巧，对学习极限与连续有很大的帮助。

本文就极限与连续的学习技巧提出具体的建议，以辅助学习者的极限与连续学习。

首先，要学习运用极限法则。

极限本质上是一种定性概念，它可以很好地把一类运算分类和推理，从而产生出更多深刻的数学性质和结果。

因此，要掌握极限法则，就要多熟悉极限思想和极限公式，利用它们抽象到本质原理，找出极限性质，形成极限定理，以及运用极限推理来求解数学定理。

其次，要学习连续推理思想。

当某个函数的定义域中含有某类的极限点时，极限仍然可以得到有用的信息。

在连续推理中，首先要将极限定理抽象出来，即对某个函数在定义域内的极限点做断句，然后根据极限定理，利用极限转化法来推导出函数值，得出连续推理结论。

此外，重点要学习运用极限的方法解决问题。

在解决极限和连续的问题时，要先从极限的角度思考，可以用极限的定义和性质来改写变量，分析函数的解析性质。

但上述的方法仅仅能够解决极限的基本问题，如想解决更加复杂的连续问题，就要根据题目中涉及到的知识点运用极限法则，来利用极限来理解问题，并应用相应的工具得出结论。

最后，要注意极限与连续问题的记忆。

在学习极限与连续的知识时，要有严格的思维格局，把极限的定义和性质记一记，并熟悉极限的推导和应用。

另外，极限与连续中有许多定理，也应该先理解定理，并把它们记下来，不但方便自己复习，而且在考试前提前做真题可以更容易看清题目，完成考试。

总之，学习极限与连续需要掌握几个基本技能，并加以熟练运用，如极限法则、连续推理思想、运用极限解问题、以及记忆的技巧等。

只有这样，才能真正掌握极限与连续的学习知识，理解和运用它们更加得心应手。