东南大学高数课件1.3.13函数极限

注: y 0 是 y s i n x 的水平渐近线. x
2020/7/20
7
目录
上页
下页
返回
2.自变量趋于有限值时函数的极限.
(Limits Involving Finites)
观察函数 y f (x) x2 1(x 1) 当 x 1时的变化趋势 x 1
y
通过观察， 我们可以看到，
2
虽然函数在点 x 1处没有定义，
取 , 则当 0x1时 , 必有
f(x ) A |(x2 2 x 5 ) 4 |
因此
lim(x2 2x5)4
x1
2020/7/20
12
目录
上页
下页
返回
例3 证明 lim x2 9 6 x3 x 3
证: 函数在点x=3处没有定义.
f(x)A x 2 9 6 x36 x 3
x3
但当 x 1时，f (x) 与 2 无限接近．
1
2 1 O 1 2 x
2020/7/20
8
目录
上页
下页
返回
（1） 双侧极限 (Two-sided Limits)
我们用| f (x) A | 表示 f (x) 与 A 无限接近．
0 xx0 表示 x x0 的过程,
x0
x0
x0 x
在点 x0 的去心 邻域中，邻域半径 体现了 x 与 x0 的接近程度
第三节 函数的极限
(Limits of Functions)
第一章
在前一节我们讨论了数列的极限，本节主要介 绍一般函数的极限以及其性质．
一、函数极限的定义
二、函数极限的性质
2020/7/20
1
目录

THANK YOU
无穷级数与无穷积分的收敛性
总结词
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。收敛性的判 定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学 方法和技巧。
详细描述
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。如果一个无 穷级数或无穷积分是收敛的，那么它的和就是有限的 ，否则就是发散的。收敛性的判定是高等数学中的一 个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧，如比较 判别法、柯西判别法、阿贝尔判别法等。对于不同的 级数和积分，需要采用不同的方法和技巧进行收敛性 的判定。
03
导数与连续性
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的极限 ，表示函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链 式法则等性质，这些性质在研究函数 的单调性、极值和曲线的几何特性等 方面具有重要应用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函 数等基本初等函数，需要熟记其导数公式。
限的。
无穷积分的定义与性质
总结词
无穷积分是数学中另一个重要的概念，它是由无穷多个 定积分的和组成的积分。无穷积分具有一些重要的性质 ，如可加性、可乘性和可微性等。
详细描述
无穷积分是由无穷多个定积分的和组成的积分，这些定 积分可以是积分限不同的积分。无穷积分在数学中也有 着广泛的应用，如求解面积、体积和曲线长度等。无穷 积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性 等。其中，可加性表示无穷积分可以拆分成若干个部分 的和，可乘性和可微性则表示无穷积分可以与函数进行 运算和求导。

若当xx0时 f(x)无限接近于某常数A 则常数A叫
做函数f(x)当xx0时的左极限 记为
•精确定义
lim
x x0
f (x) A 或f(x0)A
.
lim
x x0
f
(x)
Ae
0
d
0
当x0dxx0
有|f(x)A|<e
注: xx0 有时也记为 x x0 ,
xx0+ 有时也记为x+x0.
x0
x0
x0 x
当x0dxx0
有|f(x)A|<e
类似地可定义右极限:
lim
x x0
f (x)
A或f ( x0 )
A.
•结论
lim f (x) A lim f (x) A 且 lim f (x) A
x x0
x x0
x x0
14
下页
lim f (x) A lim f (x) A 且 lim f (x) A
1
sin
lim n
1 n 1,
n
同理
lim
n
n sin
1 1, n
lim
n
n2 n
1
sin
n n2
1
1
27
注: 1. 可利用函数的极限,求数列的极限;
2. 由 子 列 极 限 不 存 在 或 不相 等 函数极限不存在.
例10 证明 limsin 1 不存在.
x0
x
分析:
limsin 1 a
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
播放
17
问题:函数 y f ( x) 在x 的过程中, 对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.

详细描述
举例
考虑函数$f(x) = x^3$，其一阶导数 为$f'(x) = 3x^2$，在$x=0$处，一 阶导数由正变负，故函数在$x=0$处 取得极小值。
当一阶导数在某点的左右两侧由正变 负或由负变正时，函数在该点取得极 值。
二阶导数判定法
总结词
通过判断二阶导数的正负来判断 函数在某点的极值。
01
02
03
04
梯度下降法
通过计算目标函数的梯度，沿 着梯度负方向寻找最小值。
牛顿法
通过构造目标函数的Hessian 矩阵，求解方程组得到最优解
。
遗传算法
模拟生物进化过程的自然选择 和遗传机制，通过迭代搜索最
优解。
模拟退火算法
模拟固体退火过程的随机搜索 算法，能够在全局范围内找不同的分类标准，可以将极值分为两类。第一类极值 是相对较小的极值，而第二类极值则是相对较大的极值。
单侧极值和双侧极值
根据定义，单侧极值是指函数在某一点的左侧或右侧存在 单调性改变的极值点；而双侧极值则是指函数在某一点的 两侧都存在单调性改变的极值点。
02
极值的判定
一阶导数判定法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数 在某点的极值。
在物理领域的应用
运动轨迹分析
在物理学中，极值原理可以用于分析物体的运动轨迹。例如，在分析行星的运动 轨迹时，可以利用极值原理确定行星在各个时刻的位置和速度。
能量最小化
在力学和电磁学等领域，极值原理可以用于寻找系统能量的最小值。例如，在分 析弹簧振荡器的运动时，可以利用极值原理确定振荡器的平衡位置和能量最小值 。
详细描述
当二阶导数在某点的左右两侧符号 相反时，函数在该点取得极值。

注
1）0 x x0 表示 x x0 , x x0 时 f ( x) 有无极限 与
f ( x0 ) 有无定义没有关系.
2） 任意给定后，才能找到 ， 依赖于 ，且 ( ) 越小， 越小.
3） 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.
函数极限的几何解释
y
O x
如果函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一正数ε,作两条 平 行 于 x 轴 的 直 线 y=A+ε 和 y=A-ε, 存 在 点 x0 的 δ 邻 域 (x0-δ, x0+δ),当x在邻域(x0-δ, x0+δ)内,但x≠x0时,曲线y=f(x)上的点 (x,f(x))都落在两条平行线之间。
观察函数 y=1/x 的图像
y y=1/x
o
x
再考察函数 y = ln x
y y=lnx
o
x
无穷小和无穷大的关系
在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。 即在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则
1 f ( x) 为无穷小；反之，如果f (x)为无穷小，且 f ( x) 0 则 1 为无穷大
x
x
x
若lim f ( x)或lim f ( x)不存在,则 lim f ( x)不存在.
x
x
x
若 lim f ( x) lim f ( x) , 则lim f ( x) 不存在.
x
x
x
几何意义
如果函数f(x)当x→∞时极限为A，以 任意给定一正数ε,作两条平行于x轴 的 直 线 y=A-ε 和 y=A+ε, 则 总 存 在 一 个正数X，使得当x<－X或x>X时， 函 数 y=f(x) 的 图 形 位 于 这 两 条 直 线 之间.

自变量无限变化的过程有如下几种形式：
一、x 无限增大，记为x 1 x 0且 x 无限增大，记为x 2 x 0且 x 无限增大，记为x
二、x无限接近某定值 x0，记为x x0 1 x x0且x x0，记为x x0 2 x x0且x x0，记为x x0
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
x0
x0
f (0 ) f (0 ) 1, lim f ( x) 1. x0
例13
x 1, x 0 假设f ( x) ax b, 0 x 1
2 x, x 1
试确定a、b之值，使得lim f ( x)及 lim f ( x)都存在
x0
x1
解 f (0 ) lim (x 1) 0 1 1.
x
2
证
任给 0,
要使 arctan x arctan x ,
22
即 arctanx ,
2
故只需 x tan( ).
2
取G tan( )，
2
当x G时,
就有 arctan x , 证毕。
2
lim arctanx
x
2
lim arctanx
x
2
典型极限
例12
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
1. 定义 :
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数 ,使得对于适合不等式0 x x0 的 一切x ,对应的函数值 f ( x)都满足不等式
f (x) A ,
那末常数 A就叫函数 f ( x)当x x0 时的极限,记作
例5
证明
lim
x x0
x
x0 .
证 f ( x) A x x0 , 任给 0, 取 ,

则A是 f (x)当 x 的极限. 记为： lim f ( x) A. x
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
从定义中得到： x X 包含了 x X 和x X .
所以： x 包含了 x 和 x . 于是有
定理：lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
则有：lim(2 1 ) 2, limarctan x 不存在.
x
x
x
.
7
注意: 证明极限存在时,关键是任意给定 0, 寻找X.
求X的方法： 由 f (x) A 解出x
几何解释:
Aε f (x) Aε
AA

X
A X
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
则有：lim (2 1 ) 2, limarctan x π
x
x
x
2
对于 y 2 1 ，lim (2 1 ) 2,lim (2 1 ) 2,那么 lim(2 1 ) ？
x x
x
x
或者从x0的两边同时接近于x0.
.
12
函数极限的几何意义
lim f ( x) A 0, 0, 使得当
xБайду номын сангаас x0
0 x x0 时， 恒有 f ( x) A 成立.
0
当 x U ( x0 ) 时，
函数f(x)的图形完全
y
y f (x)
落在以直线y=A为中
定义：如果 0, X 0, 使当 x X 时，恒有 f (x) A ，

即
于是 故复合函数
lim f (u)
u u0
f [(x0 )]
第15页/共37页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如,
是由连续函数链
复合而成 ,
x R*
因此
在 x R* 上连续 .
y
y sin 1
x
o
x
第16页/共37页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1 .设
均在
上连续, 证明函数
也在
上连续.
证:
f (x) g(x)
根据连续函数运算法则 , 连续 .
f (x) g(x)
可知
也在
上
第17页/共37页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、初等函数的连续 性基本初等函数在定义区间内连续
连续函数经四则运算仍连续
连续函数的复合函数连续 例如,
y 1 x2 的连续区间为 y ln sin x 的连续区间为 而 y cos x 1 的定义域为
第19页/共37页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 求
解:
原式
3 sin
x
ln(1
2
x)
3 2x
x
说明: 若 lim u(x) 0, lim v(x) , 则有
x x0
x x0
lim 1 u(x) v(x) e
x x0
lim v(x)u(x)
e xx0
第20页/共37页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
性已知函数
在区间 I 上连续,
即:
一般情形, 与 , x0 都有关.
了一致连续的概念 .
定义:

第三节 函数的极限
本节内容 :
第一章
一、自变量趋于无穷大时函数的极限 二、自变量趋于有限值时函数的极限 三、函数极限的性质
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义2 . 设函数
大于某一正数时有定义, 若
则称常数 时的极限, 记作
0 , X 0 ,
A 为函数
x
....
....
1 1 1 对 13,要求 2 x 3 5 2 x 1 13 ,只要 x 1 10 10 2 1013
一般情况，对 0,能做到 2 x 3 5 2 x 1 只须
x 1
....
....
....
....

2
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
x 于是根据以上分析，可得到“ 当 无限接近与1时，
2 x 3 无限趋近于5”的定量叙述： 0, , x : x 1 , 有 2
2x 3 5
结束
定义1 . 设函数
则称常数 A 为函数
在点
当
的某去心邻域内有定义 ,
时, 有
注：证明自变量趋于无穷大时函数的极限 时，其证明方法与证明数列极限相同，关 键是寻求正数 X .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1 例1. 证明 lim 0. x x 1 1 证: 0 x x
故 0 , 欲使 取X 即 就有
y
1 y x
o
x
1

,
因此 注:
x x0
o
机动
x
目录
x0

则称当x x0时,函数f ( x)以a为极限,记作
lim f ( x) a 或
x x0
f (x) a(x x0 )
此时, 亦称当 x x0 时 f ( x) 存在极限
(或收 敛且收 敛 于 a ).
注 1 : 定义中的“0 | x x0 | ”表明: 当 x x0 时, f ( x) 有无极限以及极限值为多少均与 f ( x) 在 x0 有无定义无关.
xk
1
但 lim f ( x)不 存 在
2
xk
函数极限与数列极限的联系（某个桥梁）：
定理3.1(Heine定理)
设f
: N ( x0 )
R为一函数,则 lim x x0
f (x)
a的
充要条件为对于N ( x0 )中的任何数列xn,
只要xn x0 (n ),
相应的函数值数列f ( xn )都收敛于a.
例3.2 问limarctanx是否存在？ x
解 因为 lim arctan x ,
x
2
lim arctan x ,
x
2
lim arctan x lim arctan x,
x ＋
x
所以 limarctanx不存在.
x
y arctanx图象如图：
y
2
y arctan x
o
x
2
2. x x0时f ( x)的极限
都有 | f ( x) | L.
证明 设 lim f ( x) a, x x0 对 1, 0, 当0 x x0 时,
有 | f ( x) a | 1
所以当x ( x0 , x0 ) ( x0, x0 ) 时,
有a 1 f ( x) a 1