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分离变数法

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齐次方程的分离变量法

齐次方程的分离变量法

代入泛定方程和边界条件可得关于X（x）和常微分方程及条件
及关于T的常微分方程：
X X 0
X (0) 0, X (l) 0
T a2T 0
X（x）的方程和条件构成
本征值问题，只能得到
0
0, X (x) 0 无意义
18
则当
0 时得到常微方程的通解为：
X (x) C1 cos x C2 sin x
na / l则频率为:
f / 2 na / 2l
当n=1的驻波,除了两端x=0和x=l之外没有其他的节点,波长2l在 所有本征振动里边是最长的,频率最低,这个驻波叫做基波.
N>1的各个驻波叫做n次谐波,波长2l/n是基波的1/n,频率na/2l
是基波的n倍.
nat
nat nx
un (x,t) (Acos l
) sin
nx
l
原方程和边界条件,此即满足方程的一般解,其中A,B为任意常数
仍然满足
但此时未考虑初始条件!
以下就是考虑到初始条件求定解问题的确定解,就是选取适当的
叠加系数An和Bn,满足初始条件: 把上述一般解代入初始条件,可得:
uut|t|t 00( (xx) )
8
n1
n1
An Bn
sin nx
（2） 0
此时方程的解是：
X (x) C1x C
积分常数由初始条件确定：
CC12l
0 C2
0
由此可得 C1 C2 0 即 X (x) 0
没有意义，故排除！
4
0 （2）
此时方程解为：
X (x) C1 cos x C2 sin x
积分常数由初始条件来确定
X X 0

8.1齐次方程的分离变数法

8.1齐次方程的分离变数法

例2：单簧管是直径均匀的细管，一端封闭而另一端开放， 试求管内空气柱的本征振动。 2 utt a u xx 0 定解问题： u ( x, t ) x 0 0, u x ( x, t ) x l 0
代入本征条件：X (0) C1 C2 0 C1 0 X ( x) 0 无意义 X (l ) C1e l C2e l 0 C2 0 u ( x, t ) 0 0时方程无解。 (2) 0：X ''( x) 0 X ( x) C x C 1 2
n a n a n x t Bn sin t )sin l l l 由于任一个解un(x,t )均不满足初始条件。要得到满足初始条件的解， 已得到一般解：un ( x, t ) X n ( x)Tn (t ) ( An cos 必须将这些本征振动进行线性叠加。其和记为u(x,t ),即： n a n a n x u(x,t )= un ( x, t ) ( An cos t Bn sin t )sin l l l n 1 n 1
n 2 2 除非：C2 0, 只有sin l 0 l n 特征值n 2 , n 1, 2,3,... l n x 相应的本征函数为：X n ( x) Cn sin , Cn为任意常数 l n2 2 a 2 关于T(t )的常微分方程：Tn ''(t ) Tn (t ) 0 2 l n a n a Tn (t ) An cos t Bn sin t l l n a n a n x 由此得一般解：un ( x, t ) X n ( x)Tn (t ) ( An cos t Bn sin t ) sin l l l n为正整数，每一个n对应一种驻波。也称为本征振动，有无穷个本征振动

Chapt_8__分离变数(傅里叶级数)法4

Chapt_8__分离变数(傅里叶级数)法4
43; Bn = Cn , nπb nπb − An e a + Bn e a = Cn , 1 − e nπb / a e −nπb / 2 a (e nπb / a − e −nπb / a ) An = nπb / a Cn = Cn − nπb / a nπb / a − nπb / a e −e e −e − nπb / 2 a − nπb / 2 a e e = nπb / 2 a Cn = Cn , − nπb / 2 a e +e cosh (nπb / 2a ) e nπb / a − 1 e nπb / 2 a (e nπb / a − e −nπb / a ) Bn = nπb / a Cn = Cn − nπb / a nπb / a − nπb / a e −e −e e e nπb / 2 a e nπb / 2 a = nπb / 2 a Cn = Cn , − nπb / 2 a e +e cosh (nπb / 2a )
ρ 2 ( ρ 2 − ρ02 ) cos 2ϕ
3
例2
∇2u = −2,
（0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b ）
u |x =0 = 0, u |x =a = 0, u |y =0 = 0, u |y =b = 0,
取 v = − x 2 + c1 x + c2 选择
c1 , c2
使v既满足方程，亦满足x方向边界条件，有： 这样
其中： f ( x, t ) = F ( x, t ) / ρ , 冲量定理法 的基本思想
f ( x, t ) = ∫ f ( x,τ )δ (t − τ )dτ ,
0
t
代入定解问题
u( x, t ) = ∫ v ( x, t;τ )dτ ,

数理方程第二章分离变量法

数理方程第二章分离变量法
解的唯一性
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式

第八分离变数法

第八分离变数法
比较系数得 A1 E0,
Am Bm 0(m 1)
29
定解问题的解为
u(,)
解的物理意义
D0
ln(
/
a)
E0
cos
E0
a2
cos
第二项：原来静电场的电势分布。
第三项：静电平衡时感应电荷的影响。
第一项：均匀带电柱体周围静电场的电势分布，在本问题中未
说明导体柱是否带电，故有此项。
30
§2. 非齐次振动方程和输运方程
l
t
Bn
sin
na
l
t n
1,2,
本征解为
u0 (x,t) A0 B0t
un
(
x,
t
)
(
An
cos
na
l
t
Bn
sin
na
l
t
)
cos
nx
l
11
例3. 一端为第一类齐次边界条件，另一端为第二类齐次 边界条件
细杆导热，初始时刻：一端温度为0度，保持不变，另一端温度 为u0，跟外界绝热，杆上温度梯度均匀。
4l 2
2a2
t
14
本征解为：
uk
C e
(
2
k
1)2
4l 2
2
a
2
t
k
sin (2k 1)
2l
x
满足泛定方程和边界条件的一般解为
u(x,t)
k 0
Ck
e
(
2k
1)2
4l 2
2a2
t
sin
(2k
1)
2l
x
根据初始条件确定叠加系数，注意此处的基本函数族

齐次方程的分离变数法

齐次方程的分离变数法

令
u(x,t)=X(x)T(t)
X X 0 X (0) X (l ) 0
①
T a 2T 0
②
(1)λ ≤0，只能得X(x)≡0。 (2)λ >0，解得
X ( x) C1 cos x C2 sin x 由边界条件
C1 0 C2 cos l 0
(2k 1)a (2k 1)a (2k 1) uk ( x，t ) Ak cos t Bk sin t sin x 2l 2l 2l
单簧管发出的声音只有奇次谐音而没有偶次谐音， 从而构成它特有的音色。 对本例的定解条件，由 ux 0 ，可将区间(0,l)延 x l 拓到区间(0,2l)上。延拓后条件为
X ( x) C1 cos x C2 sin x
由 X (0) 0，X (l ) 0
C1 0 C2 sin l 0
显然C2≠0，必须 sin l 0 ，则
本征值

l n n 2 2
l
2
(n为正整数) ⑤ ⑥
(n 1 ， 2， ...)
例：单簧管是直径均匀的细管，一端封闭，另一端 开放，试求管内空气柱的本征振动(可以不提初始 条件)。 解： utt a 2u xx 0 令 u(x,t)=X(x)T(t)
u x 0 0 u x x l 0
得 T a 2T 0
X X 0 X (0) X (l ) 0
(0 x l )
(第二类齐次边界条件) 解：根据边界条件的特点，尝试解
n u( x，t ) Tn (t ) cos x l n 0 2 2 n 2 T a T 0 2 l

数学物理方法课件：8-分离变数法

因此，只能： X (0) 0, X (l) 0
第三步：解本征值问题：
X ''X 0 (8.1.8)
X
(0)
X
(l)
0
(8.1.7)
(1) λ<0 : X (x) C1e x C2e x
由边值
C1 C2 0, C1e l C2e l 0,
C1 0
C2 0
6
(2) λ=0 : 由边值
X '(0) 0, X '(l) 0,
15
X ''X 0,
X '(0) 0, X '(l) 0,
T ' 'a2T 0
(1) λ<0： 由边值条件
X (x) C1e x C2e x
(C1 C2 ) 0 (C1e l C2e l ) 0
3、根据r1,r2的不同情况，按下表写 出(*)式的通解：
r1，r2的形式
(*)式的通解
两个不相等实根 ( p2 4q 0)
y c1er1x c2er2x
两个相等实根 ( p2 4q 0)
y (c1 c2 x)er1x
一对共轭复根 ( p2 4q 0)
r1 i，r2 i
p ， 4q p2
2
2
y ex (c1 cos x c2 sin x)
3
§8.1 齐次方程的分离变数法 驻波法
（一） 分离变数法介绍
求：两端固定弦的自由振动(p143)。 解：定解问题是
uuttx0
a
2ux 0,
x
0 u
xl
(0 0
x
l)
u t0 (x), ut t0 (x)
即：

分离变数法


2. 性质 1) u1 , u2 分别是齐次方程的
L[u1 ]=0
L[u 2 ]=0
则其组合 L[c1u1 c2 u2 ] 0 2) u1 是非齐次方程的解 u2是齐次方程的解 L[u1]=f L[u2]=0
则 u1 u2 是非齐次方程的解:
L[u1 u2 ] f
3）若L[u1]=f1,L[u2]=f2 则 L[u1 u2 ] f1 f 2 性质（3）对边界条件，初始条件常常用到。
例2
解
若λ>0，
例3
带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强静电场，其电
场强度是竖直的。水平架设的输电线出在这个静电场之
中，输电线是导体圆柱。柱面由于静电感应出现电荷， 圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了，不过离圆柱 “无限远“处的静电场应保持为匀强的。现在研究导体 圆 柱怎样改变了匀强静电场。
（2）、u n(x,t) 特解称为本征振动模式它与初始条件无关。 称固有振动模式
（3） 、节点数 n+1
sin l 0
l 2l (n 1)l ,l 位置 x 0, , , n n n 2l 波长 （4） 相邻节点之间距离等于半波长， 、 即 n n na na ,v （5） 、本征频率 n l 2 2l a , 基频 基波（决定了音调） （6） 、基波，谐波 n=1 时 1 l n a n 1时 n 谐波 谐波（决定了音色）
3) 求解本征值问题
A cos B sin ( ) A B ( 0) Ae Be ( 0)
( 0)
得本征值和本征函数:
m2
m 0,1,2,3...
(m 0) (m 0)

分离变数傅里叶级数法

第八章平面坐标下的分离变量本征值问题（一）通过上一章的讨论，我们知道，在研究物理（场）量的变化时，不仅要考虑物理（场）量随时间的变化规律，有时候还需要考虑其在空间变化规律，由此便导致了反映物理规律的“偏微分方程”。

偏微分方程泛指同一类的物理规律，因此称为泛定方程。

偏微分方程若附加上边界条件、初始条件的限制，则物理过程（解）就唯一确定，此时便构成了定解问题。

对于偏微分方程用高等数学中介绍的一些方法，无法求解。

因此必须引进分离变量法。

分离变量法是把偏微分方程分解为几个常微分方程，从而达到求解之目的一个数学过程。

分离变数法的可行性问题：上一章推导出了三类偏微分方程，波动方程、输运方程和泊松方程。

第一类、第二类方程都是时间和空间的函数，我们在普通物理中曾对驻波问题进行过研究，其空间周期性和时间周期性彼此独立，由此受到启发，其解应具(,)()()的形式。

对于第三种情况——u x t X x T t泊松方程，反映的是“有源”情况下的一种作用，其效果相当于简单叠加。

由此看来，变量是可以分离的。

实际情况如何？我们可以通过实例进行验证。

§8.1 齐次方程的分离变数法一、分离变数法简介以两端固定的均匀弦的自由振动为例。

其定解问题为2000000(0)()()tt xx x x l t t t u a u u u x l u x u x ϕψ====⎧-=⎪⎪==<<⎨⎪==⎪⎩ (8.1.1) 这里研究的弦是有限长的，它有两个端点，波就在这两端点之间往复反射。

这样,驻波解的一般表示式应当为设 (,)()()u x t X x T t = (8.1.2)在(8.1.2)中，自变数x 只能出现于X 之中，自变数t 只出现于T 之中，驻波的一般表示式具有分离变数的形式。

那么，在两端固定的弦上究竟有哪些驻波呢？把驻波的一般表示式(8.1.2)代入弦振动方程(8.1.1)和相应的边界条件，得：20(0)()0()()0XT a X T X T t X l T t ''''⎧-=⎪=⎨⎪=⎩(8.1.3) 条件(8.1.3)表示，在时刻t ，)()0(t T X 和)()(t T l X 总是零。

第三讲分离变量法


0时, X ( x ) C1 cos x C2 sin x
C1 0 C 2 sin l 0
由边界条件
从而
n 2 , n 1,2, l
2 2
特征函数为：
n x X ( x ) C 2 sin , l
n 1,2,
T 的方程
n T a T 0 2 l
取参数
''
''

T X 2 X aT
''
''
X ( x ) X ( x ) 0 ②
''
T a T 0
'' 2
…..…….. ③
利用边界条件
X (0)T ( t ) 0 ④ X ( l )T ( t ) 0
④ 成立 X (0) 0, X ( l ) 0
特点: 方程齐次, 边界齐次.
设 u( x , t ) X ( x )T ( t ) 且u( x , t ) 不恒为零，代入 方程和边界条件中得
XT '' a 2 X ''T 0 ①
由 u( x , t )不恒为零，有：
X ( x ) T (t ) 2 X ( x ) a T (t )
n 1,2,
所以 ( x ), ( x ) 展开为傅立叶余弦级数，比较系数得 将 1 2 l n u0 (0x , t )0 A0 l (B0d t A 0 ) An n 0 ( ) cos d
l l n at n at l n x un ( x , t ) ( An cos Bn sin 2 )lcos n 1 l n 1,2, l l B0 0 0 ( )d Bn l 0 ( ) cos d l n a l 故 n at n at n x u( x , t ) A0 B0 t ( An cos Bn sin ) cos l l l n 1
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X ( x)Ttt a2 X xx ( x)T (t) 0,
分离过程：
Ttt (t) a2T (t)

X xx ( x) X ( x)


得出两个常微分方程：
Ttt X"(
a2T x) X
0 (x)

0
带入边界条件： u |x0 0,
u |xl 0,
X (0)T(t) 0 X (l)T (t) 0
（2）、 0 解为
X ( x) c1x c2
X=0, l 时
c2 0
c1l c2 0
c1 c2 0 无意义,则 不能=0
（3）、 0 方程的解为
X ( x) c1 cos x c2 sin x
x=0, l 时
c1 0
c1 cos
l c2 sin
例1、研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零，另一
端温度为u0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不 变，另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。
p ， 4q p2
2
2
y ex (c1 cos x c2 sin x)
（1）、 0 解为
X (x) c1e x c2e x 当x=0，l 时 c1 c2 0
c1e l c2e l 0
c1 c2 0 无意义,则 0 不能
二、分离变数法解齐次偏微分方程的基本思路：
1、两个变数方程的求解方法
utt a2uxx 0 (0 x l, t 0)
u 0, u 0
x0
xl
u t0
( x),ut
t0
(x)
1、设解的形式
解的形式为 u(x,y)=X(x)T(t) 2、分离变量
带入方程中，
1) u1, u2 分别是齐次方程的
L[u1 ]=0
L[u2 ]=0
则其组合 L[c1u1 c2u2 ] 0
2) u1是非齐次方程的解 L[u1]=f
u2是齐次方程的解
L[u2]=0
则 u1 u2 是非齐次方程的解:
L[u1 u2 ] f
3）若L[u1]=f1,L[u2]=f2 则 L[u1 u2 ] f1 f2 性质（3）对边界条件，初始条件常常用到。
l 0
则有 c2 sin l 0
c2 0 则必有 sin l 0
l n （n 为正整数）
所以


n2
l2
2
n=1,2,3……
又因为 T"a2T 0
T "n
(t)

( na
l
)2T

0
0


n2 2
l2
na
na
T (t) An cos l t Bn sin l t
2u t 2
a2
2u x 2

0
L

2 t 2
a2
2 x 2
u a2u 0 L a2
t
t
u 0 L
L称为算符，偏微分方程可以用算符作用在函数上标示出来
非齐次方程 L[u]=f(x,y,z,t) 齐次方程L[u]=0
2. 性质
nn
n
（4）、相邻节 点之间距离等于半波长，即 波长

2l
n
（5）、本征频率n

na , v
l

n 2

na 2l
（6）、基波，谐波
n=1
时 1

a
l
,
基频
基波（决定了音调）
n 1时n

na
l
谐波 谐波（决定了音色）
7、 分离变量法概要： （1）、将齐次偏微分方程分为若干常微分方程 （2）、参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题 （3）、将本征解叠加无穷级数，给出通解 （4）、有初始条件确定通解系数（傅立叶展开 ）
un 是驻波

na
na
n
u(x, t)
n1
[ An cos
l
t Bn sin
l
t] sin l
x
波腹——振动总是最大点，波节——振幅总是为零点
（2）、u n(x,t) 特解称为本征振动模式它与初始条件无关。 称固有振动模式
（3）、节点数 n+1 sin l 0
位置 x 0, l , 2l , (n 1)l , l
所以有特征解：
n0
un
(
x,
t)

[
An
cos
nat
l
nat
Bn sin l ] sin
n
l
x
n=1,2,3……
4、通解：

u(x, t)
n1
na
na
n
[ An cos
l
t Bn sin
l
t] sin l
x
5 、由广义傅立叶级数展开法确定方程中的系数：
u |t0 ( x) ut |t0 ( x)
则有



n1

n1
An
sin
nx
l

(x)
(0 x l)
Bn
na
l
sin
nx
l

(x)
把等式右端展为傅立叶级数，比较两边系数得：
2 l
An l 0
( )sin n d
l
Bn

2
na
l 0
( )sin
n
l
d
6、物理意义： （1）、u(x,y)=T(t)X(x)是形式解
第八章 分离变数法 （傅立叶级数法）
重点
1、两个变数的齐次微分方程、齐次边界条件的分离 变量的求解方法 2、两个变数的非齐次微分方程、齐次边界条件的傅 立叶级数的求解方法 3、非齐次边界条件的处理方法
4、三维泊松方程的特解求解方法
§8、1 齐次方程的分离变数解法
一、线性定解问题的叠加性质
1. 算符
3、根据r1,r2的不同情况，按下表写 出(*)的通解
两个不相等实根 ( p2 4q 0)
y c1er1x c2er2x
两个相等实根 ( p2 4q 0)
y (c1 c2 x)er1x
一对共轭复根 ( p2 4q 0)
r1 i，r2 i
X |x0 0
X (x) |xl 0
3、本征值问题：
X"X 0
本征值方程

X
|x0
X
|xl

0
由约束条件和方程本身称为方程的本征值问题
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)y py qy 0，其中p, q为常数； 求解步骤： 1、写出特征方程：()r 2 pr q 0，其中r 2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y, y, y的系数； 2、求出()式的两个根r1, r2