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回顾整个求解过程： 常微分方程1 解1 分离 本征解 偏微分方程 变数 常微分方程2 （解1 解2） 解（本征函数） 2 分离 齐次边界条件 条件 变数
所求解=
本征值
本征解
分离变数法
初始条件，确定叠加系数
(二)傅里叶级数法 2 (1) 定解问题：utt a uxx 0 (2) (0 x l ) u ( x, t ) x 0 0, u ( x, t ) x l 0 u ( x, t ) t 0 ( x), ut ( x, t ) t 0 ( x) (3)
(3) 0：X ''( x) X ( x) 0 r 0
2
r1,2 i,
e x (C1 cos x C2 sin x)
X ( x) C1 cos x C2 sin x
代入本征条件：X (0) C1 0 X (l ) C1 cos l C2 sin l 0 C1 0 u ( x, t ) 0无意义 C 0 2
n x n x 代入初始条件：u(x, 0) An sin ( x) n sin l l n 1 n 1
utt a 2uxx 0 边界条件 u ( x, t ) x 0 0, u ( x, t ) x l 0 u ( x, t ) t 0 ( x), ut ( x, t ) t 0 ( x) 初始条件
X ''( x) X ( x) 0 特性方程/本征方程 合成本征值问题 其中 X (0) 0, X ( l ) 0 本征条件 称为特征值或本征值 下面分别就 0, 0, 0三种情况下来求解：
(1) 0：X ''( x) X ( x) 0二阶线性常系数微分方程 x C2e x r 2 0 r1,2 X ( x) C1e
n x l
代入(1)式得:
以上方 法称为 傅里叶 级数法
磁致伸缩换能器的核心 是两端自由的均匀杆， 它作纵振动。
鱼群探测换能器的核心 是两端自由的均匀杆，它作纵振动。
(三)例题：下面给出分离变数法(傅里叶级数法)的例题 例1：磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆 它作纵振动，研究两端自由棒的纵振动。
n 2 2 除非：C2 0, 只有sin l 0 l n 特征值n 2 , n 1, 2,3,... l n x 相应的本征函数为：X n ( x) Cn sin , Cn为任意常数 l n2 2 a 2 关于T(t )的常微分方程：Tn ''(t ) Tn (t ) 0 2 l n a n a Tn (t ) An cos t Bn sin t l l n a n a n x 由此得一般解：un ( x, t ) X n ( x)Tn (t ) ( An cos t Bn sin t ) sin l l l n为正整数，每一个n对应一种驻波。也称为本征振动，有无穷个本征振动
An n
2 l n x ( x ) sin dx 0 l l
n a n x n x ut(x, 0) Bn sin ( x) n sin l l l n 1 n 1 l 2 l n x Bn n ( x ) sin dx 0 n a n a l
只是t的函数，只是x的函数，而x、t是相互独立的变量 只有两边都等于一个常数时，等式才成立，设为-。 T ''(t ) X ''( x) X ''( x) X ( x) 0 2 a 2T (t ) X ( x) T ''( t ) a T (t ) 0
解：参照边界条件(2)式，将u(x,t )展为傅里叶余弦级数 试探解：u(x,t ) Tn (t ) cos
n 0
பைடு நூலகம்
n x , 代入(1)式 l
n2 2 a 2 n2 2 a 2 n x Tn (t ) 0 得[Tn ''(t ) Tn (t )]cos 0 Tn ''(t ) 2 2 l l l n 0 n at n at Bn sin (n 0) An cos 方程的解为：Tn (t ) l l (n 0) A0 B0t
第八章 分离变数法
8.1 齐次方程的分离变数法
教学重点：介绍用分离变数法求解数学物理定解问题，在此基础上 介绍傅里叶级数法。如何根据边界条件直接设定试探解以简化求解 过程是一个关键点。 (一)分离变数法介绍 基本思想：把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有些常微分方程 带上附加条件构成本征值问题。 利用分离变数法求解齐次弦振动方程的混合问题 既有初始又有边界条件 问题：长为l均匀有弹性的弦两端固定而自由振动 泛定方程： utt a2uxx 0 定解条件： 边界条件 u ( x, t ) 0, u ( x, t ) 0
utt a 2uxx 0 (1) (2) (0 x l ) 定解问题： ux ( x, t ) x 0 0, ux ( x, t ) x l 0 u ( x, t ) t 0 ( x), ut ( x, t ) t 0 ( x) (3)
解：参照边界条件(2)式，将u(x,t )展为傅里叶正弦级数 u(x,t ) Tn (t )sin
n 1 2 2
n2 2 a 2 n a2 n x Tn (t ) 0 [Tn ''(t ) Tn (t )]sin 0 Tn ''(t ) 2 2 l l l n 1 n a n a 方程的解为：Tn (t ) An cos t Bn sin t l l n at n at n x u(x,t ) ( An cos Bn sin ) sin l l l n 1 n x 2 l n x 由u(x, 0) An sin ( x) An n ( x)sin dx 0 l l l n 1 n a n x 2 l n x 由ut(x, 0) Bn sin ( x) Bn ( x )sin dx 0 l l n a l n 1
代入本征条件：X (0) C1 C2 0 C1 0 X ( x) 0 无意义 X (l ) C1e l C2e l 0 C2 0 u ( x, t ) 0 0时方程无解。 (2) 0：X ''( x) 0 X ( x) C x C 1 2
代入初始条件u( x, t ) t 0 ( x), ut ( x, t ) t 0 ( x)
u(x, 0) A0 An cos n x ( x) l n 1 n a n x ut ( x, 0) B0 Bn cos ( x) l l n 1
X ''( x) X ( x) 0 其中 构成本征问题 X (0) 0, X (t ) 0
X ( x)T ''(t ) a2 X ''( x)T (t ) 0 X ''( x) X ( x) 0 2 X (0) 0, X (l ) 0 T ''(t ) a T (t ) 0
x 0 x l
u ( x, t ) t 0 ( x), ut ( x, t ) t 0 ( x) 初始条件 根据达朗贝尔法求解振动问题，可知问题的解是由初始位移和初始速度引起
的向相反方向传播的行波。现在端点被固定，那么波遇到端点会反射，同频率 的前进波与反射波叠加形成驻波。
u(x,t ) A0 B0t ( An cos
n 1
n at n at n x Bn sin ) cos l l l
u(x,t ) A0 B0t ( An cos
n 1
n at n at n x Bn sin ) cos l l l
utt a 2uxx 0 边界条件 u ( x, t ) x 0 0, u ( x, t ) x l 0 u ( x, t ) t 0 ( x), ut ( x, t ) t 0 ( x) 初始条件
u(x,t )= un ( x, t ) ( An cos n a n a n x t Bn sin t )sin l l l n 1 n 1 2 l n x l 2 l n x An n ( x) sin dx Bn n ( x ) sin dx 0 0 l l n a n a l
波腹
驻波特点：具有波腹(振幅最大的
点)和波节(振幅最小的点)。
从外形上看，没有波形的传播，各点 的振动位相没有滞后现象，它们是按 波节 同一方式随时间t振动，记做T(t)，各 点的振幅随坐标而异，记做X(x)。 驻波的一般表达式为：u( x, t ) X ( x)T (t ), 代入定解问题中 2 2 X ( x ) T ''( t ) a X ''( x ) T ( t ) 0 X ( x ) T ''( t ) a X ''( x)T (t ) T ''(t ) X ''( x) X (0) X (0) T (t ) 0,0, XX (l ) (l )T 0(t ) 0 a 2T (t ) X ( x)
n a n a n x t Bn sin t )sin l l l 由于任一个解un(x,t )均不满足初始条件。要得到满足初始条件的解， 已得到一般解：un ( x, t ) X n ( x)Tn (t ) ( An cos 必须将这些本征振动进行线性叠加。其和记为u(x,t ),即： n a n a n x u(x,t )= un ( x, t ) ( An cos t Bn sin t )sin l l l n 1 n 1
