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山东大学工科研究生数学物理方法class9第8.1.2Laplace方程矩形域(齐次方程的分离变量法)

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9.2 拉普拉斯变换的性质

9.2 拉普拉斯变换的性质
P220
∞
∫s
F ( s) d s =
f (t ) [ ]. t
ds ∫ ds L ∫s 44244∫3 F ( s ) d s = s s 1
n次
∞
f (t ) [ n ]. t
证明 (略)
22
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换 即 解 已知
P220 例9.10
−1
[ e − sτ F ( s ) ] = f ( t − τ ) u( t − τ ) .
8
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换 方法二 解 方法一 已知
[sin t ] =
P222 例9.12
方法一 先充零再平移
1 , 2 s +1
π
根据延迟性质有 根据延迟性质有 延迟性质
P222
性质 设当 t < 0 时 f ( t ) = 0 , 则对任一非负实数 τ 有
[ f ( t − τ )] = e − sτ F ( s ) .
[ f (t −τ ) ] = ∫
+∞
0 +∞
f (t −τ )e−st d t f (t −τ )e−st d t
=∫
τ
令 x = t −τ
∫0
(k ) (k ) 其中， 其中， f ( 0) 应理解为 lim f ( t ) . + t →0
Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 变换的这一性质非常重要， 方程( 方程(组)的初值问题。（ 9.4 将专门介绍） 的初值问题。 § 13
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 解 利用导数的象函数性质来求解本题 拉 普 拉 斯 变 换

拉普拉斯方程-球坐标系

拉普拉斯方程-球坐标系
Y ( , ) 2 R( r ) R( r ) Y ( , ) R( r ) 2Y ( , ) (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin
两边同除以R(r) Y(θ,φ)
1 2 R( r ) 1 Y ( , ) 1 2Y ( , ) (r ) (sin ) 0 2 2 2 2 2 r R( r ) r r Y ( , )r sin Y ( , )r sin
线性独立的 l 阶球函数共有 2l 1 个． 因为对应于 m 0 ，有一个球函数 Pl (cos )
对应于 m 1,2,, l 则各有两个球函数即 Plm (cos )sin m 和 Plm (cos )cos m 根据欧拉公式 cos m isin m eim 将复数形式的球函数统一表示为
常用齐次定解问题的分类
直角坐标 柱坐标 球坐标
稳定方程 演化方程
√ √
√ √
√ √
参看附录VI
拉普拉斯算符的形式
二维 三维
直角坐标
极（柱） 坐标 球坐标
2 xx yy
1 2 1 1 2 2
2 zz 2 zz
得：
( ) ( ) ( ) 2( ) (sin ) ( )( ) 0 2 2 sin sin
两边同除以Θ(θ)Φ(φ)，乘sin2θ 后移项得： sin ( ) 1 2( ) (sin ) sin 2 2 ( ) ( ) 得到关于 的常微分方程
本征函数为
1 d d m2 (ii) (sin ) ( 2 ) 0 sin d d sin

山东大学工科研究生数学物理方法class4第1节(数学物理方程的导出)汇总

山东大学工科研究生数学物理方法class4第1节(数学物理方程的导出)汇总

即是静电场的基本方程
(十二)、稳恒电流场
E 0
均匀导电媒质，则 为常数 ＝0 拉普拉斯方程
24 (十三)、不可压缩流体的无旋稳恒流动
如果有源或汇的连续性方程为：
F(x, y, z,t)
t
F为源或者汇的强度，对于不可压缩流体，密度为常数，则：
f (x, y, z,t)
若流体无旋，则可化为： f x, y, z,t
utt a2uxx 0
(四)、均匀薄膜的微小横振动
utt a22u 0 其中 2 / x2 2 / y2 二维拉普拉斯算符 2 / x2 2 / y2 2 / z2 三维拉普拉斯算符
薄膜受迫振动方程
utt a22u f (x, y, t)
f(x,y,t)=F(x,y,t)/ 为单位质量上的横向外力
14
(六)、电磁波方程
利用电磁场的麦克斯韦方程组的微分形式,可导出真空中的
电磁波方程:
Ett a23E 0 Htt a23H 0
其中, a2 1/ 00 c2 光速平方, 0 ,0 分别为介电常数
导磁率,E,H为真空中电场强度和磁场强度,此方程为矢量方程
15 (七)、扩散方程
物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移,叫扩散 扩散问题 中研究的是浓度U在空间中的分布和在时间中的变化U(x,y,z,t)
弦的位移是时间t和左边x两个自变量的函数,是弦上彼此互相 影响的质点的运动方程,反映在Uxx项上.
9
如果在振动过程中,弦还受到外加横向力的作用,单位长度弦 所受横向力为F(x,t),则(2)相应修改为
T2 sin2 T1 cos1 F (x, t) (ds)utt
则方程(6)就可修改为 utt Tu xx f (x,t)

[理学]第八章 Laplace变换_OK

[理学]第八章 Laplace变换_OK

若取 0,则上式为单边 Fourier变换.
拉氏变换是对傅氏变换 的一种改造(推广)！！
更一般地，我们定义双 边Laplace变换：
L [h(t)] f (t)est dt
其中，适当地选取 ，使得积分收敛 .
使Laplace变换积分收敛的那些复 数s的集合，称为 Lapl5ace 变换的收敛域 .
设g(t) t f (t)dt,则 0
g(t) f (t) L [g(t)] L [ f (t)]
s L [g(t)] g(0) L [ f (t)]
L [g(t)] 1 L [ f (t)]
19
s
像函数的积分性质
像函数积分等于它的像原函数除以一
个因子t的拉氏变换
若 L [ f (t)] F(s),则
引进单位阶跃函数
u(t)
1 0
t [0,) , 构造函数 t (,0)
g(t) f (t)u(t), t (,)
(2) 使定义在[0,)上的函数 g(t)满足绝对可积条件 .
引进指数衰减函数 et ( 0),构造函数
h(t) g(t)et
这极可能使 h(t)在(,)上满足绝对可积的条件 ,即
利用Laplace变换的性质可计算某些广义积分
设 F(s) L [ f (t)] 有
f (t)est dt F(s), 0
tf (t)est dt F (s), 0
定义 微分性质
f (t) est dt
F ( )d
0t
s
积分性质
若当s取某个实数k时, 上述各式左端的广义积分均收敛,则可
0
0
eikt eikt est dt 1 (eikt eikt )est dt

第五章 拉普拉斯变换-数学物理方法

第五章 拉普拉斯变换-数学物理方法

d2 L[t 2 f ( t )] ( 1)2 2 F ( p) dp
……
dn n pt n F ( p) ( t ) f ( t )e dt ( 1) [t n f ( t )]e pt dt n 0 0 dp
dn L[t n f ( t )] ( 1)n n F ( p) dp
这个性质很容易从Laplace变换的定义得到，因为它只不 过是积分运算的线性性质的反映.
77
性质2 ：原函数的导数的拉氏变换
L 设f (t)及 f ' (t ) 都满足拉氏变换存在的充分条件， [ f ( t )] F ( p),
则： 0 f ( t )e dt f ( t ) e
' pt
n n
【证明
】 F ( p) f ( t )e pt dt
0

d pt F ( p) t f ( t )e dt [t f ( t )]e pt dt 0 0 dp d L[t f ( t )] F ( p) dp 2 d 2 pt 2 F ( p) ( t ) f ( t )e dt ( 1) [t 2 f ( t )]e pt dt 2 0 0 dp
L[ f ( t )] f ( t )e
'' '' 0 pt
dt e
0

pt
df ( t ) f ( t ) e
' '
pt 0
p f ' ( t )e pt dt
0

f ' (0) p[ pF ( p) f (0)] p2 F ( p) pf (0) f ' (0)

第六章Laplace 变换方法

第六章Laplace 变换方法

数学物理方程
第6章 Laplace 变换方法
所以 ，
k p k 2 pt e sin ktdt 2 2 0 p p
2

即

0
2 2 k k p k pt 2 2 e sin ktdt 2 2 p p p k
k L sin kt 2 2 p k
数学物理方程
1 p s t dt 2e p s
0

1
p s
2
数学物理方程
第6章 Laplace 变换方法
st L t e
所以， 同理：
1
p s
2
n st L t e
M
p s
n 1
例 5. 求 L tf t ，其中 f t 是存在Laplace变换的任意函数。 解： 而
这时 f (t )e t 的Fourier变换总是存在的。
t 某函数 f (t ) 乘以 e 在物理上对应于
初值问题，某个物理量在初始时刻 t 0
时
f (0)
，求它在初始时刻后的变化情况
f (t ) ，在
t 0 之前可认为
f (t ) 0t 0)
数学物理方程
例 6. 求 L sin kt k 为实数 解： 所以，
1 ikt ikt sin kt e e 2i
1 1 ikt ikt L L e e 2i 2i
1 L sin kt L eikt e ikt 2i
数学物理方程
第6章 Laplace 变换方法
例 6. 求 L sin kt k 为实数 解：

考研高数总复习Laplace变换性质(讲解)

1 , 所以 2 s 1
0

sin t dt t

0
1 π d s arctan s |0 2 s 1 2
四、位移性质 若L [f (t)]=F (s), 则有 L [eat f (t)]=F (s-a) (Re (s-a)>c)
证明:
根据Laplace变换式, 有
at
求L [ea t t m].
m
( m 1) 利用位移性质， , 已知 L [ t ] m 1 s
可得:
( m 1) L [e t ] m 1 (s a)
at m
求L [e –at sin k t].
k 已知 L [sin kt ] 2 , 利用位移性质， 2 s k
t t L d t d t 0 0 n次 1 f (t ) d t n F ( s) s

t 0
三、积分性质
由Laplace变换存在定理, 可得象函数积分 性质: 若L [f (t)]=F (s), 则
f (t ) L t
L f (t k ) L [ f (t k )] k 0 k 0
F ( s )e ks
k 0
,有 0
1 F ( s) (Re( s ) c ) s 1 e
求如图所示的单个半正弦波 的Laplace变换. f t
由象函数的微分性质,有
d k L [t sin kt ] 2 ds s k 2
k L [sin kt ] 2 s k2
同理
s
2ks
2
k2
2
(Re( s ) 0)

拉普拉斯方程

拉普拉斯方程拉普拉斯方程(Laplace equation)拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。

一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。

通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。

若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差?P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为:在数理方程中，拉普拉斯方程为:?u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中?为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。

三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量 x 、 y 、 z 二阶可微的实函数φ :上面的方程常常简写作:或其中div表示矢量场的散度(结果是一个标量场)，grad表示标量场的梯度(结果是一个矢量场)，或者简写作:其中Δ称为拉普拉斯算子 .拉普拉斯方程的解称为调和函数。

如果等号右边是一个给定的函数 f ( x , y , z )，即:则该方程称为泊松方程。

拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。

偏微分算子或Δ(可以在任意维空间中定义这样的算子)称为拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator 或简称作 Laplacian 。

拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域 D 内定义的函数φ，使得在 D 的边界上等于某给定的函数。

为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍:固定区域边界上的温度(是边界上各点位置坐标的函数)，直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。

拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域 D 边界处的温度函数φ本身，而是φ沿 D 的边界法向的导数。

山东大学工科研究生数学物理方法class3第3节(数学物理方程的分类)

其中上述系数都只是x和y的函数，在以下假定是实数 作自变量的代换如下：
（1）
x x( , ) y y ( , )
( x, y ) 即 ( x, y )
（ 2）
3
通过代换，U（x，y）成为 ， 的函数，同时把方程改
为新变量的方程，为此计算：
( x, y)
作新的自变数，则A11＝0，A22＝0，则：
代换后的方程称为：
1 u [ B1u B2u Cu F ] (14) 2 A12 跟双曲型的方程不同！这里 ， 是复变数。
1 Re ( ) i 2 为此作代换： , i Im 1 ( ) 2
双曲型 抛物型 椭圆型
7
方程（1）的系数可以是x和y的函数，所以一个方程在自变数
的某个区域属于某一类型，在另一个区域上可能属于另一个类型
可以验证：
2 2 A12 A11 A22 (a12 a11a22 )( xy yx )2
也就是说，作变量代换时，方程类型不变！
（1）双曲型方程
（4）
4
把上两个式子代入偏微分方程，可得到新自变量 ， 的新的方程如下：
A11uxx 2 A12uxy A22u yy B1ux B2u y Cu F 0 （5）
A11 a11 x2 2a12 x y a22 y2 A12 a11 x x a12 ( x y y x ) a22 y y 2 2 A a 2 a a 22 11 x 12 x y 22 y B1 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y B2 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y C c F f

工科基础数学 第十一章 拉普拉斯(Laplace)变换

第十一章 拉普拉斯(Laplace)变换积分变换就是通过积分运算，把一个函数变成另外一个函数的变换，这种变换在解微分方程或者其他方程中，有着广泛的应用。

第一节 Laplace 变换及其存在性拉氏变换的定义：设函数)(t f 在0≥t 时有定义，而且积分 ⎰+∞-0)(dte tf st在复参数s 的某一范围内收敛，则称由此积分所确定的关于复参数s 的函数⎰+∞-=0)()(dte tf s F st为函数)(t f 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记为=)(s F )]([t f L也称)(s F 是)(t f 的象函数，而)(t f 也称为F(s)的拉氏逆变换（或称为象原函数），记为)]([)(1s F L t f -= =)(1s F -例1 设⎩⎨⎧<≥=0001)(t t t u ，求)]([t u L 解 根据定义⎰⎰⎰+∞-+∞-+∞---===00)(1)()]([st d e s dt e dt e t u t u L stst st )0(≠s=01∞+--st e s =stt e s s -+∞→-lim 11=s 1 ]0)[Re(>s说明：（1）)(t u 是工程中常用的函数，叫单位阶跃函数，本章中的)(t u 都指这个函数。

2）设0)Re(,)Im(,)Re(,>===+=a s b s a s bi a s 如果则，那么)sin (cos 1limlim lim =-==+∞→--+∞→-+∞→bt i bt e e e att bti at t st t通过这个例题可以看出，尽管拉氏变换是含有复参数的广义积分，但由于积分变量是实变量，所以仍然是实变量的积分，只是在运算过程中有时要用到复数的某些概念（特别是在∞+趋与t 时），为了方便，本章的所有函数)(t f 几乎都满足⎰+∞-0)(dt e t f st=),(t s G 0∞+=)0,(),(lim s G t s G t -+∞→=)0,(0s G -=)(s F即带上限∞+时，总是为零。

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将本征值代入（2）可得： 分离解为： vn ( x, y ) ( An e
n y a
Y ( y) Ae a Be
Bn e
n y a
y

n y a
叠加即得一般解：v( x, y) ( An e
n 1

n y a
n ) sin x a
n y a
Bn e
n ) sin x a
mx ny u ( x, y, z ) Z n ( z )sin sin a a m, n 1

Z ( z) mn Zmn ( z) 0
'' mn
mn
m 2 n 2 ( ) ( ) a a
Z mn (a) 0
Zmn ( z) amnch mn (a z ) ) u0 v( x, y) 把原来的温度U0作为新
的温标v（x，y）的零点，代入泛定方程和边界条件可得：
vxx u yy 0 v |x 0 0, v |x a 0 v | y 0 0, v | y b U u0
分离变数令：
v( x, t ) X ( x)Y ( y)
代入上述泛定方程和齐次边界条件，可得X和Y的常微分方程 5
和X的边界条件：
X X 0 X (0) 0, X (a) 0
（1）
Y Y 0 （2）
则显然（1）构成本征值问题，可得本征值为：
n 2 2 2 , (n 1,2,3...) a n 本征函数为： X ( x) C sin x, (n 1,2,3...) a n
解横截面上的稳定温度分布u（x，y），即定解问题：
u xx u yy 0 u |x 0 u0 , u |x a u0 , (0 y b) u | y 0 u0 , u | y b U , (0 x a)
如右图所示：
解 这是二维拉普拉斯方程的第一类边界值
Example 1:
u 0, 0 x a, 0 y b, u (0, y ) 1 ( y ), u (a, y ) 2 ( y ), u ( x, 0) ( x), u ( x, b) ( x). 1 2
u 0, 0 x a, 0 y b, u (0, y ) 1 ( y ), u (a, y ) 2 ( y ), u ( x, 0) 0, u ( x, b) 0.
mx T ( x, y ) Ym ( y )sin a m 1

m 2 Y ( y ) ( ) Ym ( y ) 0 a
'' m
Ym (0) 0
my my Ym ( y ) am ch bmsh a a
Ym (0) 0

am 0
my mx T ( x, y) bmsh sin a a m 1
第八章
分离变数(傅里叶级数)法
1
分离变数法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的
各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解成几 个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件，构成本 征值问题，本章限于本征函数是三角函数的情况。
第一节、齐次方程的分离变数法
2
例 3：
散热片的横截面为矩形，一边y＝b处于较高温度U，其他 三边y＝0，x＝0和x＝a处于冷却介保持较低的温度u0，求
为确定系数An和Bn,j将上式代入非齐次边界条件： n
6
( An Bn ) sin a x 0 n 1 n n b b ( A e a B e a ) sin n x U u 右边展开比较系数 n n 0 a n 1 An Bn 0 n （n为偶数） 0 n b b a a A e B e 4 n n (U u0 ) （n为奇数） n
问题，没有初始条件，边界条件不能都 是齐次的，此时恒为零，但可以把边界 化为齐次的，可以带来方便。
y U b u0 u0
3
x
O u0 a
把u（x，y）分解为v（x，y）和w（x，y）的线性叠加：
u( x, y) v( x, y) w( x, y)
其中v和w分别满足一组齐次边界条件即：
v xx v yy 0 v | x 0 u0 , v | x a u0 v | y 0 0, v | y b 0
'' n
X n ( x) ane bne
u1 ( x, y) (an e
n 1
nx b
nx b
x nb
bn e
x nb
ny )sin b
2 b ny an bn 1 ( y ) sin dy , b 0 b na a 2 b ny b e b a e n bn 2 ( y ) sin dy , n b 0 b
2A e mx u ( x, y) sin m1 m a

y ma
16
双曲正弦
双曲余弦
e e shx 2 x x e e chx 2
x
x
Example 2 :
u 0, 0 x, y, z a, u (0, y, z ) u (a, y, z ) 0, u ( x, 0, z ) u ( x, a, z ) 0, u ( x, y, 0) ( x, y ), u ( x, y, a) 0.
x T ( x, a ) 100sin a
bmshm sin
m 1

mx x 100sin a a
m 1, 0, bm 100 sh , m 1.
Example 4:
u 0, 0 x a, 0 y , x u ( x, 0) A(1 ), u ( x, ) 0, a u (0, y ) u (a, y) 0.
mx ny bmnsh mn a sin sin ( x, y) a a m, n 1

Example 3:
T 0, 0 x, y a, T (0, y ) T (a, y ) 0, T ( x, 0) 0, T ( x, a ) 100sin x . a
（n为偶数） 0 由此可得： An Bn nb / a nb / a 4 ( U u ) / n ( e e )（n为奇数） 0 可得最后结果： (2k 1)y sh 4(U u0 ) 1 (2k 1)x a u ( x, y ) u 0 sin (2k 1)b a k 0 ( 2k 1) sh a
u 0, 0 x a, 0 y b, u (0, y ) 0, u (a, y ) 0, u ( x, 0) ( x), u ( x, b) ( x). 1 2
ny u1 ( x, y) X n ( x)sin b n 1

n 2 X ( x) ( ) X n ( x) 0 b

my a y ma
u ( x, y) (ame
m 1
bme
mx )sin a
u ( x, ) 0
x u ( x, 0) A(1 ) a

am 0
mx x bm sin A(1 ) a a m 1
2 a x mx 2A bm A(1 ) sin dx a 0 a a m
Zmn ( z) amnch mn (a z ) bmnsh mn (a z )
Z mn (a) 0

amn 0
mx ny u( x, y, z ) bmnsh mn (a z ) sin sin a a m, n 1
u( x, y,0) ( x, y)
wxx wyy 0 w | x 0 0, w | x a 0 w | y 0 u0 , w | y b u0
可以验证，把w和v的泛定方程叠加起来就是u的泛定方程 把v和w的边界条件叠加起来就是u的边界条件，则原问题化为
4
求解v和w，而此时v和w各有两个齐次边界条件可以利用本征值 问题解出。