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拉氏变换课件[1]

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《拉氏变换详解》课件

《拉氏变换详解》课件

积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用

常微分方程课件：拉普拉斯变换及应用

常微分方程课件：拉普拉斯变换及应用

estdt 1 est 1
0
0
s 0s
当a 0时 eat (t ) (t )
(3)单位冲激函数
L[ (t)]
(t )e st dt
0 (t)es0dt 1
0
0
2 拉普拉斯变换的基本性质 一、线性
若L[ f1(t )] F1(S ) , L[ f2(t )] F2(S )
00
SF (S) f (0)
例3 应用导数性质求下列函数的象函数：
1) f (t) cos(t);
2) f (t) (t).
解 : 1)L[cos(t)] L[ 1 d (sin(t))] dt
1
(s
s2
2
0)
s2
s
2
2)由 于 (t) d (t), L[ (t)] 1
dt
s
上述函数的定义域为[0， ∞)，求其象函数。
解 ： 1)L[sin(t )] L[ 1 (e jt e jt )]
2j 1[ 1 1 ]
2 j S j S j
S2 2
2)L[K (1 eat )] L[K ] L[Ke at ] K K Ka s s a s(s a)
设：L[ f (t)] F (S) 当t t0时，f (t t0 ) 0
则：L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F(S)
证：L[ f (t t0 )]
0
f
(t
t0 )estdt
令t t0
t0
est0
f (t t0 )estdt
f ( )es d
则 L[af1(t) bf2(t)] aF1(S ) bF2(S )
证：0[af1(t ) bf2 (t )]est dt

信号与系统课件11-拉氏变换

信号与系统课件11-拉氏变换

求其拉普拉斯变换。
解 其双边拉普拉斯变换 F (s)=F (s)+F (s) b b1 b2
jω
仅当>时，其收敛域为 <Re[s]<的一个带状区域， 如图所示。
α
0
β
σ
例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t) f3(t)= e -3t (t) – e-2t (– t) 解
二、收敛域
只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t) 的双边拉普拉斯变换存在。
使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的
收敛域。
二．拉氏变换的收敛域
•收敛域：使F(s)存在的s 的区域称为收敛域。
•记为：ROC(region of convergence)
•实际上就是拉氏变换存在的条件；
拉氏变换对
F ( s) L f (t )
1


f (t ) e s t d t
正变换 反变换
1 σ j st f (t ) L f (t ) F ( s ) e ds σ j 2π j
记作 f (t ) F ( s )， f
(t ) 称为原函数， F ( s) 称为象函数
连续系统的复频域分析
引 言
频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意 信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使 响应的求解得到简化。物理意义清楚。
傅里叶正变换F ( j ) F f (t ) f (t ) e jt d t 1 1 傅里叶逆变换f (t ) F F ( j ) F ( j ) e jt d 2

第4章 拉氏变换--1

第4章 拉氏变换--1


时域分析法
F ( )


f ( t )e j t d t
Rzs ( j ) E j H j
W.Hong, Institute of Optoelectronic science and technology, Wuhan National Lab for Optoelctronics, HUST
拉氏变换对
f t 称为原函数， s 称为象函数。 F
F s L f t f t e s t d t 0 1 σ j 1 f t L F ( s ) F s e s t d s 2 π j σ j
W.Hong, Institute of Optoelectronic science and technology, Wuhan National Lab for Optoelctronics, HUST
16
例4-1：求 f (t ) sin t 的拉氏变换 F(s) 解： 由欧拉公式，有：
1 f (t ) sin t e jt e jt 2j
∵
L
e
jt
1 s j

0
故由线性叠加性质，得：
L
1 1 1 = 2 sin t 2 j s j s j s 2
5
从傅氏变换到拉氏变换
有几种情况不满足狄里 赫利条件：

若乘一衰减因子e-σt, σ为任意实数，则 f(t) e-σt收敛，于满足 狄里赫利条件
u( t )e t

u(t) 增长信号 e at (a 0) 周期信号 cos 1t

自动控制原理课件04(拉氏变换)

自动控制原理课件04(拉氏变换)

§2-2非线性数学模型的线性 ( x) 线性化模型
例:将上例流体运动非线性方程线性化如:
dh A + C v h = Q1 dt
可将非线性特性
'
h 在 f (h) = h 处线性化 0
1 f ( h ) = f ( h0 ) + f ( h0 )( h h0 ) = h0 + h 2 h0
I. 当 A( s ) = 0 无重根时
n C1 C2 Cn Ci F(s) = + ++ =∑ s p1 s p2 s pn i = 1 s pi
其中: 其中:
Ci = lim (s pi ).F(s)
s→pi
Ci =
B(s) A′(s)
s= pi
f ( t ) = C1e p1t + C 2 e p2 t + + C n e pn t = ∑ C i e pi t
解 [u (t ) ] = +∞ e s t dt = 1 e s t +∞ = 1 ∫0
s 0 s
( Re ( s ) > 0 )
1 u (t ) s
例3 求函数
f (t ) = e
kt
的拉氏变换
( k ∈ R).
解 [ f (t ) ] = ∫ +∞ ekt e s t dt = ∫ +∞ e ( s k ) t dt = 1 0 0 sk
§3-1控制系统的暂态响应分析
② 斜坡(匀速)输入 斜坡(匀速)
xr(t)
0 t <0 xr (t ) = At t ≥ 0
A 0 t
相当于随动系统加入一按恒速变化的位置信号, 该恒速度为A.

拉氏变换

拉氏变换
[ f (t )]
m t 0
[ f ( t )]
de st
e
st
dt
1 m t 0 s
1 m st t e s
0
m m 1 st t e dt s 0
m m 1 st m! st t e dt m e dt 0 s s 0
( n1)T nT

T
f (t ) e
st
f (t ) e st dt
nT
( n1)T
f (t ) e
st
dt t nT
0
T
f ( nT ) e s( nT )d( nT )
T
[ f ( ) e s d ]e snT
f (t )u(t )e t
(β＞0)
（2.1）
只要β值选得适当，式（2.1）就能满足傅立叶变换的条件， f ( t ) 的傅立叶变换存在。 即函数
F [ f (t )u(t )e
t
]


f (t )u(t )e
t j t
e
dt

0
f (t )e ( j ) t dt
F (s )
[sin kt ]
st
1 jkt jkt st sin kte dt (e e )e dt 0 0 2j 1 ( s jkt ) e dt e ( s jkt ) dt 0 2 j 0
第二章 拉普拉斯变换
§1 §2 §3 §4 拉氏变换的概念 拉氏变换的性质 拉氏逆变换 卷积
§1
拉氏变换的概念

拉普拉斯变换(The Laplace Transform)课件

L
设
1 ： X ( s) ( s 1)( s 2)
( s) 2
1 1 , ( s 1) ( s 2)
对X(s) 进行部分分式展开：
X ( s)
1 A B 1 1 ( s 1)( s 2) (s 1) (s 2) ( s 1) ( s 2)
S平面
j 0
j
s0 0 j0
0

• S平面上虚轴上的所有点代表整个周期 jt 复指数信号集 {e }
9.1 拉氏变换
一个信号x(t)的拉氏变换定义如下：
X (s) x(t )e dt ( where s j )
st

记作：
x(t ) X (s)
假设信号x(t)的拉氏变换X(s)没有多阶极 点，且分母多项式的阶次高于分子多项 式的阶次（有理真分式），那么X(s) 就可以展开成如下形式：
Ai X ( s) i 1 s ai
L {Ai /(s ai )}
1
M
Ai eait u(t )
Re{s} ai
Ai eait u(t ) Re{s} ai
性质3：如果x(t)是有限持续期，并 且是绝对可积的，那么ROC就是 整个s平面。
Im
s平面
Re
性质4：如果x(t)是右边信号，而且如果 Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
0
Im s平面 Re
• 性质5：如果x(t)是左边信号，而且如果 • Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 • Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
1 2

信号与系统第6章拉氏变换


的收敛性
f (t ) u (t ) e tu ( t ) 举例：信号
FB ( s )

0

ee
t
st
dt

0
e st dt
1 1 1 s s
对前一项，收敛域 1 ，对后一项， 0 总的收敛域为 0 1
2、双边拉氏变换同付里叶变换的 关系
t
jwt




F1 ( w)e st dw
ds 而： s jw ，若选定 ，即令 为常数，有 dw j
，同
时 F ( s ) F1 ( w) ，上式改写为：
1 f (t ) 2 j

j
j
F ( s ) e st ds
对信号 f (t ) ，
F (s)
d [(s p1 ) k F ( s)] 显然 K12 ds s p
1
继续微分：
1 d 2 [(s p1 ) k F ( s)] K13 2 ds 2 s p
1
1 d i 1[(s p1 ) k F ( s)] K1i 一般形式： (i 1)! ds i 1 s p
2、微分
3、积分
若 L[ f (t )] F (s) ，则
L[
t
F (s) f 1 (0) f ( )d ] s s
其中：
f
( 1)
(0) f ( )d

0
，为常数
4、延时（时域平移）
若： L[ f (t )] F (s) ，则
L[ f (t t0 )u(t t0 )] e st0 F (s)
此时，有： F (s)

高等数学第十二章 拉普拉斯变换


结论
L[ f (t )] 11eTs
T f(t)estdt
0
(Re(s) 0)
二、常见的拉氏变换
0, t 0,
定义
设

(t)

1


0 t , 当 0 时， ( t ) 的极限
0 t .
lim (t) (t) 称为狄拉克函数，简称 —函数。 0
例1 求函数 f (t) 1(1eat ) 的拉氏变换. a
解 L[ f (t)] L[1(1eat)]1L[1eat]
a
a
1L[1]1L[eat] aa
1 1 1 as a(sa) s(sa)
二、微分性质
性质 若 L[f(t)]F(s)，则有 L [f(t)] sF (s) F (0 )
2）由
L[tsint] 2s (s21)2
F(s)
得
L [ e 2 tts in t] F [ s ( 2 ) ] F ( s 2 )
2(s2)
2s4


[(s2)21]2 (s24s5)2
五、延迟性质
性质 若 L[f(t)]F(s)，又 t 0 时， f (t) 0 ，

L[sint]ds
0t
0
0s211dsarctans02
例6 解
计算 tet sintdt
0 由本节例4得
F (s)0 tsinte std tL [tsint](s2 2 s1 )2
令 s 1 ，得 tet sintdt 1
第十二章 拉普拉斯变换
第一节 拉氏变换的概念 第二节 拉氏变换的性质 第三节 拉普拉斯逆变换 第四节 拉氏变换应用举例

第2章 拉氏变换


证
d L[ f (t )] L f (t ) dt st d e f (t )dt 0 dt e st df (t )
0
f (t )e
st 0
| f (t )( s )e st dt
0 0
f (0) s f (t )e st dt sF ( s ) f (0)
0
t
图 2 - 7 单位阶跃函数
第1章 自动控制系统概述
由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为
F ( s ) L[1(t )] 1 e st dt
0

1 st 1 e |0 s s
单位阶跃函数如图 2 - 7所示。
(2 - 24)
第1章 自动控制系统概述
【例2】 求斜坡函数（Ramp Function）的象函数。
第1章 自动控制系统概述
第1章 自动控制系统概述
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时， 常需要借助于拉氏变换运算 定理， 这些运算定理都可以通过拉氏变换定义式加以 证明。 下面介绍几个常用定理。 1) 叠加定理
两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变
换的代数和。 即
L[ f1 (t ) f 2 (t )] L[ f1 (t )] L[ f 2 (t )]
第1章 自动控制系统概述
当初始条件f(0)=0时， 有 L ［f′(t)］=sF(s) L ［f″(t)］=s2F(s)-sf(0)-f′(0) … L ［f (n)(t)］=snF(s)-sn-1f(0)-…-f (n-1)(0)
同理， 可求得
第1章 自动控制系统概述
若具有零初始条件， 即 f(0)=f′(0)=…=f(n-1)(0)=0 则 L［f″(t)］=s2F(s) … L［f(n)(t)］=snF(s)
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Lt

2
2 3 s
Lt

3
3! 4 s

Lt

n
n! n 1 s
8
(6)
单位脉冲函数(t)
0 (t ) 1 lim 0

0 0
(t 0且t ) (0 t )
f(t) 1
L (t ) lim e st dt
若为零初始条件，即


t 0 t 0


f 0 f 0 f 0 f n1 0 0




则
d 2 f t 2 df t L s F s L dt 2 s F s dt d n f t n L s F s n dt
st 0


0
1 j t s e e j t e st dt 2 2 s 2


s L1 2 cost 2 s
6
（5）t的幂函数
f t t
同理可得：
F s


0
1 1 1 st st t e dt t e e st dt 2 0 s s s 0
(n m)
设：A(s) an s n an1s n1 ... a0 (s p1 )(s p2 )...(s pn )
I .当A(s)等于0，无重根时
n Cn Ci C1 C2 F ( s) ... s p1 s p2 s pn i 1 s pi
则
L f t e
s
F s
（6）复位移定理 若
F s L f t
则
Le

t
f t F s
12

（7）初值定理
lim f t lim
t 0 s
sF s
（8）终值定理
lim f t lim
Cm Cm1 Cm1 Cn C1 f (t ) L [ ... ... ] ( s p1 ) m ( s p1 ) m1 s p1 s pm1 s pn
L1： c(t ) L1 c(s) C1e1t C2e2t ... Cnent
21
用留数法分解部分分式：
B(s) bm s m bm1s m1 ... b1s b0 一般有：F(s) A(s) an s n an1s n1 ... a1s a0
F ( s)
Cm Cm1 Cm1 Cn C ... 1 ... ( s p1 ) m ( s p1 ) m1 s p1 s pm1 s pn
Cm lim ( s p1 ) m F ( s ) s p1 C 1 lim d [(s p ) m F ( s )] 1 m 1 1! ds s p1 ... ( j) C 1 lim d [(s p ) m F ( s)] 1 m j j! ds j s p1 ... 1 d ( m 1) lim m 1 [(s p1 ) m F ( s)] C1 (m 1)! ds s p1
C1 lim ( s 1 j )
s 1 j
s3 2 j ( s 1 j )(s 1 j ) 2j
s3 2 j ( s 1 j )(s 1 j ) 2 j
1 t e (2 j )e jt (2 j )e jt 2j
Ci lim ( s pi ) F ( s) s pi 其中： B( s ) Ci A( s) s pi
f (t ) C1e
p1t
C2 e
p2 t
... Cn e
pn t
Ci e pit
i 1
n
22
s2 例2，已知 F( s ) 2 ，求 f (t ) ? s 4s 3
f t f1 t f 2 t F s L f1 t f 2 t F1 s F2 s f t kf1 t L f1 t F1 s
（2）比例定理 若
则
F s L f t k F1 s
11
（4）积分定理（零初始条件下） 若
F s L f t
则
F s L f tdt s


f t dt F s L sn n
（5）实位移（延迟）定理
若
F s L f t
s2 1 ( s 1)(s 3)
1 t 1 3t f (t ) (t ) e e 2 2
24
s3 例4，已知 F ( s) 2 ，求 f (t ) ? s 2s 2
解一. F ( s) s3 C1 C2 ( s 1 j )(s 1 j ) s 1 j s 1 j
10
（3）微分定理
若
其中
F s L f t
f 0 lim f t
则

df t s f 0 L sF dt

相当于初始条件。于是
L f ( n) (t ) s 2 F s sf 0 f 0 - f (0 ) ...... f ( n1) (0 )
t s 0
sF s
13
总 结
17
18
19
拉普拉斯反变换 :
（1）反演公式：
1 f (t ) F ( s ) e ts ds 2j j
j
（2）查表法（分解部分分式法） a. 试凑法 b. 系数比较法 c. 留数法 例1：
1 已知，F( s ) ，求f (t ) ? s( s a) 1 ( s a) s 1 1 1 解：F( s ) a s( s a) a s s a 1 f (t ) 1 e at a


20
用L变换方法解线性常微分方程
an c ( n ) an 1c ( n 1) ... a1c a0c bm r ( m ) bm1r ( m1) ... b1r b0 r
L： (an s n ) an1s n1 ... a1s a0 )C ( s) (bm s m bm1s m1 ... b1s b0 ) R( s)
2 j j
1
j
F s e ds
st
记为
f t L F s
1
显然，若F(s)是f(t)的拉氏变换，则f(t)就是F(s)的拉氏反变换。 从数学角度考虑，一个时域函数f(t)能够进行拉氏变换的 条件为： (1)当t < 0时，f (t)= 0；
4
(2) f(t)只有有限个间断点，且能找到适当的s，使
0初始条件 nm
bm s m bm1s m1 ... b1s b0 C(s) R( s ) n n 1 an s an1s ... a1s a0
r ( t ) ( t )
C(s)

bm s m bm1s m1 ... b1s b0 Cn C1 C2 ... n n 1 s n an s an1s ... a1s a0 s 1 s 2
C2 lim ( s 1 j )
s 1 j
2 j ( 1 j )t 2 j ( 1 j )t f (t ) e e 2j 2j

பைடு நூலகம்


1 t e j2 cost 4 sin t e t cost 2 sin t 2j
解二.
F ( s)
F s f t est dt
0

记为
F s L f t
称F(s)为f(t)的Laplace变换（简称拉氏变换）。其中算子s=σ+ jω为复数。
3
若已知F(s)，求原函数f(t)，则称为Laplace反（逆）变换（简称拉氏反（逆） 变换），即
f t
解. s2 C1 C2 F ( s) 2 s 4s 3 s 1 s 3
C1 lim ( s 1)
s 1
s2 1 2 1 ( s 1)(s 3) 1 3 2
C2 lim ( s 3)
s 3
s2 3 2 1 ( s 1)(s 3) 3 1 2
s 1 1 s3 s 1 2 2 ( s 1) 2 12 ( s 1) 2 12 ( s 1) 2 12 ( s 1) 2 12
25
f (t ) et cost 2et sin t
II.当A(s) (s p1 )...(s pn ) 0有重根时（设 1为m重根，其余为单根） p

0
1 1e dt s
st
t0
5
（2）指数函数
f t e
故
1
t
F s L e
1 L e t s
st

t


0
e
t
1 e dt s
st
（3）正弦函数
f t sin t
故
12 12 F (s) s 1 s 3
1 t 1 3t f (t ) e e 2 2
23
s 2 5s 5 例3，已知F ( s) 2 ，求f (t ) ? s 4s 3