广西南宁市2015届高中毕业班第一次适应性检测数学(理)试题(扫描版)

2015年广西省南宁市中考数学模拟试卷一、选择题（共12小题，每题3分，满分36分）1．5的相反数是（）A．B．﹣5 C．±5 D．﹣2．如图，三视图描述的实物形状是（）A．棱柱 B．棱锥 C．圆柱 D．圆锥3．一天有24小时，一小时有60分，一分为60秒．故一天共有86400秒．用科学记数法表示86400为（）A．8.64×104B．8.64×105C．0.864×105 D．0.864×1044．下列各式计算正确的是（）A．+= B．（ab2）3=ab6C．2a3×3a5=6a8D．3xy﹣2x=xy5．要使分式有意义，x的取值范围为（）A．x≠﹣5 B．x＞0 C．x≠﹣5且x＞0 D．x≥06．如图，已知圆O的直径为6，CD为圆O的直径，且CD⊥AB，∠D=15°．则OE的长为（）A．3 B．3C．D．7．如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（1，2），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（x＞0）上，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．68．下列为中心对称图形的有（）个①等腰梯形；②正方形；③平行四边形．A．0 B．1 C．2 D．39．函数y=ax2+bx+c的图象的右侧如图所示，下列选项不正确的是（）A．a＞0 B．c＞0 C．b＞0 D．a+b﹣c＞010．21，24，30，24，21，x这组数据的平均数为24，则这组数据的众数是（）A．21 B．22 C．24 D．3011．依依买了7本数学书和2本语文书共花了100元；菲菲买了4本语文书和2本数学书共花了80元．则买3本数学书要花（）元．A．30 B．20 C．15 D．4512．已知正方形的内切圆O半径为2，如图，正方形的四个角上分别有一个直角三角形，如果直角三角形的第三边与圆O相切且平行于对角线．则阴影部分的面积为（）A．32﹣32﹣4πB．C．1 D．16﹣4π二、填空题．（共6小题，每小题3分，共18分）13．当x=时，分式没有意义．14．在等腰三角形ABC中，AC为腰，O为BC中点，OD平行AC，∠C=30°，求∠AOD=．15．计算=．16．如图，正方形ABCD的边长为8，O是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PO+PB的最小值为．17．已知a1=，a2=，a3=，a4=，…，则a n=．三、计算题18．计算：|3﹣π|+（2﹣）0+﹣4cos45°+（）﹣1．19．先化简，再求值：（x2y+xy+y）÷（xy+y），其中x=1，y=2．四、解答题20．假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A、B、C、D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是张，补全统计图．（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？（3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．21．已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PO的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）22．如图，AB，CD相交于点O，AB=CD，（1）请你添加一个条件使得△AOB≌△COD．（2）证明你的结论．23．某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%．（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？（2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？24．如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AC的延长线相交于点F，且AC=8，tan∠BDC=．（1）求⊙O的半径长；（2）求线段CF长．25．已知抛物线y=3ax2+2bx+c，（1）若a=b=1，c=﹣1，求该抛物线与x轴的交点坐标；（2）若a+b+c=1，是否存在实数x0，使得相应的y=1？若有，请指明有几个并证明你的结论；若没有，阐述理由．（3）若a=，c=2+b且抛物线在﹣2≤x≤2区间上的最小值是﹣3，求b的值．2015年广西省南宁市中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每题3分，满分36分）1．5的相反数是（）A．B．﹣5 C．±5 D．﹣【考点】相反数．【分析】据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．【解答】解：根据概念，（5的相反数）+5=0，则5的相反数是﹣5．故选：B．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．如图，三视图描述的实物形状是（）A．棱柱 B．棱锥 C．圆柱 D．圆锥【考点】由三视图判断几何体．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由于主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，由俯视图为圆形可得为圆锥．故选D．【点评】本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力．3．一天有24小时，一小时有60分，一分为60秒．故一天共有86400秒．用科学记数法表示86400为（）A．8.64×104B．8.64×105C．0.864×105 D．0.864×104【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将86400用科学记数法表示为8.64×104．故选A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．下列各式计算正确的是（）A．+= B．（ab2）3=ab6C．2a3×3a5=6a8D．3xy﹣2x=xy【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；二次根式的加减法．【分析】根据二次根式的加法，可判断A；根据积的乘方，可判断B；根据单项式乘单项式，可判断C；根据合并同类项，可判断D．【解答】解：A、不是同类二次根式不能合并，故A错误；B、积的乘方等于乘方的积，故B错误；C、单项式乘单项式，系数乘系数，同底数的幂相乘，故C正确；D、不是同类项不能合并，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了单项式乘单项式，单项式乘单项式，系数乘系数，同底数的幂相乘．5．要使分式有意义，x的取值范围为（）A．x≠﹣5 B．x＞0 C．x≠﹣5且x＞0 D．x≥0【考点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．【分析】根据分式有意义的条件可得x+5≠0，再根据二次根式有意义的条件可得x≥0，再解即可．【解答】解：由题意得：x+5≠0，且x≥0，解得：x≥0，故选：D．【点评】此题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数．6．如图，已知圆O的直径为6，CD为圆O的直径，且CD⊥AB，∠D=15°．则OE的长为（）A．3 B．3C．D．【考点】垂径定理；圆周角定理．【分析】连接OA，先根据圆O的直径为6求出OA的长，再由CD⊥AB得出∠AEO=90°，由圆周角定理求出∠AOE的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：连接OA，∵圆O的直径为6，∴OA=3．∵CD⊥AB，∴∠AEO=90°．∵∠D=15°，∴∠AOE=30°，∴OE=OA•cos30°=3×=．故选D．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．7．如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（1，2），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（x＞0）上，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转．【分析】由旋转可得点D的坐标为（3，2），那么可得到点C的坐标为（3，1），那么k等于点C 的横纵坐标的积．【解答】解：易得OB=1，AB=2，∴AD=2，∴点D的坐标为（3，2），∴点C的坐标为（3，1），∴k=3×1=3．故选：B．【点评】解决本题的关键是利用旋转的性质得到在反比例函数上的点C的坐标．8．下列为中心对称图形的有（）个①等腰梯形；②正方形；③平行四边形．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：②③是中心对称图形，共2个．故选C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．9．函数y=ax2+bx+c的图象的右侧如图所示，下列选项不正确的是（）A．a＞0 B．c＞0 C．b＞0 D．a+b﹣c＞0【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】首先根据抛物线的图象确定开口方向进而确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，可得a+b﹣c＞0．【解答】解：由图象得开口向上可得a＞0，故A正确；由x=﹣＜0，可得b＞0，故C正确；由二次函数y=ax2+bx+c的图象交y轴于负半轴可得c＜0，故B错误；∴a+b﹣c＞0，可得D正确．故选B．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，此题运用了数形结合思想．10．21，24，30，24，21，x这组数据的平均数为24，则这组数据的众数是（）A．21 B．22 C．24 D．30【考点】众数；算术平均数．【分析】根据平均数的概念求出x的值，然后根据众数的概念求解．【解答】解：=24，解得：x=24，则这组数据的众数为：24．故选C．【点评】本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．11．依依买了7本数学书和2本语文书共花了100元；菲菲买了4本语文书和2本数学书共花了80元．则买3本数学书要花（）元．A．30 B．20 C．15 D．45【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设数学书和语文书的单价分别为x、y元/本，依据“7本数学书和2本语文书共花了100元；4本语文书和2本数学书共花了80元”列出方程组，并解答即可求得数学书的单价．【解答】解：设语文书和数学书的单价分别为x、y元/本，则，解得，则3y=3×10=30（元）．故选：A．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．12．已知正方形的内切圆O半径为2，如图，正方形的四个角上分别有一个直角三角形，如果直角三角形的第三边与圆O相切且平行于对角线．则阴影部分的面积为（）A．32﹣32﹣4πB．C．1 D．16﹣4π【考点】正多边形和圆．【分析】连接OA、OB，作BI⊥OA于点I，作OM⊥AB于点M，求得△AOB的面积，则正八边形的面积即可求得，然后减去圆的面积即可求解．【解答】解：连接OA、OB，作BI⊥OA于点I，作OM⊥AB于点M．则∠AOB==45°，∠AOM=∠AOB=22.5°．∵在直角△AOM中，cos∠AOM=，∴OA====4﹣8．则BI=（4+8）•tan∠AOB=2tan45°=（8﹣4）×=4﹣4，则S△AOB=OA•BI=×2×（4﹣4）=4﹣4，则八边形ABCDEFGH的面积是8（4﹣4）=32﹣32．⊙O的面积是：4π，则阴影部分的面积为：32﹣32﹣4π．故选A．【点评】本题考查了正多边形的计算，正确求得△AOB的面积是解决本题的关键．二、填空题．（共6小题，每小题3分，共18分）13．当x=±1时，分式没有意义．【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分式无意义：分母等于零可得x2﹣1=0，再解即可．【解答】解：由题意得：x2﹣1=0，解得：x=±1，故答案为：±1．【点评】此题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式无意义的条件是分母等于零．14．在等腰三角形ABC中，AC为腰，O为BC中点，OD平行AC，∠C=30°，求∠AOD=60°或23.79°．【考点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用；解直角三角形．【专题】分类讨论．【分析】分AB=AC，AC=BC两种情况，利用等腰三角形的性质，勾股定理和三角函数的定义进行分析求解．【解答】解：如图1，当AB=AC时，∵O为BC的中点，∴AO⊥BC，∵OD∥AC，∠C=30°，∴∠DOB=∠C=30°，∴∠AOD=∠OAC=60°；如图2，当AC=BC时，过B作BE⊥OD，OF⊥BD，设OB=a，∴BC=AC=2a，∵O是BC的中点，OD∥AC，∴D为AB的中点，∠DOB=∠C=30°，∴OD=AC=a，OD=OB，又∵OF⊥AB，∴DF=BF，∠DOF=∠DOB=15°，∵∠DOB=30°，BE⊥OB，∴BE=OB=a，∴OE==a，DE=a﹣a，∴BD==a，∴AB=2AD=a，DF=BF=a，AF=a，∵S△OBD=OD×BE=×DB×OF，∴OF==a，∵tan∠OAF==≈1.244，∴∠OAF≈51.21°，∴∠AOD=90°﹣∠OAF﹣∠DOF≈23.79°，故答案为：60°或23.79°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，直角三角形的性质等知识，解答本题的关键是运用分类讨论思想求解，不要因考虑不周而漏解．15．计算=．【考点】约分．【分析】根据平方差公式先把分子与分母因式分解，再约分即可．【解答】解：==；故答案为：．【点评】此题考查了约分，用到的知识点是平方差公式和分式的基本性质，在约分时要注意结果的符号．16．如图，正方形ABCD的边长为8，O是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PO+PB的最小值为4．【考点】轴对称-最短路线问题．【分析】由于点D与点B关于AC对称，所以如果连接DO，交AC于点P，那PO+PB的值最小．在Rt△CDO中，由勾股定理先计算出DO的长度，即为PO+PB的最小值．【解答】解：连接DO，交AC于点P，连接BD．∵点B与点D关于AC对称，∴DO的长即为PO+PB的最小值，∵AB=8，O是BC的中点，∴CO=4，在Rt△CDO中，DO===4．故答案为：4．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题和正方形的性质，根据两点之间线段最短，可确定点P 的位置．17．已知a1=，a2=，a3=，a4=，…，则a n=．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】由题意可知：a1==，a2==，a3==，a4==，…，由此得出，由此得出答案即可．【解答】解：∵a1==，a2==，a3==，a4==，…，∴a n=．故答案为：．【点评】此题考查数字的变化规律，得出数字之间的计算规律，利用规律解决问题三、计算题18．计算：|3﹣π|+（2﹣）0+﹣4cos45°+（）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项化为最简二次根式，第四项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=π﹣3+1+2﹣4×+2=π．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．先化简，再求值：（x2y+xy+y）÷（xy+y），其中x=1，y=2．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】先提取，变成x2y+xy+xy+y，再算除法，代入求出即可．【解答】解：（x2y+xy+y）÷（xy+y）=（x2y+2xy+y）÷（xy+y）=（x+1），当x=1，y=2时，原式=×（1+1）=1．【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，用了整体思想，即把x2y+xy和xy+y当作整体来算除法，题目比较好，难度适中．四、解答题20．假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A、B、C、D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是30张，补全统计图．（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？（3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．【考点】游戏公平性；扇形统计图；条形统计图；概率公式；列表法与树状图法．【分析】（1）根据去A、B、D的车票总数除以所占的百分比求出总数，再减去去A、B、D的车票总数即可；（2）用去B地的车票数除以总的车票数即可；（3）根据题意用列表法分别求出当指针指向的两个数字之和是偶数时的概率，即可求出这个规定对双方是否公平．【解答】解：（1）根据题意得：总的车票数是：（20+40+10）÷（1﹣30%）=100，则去C地的车票数量是100﹣70=30；故答案为：30．（2）余老师抽到去B地的概率是=；（3）根据题意列表如下：因为两个数字之和是偶数时的概率是=，所以票给李老师的概率是，所以这个规定对双方公平．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．21．已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PO的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】（1）先过点A作AH⊥PO，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，得出=，设AH=5k，则PH=12k，AP=13k，求出k的值即可．（2）先延长BC交PO于点D，根据BC⊥AC，AC∥PO，得出BD⊥PO，四边形AHDC是矩形，再根据∠BPD=45°，得出PD=BD，然后设BC=x，得出AC=DH=x﹣14，最后根据在Rt△ABC中，tan76°=，列出方程，求出x的值即可．【解答】解：（1）过点A作AH⊥PO，垂足为点H，∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴=，设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k，∴13k=26，解得k=2，∴AH=10，答：坡顶A到地面PO的距离为10米．（2）延长BC交PO于点D，∵BC⊥AC，AC∥PO，∴BD⊥PO，∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH，∵∠BPD=45°，∴PD=BD，设BC=x，则x+10=24+DH，∴AC=DH=x﹣14，在Rt△ABC中，tan76°=，即≈4.01．解得x≈18．答：古塔BC的高度约为19米．【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡角等，关键是做出辅助线，构造直角三角形．22．如图，AB，CD相交于点O，AB=CD，（1）请你添加一个条件使得△AOB≌△COD．（2）证明你的结论．【考点】全等三角形的判定．【分析】由已知条件AB=CD和对顶角相等，再添加条件∠A=∠C，根据判定方法AAS即可判定△AOB≌△COD．【解答】解：（1）添加条件：∠A=∠C；（2）证明：在△AOB和△COD中，∵，∴△AOB≌△COD（AAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法，由已知一组对应边和一组对应角相等的条件下，再添加一组对应角相等，即可全等．23．某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%．（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？（2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）0.5×甲种鱼的尾数+0.8×乙种鱼的尾数=3600；（2）0.5×甲种鱼的尾数+0.8×乙种鱼的尾数≤4200；（3）关系式为：甲种鱼的尾数×0.9+乙种鱼的尾数×95%≥6000×93%．【解答】解：（1）设购买甲种鱼苗x尾，则购买乙种鱼苗（6000﹣x）尾．由题意得：0.5x+0.8（6000﹣x）=3600，解方程，可得：x=4000，∴乙种鱼苗：6000﹣x=2000，答：甲种鱼苗买4000尾，乙种鱼苗买2000尾；（2）由题意得：0.5x+0.8（6000﹣x）≤4200，解不等式，得：x≥2000，即购买甲种鱼苗应不少于2000尾，∵甲、乙两种鱼苗共6000尾，∴乙不超过4000尾；答：购买甲种鱼苗应不少于2000尾，购买乙种鱼苗不超过4000尾；（3）设购买鱼苗的总费用为w，甲种鱼苗买了a尾，则购买乙种鱼苗（6000﹣a）尾．则w=0.5a+0.8（6000﹣a）=﹣0.3a+4800，由题意，有a+（6000﹣a）≥×6000，解得：a≤2400，在w=﹣0.3a+4800中，∵﹣0.3＜0，∴w随a的增大而减少，∴当a取得最大值时，w便是最小，=4080．即当a=2400时，w最小答：购买甲种鱼苗2400尾，乙种鱼苗3600尾时，总费用最低．【点评】根据费用和成活率找到相应的关系式是解决本题的关键，注意不低于是大于或等于；不超过是小于或等于．24．如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AC的延长线相交于点F，且AC=8，tan∠BDC=．（1）求⊙O的半径长；（2）求线段CF长．【考点】切线的性质；垂径定理；解直角三角形．【专题】计算题．【分析】（1）过O作OH垂直于AC，利用垂径定理得到H为AC中点，求出AH的长为4，根据同弧所对的圆周角相等得到tanA=tan∠BDC，求出OH的长，利用勾股定理即可求出圆的半径OA 的长；（2）由AB垂直于CD得到E为CD的中点，得到EC=ED，在直角三角形AEC中，由AC的长以及tanA的值求出CE与AE的长，由FB为圆的切线得到AB垂直于BF，得到CE与FB平行，由平行得比例列出关系式求出AF的长，根据AF﹣AC即可求出CF的长．【解答】解：（1）作OH⊥AC于H，则AH=AC=4，在Rt△AOH中，AH=4，tanA=tan∠BDC=，∴OH=3，∴半径OA==5；（2）∵AB⊥CD，∴E为CD的中点，即CE=DE，在Rt△AEC中，AC=8，tanA=，设CE=3k，则AE=4k，根据勾股定理得：AC2=CE2+AE2，即9k2+16k2=64，解得：k=，则CE=DE=，AE=，∵BF为圆O的切线，∴FB⊥AB，又∵AE⊥CD，∴CE∥FB，∴=，即=，解得：AF=，则CF=AF﹣AC=．【点评】此题考查了切线的性质，垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．25．已知抛物线y=3ax2+2bx+c，（1）若a=b=1，c=﹣1，求该抛物线与x轴的交点坐标；（2）若a+b+c=1，是否存在实数x0，使得相应的y=1？若有，请指明有几个并证明你的结论；若没有，阐述理由．（3）若a=，c=2+b且抛物线在﹣2≤x≤2区间上的最小值是﹣3，求b的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先将a=b=1，c=﹣1代入y=3ax2+2bx+c，得到抛物线为y=3x2+2x﹣1，再用因式分解法求出方程3x2+2x﹣1=0的两个根，即可得到该抛物线与x轴的交点坐标；（2）将y=1代入y=3ax2+2bx+c，得到3ax2+2bx+c=1，则△=4b2﹣12a（c﹣1），再将c﹣1=﹣a﹣b代入△，整理得到△=4[（b+a）2+a2]，由a≠0，得出△＞0，根据一元二次方程根与系数的关系可知方程3ax2+2bx+c=1有两个不相等实数根，即存在两个不同实数x0，使得相应的y=1；（3）先将a=，c=2+b代入y=3ax2+2bx+c，得到抛物线为y=x2+2bx+b+2，根据二次函数的性质求出其对称轴为x=﹣b，再分三种情况进行讨论：①x=﹣b＜﹣2；②x=﹣b＞2；③﹣2≤﹣b≤2．【解答】解：（1）当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为y=3x2+2x﹣1，∵方程3x2+2x﹣1=0的两个根为x1=﹣1，x2=，∴该抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0）和（，0）；（2）存在两个不同实数x0，使得相应的y=1．理由如下：由y=1得3ax2+2bx+c=1，即3ax2+2bx+c﹣1=0，△=4b2﹣12a（c﹣1）=4b2﹣12a（﹣a﹣b）=4b2+12ab+12a2=4（b2+3ab+3a2）=4[（b+a）2+a2]，∵a≠0，∴△＞0，所以方程3ax2+2bx+c=1有两个不相等实数根，即存在两个不同实数x0，使得相应的y=1；（3）若a=，c=2+b，则抛物线可化为y=x2+2bx+b+2，其对称轴为x=﹣b，分三种情况：①当x=﹣b＜﹣2时，即b＞2，则有抛物线在x=﹣2时取最小值为﹣3，此时﹣3=（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2，解得b=3，符合题意；②当x=﹣b＞2时，即b＜﹣2，则有抛物线在x=2时取最小值为﹣3，此时﹣3=22+2×2b+b+2，解得b=﹣，不合题意，舍去；③当﹣2≤﹣b≤2时，即﹣2≤b≤2，则有抛物线在x=﹣b时取最小值为﹣3，此时﹣3=（﹣b）2+2×（﹣b）b+b+2，化简得：b2﹣b﹣5=0，解得：b=（不合题意，舍去），b=．综上：b=3或b=．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数的性质，抛物线与一元二次方程的关系，二次函数最值的求法．解决第（3）问时要注意分析题意分情况讨论结果．。

⼴西南宁、⽟林、柳州、桂林2015届⾼三第⼀次适应性检测数学（理）试题2015年⾼中毕业班第⼀次适应性检测数学试卷(理科)第I 卷⼀．选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分共60分。

1．已知全集U ＝R ,集合A ＝{x |x 2＋3x －10＞0},B ＝{x |－2≤x ≤5}，则(?U A )∩B 等于(A ){x |＝5＜x ≤3}(B ){x |－2＜x ≤5}(C ){x |－2≤x ≤2}(D ){x |－5≤x ≤5}2．设复数z 满⾜z ?(1－i )＝2，则复数z 的模|z |等于(A ) 2(B )2(C ) 5(D )43．设等⽐数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 4＝－8，则S 5等于(A )－11(B )11(C )31(D )－314．下列函数中，既是偶函数，⼜是在区间(0,＋∞)上单调递减的函数是(A )y ＝ln x(B )y ＝x 2(C )y ＝cos x(D )y ＝2－|x |5．(1－x )5的展开式中，x 2的系数(A )－5(B )5(C )－10(D )106．已知x ，y 满⾜?x －2y ＋2≥0x ≤4y ≥－2 ，则⽬标函数z ＝x ＋y 的最⼤值为(A )4(B )5(C )6(D )77．如图所⽰的程序框图中输出的a 的结果为(A )2(B )－2(C )12(D )－128．已知底⾯为正⽅形的四棱锥，其⼀条侧棱垂直于底⾯，那么该四锥的三视图可以是下列各图中的DCB A府视图府视图正视图正视图正视图正视图正视图侧视图府视图府视图侧视图正视图9．已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)，其中x ∈[－π3,a ]，若f (x )的值域是[－12,1]，则a 的取值范围是(A )(－,π3](B )[π3,π2](C )[π2,2π3](D )[π3,π]10．甲和⼄等五名志愿者被随机地分到A 、B 、C 、D四个不同的岗位服务，每个岗位⾄少有⼀名志愿者，则甲和⼄不在同⼀岗位服务的概率为 (A )910(B )110(C )14(D )4862511．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)与抛物线y 2＝2px (p ＞0)相交于A 、B 两点，直线AB 恰好过它们的公共焦点F ，则双曲线C 的离⼼率为(A ) 2(B )1＋ 2(C )2 2 (D )2＋ 212．定义域为[a ,b ]的函数y ＝f (x )的图象的两个端点为A 、B ，M (x ,y )是f (x )图象上任意⼀点，其中x ＝λa ＋(1－λ)b ，向量?→ON ＝λ?→OA ＋(1－λ)?→OB ，其中O 为坐标原点，若不等式|?→MN |≤k 恒成⽴，则称函数f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”，若函数y ＝x ＋1x 在[1,2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为 (A )[0,＋∞)(B )[1,＋∞)(C )[32－2,＋∞)(D )[32＋2,＋∞)⼆．填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。

1、给出定义:若1122m x m -<≤+(其中m 为整数),则m 叫做离实数x 最近的整数,记作{}x ,即{}x m =,在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题: ①()y f x =的定义域就是R ,值域就是11(,]22-; ②点(,0)k 就是()y f x =的图象的对称中心,其中k Z ∈; ③函数()y f x =的周期为1;④函数()y f x =在13(,]22-上就是增函数 上述命题中真命题的序号就是( ) A 、 ①② B 、 ②③ C 、 ①③D 、 ②④2、设()f x 就是(,)-∞+∞上的奇函数,(2)()f x f x +=-,当01x ≤≤时有()2f x x =,则(2015)f =( )A 、 1-B 、 2-C 、 １D 、 23、函数21()(1cos 2)sin ,2f x x x x R =+∈就是( ) A 、 最小正周期为π的奇函数B 、 最小正周期为2π的奇函数 C 、 最小正周期为π的偶函数 D 、 最小正周期为2π的偶函数4、已知函数()4cos sin()1(0)f x x x ϕϕπ=+-<<,若()13f π=,则()f x 的最小正周期为( )A 、 πB 、32πC 、 2πD 、 4π 5、定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=,当[3,1)x ∈--时,2()(2)f x x =-+,当[1,3)x ∈-时,()f x x =,则(1)(2)(3)...(2015)f f f f ++++=( )A 、 336B 、 355C 、 1676D 、 20156、在数列{}n a 中,已知122,7a a ==,记n a 与1()n a n N ++∈的积的个位数为2n a +,则2015a =_________.7、函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期就是_______.8、函数3()sin 24sin cos ()f x x x x x R =-∈的最小正周期为_______.9、函数()f x 就是定义在R 上的偶函数,且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时,()2f x x =,若在区间[2,3]-上方程+2()0ax a f x -=恰有四个不相等的实数根,则实数a 的取值范围就是________.10、已知函数()f x 就是R 上的奇函数,且(2)f x +为偶函数,若(1)1f =,则(8)(9)f f +=____.11、设函数()y f x =的定义域为D ,如果存在非零常数T ,对于任意x D ∈,都有()()f x T T f x +=⋅,则称函数()y f x =就是“似周期函数”,非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题:①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-,那么它就是周期为2的周期函数; ②函数()f x x =就是“似周期函数”; ③函数-()2xf x =就是“似周期函数”;④如果函数()cos f x x ω=就是“似周期函数”,那么“,k k Z ωπ=∈”. 其中就是真命题的序号就是_____、(写出所有满足条件的命题序号)12、已知函数21()sin 22f x x x =+,则()f x 的最小正周期就是_______;如果()f x 的导函数就是()f x ',则()6f π'=_______.答案与解析1、2015年河南省信阳市高中毕业班模拟数学理科试题卷第12题 答案:C 分析:2、2015年广西省玉林市4月高中毕业班联合数学模拟理科试卷第5题 答案:B分析:∵(2)()f x f x +=-,得(4)()f x f x +=,∴周期为4T =, 又∵函数为奇函数,(2015)(50441)(1)(1)2f f f f =⨯-=-=-=-, 故选B .3、2015年广西省南宁市高中毕业班第二次适应性测试理科数学模拟试题第9题 答案:A 分析:4、2015年天津市与平区高三二模文科数学试题第4题 答案:A分析:因为函数()4cos sin()1,()2sin()1133f x x x f ππϕϕ=+-=+-=,所以sin()13πϕ+=,由0ϕπ<<可得333πππϕπ<+<+,∴,326πππϕϕ+=∴=,故:2()4cos sin()12sin cos 13f x x x x x x π=+-=+-sin 2212sin(2)13x x x π=+=+,则()f x 的最小正周期为22ππ=,故选A . 5、2015年北京市东城区高三第二学期数学理科综合练习(二)第7题 答案:A 分析:由题意得(1)1,(2)2,(3)(3)1,(4)(2)0,(5)(1)1,(6)(0)0,f f f f f f f f f f ===-=-=-==-=-==则(1)(2)(3)(4)(5)(6)1,f f f f f f +++++=又因为201563361=⨯-,所以(1)(2)(3)(2015)3361(6)336,f f f f f ++++=⨯-=故选A .6、2015年广西省南宁市高中毕业班第一次适应性检测数学模拟试卷(理科)第15题 答案:2分析:122714a a =⨯=,所以34,4728a =⨯=,所以428,4832a =⨯=,所以52,2816a =⨯=,所以678910116,2,2,4,8,2,a a a a a a ======所以从第三项起, n a 的值成周期排列,周期数为6,201533565=⨯+ ,所以201552a a ==. 7、2015年北京市西城区高三第一次模拟考试数学文科试题第10题 答案:π分析:利用二倍角公式化简解析式后求解最小正周期.因为()cos 2f x x =-,所以最小正周期22T ππ==. 8、2015年河北省石家庄市高三二模文科数学试题第14题 答案:2π 9、2015年北京市东城区高三第二学期数学文科综合练习(一)第13题 答案:2253a << 分析:因为函数()f x 为偶函数,且当[0,1]x ∈时,()2f x x =,所以当[1,0]x ∈-时,()2f x x =-,又因为函数()f x 为周期为2的周期函数,所以画出函数()f x 在[2,3]-上的图象如图所示,则方程2()0ax a f x +-=在[2,3]-上有4个不相等的实数根等价于函数()f x 的图象与直线2(2)y ax a a x =+=+在[2,3]-上有4个交点,则图易得实数a 应满足20203(2)1(2)a --<<----,即2253a <<.10、2015年北京市东城区高三第一学期期末教学统一检测数学理科试题第13题答案:1分析:因为()f x 就是R 上的奇函数,且(2)f x +为偶函数,所以()f x 就是以4为周长的奇函数,所以(8)(9)(0)(1)1f f f f +=+=.11、2015年北京市丰台区高三第一学期期末练习数学理科试题第14题 答案:①③④分析:利用新定义逐一判断、若函数()y f x =的“似周期”为1-,则(1)()(1)f x f x f x -=-=+,即它就是周期为2的周期函数,所以①正确;若()f x x =就是“似周期函数”,则存在非零常数T ,对任意x R ∈满足()()f x T x T Tf x Tx +=+==,显然不可能,所以②错误;若()2xf x -=就是“似周期函数”,则存在非零常数T ,对任意x R ∈满足()()2()2x T x f x T Tf x T -+-+===,即12()2T T T -==,而已知函数1(),2x y y x ==的图象有一个交点,即非零常数T 存在,所以③正确;若函数()cos f x x ω=就是“似周期函数”,则存在非零常数T ,对任意x R ∈满足()cos[()]()cos f x T x T Tf x T x ωω+=+==,则1T =±,此时cos()cos x w x ωω±=±,所以,k k Z ωπ=∈,所以④正确,综上所述,真命题的序号就是①③④、12、2015年北京市丰台区高三第二学期数学统一练习理科试题(二)第11题 答案:π,1- 分析:21()sin 22f x x x =1cos 2111sin 2)sin 22sin(2)2222232x x x x x π+=+=++=++ 所以()f x 的最小正周期为22ππ=,()f x 的导函数()2cos(2)3f x x π'=+,则()2cos(2)1663f πππ'=⨯+=-、。

南宁市2012届高中毕业班第一次适应性测试数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一 并交回。

第I 卷注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核对条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3．第I 卷，共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题 1．设复数3,2iZ Z Z i+=-+为的共轭复数，则Z 为（ ）A ．1+iB ．2+iC ．2-iD ．-1+i2．函数2log (1)(1)a y x x =++>-的反函数为（ ）A ．2(2)x y a x -=-> B ．21()x y a x R -=-∈C ．21(2)x y ax +=->D ．21()x y ax R +=-∈3．设x ，y 是两个实数，命题：“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（ ）A ．2x y +=B ．2x y +>C ．222x y +> D ．1xy >4．等比数列{}n a 中，2380a a +=，则62S s =（ ） A ．-10B ．10C ．20D ．215．设函数()2cos(2)4f x x π=-，将()y f x =的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位，使得到的图像关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．8π B ．38π C ．4π D ．34π6．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱 AA1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上一点，且A 1G (01)λλ=≤≤， 则点G 到平面D 1EF 的距离为 （ ）ABC ．3λ D ．37．从6个运动员中选出4人参加4×100米的接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方法的种数为 （ ） A ．360 B ．240 C ．180 D ．120 8．函数()xf x eax -=+存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．(),2-∞C ．(2,)+∞D ．[)2,+∞9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称，若函数()1)f x x =<≤，则( 5.5)f -（ ）A B ．1.5 C ． D ． 1.5-10．已知F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，若||||3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．34B ．1C ．74D ．5411．正三棱锥A —BCD 内接于球O ，侧棱长为2，则球O 的表面积为（ ）A ．643πB ．323πC ．163πD ．83π 12．已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则||c的最大值是（ ）AB ．2C ．1D ．2第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

广西南宁市2015届高考数学一模试卷（理科）一.选择题1．已知全集U=R，A={x|x2+3x﹣10＞0}，B={x|﹣2≤x≤5}，则（∁U A）∩B等于( ) A．{x|﹣5＜x≤2}B．{x|﹣2＜x≤5}C．{x|﹣2≤x≤2}D．{x|﹣5≤x≤5}2．设复数z满足z•（1﹣i）=2，则复数z的模|z|等于( )A．B．2 C．D．43．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a4=﹣8，则S5等于( )A．﹣11 B．11 C．331 D．﹣314．下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是( ) A．y=lnx B．y=x2C．y=cosx D．y=2﹣|x|5．（1﹣）5的展开式x2的系数是( )A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．106．已知x，y满足则目标函数z=x+y的最大值为( )A．4 B．5 C．6 D．77．如图所示的程序框图中输出的a的结果为( )A．2 B．﹣2 C．D．﹣8．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )A．B．C．D．9．已知函数f（x）=sin（x+），其中x∈，若f（x）的值域是，则实数a的取值范围是( ) A．（0，] B．C．D．10．甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙在不同岗位服务的概率为( )A．B．C．D．11．双曲线与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为( )A．B．C．D．12．定义域为的函数y=f（x）的图象的两个端点A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b（λ∈R），向量=λ+（1﹣λ），其中O为坐标原点，若不等式||≤k恒成立，则称函数f（x）在上“k阶线性近似”．若函数y=x+在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为( )A．（2）若acosB+bcosA=2，a=，求sinA的值．18．某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度，现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X表示抽到“极安全”的人数，求X的分布列及数学期望．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=CA=AA1，D为AB的中点．（1）求证：BC1∥平面DCA1；（2）求二面角D﹣CA1﹣C1的平面角的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，点S是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=分别交于M、N两点，求线段MN长度的最小值．21．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）（I）若函数f（x）在区间则其三视图如图：，故选：C．点评：本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题．9．已知函数f（x）=sin（x+），其中x∈，若f（x）的值域是，则实数a的取值范围是( ) A．（0，] B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求得x+的取值范围，由x+∈时f（x）的值域是，可知≤a+≤，可解得实数a的取值范围．解答：解：∵x∈，∴x+∈，∵x+∈时f（x）的值域是，∴由函数的图象和性质可知≤a+≤，可解得a∈．故选：D．点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，由函数的图象和性质得到不等式≤a+≤是解题的关键，属于基本知识的考查．10．甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙在不同岗位服务的概率为( )A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：所有的结果共有C52A44种，不满足条件的事件数A44 ，可得不满足条件的概率，用1减去此概率即得所求．解答：解：5个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44=240种结果，甲和乙在同一岗位服务的事件数A44 =24则甲和乙不在同一岗位服务的概率为 1﹣=故选：A点评：本题主要考查古典概型和排列组合，排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素，属于中档题．11．双曲线与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用条件可得A（）在双曲线上，=c，从而可得（c，2c）在双曲线上，代入化简，即可得到结论．解答：解：∵双曲线与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，∴A（）在双曲线上，=c∴（c，2c）在双曲线上，∴∴c4﹣6a2c2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∴∵e＞1∴e=故选B．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．12．定义域为的函数y=f（x）的图象的两个端点A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b（λ∈R），向量=λ+（1﹣λ），其中O为坐标原点，若不等式||≤k恒成立，则称函数f（x）在上“k阶线性近似”．若函数y=x+在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为( )A．，所以便得到，所以只需k．解答：解：由题意知a=1，b=2，所以A（1，2）；∴直线AB的方程为；∵x M=λ+2（1﹣λ）=2﹣λ；=；∴M，N两点的横坐标相同，且点N在直线AB上；∴=；∵，；∴；∴要使恒成立，则k；∴实数k的取值范围为．故选C．点评：考查直线的点斜式方程，向量坐标的加法及数乘运算，根据可判断出点N，A，B共线，以及对k阶线性近似概念的理解与运用，基本不等式．二.填空题13．若a2+b2=4c2（c≠0），则圆O：x2+y2=1的圆心到直线l：ax+by+c=0的距离为．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：直接写出圆的圆心到直线的距离，结合已知a2+b2=4c2求得答案．解答：解：∵圆O：x2+y2=1的圆心坐标为（0，0），∴圆O：x2+y2=1的圆心到直线l：ax+by+c=0的距离d=，又a2+b2=4c2，∴，则d==．故答案为：．点评：本题考查了圆的方程，考查了点到直线的距离公式，是基础题．14．已知向量，，，若与垂直，则k=﹣3．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量，，，先求出=（，3），再由与垂直，求出k的值．解答：解：∵向量，，，∴=（，3），∵与垂直，∴（）•（k，）=，∴k=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．15．在数列{a n}中，已知a1=2，a2=7，记a n与a n+1（n∈N+）的积的个位数为a n+2，则a2015=2．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由已知分别求出数列的前几项，然后得到数列周期性出现的规律得答案．解答：解：∵a1=2，a2=7，∴a1a2=14，则a3=4，a2a3=7×4=28，则a4=8，a3a4=4×8=32，则a5=2，a4a5=8×2=16，则a6=6．∴a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，a11=2，∴从第三项起，a n的值成周期数列，周期数为6，则a2015=a335×6+5=a5=2．故答案为：2．点评：本题考查了数列递推式，关键在于通过求值得到数列的周期性，是中档题．16．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为16π．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据已知结合长方体锥的几何特征和球的几何特征，求出球的半径，代入可得球的表面积．解答：解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，设AA1=2a，E为AA1的中点，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），C1（2，2，2a），O（1，1，a），则=（﹣2，2，0），=（﹣2，0，a），=（1，1，a），若OA⊥平面BDE，则，即，即a2﹣2=0，解得a=，∴球O的半径R满足：2R==4，故球O的表面积S=4πR2=16π，故答案为：16π．点评：本题考查的知识点是球的表面积，其中根据已知求出半径是解答的关键．三.解答题17．在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cos=，（1）求cosC的值；（2）若acosB+bcosA=2，a=，求sinA的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（1）由二倍角的余弦公式代入已知即可求cosC的值．（2）由已知及余弦定理可得a×+b×=2，从而解得c的值，求得sinC的值，即可由正弦定理求得sinA的值．解答：解：（1）∵cos=，∴cosC=2cos2﹣1=2﹣1=．（2）∵acosB+bcosA=2，∴由余弦定理可得：a×+b×=2，∴从而解得：c=2，又∵a=，cosC=，∴sinC==，∴由得sinA===．点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理的综合应用，考察了二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．18．某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度，现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X表示抽到“极安全”的人数，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）设A i表示所取得人中有i个人是“极安全”，至多有一人是“极安全”记为事件A，则P（A）=P（A0）+P（A1），由此能求出至多有1人是“极安全”的概率．（2）X的可能取值为0，1，2，3，由已知得X～B（3，），由此能求出X的分布列及数学期望．解答：解：（1）设A i表示所取得人中有i个人是“极安全”，至多有一人是“极安全”记为事件A，则P（A）=P（A0）+P（A1）=+=．（2）X的可能取值为0，1，2，3，由已知得X～B（3，），P（X=0）=（）3=，P（X=1）=，p（X=2）=，P（X=3）=，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PEX=3×=．点评：本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，考查数据处理能力．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=CA=AA1，D为AB的中点．（1）求证：BC1∥平面DCA1；（2）求二面角D﹣CA1﹣C1的平面角的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：计算题．分析：方法一（1）先做出辅助线，连接AC1与A1C交于点K，连接DK，根据要证明线与面平行，需要在面上找一条和已知直线平行的直线，找到的直线是DK．（2）根据二面角D﹣CA1﹣C1与二面角D﹣CA1﹣A互补，做出辅助线，边做边证作GH⊥CA1，垂足为H，连接DH，则DH⊥CA1，得到∠DHG为二面角D﹣CA1﹣A的平面角，解出结果．方法二（1）以BC的中点O为原点建系，根据要用的点的坐标，写出对应的向量的坐标，设出一个平面的法向量，求出法向量．根据法向量与已知直线的方向向量的数量积等于0，得到结论．（2）以BC的中点O为原点建系，根据要用的点的坐标，写出对应的向量的坐标，设出一个平面的法向量，根据法向量与平面上的两个向量垂直且数量积等于0，得到一个法向量，另一个平面的法向量可以直接写出，根据两个平面的法向量所成的角的余弦值求出二面角的余弦值．解答：（方法一）（1）证明：如图一，连接AC1与A1C交于点K，连接DK．在△ABC1中，D、K为中点，∴DK∥BC1．又DK⊂平面DCA1，BC1⊄平面DCA1，∴BC1∥平面DCA1（2）解：二面角D﹣CA1﹣C1与二面角D﹣CA1﹣A互补．如图二，作DG⊥AC，垂足为G，又平面ABC⊥平面ACC1A1，∴DG⊥平面ACC1A1．作GH⊥CA1，垂足为H，连接DH，则DH⊥CA1，∴∠DHG为二面角D﹣CA1﹣A的平面角设AB=BC=CA=AA1=2，在等边△ABC中，D为中点，∴，在正方形ACC1A1中，，∴，，∴．∴．∴所求二面角的余弦值为．图一__________图二__________图三（方法二）（1）证明：如图三以BC的中点O为原点建系，设AB=BC=CA=AA1=2．设是平面DCA1的一个法向量，则．又，，∴．令，∴∵，∴．又BC1⊄平面DCA1，∴BC1∥平面DCA1．（2）解：设是平面CA1C1的一个法向量，则．又，，∴．令，∴．∴．∴所求二面角的余弦值为．点评：本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用，本题可以利用空间向量来解题从而降低了题目的难度．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，点S是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=分别交于M、N两点，求线段MN长度的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，），可得，解得a，b即可．（2）设直线AS的斜率为k＞0，利用k AS•k BS=﹣，可得．直线AS，BS的方程分别为：y=k（x+2），y=．令x=，可得M，N．求出|MN|再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，），∴，解得a=2，b=1．∴椭圆C的方程为：．（2）设直线AS的斜率为k＞0，∵k AS•k BS=﹣，∴．∴直线AS，BS的方程分别为：y=k（x+2），y=．令x=，则M，N．∴|MN|==，当且仅当k=时取等号．∴线段MN长度的最小值为．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）（I）若函数f（x）在区间．∴a≥﹣3；（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即x•lnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，也就是k（x﹣1）＜x•lnx+ax﹣ax+x恒成立，∵x∈（1，+∞），∴x﹣1＞0．则问题转化为k对任意x∈（1，+∞）恒成立，设函数h（x）=，则，再设m（x）=x﹣lnx﹣2，则．∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）=x﹣lnx﹣2在（1，+∞）上为增函数，∵m（1）=1﹣ln1﹣2=﹣1，m（2）=2﹣ln2﹣2=﹣ln2，m（3）=3﹣ln3﹣2=1﹣ln3＜0，m（4）=4﹣ln4﹣2=2﹣ln4＞0．∴∃x0∈（3，4），使m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0．∴当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h′（x）＜0，∴在（1，x0）上递减，x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，∴在（x0，+∞）上递增，∴h（x）的最小值为h（x0）=．∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴lnx0+1=x0﹣1，代入函数h（x）=得h（x0）=x0，∵x0∈（3，4），且k＜h（x）对任意x∈（1，+∞）恒成立，∴k＜h（x）min=x0，∴k≤3，∴k的值为1，2，3．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值和最小值中的应用，考查了数学转化思想，解答此题的关键是，在求解（Ⅱ）时如何求解函数h（x）=的最小值，学生思考起来有一定难度．此题属于难度较大的题目．四.选做题【选修4-1：几何证明选讲】22．已知：直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于A、F（不与B重合），直线l 与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．（1）求证：∠BAC=∠CAG；（2）求证：AC2=AE•AF．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；立体几何．（1）连接BC，根据AB为⊙O的直径得到∠ECB与∠ACG互余，根据弦切角得到∠ECB=∠BAC，分析：得到∠BAC与∠ACG互余，再根据∠CAG与∠ACG互余，得到∠BAC=∠CAG；（2）连接CF，利用弦切角结合（1）的结论，可得∠GCF=∠ECB，再用外角进行等量代换，得到∠AFC=∠ACE，结合∠FAC=∠CAE得到△FAC∽△CAE，从而得到AC是AE、AF的比例中项，从而得到AC2=AE•AF．解答：证明：（1）连接BC，∵AB为⊙O的直径…∴∠ACB=90°⇒∠ECB+∠ACG=90°…∵GC与⊙O相切于C，∴∠ECB=∠BAC∴∠BAC+∠ACG=90°…又∵AG⊥CG⇒∠CAG+∠ACG=90°∴∠BAC=∠CAG…（2）由（1）可知∠EAC=∠CAF，连接CF∵GE与⊙O相切于C，∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB∵∠AFC=∠GCF+90°，∠ACE=∠ECB+90°∴∠AFC=∠ACE…∵∠FAC=∠CAE∴△FAC∽△CAE…∴∴AC2=AE•AF…点评：本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．解题时要注意充分利用互余的角和弦切角进行等量代换，方可得到相似三角形．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，直线C的参数方程为为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0．（1）求直线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；（2）设直线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式；参数方程化成普通方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）参数t得到曲线C的普通方程为x﹣y﹣1=0，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出P的直角坐标方程；（2）利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d和弦长l=即可得出．解答：解：（1）由曲线C的参数方程为为参数），消去参数t得到曲线C的普通方程为x﹣y﹣1=0；∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线P在极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，∴曲线P的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3=0．（2）曲线P可化为（x﹣2）2+y2=1，表示圆心在（2，0），半径r=1的圆，则圆心到直线C的距离为，故|AB|==．点评：本题考查直角坐标系与极坐标之间的互化，熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、点到直线的距离公式、弦长l=是解题的关键．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥+1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+⇔a+≤4，对a进行分类讨论可求a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|（x+1）﹣（x﹣4）|﹣1=5﹣1=4．所以函数f（x）的最小值为4．（2）对任意的实数x恒成立⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+对任意的实数x恒成立⇔a+≤4对任意实数x恒成立．当a＜0时，上式显然成立；当a＞0时，a+≥2=4，当且仅当a=即a=2时上式取等号，此时a+≤4成立．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪{2}．点评：本题考查绝对值函数、基本不等式以及恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题一般转化为函数最值问题解决．。

2015年南宁市高中毕业班第二次适应性测试理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分。

1．已知全集为R ，集合A ＝{x |x 2＋5x －6≥0}，B ＝{x |x ≤12或x ＞8}，则A ∩(∁R B )等于 (A )[6，8) (B )[3，8] (C )[3，8)(D )[1，8]2．设i 是虚数单位，¯z 是复数z 的共轭复数，若(1－i )¯z ＝2，则z 为(A )1＋i(B )1－i(C )2＋i(C )2－i3．(x －2x)5的展开式中，x 的系数为(A )40 (B )－40 (C )80 (D )－804．如图所示的程序框图，其输出结果是(A )341(B )1364(C )1365(D )13665．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线4x －3y ＋1＝0垂直，则双曲线的两条渐近线方程为 (A )y ＝±34x(B )y ＝±43x(C )y ＝±35x(D )y ＝±54x6．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y －1≥02x －y －1≥0x ＋y －m ≤0，若x －y 的最小值为－2，则实数m 的值为(A )0(B )2(C )4(D )87．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是(A )3(B )932(C )332(D )338．设抛物线C :y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形记为P ，则图形P 的面积S 等于(A )1(B )13(C )23(D )439．函数f (x )＝12(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R 是(A )最小正周期为π的奇函数(B )最小正周期为π2的奇函数(C )最小正周期为π的偶函数(D )最小正周期为π2的偶函数10．某高校要从6名短跑运动员中选出4人参加全省大学生运动会4×100m 接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为(A )415(B )215(C )421(D )1511．已知右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 (A )24π(B )6π(C )4π(D )2π12．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且sin2A ＋sin2B ＋sin2C ＝12，面积S∈[1，2]，则下列不等式一定成立的是 (A )(a ＋b )＞16 2(B )bc (b ＋c )＞8(C )6≤abc ≤12(D )12≤abc ≤24二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上） 13．已知向量→a 、→b 满足|→a |＝|→b |＝2且(→a ＋2→b )•(→a －→b )＝－2，则向量→a 与→b 的夹角为_____14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2， x ＞0－x 2＋bx ＋c ，x ≤0 ，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为_____________15．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1、S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积等且V 1V 2＝32，则S 1S 2的值是_______16．设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点，若ED＝6DF，则所k的值为_______EDA F三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤。

广西南宁市2009年高中毕业班第一次适应性测试数 学 试 题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题共60分）和第Ⅱ卷（非选择题共90分），考试时间120分钟，满分150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色签字笔 将自己的姓名、准考证号填写清楚。

请认真核对准考证号、姓名和科目。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P (A ·B )=P (A )·P (B ) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．已知全集)(},021|{},1|{,N M C x x x N x x M R U U ⋂≥-+=-≥==则集合 （ ） A ．}2|{<x xB ．}2|{≤x xC ．}21|{≤<-x xD ．}211|{≤<--<x x x 或2．对于两条直线a,b 和平面ααα////,,a b a b 是则若⊂的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．以曲线1323+-=x x y 上的点（1，-1）为切点的切线方程是 （ ）A ．43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y4．定义运算xx x f bc ad d c b a cos 21sin 2)(,-=-=则函数的最小正周期是 （ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π 5．满足z i i z 的复数-++=313111是（ ）A ．i +2B ．i 32+-C ．i 22+D ．i -2 6．函数),2[),1(log )(25+∞∈+=x x x f 的反函数是（ ）A ．)1(15)(≥+=x x g xB ．)0(15)(≥+=x x g xC ．)1(15)(≥-=x x g xD ．)0(15)(≥-=x x g x7．在=-n xx n则常数项为的展开式中,15,)1(2（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知b OB a OA ==,，C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段CB 上距C较近的一个三等分点，则用OD b a 表示,的表达式为 （ ）A ．)54(91+ B ．)79(161+ C ．)2(31+D ．)3(41+ 9．已知公差不为0的等差数列=-2431,,,,205}{a a a a a n 则成等比数列若项和为的前（ ）A ．-4B ．-6C ．-8D ．-1010．曲线0)(sin 1cos :=++⎩⎨⎧+-==a y x y x C 与直线为参数θθθ有公共点，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，2）B ．]21,0[+C ．]21,21[+-D ．]12,12[+-11．已知定义在R 上的函数)0,43()(-的图象关于点x f 对称，且满足)2009()3()2()1(,2)0(,1)1(),23()(f f f f f f x f x f ++++-==-+-= 则的值是（ ）A ．2B ．1C ．-1D ．-212．已知m m m 则实数若且,1sin ,1sin ,0]2,2[,2-=-=<+-∈βαβαππβα的取值范围是（ ）A ．),1()2,(+∞⋃--∞B ．（-2，1）C ．]2,1(D ．]2,1(第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项： 本卷共10小题，用黑碳素笔将答案答在答题卡上。

2015年南宁市高中毕业班第二次适应性测试数 学(理)参考答案 2015．31.Ｄ 2．B 3.A 4．A 5. Ａ 6．D 7．Ｃ 8 .D 9．Ｄ 10．C 11.B 12． B 提示：s A B C ++=s A B +-s A =+ cos 2sin 2A B -sin 2(1cos2)sin 2(1cos2)A B B A =-+-222sin 2sin 2sin 2sin A B B A =+ 4sin sin (cos sin cos sin )A B A B B A =+14sin sin sin 2A B C ==.即1sin sin sin 8A B C =，又11sin 2sin 2sin sin 22S ab C R A R B C ==⨯⨯⨯2212[1,2]84R R =⨯=∈,则248R ≤≤3()8sin sin sin b c b c b c bc abc R A B C a a +++=⨯=⨯＝33b c R R a+⨯>恒成立, ()8b c bc +> 13. 3π 14． 3 15． 94 16． 23k =或38k = 解析：依题设得椭圆的方程为2214x y +=，直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>．如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=．①由6ED DF =知 01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==； 由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k =+．所以212k =+， 化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． 17． 解：(Ⅰ) 设数列{}n a 的公比为q ，∵12a ，3a ，23a 成等差数列，∴123232a a a +=， ………………………1分(1分)2111232a a q a q +=， ………………………1分(2分)22320q q --=，解得2q =或12q =-． ………………………1分(3分)∵0, 2.q q >∴= ………………………1分(4分)∵12a =，∴数列{}n a 的通项公式11n n a a q -= ………………………1分(5分)2,.n n N =∈ ………………………1分(6分)(Ⅱ) ∵2(2)log (2)n n b n a n n =+=+ ………………………1分(7分) ∴11(2)n b n n =+111(),22n n =-+ …………………………2分(9分)1211111.....n n nT b b b b -=++++ 111111111111[(1)()().....()()()]2324352112n n n n n n =-+-+-++-+-+---++………………1分(10分)1111(1)2212n n =+--++ …………………1分(11分)232342(32)n n n +=-++. ………………………………………1分(12分)18． 解：（Ⅰ）设样本总数为n,∵ 由频率分布直方图可知：次数在[100,110)间的频率为0.014×10=0.14， ………………………1分(1分)∴ 70.14n=，解得n=50人. …………………１分(２分) （Ⅱ）记抽中不达标学生的事件为C ，抽中达标学生的事件为B ，抽中优秀学生的事件为A ．P(C)=0.006×10+0.014×10=0.2；……………………１分(３分)P(B)=0.028×10+0.022×10=0.50；……………………１分(４分)P(A)=1-P(B)-P(C)=0.30． ………………………１分(５分)（Ⅲ）∵在高一年级中随机抽取2名学生的成绩和X=10，15，20，25，30………………………………1分(6分)∴P(X=10)=0.2×0.2=0.04； P(X=15)=2×0.2×0.5=0.2； P(X=20)=0.52+2×0.2×0.3=0.37；P(X=25)=2×0.3×0.5=0.3； P(X=30)=0.32=0.09．［对一个给１分，但不超过４分］………４分(10分)∵E(X)=0.04×10+0.2×15+0.37×20+0.3×25+0.09×30 ………………………1分(11分) ∴E(X)=21 ． ……………………1分(12分)19． 解：(Ⅰ)取F 为线段BP 中点，取PC 的中点为O ，连FO ,DO ，…………………２分(２分)∵,F O 分别为BP ，PC 的中点,∴FO ∥12BC ．∵ABCD 为平行四边形,ED ∥BC ，且12DE BC =, ∴FO ∥ED 且ED ＝FO ，∴四边形EFOD 是平行四边形． ………………………１分(３分)∴EF ∥DO ．………………………１分(４分)∵EF ⊄平面PDC ，∴EF ∥平面PDC ． ……………………１分(５分) (Ⅱ)以DC 为x 轴，过D 点做DC 的垂线为y 轴，DA 为z 轴建立空间直角坐标系……………１分(６分)∵(0,0,0),(2,0,0),(2,0,3)D CB ,(P -(0,0,3),A……………………１分(７分)∵设(,,)F x y z (2,,3)BF x y z =--14(1),33BP ==--2(2)3F ∴．……………１分(8分)2(1)3AF =-．设平面PBC 的法向量1(,,)n a b c =， 则110,0,n CB n PC ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩30,430,z x =⎧⎪⎨-=⎪⎩， ………………………１分(9分) 令1,y =可得13(,1,0).n =………………………1分(10分)111cos ,||||AF n AF n AF n ∙=⨯ (1)分(11分)=, ∴直线AF 与平面PBC . ………………………１分(12分)20． 解：（Ⅰ）解法一：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，把2y k x =+代入22y x =得2220x kx --=， 得122k x x +=． ………………………１分(１分) ∵1224N M x x k x x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ………………………１分(２分)∵'4,y x = ∴'4|k x y k ==， ………………………１分(３分) 即抛物线在点N 处的切线的斜率为k ． ………………………１分(４分)∵直线l :2y kx =+的的斜率为k ，∴l AB ∥． ……………………１分(５分)解法二：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=，得122k x x +=． ………………………１分(１分) ∵1224N M x x k x x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ………………………１分(２分)设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=， ………………………１分(３分)直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，………１分(４分)m k ∴=，即l AB ∥．］ ………………………１分(５分)（Ⅱ）假设存在实数k ，存在实数k 使AB 为直径的圆M 经过点N ． M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． ………………………１分(６分)由（Ⅰ）知 121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++ 22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ………………………１分(７分)MN ⊥x 轴， 22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=． ………………………１分(８分)∵||AB = ………………………１分(９分)== ………………………１分(10分)2168k +=2k =±， 使存在实数2k =±使AB 为直径的圆M 经过点N ． ………………………2分(12分)21.解： (Ⅰ)'2()2(1)1f x x x =+-+. ………………………1分(1分)∵当x ≥0时，1x +≥11x +，∴'2()2(1)2f x x x =+-+在[0,e 1]-上有'()f x ≥0， 2()(1)2ln(1)f x x x =+-+在[0,e 1]-上单调递增，………………………………………………………1分(2分)max ()|(e 1)f x f =-2e 2=-． ………………………………………1分(3分)∵关于x 的不等式()f x m -≥0在[0,e 1]-(e 是自然对数底数)上有实数解，∴max ()|f x ≥m ，即m ≤2e 2-． ……………………………………1分(4分)(Ⅱ)∵2()()122ln(1),g x f x x x x =--=-+∴'1()2(1)1g x x =-+． ……………………１分(５分) ∵'1()2(1)1g x x =-+在(1,0)-上'()0,g x <在(0,)+∞上'()0g x >， ………………………１分(６分) min ()|(0)0g x g ==． …………………………………………………………………….. 1分(７分)∵x 的方程()g x p =至少有一个解，∴p ≥0, p 最小值为0． …………………………1分(８分)（Ⅲ）证明：∵由(Ⅱ)可知0)(≥x g 在),1(+∞-上恒成立，∴x x ≤+)1ln(，当且仅当0=x 时等号成立． …………………………………1分(9分) ∵令n x 1=，*N n ∈，)1,0(∈x ，有11ln(1)n n +<，即nn n 1ln )1ln(<-+，………………２分(10分)∴取,...3,2,1=n ，所得不等式相加得)(1...31211)1ln(*N n nn ∈++++<+．………………………. 1分(12分)22． 解：(Ⅰ)∵CD 为半圆O 的切线，AD ⊥CD ，∴OC ∥AE ，∠EAC =∠ACO ． ……………………２分(２分)∵OC OA =，∴∠ACO =∠OAC ． ………………………２分(４分)即AC 平分∠BAD ． ………………………１分(５分)(Ⅱ)∵,,,A B C E 共圆，∴∠ABC =∠CED ．………………………１分(６分)∵CD 为半圆O 的切线，∴∠BAC =∠ECD ．………………………１分(７分)∵ABC ∆～CDE ∆, ………………………１分(８分)∴ BC AB DE BC=． ……………………………………………………………………………1分(９分) ∵BC EC =,4AB =,1DE =，∴2BC =．……………………………………1分(10分)23． 解：(Ⅰ)∵椭圆2cos ,:,x C y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩的普通方程为22143x y +=，………………1分(1分) ∴(1,0)F -． ………………………1分(2分) ∵直线cos ,:sin ,x m t l y t αα=+⎧⎨=⎩的普通方程为tan ()y x m α=-， ………………………1分(3分).∵,k k Z απ≠∈, ∴tan 0.α≠ ………………………1分(4分)∵0tan (1),m α=--∴1m =-． ………………………1分(5分)(Ⅱ) 将直线的参数方程1cos ,sin ,x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入椭圆C 的普通方程22143x y +=，并整理， 得222(3cos 4sin )6cos 90t t ααα+--=. ………………………1分(6分)设点,A B 在直线参数方程中对应的参数分别为12,t t ………………………1分(7分)则||||FA FB ⨯=12||t t ……………………………………………………1分(8分) ＝2293cos 4sin αα=+293sin α+ ........................................................... 1分(9分) 当sin 1α=±时||||FA FB ⨯最小值为94． ……………………………………………….. 1分(10分) 24． 解：(Ⅰ)∵||x a -≤m ，∴m a -+≤x ≤m a +． ………………………1分(1分) ∵1m a -+=-，5m a +=， ………………………1分(2分) ∴2,3a m ==． ………………………………………………………………………………2分(4分) (Ⅱ)()f x t +≥(2)f x +化为|2|||x t x -+≥． …………………………….. 1分(5分)当(,0)x ∈-∞时，2x t x -+≥-，20,t +≥∵01,2t ≤≤∴(,0)x ∈-∞；………… 1分(6分) 当[0,2)x ∈时，2x t x -+≥，12t x ≤+，012t x ≤≤+， ∵112,2t ≤+≤∴012t x ≤≤+； …………………………………………………1分(7分) 当[2,),x ∈+∞时，2,x t x -+≥2t ≥，∵当0≤t ＜2时，∴x ∈Φ；当t =2时[2,),x ∈+∞……1分(8分)∴若0≤t ＜2时原不等式的解集为⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-12,t ；当t =2时[2,),x ∈+∞……………………２分(10分)。

广西百所示范性中学联考2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是答合题目要求的．）1．复数等于( )A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i2．已知全集U=R，N={x|x（x+3）＜0}，M={x|x＜﹣1}则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{x|﹣3＜x＜0} C．{x|﹣1≤x＜0} D．{x＜﹣3}3．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4 4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A．f（x）=x2+1 B．f（x）=cosx C．f（x）=e x D．f（x）=5．已知直线l1：3x+4y﹣2=0，l2：mx+2y+1+2m=0，当l1∥l2时，两条直线的距离是( ) A．B．1 C．2 D．6．数列{a n}中，a1=3，a2=7，当n≥1时，a n+2等于a n a n+1的个位数，则该数列的第2015项是( )A．1 B．3 C．7 D．97．已知向量，且，若变量x，y满足约束条件则z的最大值为( )A．1 B．2 C．3 D．48．将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )A．B．x=C．x=D．x=﹣9．如图，F1，F2是双曲线C1：x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是( )A．B．C．D．10．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为( )A．12+πB．6+πC．12+2πD．6+4π11．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）12．设O是△ABC的三边中垂线的交点，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b2﹣2b+c2=0，则•的范围是( )A．[0，+∞）B．[0，2）C．[﹣，+∞）D．[﹣，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若将一个圆锥的侧面沿着一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为__________．14．的展开式中，常数项为15，则n=__________．15．正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是__________．16．设函数f（x）=，若{a n}是公比大于0的等比数列，且a3a4a5=1，若f（a1）+f（a2）+…+f（a6）=2a1，则a1=__________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c，且满足=．（1）求∠A的大小；（2）若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求平面四边形OACB 面积的最大值．18．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10）严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．（1）在这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？（2）从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X 的分布列及期望．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG．（Ⅰ）确定点G的位置；（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小．20．已知点H（﹣3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过定点D（m，0）（m＞0）作直线l交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，试问∠AED=∠BED吗？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，证明：（）n+（）n+…+（）n+（）n＜（n∈N*）四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．）【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的直径，BE为⊙O的切线，点C为⊙O上不同于A，B的一点，AD 为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与⊙O交于D，与BE交于E，连接BD，CD．（1）求证：BD平分∠CBE；（2）求证：AH•BH=AE•HC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为，（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣2|x﹣1|．（1）当m=3时，求f（x）的最大值；（2）解关于x的不等式f（x）≥0．广西百所示范性中学联考2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是答合题目要求的．）1．复数等于( )A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：先在分式的分、分母上同时乘以分母的共扼复数1﹣i，然后再进行化简可求．解答：解：==1+i故选D点评：本题主要考查了复数的乘除运算的综合，属于基础试题．2．已知全集U=R，N={x|x（x+3）＜0}，M={x|x＜﹣1}则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{x|﹣3＜x＜0} C．{x|﹣1≤x＜0} D．{x＜﹣3}考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：首先化简集合N，然后由Venn图可知阴影部分表示N∩（C U M），即可得出答案．解答：解：N={x|x（x+3）＜0}={x|﹣3＜x＜0}由图象知，图中阴影部分所表示的集合是N∩（C U M），又M={x|x＜﹣1}，∴C U M={x|x≥﹣1}∴N∩（C U M）=[﹣1，0）故选：C．点评：本题考查venn表示的集合的运算，一般采用数形结合的方法解决问题，属于基础题．3．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．解答：解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A．点评：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A．f（x）=x2+1 B．f（x）=cosx C．f（x）=e x D．f（x）=考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．解答：解：A：f（x）=x2+1不是奇函数，故不满足条件①f（x）+f（﹣x）=0B：f（x）=cosx符合输出的条件．C：f（x）=e x，不是奇函数，故不满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，D：f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②故选：B．点评：根据程序框图的流程能够判断出框图的功能，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型．5．已知直线l1：3x+4y﹣2=0，l2：mx+2y+1+2m=0，当l1∥l2时，两条直线的距离是( ) A．B．1 C．2 D．考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：利用平行线的斜率之间的关系可得m，再利用平行线之间的距离公式即可得出．解答：解：∵l1∥l2时，，解得m=，∴直线l2的方程为：3x+4y+8=0，∴d===2，故选：C．点评：本题考查了平行线的斜率之间的关系、平行线之间的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．6．数列{a n}中，a1=3，a2=7，当n≥1时，a n+2等于a n a n+1的个位数，则该数列的第2015项是( )A．1 B．3 C．7 D．9考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件，利用递推公式依次求出数列的前8项，从而得到数列{a n}循环周期为6，由此能求出该数列的第2015项．解答：解：∵数列{a n}中，a1=3，a2=7，当n≥1时，a n+2等于a n a n+1的个位数，∴由题意得a1=3，a2=7，a3=1，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，∴数列{a n}循环周期为6，∵2015÷6=335…5，∴a2015=a5=7．故选：C．点评：本题考查数列的该数列的第2015项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．7．已知向量，且，若变量x，y满足约束条件则z的最大值为( )A．1 B．2 C．3 D．4考点：简单线性规划；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：画出不等式组表示的平面区域；将目标函数变形，画出其相应的图象；结合图，得到直线平移至（1，1）时，纵截距最大，z最大，求出z的最大值．解答：解：由，可得∴z=2x+y将目标函数变形为y=﹣2x+z，作出其对应的直线L：y=﹣2x，当其平移至B（1，1）时，直线的纵截距最大，此时z最大z的最大值为3故选C点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．8．将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )A．B．x=C．x=D．x=﹣考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为y=sin（8x ﹣），利用正弦函数的对称性即可求得答案．解答：解：将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）=sin（2x﹣），再将g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+﹣）=sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z），得：x=+，k∈Z．∴当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得变换后的函数的解析式是关键，考查正弦函数的对称性的应用，属于中档题．9．如图，F1，F2是双曲线C1：x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义，可求出|F2A|=2，|F1F2|=4，进而有|F1A|+|F2A|=6，由此可求C2的离心率．解答：解：由题意知，|F1F2|=|F1A|=4，∵|F1A|﹣|F2A|=2，∴|F2A|=2，∴|F1A|+|F2A|=6，∵|F1F2|=4，∴C2的离心率是=．故选B．点评：本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键．10．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为( )A．12+πB．6+πC．12+2πD．6+4π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据俯视图是中心角为60°的扇形，知几何体是圆柱体，由正视图知母线长为3，底面半径为2，求出底面弧长，代入侧面积公式计算．解答：解：由三视图知几何体是圆柱体，且母线长为3，底面半径为2，∴弧长为×2=，∴几何体的侧面积S=（+2×2）×3=12+2π．故选：C．点评：本题考查了由三视图求几何体的侧面积，关键是判断三视图的数据所对应的几何量．11．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．12．设O是△ABC的三边中垂线的交点，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b2﹣2b+c2=0，则•的范围是( )A．[0，+∞）B．[0，2）C．[﹣，+∞）D．[﹣，2）考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件知O是△ABC外接圆的圆心，可画出△ABC及其外接圆，连接AO并延长，交外接圆于D．所以便得到，，所以=b2﹣b=，而根据c2=2b﹣b2可求得b的范围0＜b＜2，所以求出二次函数在（0，2）上的范围即可．解答：解：O是△ABC的三边中垂线的交点，故O是三角形外接圆的圆心，如图所示，连接AO并延长交外接圆于D，AD是⊙O的直径，并连接BD，CD；则∠ABD=∠ACD=90°，cos∠BAD=，cos∠CAD=；∴===；∵c2=2b﹣b2＞0；∴0＜b＜2；设f（b）=；∴b=时，f（b）取最小值，又f（2）=2；∴；∴的范围是[）．故选：D．点评：考查三角形垂心的概念，圆的直径所对的圆周角为90°，用直角三角形的边表示余弦值，以及二次函数值域的求法．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若将一个圆锥的侧面沿着一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：半径为2的半圆的弧长是2π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是2π，利用弧长公式计算底面半径后利用勾股定理求圆锥的高即可求解圆锥的体积．解答：解：一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，圆的弧长为：2π，即圆锥的底面周长为：2π，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=2π，解得：r=1，这个圆锥的底面半径是1，∴圆锥的高为=．∴圆锥的体积为：πr2h=．故答案为：．点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．14．的展开式中，常数项为15，则n=6．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：首先分析题目已知的展开式中，常数项为15，求n的值．显然想到应用二项式定理列出式子的第k+1项，然后使含x的部分为1，系数为15，解出n和k即可得到答案．解答：解：由二项式定理（a+b）n=C n0a n+C n1a（n﹣1）b+C n2a（n﹣2）b2+…+C n n b n容易得到的展开式中，第k+1项为常数项为15则必有：，解得故答案为6．点评：此题主要考查二项式定理的应用问题，列出式子的展开式中的一般项求解是题目的关键，题目计算量小，属于基础题目．15．正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．解答：解：∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积S=2=2=2[（1﹣）﹣（﹣1+）]=2×=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．故答案为：．点评：本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．16．设函数f（x）=，若{a n}是公比大于0的等比数列，且a3a4a5=1，若f （a1）+f（a2）+…+f（a6）=2a1，则a1=e2．考点：分段函数的应用；等比数列的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由题意可得f（x）+f（）=0；故f（a2）+…+f（a6）=f（a2）+f（a6）+f（a3）+f（a5）+f（a4）=0，从而化f（a1）+f（a2）+…+f（a6）=f（a1）=2a1，从而解得．解答：解：若x＞1，则0＜＜1；则f（x）=xlnx，f（）==﹣xlnx；故f（x）+f（）=0；又∵{a n}是公比大于0的等比数列，且a3a4a5=1，∴a4=1；故a6a2=a3a5=a4=1；故f（a2）+…+f（a6）=f（a2）+f（a6）+f（a3）+f（a5）+f（a4）=0+0+0=0；故f（a1）+f（a2）+…+f（a6）=f（a1）=2a1，若a1＞1，则a1lna1=2a1，则a1=e2；若0＜a1＜1，则＜0，故无解；故答案为：e2．点评：本题考查了等比数列的定义及分段函数的应用，属于中档题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c，且满足=．（1）求∠A的大小；（2）若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求平面四边形OACB 面积的最大值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由=，化为sinBcosA=sinA﹣sinAcosB，即sinC=sinA，又b=c，可得△ABC是等边三角形，即可得出A．（2）设该三角形的边长为a，则S OACB=，利用余弦定理、两角和差的正弦公式及其单调性即可得出．解答：解：（1）由=，化为sinBcosA=sinA﹣sinAcosB，∴sin（A+B）=sinA，∴sinC=sinA，A，C∈（0，π）．∴C=A，又b=c，∴△ABC是等边三角形，∴．（2）设该三角形的边长为a，a2=12+22﹣2×2×cosθ．则S OACB==sinθ+=+，当时，S OACB取得最大值．点评：本题考查了两角和差的正弦公式及其单调性、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10）严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．（1）在这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？（2）从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X 的分布列及期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图可知底×高=频率，频率×20为路段个数；（2）由题意知X为0，1，2，3，求出相应的概率，由此求出X的分布列及期望．解答：解：（1）由直方图得：轻度拥堵的路段个数是（0.1+0.2）×1×20=6个，中度拥堵的路段个数是（0.25+0.2）×1×20=9个．（2）X的可能取值为0，1，2，3.，，，，∴X的分布列为X 0 1 2 3P∴．点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查超几何分布，考查离散型随机变量的分布列的求法及数学期望，是中档题．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG．（Ⅰ）确定点G的位置；（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；综合题．分析：解法一：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，利用向量数量积为零即可求得结果；（Ⅱ）求出平面EFG的法向量的一个法向量，利用直线的方向向量与法向量的夹角与直线与平面所成角之间的关系即可求得结果；解法二：（Ⅰ）取AC的中点D，连接DE、DG，则ED∥BC，利用线面垂直的判定和性质定理即可求得结果；（Ⅱ）取CC1的中点M，连接GM、FM，则EF∥GM，找出直线与平面所成的角，解三角形即可求得结果．解答：解法一：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），设G（0，2，h），则．∵AC1⊥EG，∴．∴﹣1×0+1×（﹣2）+2h=0．∴h=1，即G是AA1的中点．（Ⅱ）设是平面EFG的法向量，则．所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）∵，∴，即AC1与平面EFG所成角θ为解法二：（Ⅰ）取AC的中点D，连接DE、DG，则ED∥BC∵BC⊥AC，∴ED⊥AC．又CC1⊥平面ABC，而ED⊂平面ABC，∴CC1⊥ED．∵CC1∩AC=C，∴ED⊥平面A1ACC1．又∵AC1⊥EG，∴AC1⊥DG．连接A1C，∵AC1⊥A1C，∴A1C∥DG．∵D是AC的中点，∴G是AA1的中点．（Ⅱ）取CC1的中点M，连接GM、FM，则EF∥GM，∴E、F、M、G共面．作C1H⊥FM，交FM的延长线于H，∵AC⊥平面BB1C1C，C1H⊂平面BB1C1C，∴AC⊥G1H，又AC∥GM，∴GM⊥C1H．∵GM∩FM=M，∴C1H⊥平面EFG，设AC1与MG相交于N点，所以∠C1NH为直线AC1与平面EFG所成角θ．因为，∴，∴．点评：本小题主要考查直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定和直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．属中档题．20．已知点H（﹣3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过定点D（m，0）（m＞0）作直线l交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，试问∠AED=∠BED吗？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．考点：平面向量的综合题．分析：（1）设M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0）则可得，，由代入整理可求点M的轨迹C；（2）根据直线的倾斜角与斜率的关系，可证K AE=﹣K BE即可；分两种情况讨论：（1）当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有∠AED=∠BED；（2）当直线l与x轴不垂直时，利用直线的斜率进行转换可得∠AED=∠BED解答：解：（1）设M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0）（x'＞0），∵，．∴且（3，y'）•（x，y﹣y'）=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴．∴y2=4x（x＞0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）﹣（2）①当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有∠AED=∠BED；﹣②当直线l与x轴不垂直时，依题意，可设直线l的方程为y=k（x﹣m）（k≠0，m＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点的坐标满足方程组消去x并整理，得ky2﹣4y﹣4km=0，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设直线AE和BE的斜率分别为k1、k2，则：k1+k2=====．﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴tan∠AED+tan（180°﹣∠BED）=0，∴tan∠AED=tan∠BED，∵，∴∠AED=∠BED．综合①、②可知∠AED=∠BED．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题以向量得数量积的坐标表示为载体，考查了圆锥曲线得求解及直线与圆、圆锥曲线的位置关系得求解．属于综合试题．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，证明：（）n+（）n+…+（）n+（）n＜（n∈N*）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；证明题；导数的综合应用．分析：（1）f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）min≥0．构造函数g（a）=a ﹣alna﹣1，所以g（a）≥0，确定函数的单调性，即可求得实数a的值；（2）由（1）知，当x＞0时，e x＞x+1，即e x＞x，则1＞ln2，，＞ln（1），…，＞ln（1），累加再由对数的运算法则，即可得证．解答：（1）解：f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）min≥0．由题意a＞0，f′（x）=e x﹣a，由f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna．当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．则f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．设g（a）=a﹣alna﹣1，所以g（a）≥0．由g′（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna=0得a=1．则g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．因此g（a）≥0的解为a=1，故a=1；（2）证明：由（1）可知：当x＞0时，e x＞x+1，即e x＞x，即有e nx＞x n．则（）n＜e，（）n＜e2，（）n＜e3，…，（）n＜e n，则（）n+（）n+…+（）n+（）n＜e+e2+e3+…+e n=＜故（）n+（）n+…+（）n+（）n＜成立．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，同时考查不等式的证明，解题的关键是正确求导数，确定函数的单调性．四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．）【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的直径，BE为⊙O的切线，点C为⊙O上不同于A，B的一点，AD 为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与⊙O交于D，与BE交于E，连接BD，CD．（1）求证：BD平分∠CBE；（2）求证：AH•BH=AE•HC．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：（1）由AD为∠BAC的平分线得=，得出∠DBC=∠BCD，再由弦切角定理得到∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC；（2）证明△ABE∽△ACH，得出AH•BE=AE•HC即可．解答：证明：（1）∵AD为∠BAC的平分线，即∠DAB=∠DAC，∴=，可得∠DBC=∠BCD，又∵BE与圆O相切于点B，∴∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC，∴BD平分∠CBE；（2）由（1）可知BE=BH，所以AH•BH=AH•BE因为∠DAB=∠DAC，∠ACB=∠ABE，所以△ABE∽△ACH，所以，即AH•BE=AE•HC，即：AH•BH=AE•HC．点评：本题给出圆的直径与切线，考查圆的几何性质，弦切角定理，三角形相似，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为，（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值．考点：参数方程化成普通方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（I）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C的极坐标方程ρ=4cosθ化为普通方程；（II）据点到直线的距离公式即可求出答案．解答：解：（Ⅰ）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，…结合极坐标与直角坐标的互化公式得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4 …（Ⅱ）由直线l的参数方程为，化为普通方程，得x﹣y﹣a=0．结合圆C与直线l相切，得=2，解得a=﹣2或6．…点评：本题考查极坐标方程化为普通方程、直线与圆相切，理解极坐标方程与普通方程的互化公式和点到直线的距离公式是解决问题的关键．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣2|x﹣1|．（1）当m=3时，求f（x）的最大值；（2）解关于x的不等式f（x）≥0．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）当m=3时，函数f（x）=|x﹣3|﹣2|x﹣1|=，再根据函数的单调性求得函数f（x）的最大值．（2）关于x的不等式即（x﹣m）2≥4（x﹣1）2，化简可得3x2+（2m﹣8）x+4﹣m2≤0．计算△=16（m﹣1）2≥0，由此求得一元二次不等式的解集．解答：解：（1）当m=3时，函数f（x）=|x﹣3|﹣2|x﹣1|=，故当x=1时，函数f（x）取得最大值为2．（2）关于x的不等式f（x）≥0，即|x﹣m|≥2|x﹣1|，即（x﹣m）2≥4（x﹣1）2，化简可得3x2+（2m﹣8）x+4﹣m2≤0．由于△=16（m﹣1）2≥0，求得≤x≤．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．。

广西百所示范性中学2015届高三第一次大联考2015届百所示范性中学高三年级第一次大联考理数试题部分评分细则一、选择题1．D 【解析】2i1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i （1－i ）2＝i(1－i)＝1＋i.2．C 【解析】解得N ＝{x |－3<x <0}，M ＝{x |x <－1}，由图中阴影部分可知，表示的是∁U M ∩N ＝{x |－1≤x <0}．3．A 【解析】由x 与y 正相关可排除C ，又回归方程过点(x －，y －)，将x －＝3，y －＝3.5代入方程验算可知A 正确．4．B 【解析】由题可知能输出的函数是偶函数且存在零点，所以只有f ()x ＝cos x 正确，f (x )＝x 2＋1是偶函数但不存在零点，所以A 不正确，f ()x ＝e x 不是偶函数也不存在零点，所以C 不正确，f ()x ＝1x不是偶函数也不存在零点，所以D 不正确，综合可知只有B 正确．5．C 【解析】l 1∥l 2时，m ＝32，l 2：3x ＋4y ＋8＝0，d ＝|8＋2|32＋42＝105＝2，选C.6．C 【解析】由题意得a 1＝3，a 2＝7，a 3＝1，a 4＝7，a 5＝7，a 6＝9，a 7＝3，a 8＝7，其循环周期为6，则2 015÷6＝335…5，所以a 2 015＝a 5＝7.7．B 【解析】因为a ⊥b ，所以2()x －z ＋y ＋z ＝0，∴z ＝2x ＋y ，由可行域可知函数在()1，1点有最大值3.8. A 【解析】y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6――→向左平移π4个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称轴为2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，令k ＝0，x ＝π12为函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的一条对称轴．9．C 【解析】由双曲线C 1：x 2－y 23＝1，可得a 1＝1，b 1＝3，c ＝2.设椭圆C 2的方程为x 2a 2＋y2b2＝1，(a >b >0)．则||F 1A －||F 2A ＝2a 1＝2，||F 1A ＋||F 2A ＝2a ，∴2||F 1A ＝2a ＋2，∵||F 1F 2＝||F 1A ＝2c ＝4，∴2×4＝2a ＋2，a ＝3.则C 2的离心率＝c a ＝23.10．C 【解析】由三视图可知该几何体的底面形状为60°中心角为的扇形，其高为3，所以侧面积为2×3×2＋2π×26×3＝12＋2π.11．A 【解析】因为e x f (x )>e x ＋3⇔e x f ()x －e x －3>0，设h ()x ＝e x f ()x －e x －3，则h ′()x ＝e xf ()x ＋e x f ′()x －e x ＝e x []f ()x ＋f ′()x －1>0，所以h ()x 为增函数，又因为h ()0＝0，所以h ()x >0的解集为x>0.12．D 【解析】设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，故O 是三角形外接圆的圆心，如图所示，延长AO 交外接圆于D ，AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝∠ABD ＝90°，cos ∠CAD ＝ACAD，cos ∠BAD ＝AB AD ，∴AO →·BC →＝12AD →·()AC →－AB →＝12AD →·AC →－12AD →·AB →＝12||AC →2－12||AB →2＝ 12b 2－12c 2＝12b 2－12()2b －b 2＝b 2－b ＝⎝⎛⎫b －122－14，∵c 2＝2b －b 2>0，∴0<b <2.令f ()b ＝⎝⎛⎭⎫b －122－14，所以当b ＝12时，有最小值－14.∵f ()0＝0，f ()2＝2，所以－14≤f ()b <2，所以BC →·AO →的范围是⎣⎡⎭⎫－14，2. 二、填空题13.3π3【解析】由题意得：l ＝2，2πr ＝π×2，r ＝1，h ＝l 2－r 2＝3，所以圆锥的体积为V＝13h πr 2＝3π3. 14．6【解析】设第T r ＋1项为常数项，则T r ＋1＝()－1rC r n x 2n －3r，∴2n －3r ＝0，∴C r n ＝15， ∵C 46＝C 26＝15，∴n ＝6，r ＝4. 15.23【解析】因为y ＝x 2，所以在第一象限有x ＝y ，则在第一象限的阴影部分的面积为⎠⎛01ydy ＝⎪⎪23y 3210＝23，所以概率为23×42×2＝23，故答案为23.16．e 2【解析】设数列{a n }的公比q ，则q >0，因为a 3a 4a 5＝a 34＝1，所以a 4＝1，①当q >1时，则0<a 1<a 2<a 3<a 4＝1<a 5<a 6，∴f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 6)＝ln a 1a 1＝2a 1，∵ln a 1<0，所以等式不成立；②当q ＝1时，则a 1＝a 2＝…a 6＝1，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 6)＝0≠2a 1；③当0<q <1时，则a 1>a 2>a 3>a 4＝1>a 5>a 6>0，∴f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 6)＝a 1ln a 1＝2a 1，∴a 1＝e 2.17题评分细则（共12分）【解析】(1)由sin B sin A ＝1－cos Bcos A 得sin B cos A ＝sin A －sin A cos B ，(2分)所以sin ()B ＋A ＝sin A ，sin ()π－C ＝sin A ，C ＝A ，(4分) 因此△ABC 为正三角形． ∴∠A ＝π3.(6分)(2)设该三角形的边长为a ，则S OABC ＝12×1×2sin θ＋34a 2(8分)＝sin θ＋34()12＋22－2×2cos θ(10分) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋534.(11分)显然当θ＝5π6时()S OABC max＝8＋534.(12分)18题评分细则（共12分)【解析】(1)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是()0.1＋0.2×1×20＝6个，(2分) 中度拥堵的路段个数是()0.25＋0.2×1×20＝9.(4分) (2) X 的可能取值为0，1，2，3.(5分)P ()X ＝0＝C 311·C 09C 320＝1176，P ()X ＝1＝C 211·C 19C 320＝3376，P ()X ＝2＝C 111·C 29C 320＝3395，P ()X ＝3＝C 011·C 39C 320＝795.(9分)（每算对一个给1分） 所以X 的分布列为(10分)E ()X ＝0×1176＋1×3376＋2×3395＋3×795＝513380.(12分)19题评分细则（共12分)【解析】解法一：(1)以C 为原点，分别以CB 、CA 、CC 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，(1分)则F (1，0，0)，E (1，1，0)，A (0，2，0)，C 1(0，0，2)， AC 1→＝(0，－2，2)．(2分)设G (0，2，h )，则EG →＝(－1，1，h )．∵AC 1⊥EG ，∴EG →·AC 1→＝0. (4分)∴－1×0＋1×(－2)＋2h ＝0.∴h ＝1，即G 是AA 1的中点．(5分)(2)设m ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的法向量，则m ⊥FE →，m ⊥EG →.(6分)所以⎩⎪⎨⎪⎧0×x ＋1×y ＋0×z ＝0，－x ＋y ＋z ＝0.令x ＝1，则平面EFG 的一个法向量为m ＝(1，0，1)．(8分)∵sin θ＝|m ·AC 1→||m |·|AC 1→|＝22×22＝12，(10分)∴θ＝π6， 即AC 1与平面EFG 所成角θ为π6.(12分)解法二：(1)取AC 的中点D ，连结DE 、DG ，则ED ∥BC ，(1分) ∵BC ⊥AC ，∴ED ⊥AC .又CC 1⊥平面ABC ，而ED ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥ED . ∵CC 1∩AC ＝C ，∴ED ⊥平面A 1ACC 1.(3分) 又∵AC 1⊥EG ，∴AC 1⊥DG .(4分) 连结A 1C ，∵AC 1⊥A 1C ，∴A 1C ∥DG . ∵D 是AC 的中点，∴G 是AA 1的中点. (5分)(2)取CC 1的中点M ，连结GM 、FM ，则EF ∥GM,∴E 、F 、M 、G 共面．作C 1H ⊥FM ，交FM 的延长线于H ，∵AC ⊥平面BB 1C 1C ，C 1H ⊂平面BB 1C 1C ，∴AC ⊥C 1H ，(8分)又AC ∥GM ，∴GM ⊥C 1H . ∵GM ∩FM ＝M ，∴C 1H ⊥平面EFG ，设AC 1与MG 相交于N 点，所以∠C 1NH 为直线AC 1与平面EFG 所成角θ. (10分)因为C 1H ＝22，C 1N ＝2，∴sin θ＝222＝12，∴θ＝π6. (12分)20题评分细则（共12分)【解析】(1)设M ()x ，y ，P ()0，y ′，Q ()x ′，0，∵PM →＝－32MQ →，HP →·PM →＝0. (1分)∴()x ，y －y ′＝－32()x ′－x ，－y ，()3，y ′·()x ，y －y ′＝0，(2分)∴x ′＝13x ，y ′＝－12y ，3x ＋yy ′－y ′2＝0，∴y 2＝4x ()x >0，(4分)所以动点M 的轨迹C 是以()0，0为顶点，以()1，0为焦点的抛物线(除去原点). (5分) (2)①当直线l 与x 轴垂直时，根据抛物线的对称性，有∠AED ＝∠BED ；(6分) ②当l 与x 轴不垂直时，依题意可设直线l 的方程为y ＝k ()x －m()k≠0，m >0，设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则A 、B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ()x －m y 2＝4x ()x >0，(7分)消去x 并整理得ky 2－4y －4km ＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4m . (8分)设直线AE 和BE 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2＝y 1x 1＋m ＋y 2x 2＋m ＝14y 1y 22＋14y 2y 21＋m ()y 1＋y 2()x 1＋m ()x 2＋m＝14y 1y 2()y 1＋y 2＋m ()y 1＋y 2()x 1＋m ()x 2＋m ＝14()－4m ⎝⎛⎭⎫4k ＋4m k ()x 1＋m ()x 2＋m ＝0，(10分) ∴tan ∠AED ＋tan ()180°－∠BED ＝0，∴tan ∠AED ＝tan ∠BED .∵0<∠AED <π2，0<∠BED <π2，∴∠AED ＝∠BED . (11分) 综合①②可知∠AED ＝∠BED .(12分)21题评分细则（共12分)【解析】(1)由题意a >0，f ′(x )＝e x －a ，由f ′(x )＝e x －a ＝0得x ＝ln a . (1分)当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )在(－∞，ln a )单调递减，在(ln a ，＋∞)单调递增．(2分)即f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且为最小值，其最小值为f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝a －a ln a －1.(3分)f (x )≥0对任意的x ∈R 恒成立，即在x ∈R 上，f (x )min ≥0. (4分)设g (a )＝a －a ln a －1，所以g (a )≥0.由g ′(a )＝1－ln a －1＝－ln a ＝0得a ＝1. (5分)易知g (a )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，∴g (a )在a ＝1处取得最大值，而g (1)＝0.因此g (a )≥0的解为a ＝1，∴a ＝1.(6分)(2)由(1)知，对任意实数x 均有e x －x －1≥0，即1＋x ≤e x . (7分)令x ＝－k n (n ∈N *，k ＝0，1，2，3，…，n －1)，则0<1－k n ≤e －k n.(8分) ∴⎝⎛⎭⎫1－k n n ≤⎝⎛⎭⎫e －k n n ＝e －k . (9分)∴⎝⎛⎭⎫1n n ＋⎝⎛⎭⎫2n n ＋…＋⎝ ⎛⎪⎫n －1n n ＋⎝⎛⎭⎫n n n≤e －(n －1)＋e －(n －2)＋…＋e －2＋e －1＋1＝1－e －n1－e －1<11－e －1＝e e －1.(12分)选做题：请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22题评分细则（共10分)【解析】(1)由弦切角定理知∠DBE ＝∠DAB ，(2分)由∠DBC ＝∠DAC ，∠DAB ＝∠DAC ，(3分)所以∠DBE ＝∠DBC ，即BD 平分∠CBE .(4分)(2)由(1)可知BE ＝BH ，(5分)所以AH ·BH ＝AH ·BE ，(6分)因为∠DAB ＝∠DAC ，∠ACB ＝∠ABE ，所以△AHC ∽△AEB ，(8分)所以AH AE ＝HC BE，即AH ·BE ＝AE ·HC ，(9分) 即AH ·BH ＝AE ·HC .(10分)23题评分细则（共10分)【解析】(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，(1分)结合极坐标与直角坐标的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ得x 2＋y 2＝4x ，(3分) 即(x －2)2＋y 2＝4.(4分)(2)由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋3ty ＝t (t 为参数)化为普通方程得，x －3y －a ＝0. (7分) 结合圆C 与直线l 相切，得|2－a |1＋3＝2，(9分) 解得a ＝－2或6.(10分)24题评分细则（共10分)②当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ＝1}；(9分) ③当a <1时，不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋a 3，2－a .(10分)。