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平面直角坐标系中的平移变换 课件

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直角坐标系中的平移

直角坐标系中的平移
1）什么叫平移？
课前检测
在平面内，把一个图形的整体沿某一直 线方向移动一定的距离，会得到一个新图形。
图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
2）图形平移的性质是什么？
新图形与原图形形状和大小完全相同。
对应点的连线平行且相等。
对应线段平行且相等。
对应角相等。
仔细观察，点A、 A1、 A2的位置与 坐标之间的关系，你发现了什么？
-5
-4
-3
-2
-1 0 -1-1
1
2 3 4x
不变，
-2-2
-3 -3
则有A1 (-2,3) ,B1 (-3,1) ,C1 (-5,2) 。 猜想: △ A1B1C1与△ABC的大小、 形状
和位置上有什么关系，为什么？
1.例题探索
如图， △ ABC三个顶点的坐标 A(4,3),B(3,1),C(1,2)
（4）将点A向左平移a(a>o)个单位长度得到点
An´，则 点An ´点的坐标是 （-2-a ，-3） ；
在坐标系中描出点A（-2，-3）并进行如下平移：
（1）将点A向上平移5个单位长度得到点A1，
则 点A1点的坐标是 （-2，2） ；
（2）将点A向上平移6个单位长度得到点A2，
则 点A2点的坐标是 （-2，3） ；
应点Ｐ的坐标应为（＿＿4，＿＿2＿.2＿）＿；
y４
Ｐ
●
３
２
４y
３
Ｐ
●
２
１
１
Ｏ １２ ３４ ５ －１
ⅹ
Ｏ １２ ３４ ５ －１
ⅹ
－２
－２
－３
－３
图１
图２
8、在直角坐标系中描出以下各点：

用坐标表示平移课件人教版数学七年级下册2

用坐标表示平移课件人教版数学七年级下册2
变化规律，反过来，这节课我们将探讨图形上点的坐标的 人教版 · 数学· 七年级（下）
(2)M(a－6，b－3)．
(x+a , y+b)
先向左平移 5 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度.
某种变化引起的图形平移． 例 如图，三角形 ABC 三个顶点的坐标分别是 A(4，3)，
(2)将平行四边形ABCD向下平移3个单位长度，得到平行四边形A1B1C1D1，画出相应图形，并写出各点坐标；
别是什么？并画出相应的三角形
A2B2C2 . A2(4，-2)，B2(3，-4)，C2(1，-3)
-2 -3 C2 -4 -5 -6
A2 B2
例 如图，三角形 ABC 三个顶点的坐标分别是 A(4，3)，
B(3，1)，C(1，2)．
y 65Βιβλιοθήκη (2)三角形 A2B2C2与三角形ABC 的大 小、形状和位置有什么关系？
B.向左平移 1 个单位长度
C.向上平移 3 个单位长度
D.向下平移 1 个单位长度
横坐标
(1,1)
减3 (-2,1)
3.在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点的位置如图所示，
点 A' 的坐标是(-2，2)，现将三角形 ABC 平移，使点 A 变换为点
A' ，点 B' ， C' 分别是 B，C 的对应点.
A．(－5，2) B．(3，2)
C．(－1，6) D．(－1，－2)
2．在平面直角坐标系中，将点A(－1，－2)向右平移3个单位长度后
得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为( )
B
A．(－3，－2) B．(2，2)
C．(－2，2) D．(2，－2)

2024八年级数学上册第四章第4课时用坐标表示点在坐标系中的两次平移习题课件鲁教版五四制

2024八年级数学上册第四章第4课时用坐标表示点在坐标系中的两次平移习题课件鲁教版五四制
∴点 P 平移后的对应点的坐标是(0，2)；
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② P '在 x 轴上， Q '在 y 轴上，
则 P '的纵坐标为0， Q '的横坐标为0，
∵0－ m ＝－ m ，
∴点 P '的横坐标为 m －3－ m ＝－3，
∴点 P 平移后的对应点的坐标是(－3，0).
综上可知，点 P 平移后的对应点的坐标是(0，2)或
C1.已知△ ABC 内任意一点 P ( a ， b )，经平移后对应点
为 P1( a ＋4， b ＋1).
(1)请描述△ ABC 如何平移得到
△ A1 B1 C1；
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【解】∵点 P ( a ， b )经平移后的对应点为 P1( a ＋4， b ＋1)，
∴△ ABC 先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
【解】当 a ＝－2时， P1(2， b ＋1).∵ P1恰好在第一象
限，∴ b ＋1＞0.∵△ P1 AB 的面积为11，∴6( b ＋1＋3)－



×3×4－ ×2( b ＋1＋3)－ ×6( b ＋1)＝11，解得 b ＝



0，∴此时点 P 的坐标为(－2，0).
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2022八年级数学上册第11章平面直角坐标系11.2图形在坐标系中的平移课件新版沪科版28

2022八年级数学上册第11章平面直角坐标系11.2图形在坐标系中的平移课件新版沪科版28

A．(－1，－1)
B．(1，0)
C．(－1，0)
D．(3，0)
6．【中考·台州】如图，已知一个直角三角板的直角顶点 与原点重合，另两个顶点 A，B 的坐标分别为(－1， 0)，(0， 3)．现将该三角板向右平移使点 A 与点 O 重合，得到三角形 OCB′，则点 B 的 对应点 B′的坐标是( C ) A．(1，0) B ．( 3， 3) C ．(1， 3) D ．(－1， 3)
第11章 平面直角坐标系
11.2 图形在坐标系中的平移
提示：点击 进入习题
1A 2B 3A 4D 5C

6C 7D 8C 9B 10 (1，1)
答案显示
提示：点击 进入习题
11 见习题 12 见习题 13 见习题 14 见习题
答案显示
1．【中考·大连】在平面直角坐标系中，将点P(3，1) 向下平移2个单位长度，得到的点P′的坐标为( A )
7．如图，若图①中点 P 的坐标为83，2，则它在图②中
的对应点 P1 的坐标为( D )
A．(3，2)
B.83，1
C.1，131
D.131，1
8．【中考·海南】如图，在平面直角坐标系中，三角
形ABC位于第一象限，点A的坐标是(4，3)，把
三角形ABC向左平移6个单位长度，得到三角形
A1B1C1，则点B1的坐标是( C )
谢谢观赏
You made my day!
解：如图①，由图可得虎山(0，0)、 熊猫馆(3，2)、鸟岛(－1，3)、狮子 馆(－2，－2)、猴园(3，－1)．
(2)若以猴园为原点，水平向右为x轴正方向、铅直 向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，写出各 景点的坐标．
解：如图②，由图可得 虎山(－3，1)、熊猫馆(0，3)、 鸟岛(－4，4)、狮子馆(－5，－1)、 猴园(0，0)．

2022八年级数学上册第11章平面直角坐标系11.2图形在坐标系中的平移授课课件新版沪科版78

2022八年级数学上册第11章平面直角坐标系11.2图形在坐标系中的平移授课课件新版沪科版78

平面直角坐 标系
图形在坐标 系中的平移
2. 在平面直角坐标系中，把图形向左（右）平移，点的___纵_ 坐标不变；向上（下）平移，点的___横_坐标不变；所得图形与 原图形相比，__形__状__大__小不变.
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月22日星期二2022/3/222022/3/222022/3/22 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/222022/3/222022/3/223/22/2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/222022/3/22March 22, 2022
并写出点B′，C′的坐标； （2）试说明三角形ABC经过怎样的平移
得到三角形A′B′C′； （3）若三角形ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的 对应点
P′的坐标是___________.
感悟新知
导引：根据一对对应点的坐标可确定平移的方向和平移的距
离， 图形边上的点和图形内部的点平移方式相同.
感悟新知
知1－练
3 已知点M(a－1，5)，现在将平面直角坐标系先向左 平移3个单位，再向下平移4个单位，此时点M的坐 标为(2，b－1)，则a＝________，b＝________．
感悟新知
知识点 2 图形在坐标系中的平移
知2－讲
思考
把平面直角坐标系中的一个图形，按下面的要求
平移，那么，图形上任一个点的坐标(x，y)是如何 变
(2)三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同， 三角形A2B2C2可以看作是将三角形ABC向上平移4个单 位长度得到的．

图形 在坐标系中的平移.2 图形在坐标系中的平移

图形 在坐标系中的平移.2 图形在坐标系中的平移

仔细观察，点A向上平移4个单位你1 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 A（－2，－3） -4 1 2 3 4 x
点A向上平移4个单 位得到点A2
A（-2，-3）→
（-2,-3+4)→ A2 (-2,1)
仔细观察，点A2向下平移4个单位得到点A 的坐标是？
小结
图形的平移可将原图形的各个顶点先 平移过去（即求出平移后的对应点的坐 标），然后将各个顶点顺次连接起来即可 得到平移后的图形.
请记住，这很重要！
在平面直角坐标系内，
如果把一个图形各个点的横坐标都加上 （或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原 图形向右（或向左）平移a个单位长度； 如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去） 一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上 （或向下）平移b个单位长度。
课后作业
课本习题11.2第1.2.3.题
-4
B1 -3 -2 -1
O
3
4
x
A（4,3)→ (4-5,3) →A1(-1,3) B（3,1)→ (3-5,1) →B1(-2,1) C（1,2)→ (1-5,2) →C1(-4,2) P（2,2)→ (2-5,2) →P1(-3,2)
-3
-4
将三角形ABC向右平移5个单位会怎样？
y A C
4
点A向右平移5个 单位得到点A1
1 2 3 4 x
O
-1 -2 -3
A（-2，-3）→ （-2+5,-3) →
A1 (3,-3)
A1（3，－3）
A（－2，－3）
-4
仔细观察，如何将点A1向左平移5个单位得 到A点坐标是？
y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 A（－2，－3） -4 A1（3，－3） 1 2 3 4 x

七年级数学下册第七章平面直角坐标系7.2.2用坐标表示平移课件新版新人教版

2．将点(3，－5)向下平移2个单位长度得到的点的坐 标是_(_3_，__－__7_)__，再向右平移3个单位长度得到 的点的坐标是_(_6_，__－__7_)__．
课堂导学
3．把A(2，3)向左平移2个单位，再向上平移6个单位 得到的点的坐标是____(_0_，__9_) _．
4．线段AB是由线段CD平移得到，点A(－2，1)的对 应点为C(1，1)，则点B(3，2)的对应点D的坐标是 __(_6_，__2_)___．
5．如图，三角形ABC的顶点都在 方格纸的格点上， 如果将三角形 ABC先向右平移4个单位长度，再 向下平移1个单位长度，得到三角 形A1B1C1，那么点A的对应点A1的 坐标为___(_2_，__5_)__．
课堂导学
6．如图，把三角形ABC经过一定的变换得到三角形 A′B′C′，如果三角形ABC上点P的坐标为(a，b)，那 么点P变换后的对应点P′的坐标为_(_a_＋__3_，__b_＋__2_)__．
2. 单击鼠标右键，选择“更改图片”，选
3. 在“替换为”下拉列表中选择替换字体。 4. 点击“替换”按钮，完成。
PPT放映 设置 PPT放映场合不同，放映的要求也不同，下面将例举几种常用的放映设置方式。
让PPT停止自动播放
1. 单击”幻灯片放映”选项卡，去除“使用计时”选项即可。
让PPT进行循环播放
课堂导学
对点训练一 1．已知点A(3，－2)，写出这点经过平移后得到的点
的坐标： (1)向右平移3个单位得到__(6_，__－__2_)，或向左平移3个
单位得到__(_0_，__－__2_) _； (2)向上平移3个单位得到__(3_，__1_)__，或向下平移3个
单位得到__(3_，__－__5_)．

常用坐标系介绍及变换PPT课件

常用坐标系介绍及变 换ppt课件
目录
• 常用坐标系介绍 • 坐标变换基础 • 坐标变换的应用 • 坐标变换的数学表达 • 坐标变换的物理意义 • 坐标变换的计算机实现
01
常用坐标系介绍
笛卡尔坐标系
01
02
03
直角坐标系
以原点为中心，x轴、y轴、 z轴分别代表三个相互垂 直的坐标轴，用于描述平 面和空间中的点。
二维坐标变换
总结词
二维坐标变换是指平面内的坐标变化， 包括平移、旋转、缩放等操作。
详细描述
二维坐标变换涉及平面内的点，可以 通过平移、旋转或缩放等操作进行坐 标变化。这种变换在平面几何、图形 处理等领域应用广泛，可以通过矩阵 运算实现快速变换。
三维坐标变换
总结词
三维坐标变换是指空间中的坐标变化，包括平移、旋转、缩放等操作。
详细描述
三维坐标变换涉及空间中的点，可以通过平移、旋转或缩放等操作进行坐标变化。这种变换在三维建模、动画制 作、机器人控制等领域应用广泛，需要使用三维矩阵运算进行实现。
03
坐标变换的应用
图形变换
图形变换是指通过数学方法将一个二维或三维图形在坐标系 中进行平移、旋转、缩放等操作，以达到改变图形位置、大是一种数值计算方法，通过将物体离散化为有限个单元，可 以分析物体的受力情况和形变程度。有限元分析在工程领域中有着广泛 的应用，可以提高设计效率和精度。
06
坐标变换的计算机实现
OpenGL中的坐标变换
投影变换
将三维场景投影到二维屏 幕上，包括正交投影和透 视投影。
视图变换
将场景中的坐标系与观察 者的坐标系进行关联，实 现视景体裁剪。
旋转变换不改变图形的大小和形状， 只改变其方向。

平面直角坐标变换

§6 平面直角坐标变换一 平移坐标变换定义：若二平面直角坐标系{O ；i ，j}和{O ′；i ′，j ′}满足i=i ′，j=j ′，则坐标系{O ′；i ′，j ′}可看成是由{O ；i ，j }经过平移得到的，称由坐标系{O ；i ，j}到坐标系{O ′；i ′，j ′}的变换为平移坐标变换。

平移变换公式设平面上一点M 在新系{O ′；i ′，j ′}与旧系{O ；i ，j}下的坐标分别为 （x ′，y ′），（x,y ），而O ′在旧系下的坐标为（a,b ），则 xi+yj= OP = O O +P O '=ai+bj+x ′i ′+y ′j ′=ai+bj+x ′i+y ′j=（a+x ′）i+（b+y ′）j∴⎩⎨⎧+'=+'=b y y a x x ——平移坐标变换公式 二 旋转坐标变换：定义：若二坐标系{O ；i ，j}和{O ′；i ′，j ′}满足O ≡O ′，另∠（i ，j ′）=θ 则坐标系{O ′；i ′，j ′}可看成是由坐标系{O ；i ，j}绕O 旋转θ角得到的，称由{O ；i ，j}到{O ′；i ′，j ′}的变换为旋转坐标变换。

旋转变换公式由于∠（i ，i ′）=0，∴∠（i ，j ′）=2π+θ ∴i ′=cos θi+sin θj ，j ′=cos （2π+θ）i+sin （2π+θ）j=-sin θi+cos θj ∴xi+yj=OP =P O '=x ′i ′+y ′j ′=x ′（cos θi+sin θj ）+y ′（-sin θi+cosθj ）=（x ′cos θ-y ′sin θ）i+（x ′sin θ+y ′cos θ）j即⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθcos sin sin cos y x y y x x用x,y 表示x ′，y ′，有⎩⎨⎧+-='+='θθθθcos sin sin cos y x y y x x 三 一般坐标变换：称由坐标系{O ；i ，j}得坐标系{O ′；i ′，j ′}的变换为一般坐标变换。

北师大版八年级数学下册《图形的平移》图形的平移与旋转PPT精品课件


横坐标减4，纵坐标减4,
所以点P的对应点P′的坐标是(m-4,n-4).
(3)△ABC的面积为
3×5-1×1×5- 1×2×2- 1×3×3=6
2
2
2
例3、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(-2,0)，(4,0)， 现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度， 得到A，B的对应点C，D.连接AC，BD，CD. (1)点C的坐标为______，点D的坐标为______， 四边形ABDC的面积为________;
图形的平移
学习目标
1.掌握平面直角坐标系中图形的两次平移与一次平移的转 化，以及平移引起的点的坐标的变化规律； 2.了解平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受代数与 几何的相互转化，初步建立空间观念.
新课导入
在坐标系中，将坐标作如下变化时，图形将怎样变化？
1. (x,y)(x,y＋4) 2. (x,y)(x,y －2)
(1)分别写出下列各点的坐标：A′_______；B′______；C′_______;
(2)若点P(m,n)是△ABC内一点，求平移后△A′B′C′内的对应点P′的坐标；
(3)求△ABC的面积.
解:(1)由题图可知A′(-3,-4)，B′(0,-1)，C′(2,-3).
(2)点A(1,0)的对应点A′的坐标是(-3,-4)，
，－1)，则a，b的值为(A
)
A．a＝－2，b＝－3 C．a＝2，b＝－3
B．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝3
3．在平面直角坐标系中，点A′(2，－3)可以由点A(－2，3)通过两次平移得到 ，正确的是(D )
A．先向左平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度 B．先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度 C．先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度 D．先向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度
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平面直角坐标系中 的平移变换
平移
1．向量a 与平移到某位置的新向量b 的关系？
aa
a a =ab a a
a ba
2．设设FF是是坐坐标标平平面面内内的的一一个个图图形形，，将将FF上上所所有有点点按按照照同同
一一方方向向，，移移动动同同样样长长度度，，得得到到图图形象 ，与这F一之过间F程F的叫关 图系形？
r 按向量 a (2, 平3移)
小结： 1、向量的平移、图形的平移 2、点的平移公式
强调：1. 知二求三 2. 新旧顺序 3. 一个平移就 1
y
1
2
3
即对应点 的A坐标（1，3）.
（2）由平移公式得
7 8 h
h 15
4 10 k 解得 k 14
即a 的坐标（-15，14）.
例2．将函数y=2x 的图象 l 按a=(0,3)平移到l′,求l ′的 函数解析式．
解：设P(x, y)为l 的任意一点，它在 上的对应l点
看,一个平移就是一个向量.
o
F
F’ x
其二, 由于图形可以看成点的集合, 故认识图形的平
移, 就其本质来讲, 就是要分析图形上点的平移.
强调：1. 知二求三
2. 新旧顺序
3. 一个平移就是一个向量
例1．(1) 把点A(-2,1)按a=(3,2)平移, 求对应点A`的坐标(x`, y`) .
（2）点M(8,-10)，按a 平移后的对应点M`的坐标 为（-7，4）求a
的平移． y
O
x
平移
设P（x，y）是图象F 上任一点，平移后对应点为
，且 的坐标
为P（(hx，,ky）)，则由 PP
y
P(x, y)
O F
OP OP PP 得 ( x, y) ( x, y) (h,k)
xy
x y
h k
P( x, y)
F′ x
点的平移公式
设P （x，y）是图象F上任一点，平移后对应点为 P′（x′，y′）平移向量为P P′=（h，k）
x x h
y
yk
向量表示：OP + P P′ = O P′ 即（x，y）+（h，k）=（x ′，y ′）
理解： 平移前点的坐标 + 平移向量的坐标=平移后点的坐标
在图形平移过程中，每一点都是按照同一方向 移动同样的长度，所以我们有两点思考：
其一, 平移所遵循的“长度”
y
P’
和“方向”正是向量的两个本 P 质特征, 因此, 从向量的角度
练习：
（1）分别将点A（3，5）,B（7，0）按向量平移
， a (4,5)
求平移后各对应点的坐标。
A(7,10), B(11,5)
（2）把函数 y的图x像l 按
平移a 到 (，0,求4) 的函数 l l
解析式。
y x 4
（3）将抛物线
y x。2
y x2经过4怎x 样 的7 平移，可以得到
P( x, y)
由平移公式得
x x 0
y
y3
x
y
x y
3
y
将它们代入y=2x 中得到
y 3 2x P( x, y)
即函数的解析式为
y 2x 3
Ox
P(x, y)
例3：已知函数y=x2图象F, 平移向量a=(-2,3) 到F'的位置, 求图象F'的函数表达式
解：在曲线F上任取一点P（x，y），Y设F'上的对
应点为P′（x′，y ′ ），则
F' x ′=x-2， y ′=y+3
∴ x=x ′+2 ，y=y ′-3 a
将上式代入方程y=x2，
F:y=x2
得： y ′-3=(x ′+2)2
即：y ′=(x ′+2)2+3
O
X
例4、运用平移，把方程4x2 +9y2 -16x+18y-11=0 化为标准方程，并写出平移向量，说明方程 4x2 +9y2 -16x+18y-11=0表示什么曲线。