2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 章末小结 知识整合与阶段检测含答案解析

3．1空间向量及其运算_3．1.1　空间向量及其线性运算[对应学生用书P48]空间向量的概念春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以a km/h的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来．问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？提示：是．1．空间向量(1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量．(2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．2．相等向量凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量.空间向量的线性运算问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算．提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？提示：交换律、结合律、分配律．1．空间向量的加减运算和数乘运算＝OA ＋AB＝a ＋b ，BA ＝OA －OB ＝a －b ，OB OC＝λa (λ∈R )．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )；(3)分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R ).共线向量及共线向量定理空间中有向量a ，b ，c (均为非零向量)．问题1：向量a 与b 共线的条件是什么？提示：存在惟一实数λ，使a ＝λb .问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．1．共线向量或平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a 与b 平行，记作a ∥b .规定，零向量与任何向量共线．2．共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa .1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则．2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行．[对应学生用书P49]空间向量及有关概念 [例1]　下列四个命题：(1)所有的单位向量都相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b；(4)零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________．[思路点拨]　根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．[精解详析]　对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．[答案]　(1)(2)(3)(4)[一点通]　1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题。

3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示学习目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一 空间向量基本定理思考 只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？答案 不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直． 梳理 空间向量基本定理 (1)定理内容：①条件：三个向量e 1，e 2，e 3不共面．②结论：对空间中任一向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3. (2)基底：(3)推论：①条件：O ，A ，B ，C 是不共面的四点．②结论：对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →.知识点二 空间向量的坐标表示思考 若向量AB →＝(x 1，y 1，z 1)，则点B 的坐标一定为(x 1，y 1，z 1)吗？答案 不一定．由向量的坐标表示知，若向量AB →的起点A 与原点重合，则B 点的坐标为(x 1，y 1，z 1)，若向量AB →的起点A 不与原点重合，则B 点的坐标就不为(x 1，y 1，z 1)． 梳理 (1)空间向量的坐标表示：①向量a 的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量i ，j ，k 作为基向量，对于空间任意一个向量a ，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ，有序实数组(x ，y ，z )叫做向量a 在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标，记作a ＝(x ，y ，z )．②向量OA →的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A (x ，y ，z )，向量OA →是确定的，即OA →＝(x ，y ，z )． (2)空间中有向线段的坐标表示： 设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，①坐标表示：AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．②语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标． (3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则：(4)空间向量平行的坐标表示：若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且a ≠0，则a ∥b ⇔b 1＝λa 1，b 2＝λa 2，b 3＝λa 3(λ∈R )．1．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{－a ，b,2c }也可构成空间的一个基底．(√) 2．若向量AP →的坐标为(x ，y ，z )，则点P 的坐标也为(x ，y ，z )．(×)3．在空间直角坐标系O －xyz 中向量AB →的坐标就是B 点坐标减去A 点坐标．(√)类型一 空间向量基本定理及应用 命题角度1 空间基底的概念例1 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－67e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．解 假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ， 使OA →＝xOB →＋yOC →成立． 所以OA →＝e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y ⎝⎛⎭⎫e 1＋e 2－67e 3 ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋⎝⎛⎭⎫2x －67y e 3. 得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －67y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝74.故OA →，OB →，OC →共面，不可以构成空间的一个基底． 反思与感悟 基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μc ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．跟踪训练1以下四个命题中正确的是________．(填序号)①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．答案②③解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以与另外一个向量构成基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．命题角度2 空间向量基本定理的应用例2 如图，在空间四边形OABC 中，点D 是边BC 的中点，点G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.解 因为OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)，又点D 为BC 的中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)，所以OG →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )． 而GH →＝OH →－OG →，又因为OH →＝23OD →＝23·12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )，所以GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .所以OG →＝13(a ＋b ＋c )，GH →＝－13a .引申探究若将本例中的“G 是△ABC 的重心”改为“G 是AD 的中点”，其他条件不变，应如何表示OG →，GH →？解 OG →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c . OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )． 所以GH →＝OH →－OG → ＝13(b ＋c )－⎝⎛⎭⎫12a ＋14b ＋14c ＝－12a ＋112b ＋112c .反思与感悟 用空间向量基本定理时，选择合适的基底是解题的关键．跟踪训练2 如图所示，在平行六面体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′—→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量．(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →. 解 连结AC ，AD ′.(1)AP →＝12(AC →＋AA ′—→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′—→)＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD ′—→)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c . (3)AN →＝12(AC ′—→＋AD ′—→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→)]＝12a ＋b ＋c .(4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45CA ′—→＝AC →＋45(AA ′—→－AC →)＝15AC →＋45AA ′—→＝15(AB →＋AD →)＋45AA ′—→＝15a＋15b ＋45c . 类型二 空间向量的坐标表示例3 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，G 分别为棱DD ′，D ′C ′，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′—→}为基底，求下列向量的坐标．(1)AE →，AG →，AF →； (2)EF →，EG →，DG →.解 (1)AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD ′—→＝AD →＋12AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，12，0， AF →＝AA ′—→＋A ′D ′—→＋D ′F —→＝12AB →＋AD →＋AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫12，1，1. (2)EF →＝AF →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AA ′—→＋AD →＋12AB →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′—→ ＝12AB →＋12AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫12，0，12， EG →＝AG →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′—→ ＝AB →－12AD →－12AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫1，－12，－12， DG →＝AG →－AD →＝AB →＋12AD →－AD →＝AB →－12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0. 引申探究本例中，若以{DA →，DC →，DD ′—→}为基底，试写出AE →，AG →，EF →的坐标．解 AE →＝AD →＋DE →＝－DA →＋12DD ′—→＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12， AG →＝AB →＋BG →＝DC →－12DA →＝－12DA →＋DC →＝⎝⎛⎭⎫－12，1，0， EF →＝12DC →＋12DD ′—→＝⎝⎛⎭⎫0，12，12. 反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3 如图所示，P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AB ＝1.求向量MN →的坐标．解 ∵P A ＝AB ＝AD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB →，AD →，AP →是两两垂直的单位向量．设AB →＝e 1，AD →＝e 2，AP →＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A －xyz . ∵MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝－12AB →＋AP →＋12PC →＝－12AB →＋AP →＋12(P A →＋AC →)＝－12AB →＋AP →＋12(P A →＋AB →＋AD →)＝12AP →＋12AD →＝12e 2＋12e 3，∴MN →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12.类型三 空间向量的坐标运算及应用例4 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)． (1)求AB →＋AC →，AB →－AC →；(2)是否存在实数x ，y ，使得AC →＝xAB →＋yBC →成立，若存在，求x ，y 的值；若不存在，请说明理由．解 AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)AB →＋AC →＝(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(0,1,2)． AB →－AC →＝(1,1,0)－(－1,0,2)＝(2,1，－2)． (2)假设存在x ，y ∈R 满足条件，由已知可得 BC →＝(－2，－1,2)．由题意得 (－1,0,2)＝x (1,1,0)＋y (－2，－1,2)， 所以(－1,0,2)＝(x －2y ，x －y,2y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x －2y ，0＝x －y ，2＝2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以存在实数x ＝1，y ＝1使得结论成立．反思与感悟 1.向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标．特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标． 2．进行空间向量的加减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质．跟踪训练4 已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1,2)，B (1,2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．证明 ∵AB →＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD →＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，∴－24＝3－6＝－36， ∴AB →与CD →共线，即AB ∥CD ，又∵AD →＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)， BC →＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)， ∴0－2≠－4－1≠1－2，∴AD →与BC →不平行． ∴四边形ABCD 为梯形．1．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是________． 答案 (12,14,10)解析 设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)． 2．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________. 答案 (2，－4,2)解析 依题意，得b ＝a －(－1,2，－1) ＝a ＋(1，－2,1)＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2)．3．已知向量a ＝(3，－2,1)，b ＝(－2,4,0)，则4a ＋2b ＝________. 答案 (8,0,4)解析 4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0) ＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．4.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系．已知AB ＝AD ＝2，BB 1＝1，则AD 1—→的坐标为________，AC 1—→的坐标为________．答案 (0,2,1) (2,2,1)解析 根据已建立的空间直角坐标系知，A (0,0,0)，C 1(2，2,1)，D 1(0,2,1)，则AD 1—→的坐标为(0,2,1)，AC 1—→的坐标为(2,2,1)．5．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示) 答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14×(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .1．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示． 2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．一、填空题1．有下列三个命题：①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面； ②不两两垂直的三个不共面的向量也可以作为空间向量的一组基底；③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．其中为真命题的是________．(填序号)答案 ①②解析 ①正确．作为基底的向量必须不共面；②正确；③不正确．a ，b 不共线，当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面，故只有①②正确．2．若四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为____________． 答案 (5,13，－3)解析 由四边形ABCD 是平行四边形知AD →＝BC →，设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －4，y －1，z －3)，BC →＝(1,12，－6)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y －1＝12，z －3＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3，即D 点坐标为(5,13，－3)．3.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则AB →的坐标为________，DC 1—→的坐标为________，B 1D —→的坐标为________.答案 (1,0,0) (1,0,1) (－1,1，－1)解析 由题图可知，A (0,0,0)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，C 1(1,1,1)，B 1(1,0,1)，所以AB →＝(1,0,0)，DC 1—→＝(1,0,1)，B 1D —→＝(－1,1，－1)．4．已知a ＝(3,5,7)，b ＝(6，x ，y )，若a ∥b ，则xy 的值为________． 答案 140解析 显然x ≠0，y ≠0. 因为a ∥b ，所以36＝5x ＝7y ，即x ＝10，y ＝14，所以xy ＝140.5．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ的值分别为________． 答案 52，－1，－12解析 ∵d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3＝e 1＋2e 2＋3e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，∴⎩⎨⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.6．若A (m ＋1，n －1,3)，B (2m ，n ，m －2n )，C (m ＋3，n －3,9)三点共线，则m ＋n ＝________. 答案 0解析 因为AB →＝(m －1,1，m －2n －3)，AC →＝(2，－2,6)， 由题意得AB →∥AC →，所以m －12＝1－2＝m －2n －36，所以m ＝0，n ＝0，所以m ＋n ＝0.7．已知A (2,3－μ，－1＋v )关于x 轴的对称点是A ′(λ，7，－6)，则λ，μ，v 的值分别为________． 答案 2,10,7解析 ∵A 与A ′关于x 轴对称， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，3－μ＝－7，－1＋v ＝6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝10，v ＝7.8．已知向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 16 －32解析 ∵a ＝(2x,1,3)与b ＝(1，－2y,9)共线， ∴2x 1＝1－2y ＝39(y ≠0)， ∴x ＝16，y ＝－32.9．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是________．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 ⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 解析 设点C 的坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )． 又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →，∴x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85.10.如图，点M 为OA 的中点，以{OA →，OC →，OD →}为基底，DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，则实数组(x ，y ，z )＝________.答案 ⎝⎛⎭⎫12，0，－1 解析 因为DM →＝OM →－OD →＝12OA →＋0OC →－OD →，所以实数组(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫12，0，－1. 11.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 12a －12b ＋c解析 ∵AB →＝－2CD →， ∴OB →－OA →＝－2(OD →－OC →)， ∴b －a ＝－2(OD →－c )， ∴OD →＝12a －12b ＋c .二、解答题12．已知向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标．解 由已知p ＝2a ＋3b －c ，设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c )＝(x ＋y ＋z )a ＋ (y ＋z )b ＋z c ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝2，y ＋z ＝3，z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，z ＝－1，故p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1)．13．已知O ，A ，B ，C 四点的坐标分别是(0,0,0)，(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求分别满足下列条件的P 点坐标：(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12(AB →－AC →)．解 AB →＝OB →－OA →＝(2,6，－3)， AC →＝OC →－OA →＝(－4,3,1)． (1)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则OP →＝(x ，y ，z )，12(AB →－AC →)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， 所以OP →＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2，即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫3，32，－2. (2)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则AP →＝OP →－OA →＝(x －2，y ＋1，z －2)，由(1)知12(AB →－AC →)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y ＋1＝32，z －2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝12，z ＝0，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫5，12，0. 三、探究与拓展14．已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，下列向量中可以与p ＝2a －b ，q ＝a ＋b 构成空间的另一个基底的是________．(填序号) ①2a ；②－b ；③c ；④a ＋c . 答案 ③④解析 ∵p ＝2a －b ，q ＝a ＋b ， ∴p 与q 共面，a ，b 共面． 而c 与a ，b 不共面，∴c 与p ，q 可以构成另一个基底，同理a ＋c 与p ，q 也可构成一组基底．15．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA 1—→，AB 1—→，AC 1—→的坐标．解 分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示，则A ⎝⎛⎭⎫32，0，0，A 1⎝⎛⎭⎫32，0，2，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，2，C 1⎝⎛⎭⎫0，12，2，所以AA 1—→＝(0,0,2)，AB 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，2，AC 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32，12，2.。

3.2.2 空间线面关系的判定(二)——垂直关系学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．知识点一 向量法判断线线垂直设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 知识点二 向量法判断线面垂直思考 若直线l 的方向向量为μ1＝⎝⎛⎭⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝⎛⎭⎫3，2，32，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案 垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l 与平面α垂直．判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内． (3)直线l 的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α.梳理 设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ(k ∈R )．知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？ 答案 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.梳理 若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)． 判断下面结论的对错： 1．AP ⊥AB ；(√) 2．AP ⊥AD .(√)3.AP →是平面ABCD 的法向量．(√) 4.AP →∥BD →.(×)类型一 证明线线垂直例1 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明 设AB 的中点为O ，连结OC ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OO 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0， N ⎝⎛⎭⎫0，32，14，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 的中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0.∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1—→＝(1,0,1)，∴MN →·AB 1—→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1—→，∴AB 1⊥MN .反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC ，AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)， ∴AC →＝(－3,0,0)，BC 1—→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1—→＝0，∴AC ⊥BC 1.类型二 证明线面垂直例2 如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 方法一 设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)， E (2,2,1)，F (1,1,2)． ∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1，1)． AB 1—→＝(2,2,2)－(2,0,0) ＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)． 而EF →·AB 1—→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A ，AB 1⊂平面B 1AC ，AC ⊂平面B 1AC ， ∴EF ⊥平面B 1AC .方法二 设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1—→＝b ，则EF →＝EB 1—→＋B 1F —→＝12(BB 1—→＋B 1D 1—→)＝12(AA 1—→＋BD →)＝12(AA 1—→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1—→＝AB →＋AA 1—→＝a ＋b ， ∴EF →·AB 1—→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1—→，即EF ⊥AB 1， 同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1⊂平面B 1AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ， ∴EF ⊥平面B 1AC .反思与感悟 用向量法证明线面垂直的方法及步骤 (1)基向量法：①设出基向量，然后表示直线的方向向量； ②找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示； ③利用数量积计算．(2)坐标法：①建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示； ②求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量；③证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行． 跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点．求证：直线PB 1⊥平面P AC .证明 如图，以D 为坐标原点，DC →，DA →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (1,0,0)，A (0,1,0)，P (0,0,1)，B 1(1,1,2)，PC →＝(1,0，－1)，P A →＝(0,1，－1)，PB 1—→＝(1,1,1)， B 1C —→＝(0，－1，－2)， B 1A —→＝(－1,0，－2)．PB 1—→·PC →＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0， 所以PB 1—→⊥PC →，即PB 1⊥PC . 又PB 1—→·P A →＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0， 所以PB 1—→⊥P A →，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，P A ，PC ⊂平面P AC ， 所以PB 1⊥平面P AC . 类型三 证明面面垂直例3 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明 由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)， E ⎝⎛⎭⎫0，0，12， 故AA 1—→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1—→＝(－2,2,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫－2，0，12. 设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AA 1—→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1,1,0)． 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1—→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0. 令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1，故n 2＝(1，－1,4)． 因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C . 反思与感悟 证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．跟踪训练3 如图，底面ABCD 是正方形，AS ⊥平面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .证明 设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AS →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，12，连结AC ，设AC 与BD 相交于点O ，连结OE ，则点O 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0. 因为AS →＝(0,0,1)，OE →＝⎝⎛⎭⎫0，0，12， 所以OE →＝12AS →，所以OE →∥AS →.又因为AS ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD ， 又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD .1．若直线l 1的方向向量为a ＝(2，－4,4)，l 2的方向向量为b ＝(4,6,4)，则l 1与l 2的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直解析 因为a ·b ＝2×4＋(－4)×6＋4×4＝0， 所以l 1⊥l 2.2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则l 与α的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直解析 ∵a ∥μ，∴l ⊥α.3．平面α的一个法向量为m ＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n ＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0， ∴两法向量垂直，从而两平面垂直．4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t 的值为________． 答案 5解析 ∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直， ∴μ·ν＝0，即(－1)×t ＋0×5＋5×1＝0，解得t ＝5.5．在菱形ABCD 中，若P A →是平面ABCD 的法向量，则下列等式中可能不成立的是________．(填序号)①P A →⊥AB →；②P A →⊥CD →；③PC →⊥BD →；④PC →⊥AB →. 答案 ④解析 由题意知P A ⊥平面ABCD ，所以P A与平面上的线AB，CD都垂直，①②正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面P AC，故PC⊥BD，③正确．证明垂直问题的方法：(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．一、填空题1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________. 答案10解析因为a⊥b，故a·b＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．答案－10解析因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.3．已知直线l 的方向向量为e ＝(－1,1,2)，平面α的法向量为n ＝⎝⎛⎭⎫12，λ，－1(λ∈R )．若l ⊥α，则实数λ的值为________． 答案 －12解析 ∵l ⊥α，∴e ∥n ，∴－112＝1λ＝2－1，∴λ＝－12.4．已知点A (0,1,0)，B (－1,0，－1)，C (2,1,1)，P (x,0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为________． 答案 (－1,0,2)解析 由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，AP →＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0，① AC →·AP →＝(2,0,1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，② 联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1,0,2)．5．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则下列结论成立的是________．(填序号)①CE ⊥BD ；②A 1C 1⊥BD ；③AD ⊥BC 1；④CD ⊥BE . 答案 ①②解析 以D 点为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0，1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0，1)，C 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，∴CE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1，AC →＝(－1,1,0)， BD →＝(－1，－1,0)，A 1D —→＝(－1,0，－1)，A 1A —→＝(0,0，－1)，∵CE →·BD →＝(－1)×12＋(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＋0×1＝0， ∴CE ⊥BD .显然A 1C 1⊥BD ，故只有①②正确．6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，若AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量；④AP →∥BD →.其中正确的结论是________．(填序号) 答案 ①②③解析 因为AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0， 则AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ； AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋0＝0， 则AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，又AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ， 故AP →是平面ABCD 的一个法向量．BD →＝AD →－AB →＝(4,2,0)－(2，－1，－4)＝(2,3,4)， 所以AP →与BD →不平行．7.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为________．答案 垂直解析 以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，依题意可得D (0,0,0)，P (0,1，3)，C (0,2,0)，A (22，0,0)， M (2，2,0)．∴PM →＝(2，2,0)－(0,1，3)＝(2，1，－3)， AM →＝(2，2,0)－(22，0,0)＝(－2，2,0)， ∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0， 即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM .8．在空间直角坐标系O －xyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]．若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________． 答案 π2或π3解析 由题意得OP →⊥OQ →， ∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0， ∴cos x ＝0或cos x ＝12.又∵x ∈[0，π]， ∴x ＝π2或x ＝π3.9．在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3,1)，C (2，－2,1)．若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________． 答案 (－2,4,1)或(2，－4，－1)解析 据题意，得AB →＝(－1，－1,2)，AC →＝(1,0,2)．设n ＝(x ，y ，z )， ∵n 与平面ABC 垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4z ，x ＝－2z .∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21，解得z ＝1或z ＝－1. 当z ＝1时，y ＝4，x ＝－2； 当z ＝－1时，y ＝－4，x ＝2， ∴n ＝(－2,4,1)或n ＝(2，－4，－1)．10．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则(x ，y ，z )＝________. 答案 ⎝⎛⎭⎫407，－157，4 解析 AB →·BC →＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4.BP →·AB →＝x －1＋5y ＋6＝0，且BP →·BC →＝3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.所以(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫407，－157，4. 二、解答题11.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是B 1B ，DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .证明 设正方体的棱长为1，如图所示，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12， A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)， F ⎝⎛⎭⎫0，12，0. ∴AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，A 1D 1—→＝(－1,0,0)，D 1F —→＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1， ∴AE →·A 1D 1—→＝0×(－1)＋1×0＋12×0＝0，AE →·D 1F —→＝12－12＝0，∴AE →⊥A 1D 1—→，AE →⊥D 1F —→，即AE ⊥A 1D 1，AE ⊥D 1F ，又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， A 1D 1，D 1F ⊂平面A 1D 1F ， ∴AE ⊥平面A 1D 1F .12.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，用向量法证明：(1)平面A 1BD ∥平面CB 1D 1； (2)AC 1⊥平面A 1BD .证明 以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标，设正方体的棱长为1.则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，A (1,0,0)，C 1(0,1,1)． (1)∴A 1D —→＝(－1,0，－1)， A 1B —→＝(0,1，－1)， D 1B 1—→＝(1,1,0)， D 1C —→＝(0,1，－1)，设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1D —→＝0，n 1·A 1B —→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－z 1＝0，y 1－z 1＝0.令z 1＝1，得x 1＝－1，y 1＝1.∴平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(－1,1,1)． 设平面CB 1D 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·D 1B 1—→＝0，n 2·D 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，y 2－z 2＝0.令y 2＝1，得x 2＝－1，z 2＝1， ∴n 2＝(－1,1,1)， ∴n 1＝n 2，即n 1∥n 2. ∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1. (2)又AC 1—→＝(－1,1,1)，∴AC 1—→∥n 1. ∴AC 1—→是平面A 1BD 的法向量， ∴AC 1⊥平面A 1BD .13.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .证明 以A 为坐标原点，AD →，AB →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0,1)，B (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D ()3，0，0，设BE ＝x (0≤x ≤3)， 则E (x,1,0)，PE →·AF →＝(x,1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0，即PE →⊥AF →. 所以当x ∈[0， 3 ]时都有PE ⊥AF ，即无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF . 三、探究与拓展14．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是______． 答案 －3或1 解析 ∵|a |＝22＋42＋x 2＝6，∴x ＝±4，又∵a ⊥b ，∴a·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0， ∴y ＝－1－12x ，∴当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1，∴x ＋y ＝1或－3.15．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点． (1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．(1)证明 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )， A 1E —→＝(－a ，a ，e －a )， BD →＝(－a ，－a ，0)，A 1E —→·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴A 1E —→⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)解 设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． ∵DB →＝(a ，a,0)，DA 1—→＝(a,0，a )，DE →＝(0，a ，e )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0.取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝⎝⎛⎭⎫1，－1，ae ， 由平面A 1BD ⊥平面EBD ，得n 1⊥n 2， ∴2－a e ＝0，即e ＝a2.∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。

.3.1.3　空间向量基本定理[对应学生用书P53]空间向量基本定理某次反恐演习中，一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将“人质”隐藏在市华联超市往南1 000 m ，再往东600 m 处的某大厦5楼(每层楼高3.5 m)，行动小组迅速赶到目的地，完成解救“人质”的任务．“人质”的隐藏地由华联超市“南1 000 m ”、“东600 m ”、“5楼”这三个量确定，设e 1是向南的单位向量，e 2是向东的单位向量，e 3是向上的单位向量．问题：请把“人质”的位置用向量p 表示出来．提示：p ＝1 000e 1＋600e 2＋14e 3.1．空间向量基本定理如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.2．推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任意一点P ，都存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得＝x OA ＋y OB ＋z OCOP .基底空间任何一个向量，都可以用空间任意三个向量惟一表示吗？提示：不一定，由空间向量基本定理知，只有三个向量e 1，e 2，e 3不共面时，空间任何一向量才可以用e 1，e 2，e 3惟一表示，否则不可能表示．1．基底和基向量如果三个向量e 1、e 2、e 3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e 1、e 2、e 3线性表示，我们把{e 1，e 2，e 3}称为空间的一个基底，e 1，e 2，e 3叫做基向量．2．正交基底和单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示．1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面向量组{a，b，c}可以线性表示出空间的任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间中的基底是不惟一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．[对应学生用书P54]基底的概念[例1]　若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．[思路点拨]　判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．[精解详析]　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．∴Error!此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．[一点通]　空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，所以空间中的基底有无穷多个．但是空间中的基底一旦选定，某一向量对这一基底的线性表示只有一种，即在基底{a，b，c}下，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋y b＋z c.证明三个向量能否构成空间的一个基底，就是证明三个向量是否不共面，证明三个向量不共面常用反证法并结合共面向量定理来证明．1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的向量组有________个．解析：如图所设a ＝AB ，b ＝1AA，c ＝AD ，则x ＝1AB ，y ＝1AD ，z ＝AC ，a ＋b ＋c ＝1AC.由A ，B 1，D ，C 四点不共面可知向量x ，y ，z 也不共面．同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因为x ＝a ＋b ，故a ，b ，x 共面，故不能作为基底．答案：32．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA ＝e 1＋2e 2－e 3，OB＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC ＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA ，OB ，OC}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量OD＝2e 1－e 2＋3e 3；若不能，请说明理由．解：假设OA 、OB 、OC 共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x 、 y 使OA＝x OB ＋y OC成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3.∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，∴e 1，e 2，e 3不共面，∴Error!此方程组无解，即不存在实数x 、y 使OA ＝x OB ＋y OC，∴OA ，OB ，OC不共面．故{OA ，OB ，OC}能作为空间的一个基底，设OD ＝p OA ＋q OB ＋z OC，则有2e 1－e 2＋3e 3＝p (e 1＋2e 2－e 3)＋q (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3)＝(p －3q ＋z )e 1＋(2p ＋q ＋z )e 2＋(－p ＋2q －z )e 3.∵{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，∴Error!解得Error!∴OD ＝17OA －5OB －30OC .用基底表示向量[例2] 如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA ＝a ，OB ＝b ，OC＝c ，试用向量a 、b 、c 表示向量GH .[思路点拨]　GH ＝OH －OG →用OD 表示OH →用OB、OC 表示OD ，用OA 、AG 表示OG →用AD 表示AG →用OD 、OA表示AD →用OB 、OC 表示OD[精解详析] GH ＝OH －OG ，∵OH ＝OD，23∴OH ＝×(OB ＋OC )＝(b ＋c )，231213OG ＝OA ＋AG ＝OA ＋AD23＝OA ＋(OD －OA )＝OA ＋×(OB ＋OC )23132312＝a ＋(b ＋c )，1313∴GH ＝(b ＋c )－a －(b ＋c )＝－a ，13131313即GH ＝－a .13[一点通]　用基底表示向量的方法及注意的问题：(1)结合已知条件与所求结论，观察图形，就近表示所需向量．(2)对照目标，将不符合目标要求的向量作为新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．(3)在进行向量的拆分过程中要正确使用三角形法则及平行四边形法则．3. 如图，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值．(1)BD ' ＝x AD ＋y AB＋z AA ' ；(2)AE ＝x AD ＋y AB＋z AA ' .解：(1)∵BD ' ＝BD ＋DD '＝BA ＋BC ＋DD '＝－AB ＋AD＋AA ' ，又BD ' ＝x AD ＋y AB＋z AA ' ，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE ＝AA ' ＋A E ' ＝AA ' ＋A C '' 12＝AA ' ＋(A B '' ＋A D '' )12＝AA ' ＋A B '' ＋A D '' 1212＝AD＋AB ＋AA ' 1212又AE ＝x AD ＋y AB＋z AA '∴x ＝，y ＝，z ＝1.12124．如图，四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA ＝a ，OC ＝b ，OP ＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF ，BE ，AE，EF .解：连接BO ，则BF ＝BP ＝(BO ＋OP )＝(c －b －a )＝－a －b ＋c .121212121212BE ＝BC ＋CE ＝－a ＋CP ＝－a ＋(CO ＋OP )＝－a －b ＋c .12121212AE ＝AP ＋PE ＝AO ＋OP ＋(PO ＋OC )＝－a ＋c ＋(－c ＋b )＝－a ＋b ＋c .12121212EF ＝CB ＝OA ＝a121212.空间向量基本定理的应用[例3]　证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点互相平分．[思路点拨]　利用空间向量基本定理，只要证明四条对角线的中点与A 点所构成的向量的线性表示是同一种形式即可．[精解详析]　如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设点O 是AC 1的中点，则AO ＝1AC 12＝(AB＋BC ＋1CC )12＝(AB＋AD ＋1AA )，12设P ，M ，N 分别是BD 1，CA 1，DB 1的中点，则AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋1BD12＝AB ＋(BA＋AD ＋1DD )12＝AB ＋(－AB ＋AD ＋1AA )＝(AB ＋AD ＋AA1)，1212同理可证：AM ＝(AB ＋AD ＋1AA )，AN ＝(AB ＋AD＋1AA )．1212由此可知，O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．[一点通]　用空间向量基本定理证明立体几何问题的步骤：(1)作出空间几何体的图形；(2)将立体几何问题转化为空间向量问题，选取一组不共面的向量作基底；(3)用基向量将其它向量表示出来；(4)利用向量的性质得到向量的关系，进而得到几何结论．5．求证：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC ＋1AB＋1AD ＝21AC .证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以AC ＝AB ＋AD，1AB ＝AB ＋1AA，1AD ＝AD ＋1AA ，∴AC ＋1AB＋1AD ＝(AB ＋AD )＋(AB ＋1AA)＋(1AD ＋1AA )＝2(AB ＋AD＋1AA )，又1AA ＝1CC ，AD ＝BC，∴AB ＋AD ＋1AA ＝AB ＋BC＋1CC ＝1AC ，∴AC ＋1AB＋1AD ＝21AC .6．如图，M 、N 分别是四面体O ­ABC 的边OA 、BC 的中点，P 、Q 是MN 的三等分点，用向量OA 、OB 、OC 表示OP 和OQ.解：OP ＝OM ＋MP ＝OA ＋MN1223＝OA＋(ON －OM )＝OA ＋(ON －OA )1223122312＝OA＋×(OB ＋OC )＝OA ＋OB ＋OC .162312161313OQ ＝OM ＋MQ ＝OA ＋MN1213＝OA＋(ON －OM )＝OA ＋(ON －OA )1213121312＝OA＋×(OB ＋OC )＝OA ＋OB ＋OC .1313121316161．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间任意三个不共面的向量a 、b 、c 皆可构成空间向量的一个基底，因此，基底有无数个，所以基底往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底．3．由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个基向量中，就隐含着它们都不是0.[对应课时跟踪训练(二十)]　1．空间中的四个向量a ，b ，c ，d 最多能构成基底的个数是________．解析：当四个向量任何三个向量都不共面时，每三个就可构成一个基底，共有4组．答案：42.如图所示，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE＝OD＋x OB ＋y OA ，则x ＝________，y ＝________.12解析：∵AE ＝OE －OA＝OC－OA 12＝(OD＋DC )－OA 12＝OD＋AB －OA 1212＝OD＋(OB －OA )－OA 1212＝OD＋OB －OA ，121232∴x ＝，y ＝－.1232答案：　－12323．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC 、OB ，M 、N 分别是OA 、BC 的中点，点G是MN 的中点，取{OA ，OB ，OC }为基底，则OG＝________.解析： 如图，OG ＝(OM ＋ON)12＝OM＋×(OB ＋OC )121212＝OA＋OB ＋OC 141414＝(OA＋OB ＋OC )．14答案：(OA＋OB ＋OC )144．平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ' ＝x AB＋2y BC －3z CC ' ，则x ＋y ＋z ＝________.解析：∵AC ' ＝AB ＋BC ＋CC ' ＝x AB＋2y BC －3z CC ' ，∴x ＝1,2y ＝1，－3z ＝1，即x ＝1，y ＝，z ＝－.1213∴x ＋y ＋z ＝1＋－＝.121376答案：765．设a 、b 、c 是三个不共面向量，现从①a ＋b ，②a －b ，③a ＋c ，④b ＋c ，⑤a ＋b －c 中选出一个使其与a 、b 构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为______(填写序号)．解析：根据基底的定义，∵a ，b ，c 不共面，∴a ＋c ，b ＋c ，a ＋b －c 都能与a ，b 构成基底．答案：③④⑤6．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋β b ＋γc ，求α、β、γ的值．解：由题意a 、b 、c 为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对{α，β，γ}，使d ＝αa ＋β b ＋γc ，∴d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3.又∵d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，∴Error!解得Error!7.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 和A 1D 的一个三等分点，且＝，＝2，设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，试用a ，b ，c 表示MN .AM MC 12A 1NND解：如图所示，连接AN ，则MN ＝MA ＋AN由ABCD 是平行四边形，可知AC ＝AB ＋AD＝a ＋b ，MA ＝－AC ＝－(a ＋b )．1313ND ＝1A D ＝(b －c )，1313AN ＝AD ＋DN ＝AD －ND ＝b －(b －c )＝(c ＋2b )，1313所以MN ＝MA ＋AN＝－(a ＋b )＋(c ＋2b )1313＝(－a ＋b ＋c )．138．如图所示，平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，且OA ＝a ，OC ＝b ，OO '＝c ，用a ，b ，c 表示如下向量：(1) OB ' 、O B ' 、AC ' ；(2)GH(G 、H 分别是B ′C 和O ′B ′的中点)．解：(1)OB ′＝OB ＋BB ' ＝OA ＋OC ＋OO '＝a ＋b ＋c ，O B ' ＝O O ' ＋OB ＝O O ' ＋OA ＋OC ＝－c ＋a ＋b ＝a ＋b －c ，AC ' ＝AC ＋CC ′＝AB ＋AO ＋AA '＝OC ＋AA ' －OA＝b ＋c －a .(2)GH ＝GO ＋OH ＝－OG ＋OH＝－(OB′＋OC )＋(OB ' ＋OO ' )1212＝－(a ＋b ＋c ＋b )＋(a ＋b ＋c ＋c )1212＝(c －b )．12。

§1.1 命题及其关系 1.1.1 四种命题学习目标 1.了解命题的概念和分类.2.能判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式.4.了解命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题．知识点一 命题的概念思考 在这些语句中哪些能判断出真假，哪些不能判断出真假． (1)这幅画真漂亮！ (2)求证3是无理数； (3)菱形是平行四边形吗？ (4)等腰三角形的两底角相等； (5)x ＞2012；(6)若x 2＝20122，则x ＝2012.答案 (1)(2)(3)(5)不能判断真假；(4)(6)能判断真假． 梳理 (1)命题的概念：能够判断真假的语句叫做命题． (2)分类命题⎩⎪⎨⎪⎧真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句知识点二 命题的构成形式1．命题的一般形式为“若p 则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论． 2．确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式．知识点三四种命题及其关系思考初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？答案在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题．梳理(1)四种命题的概念(2)四种命题间的关系(3)四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．③四种命题中，真命题都是成对出现，即真命题的个数为0或2或4.1．命题均能判断其真假．(√)2．我们所学习过的定理均为命题．(√)3．命题：若函数f (x )为区间D 上的奇函数，则f (0)＝0，为真命题．(×) 4．命题：若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，其逆命题为真命题．(×)类型一 命题的概念及真假判断 命题角度1 命题的概念例1 判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)π3是有理数； (2)3x 2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若a 与b 是无理数，则ab 是无理数． 考点 命题的定义及分类 题点 命题的定义解 (1)“π3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假，所以它不是命题． (3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)“若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题． (5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． (6)“若a 与b 是无理数，则ab 是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． 反思与感悟 判断一个语句是不是命题的三个关键点(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题． (2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题． (3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．跟踪训练1 下列语句是命题的是________．(填序号)①三角形内角和等于180°；②2＞3；③一个数不是正数就是负数；④x ＞2；⑤这座山真险啊！考点 命题的定义及分类 题点 命题的定义 答案 ①②③解析 依据命题定义，得①②③为命题．命题角度2 命题真假的判断 例2 给定下列命题： ①若a >b ，则2a >2b ；②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题； ③直线x ＝π2是函数y ＝sin x 的一条对称轴；④在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是钝角三角形． 其中为真命题的是________．(填序号) 考点 命题的真假判断 题点 命题真假的判断 答案 ①③④解析 结合函数f (x )＝2x 的单调性，知①为真命题；而函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝π2＋k π，k ∈Z ，故③为真命题；又因为AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝－|AB →||BC →|cos B >0，故得cos B <0，从而得B 为钝角，所以④为真命题． 引申探究1．本例中命题④改为：若AB →·BC →<0，则△ABC 是锐角三角形，该命题还是真命题吗？ 解 不是真命题，AB →·BC →<0只能说明∠B 是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．2．本例中命题④改为：若AB →·BC →＝0，则△ABC 是________三角形． 答案 直角解析 由AB →·BC →＝0，得∠B ＝90°，故该三角形为直角三角形．反思与感悟 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．跟踪训练2判断下列语句是否为命题？若是命题，则判断其真假：(1)2是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(5)当x＝4时，2x＋1＞0.解(1)能判断真假，是命题，是假命题．(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)．(3)不能判断真假，不是命题．(4)是命题，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列是递减数列，因此是一个假命题．(5)能判断真假，是命题，是真命题．类型二四种命题的关系及真假判断命题角度1四种命题的写法例3把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．反思与感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．跟踪训练3写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．命题角度2四种命题的真假判断例4写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．解(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．反思与感悟 1.若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．2．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．3．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.跟踪训练4下列命题中为真命题的是________．(填序号)①“正三角形都相似”的逆命题；②“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；③“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．答案②③解析①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题．②原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m<0，∴m<－14<0.故为真命题．③原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”．∵x不是无理数，∴x是有理数．又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数．故为真命题．所以真命题是②③.类型三等价命题的应用例5证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．反思与感悟因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键．跟踪训练5证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a ＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．1．下列语句：①12>5；②3是12的约数；③0.5是整数；④x是偶数；⑤x<2.其中是命题的为________．(填序号)答案①②③解析依据命题的定义知只有①②③为命题．2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________________________．考点四种命题的概念题点按要求写出命题答案若|a|＝|b|，则a＝－b3．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________．答案若x>0，则x>1若x≤0，则x≤14．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案 4解析逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，全为真命题．5．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c >0无解”． (1)写出命题p 的否命题； (2)判断命题p 的否命题的真假．解 (1)命题p 的否命题为“若ac <0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c >0有解”． (2)命题p 的否命题是真命题． 判断如下： 因为ac <0，所以－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根⇒ax 2＋bx ＋c >0有解， 所以该命题是真命题．1．根据命题的定义，可以判断真假的语句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p 则q ”的形式．含有大前提的命题写成“若p 则q ”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p 中．3．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p 经逻辑推理得出q ，则命题“若p 则q ”为真；确定“若p 则q ”为假时，则只需举一个反例说明即可．一、填空题 1．给出下列命题 ①若a >b ，则a 3>b 3； ②若a >1，则1a<1；③一元二次方程x 2－x ＋1＝0无实数解； ④若a ≥b ，则ac 2≥bc 2.其中为真命题的是________．(填序号) 答案 ①②③④解析 显然①成立，②成立；而对于③：判别式Δ＝(－1)2－4＝－3<0，故该方程无实数解；对于④：结合不等式性质，可知该命题为真命题． 2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________．答案 若tan α≠1，则α≠π43．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；③若a >b ，则ac 2>bc 2；④矩形的对角线互相垂直． 其中假命题的个数是________． 答案 4解析 ①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当x ，y 中一个为零，另一个不为零时，|x |＋|y |≠0；③当c ＝0时不成立；④矩形的对角线不一定垂直． 4．给出下列命题：①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题；②“若{a n }既是等差数列，又是等比数列，则a n ＝a n ＋1(n ∈N *)”的逆命题； ③“若m ＞1，则不等式x 2＋2x ＋m ＞0的解集为R ”的逆否命题． 其中所有真命题的序号是________． 答案 ①③解析 ①的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”是真命题；②的逆命题为“数列{a n }中，若a n ＝a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列”是假命题，如0,0,0…；对于③，当m ＞1时，Δ＝4－4m ＜0恒成立，x 2＋2x ＋m ＞0的解集为R 是真命题．因此逆否命题是真命题．5．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________． 答案 [1，2]解析 由已知得若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 6．命题“函数y ＝log 2(x 2－mx ＋4)的值域为R ”为真命题，则实数m 的取值范围为________________． 考点 命题的定义及分类题点 由命题的真假求参数的取值范围答案 (－∞，－4]∪[4，＋∞)解析 由题意可知，满足条件时，需方程x 2－mx ＋4＝0的判别式Δ≥0，即(－m )2－4×4≥0，解得m ≤－4或m ≥4.7．命题“当a ＞0，a ≠1时，若函数f (x )＝log a x 在其定义域内是减函数，则log a 2＜0”的逆否命题是________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 考点 四种命题的概念题点 按要求写命题答案 当a ＞0，a ≠1时，若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x 在其定义域内不是减函数．8．已知命题“函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点”为真命题，则实数b 的取值范围是________． 答案 (0,2)解析 函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点等价于函数y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出函数y ＝|2x －2|及y ＝b 的图象，如图．由图可知b ∈(0,2)．9．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ，q 中有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是________．考点 命题的真假判断题点 由命题的真假求参数的取值范围答案 (－∞，－2]解析 p 为真命题时，Δ＝4a 2－16＜0，解得－2＜a ＜2.q 为真命题时，5－2a ＞1，解得a ＜2.当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥2，a ∈∅.当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a ＜2，即a ≤－2. 故实数a 的取值范围为(－∞，－2]．10．命题“对于正数a ，若a ＞1，则lg a ＞0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________．答案 4解析 逆命题：对于正数a ，若lg a ＞0，则a ＞1，否命题：对于正数a ，若a ≤1，则lg a ≤0.逆否命题：对于正数a ，若lg a ≤0，则a ≤1.根据对数的性质可知都是真命题．二、解答题11．把下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)当ac >bc 时，a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (3)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0.解 (1)若ac >bc ，则a >b .∵当ac >bc ，c <0时，a <b ，∴该命题是假命题．(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根． ∵Δ＝1－4m <0，∴该命题是真命题．(3)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，∴该命题是真命题．12．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0，命题q ：1－x ＋x 24<1，若命题p ，q 至少有一个是真命题，求实数x 的取值范围．解 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24<1，得x 2－4x <0，解得0<x <4. 若命题p ，q 至少有一个是真命题，则有以下三种情形：①p 真q 假；②p 假q 真；③p 真q 真．当p 真q 假时，有⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3，x ≤0或x ≥4.解得x ≤－1或x ≥4.当p 假q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <3，0<x <4，解得0<x <3. 当p 真q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3，0<x <4，解得3≤x <4. 综上，满足条件的实数x 的取值范围为以上三种情况的并集，即(－∞，－1]∪(0，＋∞)．13．判断命题：“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题的真假．解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为b ≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0无实根，则b >－1”．方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b <0，所以b >0，所以b >－1成立，即原命题的逆否命题为真．三、探究与拓展14．命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 考点 命题的真假判断题点 由命题的真假求参数的取值范围答案 (－∞，0)∪[3，＋∞)解析 若命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是真命题，当a ＝0时，3>0符合题意，当a ≠0时，则a >0且Δ<0，解得0<a <3，综上可知，当0≤a <3时，命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是真命题，故当a <0或a ≥3时，命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题．15．写出命题“当2m ＋1＞0时，如果m ＋32m －1＞0，那么m 2－5m ＋6＜0”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别指出四种命题的真假．考点 四种命题的概念题点 判断四种命题的真假解 由2m ＋1＞0，得m ＞－12. 由m ＋32m －1＞0，得m ＜－3或m ＞12， 又m ＞－12，所以m ＞12. 由m 2－5m ＋6＜0，得2＜m ＜3，又m ＞－12，所以2＜m ＜3. 由此可知，原命题可变为“如果m ＞12，那么2＜m ＜3”， 显然原命题是假命题．逆命题为“当2m ＋1＞0时，如果m 2－5m ＋6＜0， 那么m ＋32m －1＞0”， 即“如果2＜m ＜3，那么m ＞12”，它是真命题． 否命题为“当2m ＋1＞0时，如果m ＋32m －1≤0， 那么m 2－5m ＋6≥0”，因为⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1＞0，m ＋32m －1≤0，所以⎩⎨⎧ m ＞－12，－3≤m ＜12， 所以－12＜m ＜12， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1＞0，m 2－5m ＋6≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－12，m ≤2或m ≥3， 即－12＜m ≤2或m ≥3， 所以否命题可表述为“如果－12＜m ＜12， 那么－12＜m ≤2或m ≥3”，它是真命题．逆否命题为“当2m ＋1＞0时，如果m 2－5m ＋6≥0，那么m ＋32m －1≤0”， 则逆否命题可表述为“如果－12＜m ≤2或m ≥3， 那么－12＜m ＜12”，它是假命题．。

1 空间向量加减法运用的三个层次空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算．第1层 用已知向量表示未知向量例1 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1―→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N ―→；(3)MP →＋NC 1―→. 解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1―→＋A 1D 1――→＋D 1P ―→＝a ＋AD →＋12D 1C 1――→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N ―→＝A 1A ―→＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A ―→＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ，又NC 1―→＝NC →＋CC 1―→＝12BC →＋AA 1―→＝12AD →＋AA 1―→＝12c ＋a ， ∴MP →＋NC 1―→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 点评 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可以把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立． 第2层 化简向量例2 如图，已知空间四边形ABCD ，连结AC ，BD .设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋12(BD →＋BC →)；(3)AG →－12(AB →＋AC →)．解 (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋12BC →＋12BD →＝AB →＋BM →＋MG →＝AG →. (3)AG →－12(AB →＋AC →)＝AG →－AM →＝MG →. AD →，AG →，MG →如图所示．点评 要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则．第3层 证明立体几何问题例3 如图，已知M ，N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心，且G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B ，G ，N 三点共线．证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， 则BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ，BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →.∴BN →∥BG →，又∵BN →与BG →有公共点B ， ∴B ，G ，N 三点共线．2 空间向量易错点扫描易错点1 对向量夹角与数量积的关系理解不清例1 “a·b <0”是“〈a ，b 〉为钝角”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 错解 a·b <0⇔cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |<0⇔〈a ，b 〉为钝角，所以“a·b <0”是“〈a ，b 〉为钝角”的充要条件．错因分析 错解中忽略了两个向量共线且反向的情况．剖析当〈a，b〉＝π时，a·b<0，但此时夹角不为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的必要不充分条件．正解必要不充分易错点2 忽略两向量的夹角的定义例2 如图所示，在120°的二面角α—AB —β中，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A ，B .已知AC ＝AB ＝BD ＝6，试求线段CD 的长．错解 ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ， ∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0，∵二面角α—AB —β的平面角为120°，∴〈CA →，BD →〉＝120°. ∴CD 2＝CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2BD →·AB →＝3×62＋2×62×cos 120°＝72，∴CD ＝6 2.错因分析 错解中混淆了二面角的平面角与向量夹角的概念．向量CA →，BD →的夹角与二面角α—AB —β的平面角互补，而不是相等． 正解 ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ， ∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0，∵二面角α—AB —β的平面角为120°， ∴〈CA →，BD →〉＝180°－120°＝60°. ∴CD 2＝CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2BD →·AB →＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD ＝12. 易错点3 判断是否共面出错例3 已知O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间的一个基底的是________．(将正确答案的序号填上) ①OA →；②OB →；③OC →；④OA →或OB →.错解 a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →， 相加得OA →＋OB →＝12(a ＋b )，所以OA →，OB →都与a ，b 共面，不能构成空间的一个基底，故填④.剖析 OA →＋OB →＝12(a ＋b )，说明OA →＋OB →与a ，b 共面，但不能认为OA →，OB →都与a 、b 共面．设OA →＝x a ＋y b ，因为a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，代入整理得(x ＋y －1)OA →＋(x ＋y )OB →＋(x －y )OC →＝0，因为O ，A ，B ，C 四点不共面， 所以OA →，OB →，OC →不共面，所以x ＋y －1＝0，x ＋y ＝0，x －y ＝0， 此时，x ，y 不存在，所以a ，b 与OA →不共面， 故a ，b 与OA →可构成空间的一个基底． 同理a ，b 与OB →也可构成空间的一个基底．因为a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，相减有OC →＝12(a －b )，所以OC →与a ，b 共面，故不能构成空间的一个基底． 正解 ③易错点4 混淆向量运算和实数运算例4 阅读下列各式，其中正确的是________．(将正确答案的序号填上) ①a ·b ＝b ·c (b ≠0)⇒a ＝c ②a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0 ③(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )④OA →·BO →＝|OA →||BO →|cos(180°－∠AOB ) 错解 ①(或②或③)剖析 想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价，以致出错．向量的数量积运算不满足消去律、结合律 ，故①③错误；若a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故②错误；OA →·BO →的夹角是180°－∠AOB . 正解 ④易错点5 忽略建系的前提例5 四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，AE ⊥平面ABCD ，AE ＝2，F 为CE的中点，试合理建立坐标系，求AF →，BC →所成角的余弦值．错解 以A 为坐标原点，以AB →，AD →，AE →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A －xyz .此时AF →＝(1,1,1)，BC →＝(0,2,0)，所以cos 〈AF →，BC →〉＝33.剖析 空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直，而本题中直线AB 与AD 不垂直． 正解 设AC ，BD 交于点O ，则AC ⊥BD . 因为F 为CE 中点，所以OF ∥AE ， 因为AE ⊥平面ABCD ，所以OF ⊥平面ABCD ，OF ⊥AC ，OF ⊥BD ，以O 为坐标原点，以OC →，OD →，OF →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz .此时AF →＝(1,0,1)，BC →＝(1，3，0)， 所以cos 〈AF →，BC →〉＝24.易错点6 求空间角时，因对所求角与向量夹角的关系不理解致误 例6 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求二面角A －BD 1－C 的大小．错解 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)．由题意知DA 1―→是平面ABD 1的一个法向量，DA 1―→＝(1,0,1)，DC 1―→是平面BCD 1的一个法向量，DC 1―→＝(0,1,1)，所以cos 〈DA 1―→，DC 1―→〉＝DC 1―→·DA 1―→|DC 1―→||DA 1―→|＝12.所以〈DA 1―→，DC 1―→〉＝60°.所以二面角A －BD 1－C 的大小为60°.剖析 利用向量法求所成角问题，需注意所求的角的确切位置．正解 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)．由题意知DA 1―→＝(1,0,1)是平面ABD 1的一个法向量，DC 1―→＝(0,1,1)是平面BCD 1的一个法向量． 所以cos 〈DA 1―→，DC 1―→〉＝DC 1―→·DA 1―→|DC 1―→||DA 1―→|＝12，所以〈DA 1―→，DC 1―→〉＝60°.结合图形知二面角A －BD 1－C 的大小为120°.3 空间直角坐标系构建三策略利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如． 1．利用共顶点的互相垂直的三条棱例1 已知直四棱柱中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，试求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．解 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，B (2,4,0)，C (0,1,0)，所以BC 1―→＝(－2，－3,2)，CD →＝(0，－1,0)． 所以cos 〈BC 1→，CD →〉＝BC 1―→·CD ―→|BC 1―→||CD ―→|＝31717.故异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值为31717.点评 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可． 2．利用线面垂直关系例2 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BB 1C 1C ，E 为棱C 1C 的中点，已知AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．解 过B 点作BP ⊥BB 1交C 1C 于点P ， 因为AB ⊥平面BB 1C 1C ， 所以BP ⊥平面ABB 1A 1，以B 为原点，分别以BP ，BB 1，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系． 因为AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3，所以CP ＝12，C 1P ＝32，BP ＝32，则各点坐标分别为B (0，0,0)，A (0,0，2)，B 1(0,2,0)，C ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，C 1⎝⎛⎭⎫32，32，0，E ⎝⎛⎭⎫32，12，0，A 1(0,2，2)．点评 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的垂直关系“AB ⊥平面BB 1C 1C ”，可作为建系的突破口． 3．利用面面垂直关系例3 如图1，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝2，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点．将△ABE 沿AE 折起，使平面BAE ⊥平面AEC (如图2)，连结BC ，BD .求平面ABE 与平面BCD 所成的锐角的大小．解 取AE 中点M ，连结BM ，DM .因为在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点， 所以△ABE 与△ADE 都是等边三角形， 所以BM ⊥AE ，DM ⊥AE .又平面BAE ⊥平面AEC ，所以BM ⊥MD .以M 为原点，分别以ME ，MD ，MB 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系M －xyz ，如图，则M (0,0,0)，B (0,0，3)，C (2，3，0)，D (0，3，0)， 所以DC →＝(2,0,0)，BD →＝(0，3，－3)， 设平面BCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝2x ＝0，m ·BD →＝3y －3z ＝0.取y ＝1，得m ＝(0,1,1)，又因为平面ABE 的一个法向量MD →＝(0，3，0)， 所以cos 〈m ，MD →〉＝m ·MD →|m ||MD →|＝22，所以平面ABE 与平面BCD 所成的锐角为45°.点评 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐角的大小．用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．4 用向量法研究“动态”立体几何问题“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，同时由于“动态”的存在，使得问题的处理趋于灵活．本文介绍巧解“动态”立体几何问题的法宝——向量法，教你如何以静制动． 1．求解、证明问题例1 在棱长为a 的正方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ，求证：A 1F ⊥C 1E .证明 以O 为坐标原点，OA ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )． 设AE ＝BF ＝x ，∴E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)． ∴A 1F ―→＝(－x ，a ，－a )， C 1E ―→＝(a ，x －a ，－a )．∵A 1F ―→·C 1E ―→＝(－x ，a ，－a )·(a ，x －a ，－a ) ＝－ax ＋ax －a 2＋a 2＝0，∴A 1F ―→⊥C 1E ―→，即A 1F ⊥C 1E . 2．定位问题例2 如图，已知四边形ABCD ，CDGF ，ADGE 均为正方形，且边长为1，在DG 上是否存在点M ，使得直线MB 与平面BEF 的夹角为45°？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．解题提示 假设存在点M ，设平面BEF 的法向量为n ，设BM 与平面BEF 所成的角为θ，利用sin θ＝|BM →·n ||BM →||n |求出点M 的坐标，若满足条件则存在．解 因为四边形CDGF ，ADGE 均为正方形， 所以GD ⊥DA ，GD ⊥DC .又DA ∩DC ＝D ，DA ，DC ⊂平面ABCD ， 所以GD ⊥平面ABCD .又DA ⊥DC ，所以DA ，DG ，DC 两两互相垂直，如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DG 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则B (1,1,0)，E (1,0,1)，F (0,1,1)． 因为点M 在DG 上，假设存在点M (0,0，t )(0≤t ≤1)使得直线BM 与平面BEF 的夹角为45°. 设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 因为BE →＝(0，－1,1)，BF →＝(－1,0,1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BE →＝0，n ·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0，令z ＝1，得x ＝y ＝1，所以n ＝(1,1,1)为平面BEF 的一个法向量．又BM →＝(－1，－1，t )，直线BM 与平面BEF 所成的角为45°，所以sin 45°＝|BM →·n ||BM →||n |＝|－2＋t |t 2＋2×3＝22， 解得t ＝－4±3 2.又0≤t ≤1， 所以t ＝32－4.故在DG 上存在点M (0,0,32－4)，且DM ＝32－4时，直线MB 与平面BEF 所成的角为45°.点评 由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不确定，这时我们要以不变应万变，抓住问题的实质，引入参量，利用空间垂直关系及数量积将几何问题代数化，达到以静制动的效果．5 向量与立体几何中的数学思想1．数形结合思想向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想．向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起．例1 如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，且A 1A ＝AB ＝AD ＝2BC ＝2，点E 在棱AB 上，平面A 1EC 与棱C 1D 1相交于点F .(1)证明：A 1F ∥平面B 1CE ；(2)若E 是棱AB 的中点，求二面角A 1－EC －D 的余弦值； (3)求三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值．(1)证明 因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱柱， 所以平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1. 又因为平面ABCD ∩平面A 1ECF ＝EC ， 平面A 1B 1C 1D 1∩平面A 1ECF ＝A 1F ， 所以A 1F ∥EC .又因为A 1F ⊄平面B 1CE ， EC ⊂平面B 1CE ，所以A 1F ∥平面B 1CE . (2)解 因为AA 1⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，所以AA 1，AB ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A 1(0,0,2)，E (1,0,0)，C (2,1,0)， 所以A 1E ―→＝(1,0，－2)，A 1C ―→＝(2,1，－2)． 设平面A 1ECF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧A 1E ―→·m ＝0，A 1C ―→·m ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，2x ＋y －2z ＝0.令z ＝1，得m ＝(2，－2,1)．又因为平面DEC 的法向量为n ＝(0,0,1)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13，由图可知，二面角A 1－EC －D 的平面角为锐角， 所以二面角A 1－EC －D 的余弦值为13.(3)解 过点F 作FM ⊥A 1B 1于点M ，因为平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，平面A 1ABB 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1B 1，FM ⊂平面A 1B 1C 1D 1，FM ⊥A 1B 1， 所以FM ⊥平面A 1ABB 1，所以VB 1－A 1EF ＝VF －B 1A 1E ＝13×11A B ES ×FM＝13×2×22×FM ＝23FM . 因为当F 与点D 1重合时，FM 取到最大值2(此时点E 与点B 重合)， 所以当F 与点D 1重合时，三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值为43.2．转化与化归思想空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决．将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题．这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要．例2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE .(1)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ；(2)求二面角A －DF －C 的平面角的余弦值．分析 求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(1)证明 以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,2)． ∵E 为AB 的中点，∴E (1,1,0)， ∵D 1F ＝2FE ，∴D 1F ―→＝23D 1E ―→＝23(1,1，－2)＝⎝⎛⎭⎫23，23，－43， ∴DF →＝DD 1―→＋D 1F ―→＝(0,0,2)＋⎝⎛⎭⎫23，23，－43 ＝⎝⎛⎭⎫23，23，23.设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面DFC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF →＝0，n ·DC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x 1＋23y 1＋23z 1＝0，2y 1＝0.取x 1＝1，得平面DFC 的一个法向量n ＝(1,0，－1)． 设p ＝(x 2，y 2，z 2)是平面D 1EC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ p ·D 1F ―→＝0，p ·D 1C ―→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x 2＋23y 2－43z 2＝0，2y 2－2z 2＝0，取y 2＝1，得平面D 1EC 的一个法向量p ＝(1,1,1)， ∵n ·p ＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，∴n ⊥p ， ∴平面DFC ⊥平面D 1EC .(2)解 设q ＝(x 3，y 3，z 3)是平面ADF 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ q ·DF →＝0，q ·DA →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x 3＋23y 3＋23z 3＝0，x 3＝0，取y 3＝1，得平面ADF 的一个法向量q ＝(0,1，－1)，设二面角A －DF －C 的平面角为θ，由题中条件可知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos θ＝－|n ·q ||n ||q |＝－|0＋0＋1|2×2＝－12，∴二面角A －DF －C 的平面角的余弦值为－12.3．函数思想例3 已知关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，且c ＝a ＋t b ，a ＝(－1,1,3)，b ＝(1,0，－2)．问|c |能否取得最大值？若能，求出实数t 的值及对应的向量b 与c 夹角的余弦值；若不能，请说明理由．分析 写出|c |关于t 的函数关系式，再利用函数观点求解． 解 由题意知Δ≥0，得－4≤t ≤－43，又c ＝(－1,1,3)＋t (1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t )， ∴|c |＝(－1＋t )2＋(3－2t )2＋1 ＝5⎝⎛⎭⎫t －752＋65. 当t ∈⎣⎡⎦⎤－4，－43时，f (t )＝5⎝⎛⎭⎫t －752＋65是单调递减函数，∴f (t )max ＝f (－4)，即|c |的最大值存在，此时c ＝(－5,1,11)．b·c ＝－27，|c |＝7 3.而|b |＝5， ∴cos 〈b ，c 〉＝b·c|b||c |＝－275×73＝－91535.点评 凡涉及向量中的最值问题，若可用向量坐标形式，一般可考虑写出函数关系式，利用函数思想求解． 4．分类讨论思想例4 如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，P A ⊥平面ABCD (点P 位于平面ABCD 上方)，问BC 边上是否存在点Q ，使PQ →⊥QD →？分析 由PQ →⊥QD →，得PQ ⊥QD ，所以在平面ABCD 内，点Q 在以边AD 为直径的圆上，若此圆与边BC 相切或相交，则BC 边上存在点Q ，否则不存在． 解 假设存在点Q (Q 点在边BC 上)，使PQ →⊥QD →， 即PQ ⊥QD ，连结AQ .∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥QD . 又PQ →＝P A →＋AQ →且PQ →⊥QD →，∴PQ →·QD →＝0， 即P A →·QD →＋AQ →·QD →＝0.又由P A →·QD →＝0，∴AQ →·QD →＝0，∴AQ →⊥QD →. 即点Q 在以边AD 为直径的圆上，圆的半径为a 2.又∵AB ＝1，由题图知，当a2＝1，即a ＝2时，该圆与边BC 相切，存在1个点Q 满足题意； 当a2>1，即a >2时，该圆与边BC 相交，存在2个点Q 满足题意； 当a2<1，即0＜a <2时，该圆与边BC 相离，不存在点Q 满足题意． 综上所述，当a ≥2时，存在点Q ，使PQ →⊥QD →； 当0<a <2时，不存在点Q ，使PQ →⊥QD →.。

第2课时“非”学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别．知识点一逻辑联结词“非”思考观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？(1)p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根．(2)p：y＝tan x是偶函数；q：y＝tan x不是偶函数．答案两组命题中，命题q都是命题p的否定．梳理(1)命题的否定：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．(2)命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．知识点二“p∧q”与“p∨q”的否定对复合命题“p∧q”的否定，除将简单命题p，q否定外，还需将“且”变为“或”．对复合命题“p∨q”的否定，除将简单命题p，q否定外，还需将“∨”变为“∧”．复合命题的真假，主要利用真值表来判断，其步骤如下：(1)确定复合命题的构成形式；(2)判断其中各简单命题的真假；(3)利用真值表判断复合命题的真假．知识点三命题的否定与否命题思考已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定，并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别？答案命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；命题p的否定：平行四边形的对角线不相等．命题的否命题与命题的否定有着本质的区别，命题的否定只否定原命题的结论，不能否定原命题的条件，而否命题是对原命题的条件和结论都否定．梳理(1)命题的否定：“非”命题是对原命题结论的否定．①“綈p”是否定命题p的结论，不否定命题p的条件，这也是“綈p”与否命题的区别；②p与“綈p”的真假必定相反；③“綈p”必须包含p的所有对立面．(2)否命题：求一个命题的否命题时，要对原命题的条件和结论同时否定．1．命题的否定和否命题是一回事．(×)2．命题“方程x2－3＝0没有有理根”的否定为“方程x2－3＝0有有理根”．(√)3．命题“若a2＞b2，则|a|＞|b|”的否定为“若a2＞b2，则|a|＜|b|”．(×)类型一綈p命题及构成形式例1写出下列命题的否定形式．(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解(1)面积相等的三角形不都是全等三角形．(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.引申探究写出本例中所给命题的否命题．解(1)面积不相等的三角形不都是全等三角形．(2)若m2＋n2≠0，则实数m，n不全为零．(3)若xy≠0，则x≠0且y≠0.反思与感悟綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等．跟踪训练1写出下列命题的否定形式．(1)p：y＝sin x是周期函数；(2)p：3<2；(3)p：空集是集合A的子集；(4)p：5不是75的约数．解(1) 綈p：y＝sin x不是周期函数．(2) 綈p：3≥2.(3) 綈p：空集不是集合A的子集．(4) 綈p：5是75的约数．类型二含逻辑联结词的命题的真假判断例2分别判断由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假．(1)p：函数y＝x2和函数y＝2x的图象有两个交点；q：函数y＝2x是增函数．(2)p：7＞7；q：7＝7.考点綈p形式命题真假性的判断题点判断綈p的真假解(1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p 为真命题．(2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．引申探究在本例条件不变的前提下，对(1)判断“(綈p)∧q”“(綈q)∨p”的真假；对(2)判断“p∧(綈q)”“p∨(綈q)”“(綈p)∧(綈q)”“(綈p)∨(綈q)”的真假．解(1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以綈p是真命题，綈q是假命题，即(綈p)∧q为真命题，(綈q)∨p为假命题．(2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以綈p是真命题，綈q是假命题，所以p∧(綈q)为假命题，p∨(綈q)为假命题；(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题．反思与感悟 判断复合命题真假的关键是准确判断简单命题的真假．跟踪训练2 已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①(綈p )∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④(綈p )∨(綈q )． 考点 “綈p ”形式命题真假性的判断 题点 判断綈p 的真假 答案 ④解析 由于命题p 为真命题，命题q 为假命题，因此，命题綈p 是假命题，命题綈q 是真命题，从而(綈p )∨q ，p ∧q ，(綈p )∧(綈q )都是假命题，(綈p )∨(綈q )为真命题． 类型三 命题的否定的真假应用例3 已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p ∨q ”与“綈q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围． 解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－22－2a >0，，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.由于⎩⎨⎧a >0Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4，所以0≤a <4.因为“p ∨q ”与“綈q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．反思与感悟 由真值表可判断p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假，反之，由p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假也可判断p，q的真假情况．一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．跟踪训练3已知命题p：|x2－x|≤2，q：x∈Z，若“p∧q”与“綈p”同时为假命题，则x 的取值范围为________．答案{x|－1<x<2且x≠0,1}解析由p得－1≤x≤2，又q：x∈Z，得p∧q：x∈{－1,0,1,2}．綈p：x<－1或x>2，因为“p∧q”与“綈p”同时为假，所以p真且q假，故－1<x<2且x ≠0,1.1．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是________．(填序号)①“p∨q”为假，“綈q”为假；②“p∨q”为真，“綈q”为假；③“p∧q”为假，“綈p”为假；④“p∧q”为真，“p∨q”为假．答案②解析显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假，故②正确．2．命题“若a>b，则3a>3b”的否命题是________________，命题的否定为________________．答案若a≤b，则3a≤3b若a>b，则3a≤3b3．“a≥5且b≥2”的否定是________．答案a<5或b<2解析“p∨q”的否定是“(綈p)∧綈q”，而“p∧q”的否定为“(綈p)∨(綈q)”．4．给出命题p：直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行的充要条件是a＝－3，命题q：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.关于以上两个命题，下列结论中正确的是________．(填序号)①命题“p∧q”为真；②命题“p∨q”为假；③命题“p∨(綈q)”为真；④命题“p∧(綈q)”为真．答案 ③④解析 依题意得命题p 为真命题，命题q 为假命题．故p ∧q 为假，p ∨q 为真，p ∨(綈q )为真，p ∧(綈q )亦为真，只有③④正确．5．已知a ＞0，且a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减，q ：抛物线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，若(綈p )∧q 为真命题，则实数a 的取值范围为________________．考点 “非p ”形式命题真假性的判断 题点 由“非p ”命题的真假求参数的取值范围 答案 ⎝⎛⎭⎫52，＋∞解析 由函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减，知0＜a ＜1. 若抛物线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点， 则Δ＝(2a －3)2－4＞0，即a ＜12或a ＞52.∵(綈p )∧q 为真命题，∴p 为假命题，且q 为真命题，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＜12或a ＞52，∴a ＞52. ∴所求实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫52，＋∞.1．带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”．2．“否命题”与命题的“否定”的区别：对命题的否定(即非p )只是否定命题的结论，而否命题(“若p 则q ”形式的命题)既否定条件又否定结论．否命题与原命题的真假无必然联系，而命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假．一、填空题1．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出綈p为真．综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．2．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p ∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．(填序号)答案②③解析由不等式性质知：命题p为真命题，命题q为假命题，从而綈p为假命题，綈q为真命题．故p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∨q为假命题．3．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题①p1∨p2，②p1∧p2，③(綈p1)∨p2和④p1∧(綈p2)中，为真命题的是________．(填序号)答案①④解析p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴①p1∨p2是真命题，②p1∧p2是假命题，∴③(綈p1)∨p2为假命题，④p1∧(綈p2)为真命题．∴为真命题的是①④.4．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是________．(填序号)①p假q真；②“p∨q”为真；③“p∧q”为真；④“非p”为真．答案②解析由(x＋2)(x－3)<0，得－2<x<3，∵1∈(－2,3)，∴p真．∵∅≠{0}，∴q为假，∴“p∨q”为真．5．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．答案 [1,2)解析 x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)， 即x ∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于该命题是假命题， 所以1≤x <2，即x ∈[1,2)．6．已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的________条件． 答案 充分不必要解析 p ：{x |x >1或x <－3}，q ：{x |2<x <3}． 则綈p ：{x |－3≤x ≤1}，綈q ：{x |x ≥3或x ≤2}． ∴(綈p )⇒(綈q )且(綈q )⇏(綈p )． ∴綈p 是綈q 的充分不必要条件．7．若命题p ：x ∈{1,2,3,4}，命题q ：x ∈{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，则p 是綈q 的____________条件．答案 充分不必要解析 ∵q ：x ∈{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }， ∴綈q ：x ∈{x |0<x <5，x ∈R }， ∴p ⇒綈q 但綈q ⇒/p .8．已知p ：|x 2－x |≥6，q ：x ∈Z ，且“p ∧q ”与“綈q ”同时为假，则x 的值为________． 答案 －1,0,1,2解析 ∵p 且q 为假，∴p ，q 中至少有一个为假．又“綈q ”为假，∴q 为真，进而可知p 为假．由p 假q 真可得⎩⎪⎨⎪⎧ |x 2－x |<6，x ∈Z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3，x ∈Z ，∴x 的取值为－1,0,1,2.9．命题p ：函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p 是假命题，则a 的取值范围是__________________________________________、_______________________． 考点 “非p ”形式命题真假性的判断 题点 由“非”命题的真假求参数的取值范围 答案 (－∞，－3]解析 由题意，知－2(a －1)2≥4，解得a ≤－3.10．给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(x ＋1)]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1e x ＋1为偶函数，下列说法正确的是________．(填序号)①p ∨q 是假命题；②(綈p )∧q 是假命题；③p ∧q 是真命题；④(綈p )∨q 是真命题． 答案 ②解析 p 中，f (－x )＝ln [(1＋x )(1－x )]＝f (x )，又定义域关于原点对称，故函数为偶函数，故p 为真；q 中，f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1－e xe x ＋1＝－f (x )，定义域为R ，故函数为奇函数，故q 为假，故(綈p )∧q 为假．11．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，下列结论中： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是________．(填序号) 答案 ②解析 命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面或相交． 二、解答题12．写出下列命题的否定及否命题．(1)若m 2＋n 2＋x 2＋y 2＝0，则实数m ，n ，x ，y 全为零； (2)若x <0，则x 2>0.解 (1)命题的否定：若m 2＋n 2＋x 2＋y 2＝0， 则实数m ，n ，x ，y 不全为零． 否命题：若m 2＋n 2＋x 2＋y 2≠0， 则实数m ，n ，x ，y 不全为零． (2)命题的否定：若x <0，则x 2≤0. 否命题：若x ≥0，则x 2≤0.13已知p ：关于x 的不等式|2x －3|<m (m >0)，q ：x (x －3)<0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 由|2x －3|<m (m >0)，得3－m 2<x <3＋m2.由x (x －3)<0，得0<x <3.若綈p 是綈q 的必要不充分条件， 则q 是p 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，3－m 2>0，3＋m 2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，3－m 2≥0，3＋m 2＜3，解得0<m <3.故实数m 的取值范围是(0,3)． 三、探究与拓展14．若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x 的单调递增区间是[1，＋∞)，则下列说法正确的是________．(填序号)①p ∧q 是真命题；②p ∨q 是假命题；③綈p 是假命题；④綈q 是假命题． 考点 “p ∨q ”“p ∧q ”形式命题真假性的判断 题点 判断“p ∨q ”“p ∨q ”形式命题的真假 答案 ③解析 因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p 是真命题．因为函数y ＝x －1x 的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 是假命题，綈q 是真命题．15．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x －3<0，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0}． (1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若綈p 是綈q 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)A ＝{x |2<x <3}，当a ＝12时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <94. ∴∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12或x ≥94，23 ∴(∁U B )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪94≤x <3. (2)由綈p 是綈q 的必要条件，得q 是p 的必要条件， 即p ⇒q ，可知A ⊆B ，由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3，解得a ≤－1或1≤a ≤2. ∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[1,2]．。

1．1.2充分条件和必要条件如图：p：开关A闭合，q：灯泡B亮．问题1：p与q有什么关系？提示：命题p成立，命题q一定成立．p：两三角形相似，q：对应角相等．问题2：p与q有什么关系？提示：命题p成立，命题q一定成立．一般地，如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．已知p：整数x是6的倍数；q：整数x是2和3的倍数．问题1：“若p，则q”是真命题吗？提示：是．问题2：“若q，则p”是真命题吗？提示：是．问题3：p是q的什么条件？提示：充要条件．1．如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件．简称p是q的充要条件，记作p⇔q.2．如果p⇒q，且q ⇒/p，那么称p是q的充分不必要条件．3．如果p ⇒/q，且q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件．4．如果p ⇒/q，且q ⇒/p，那么称p是q的既不充分又不必要条件．原命题“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，则p与q的关系有以下四种情形：[对应学生用书P6][例1]对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是________．①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；③Δ＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件；④Δ＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件．[思路点拨]逐一分析Δ，根据二次函数与Δ的关系，判断结论是否正确．[精解详析]①是正确的，因为Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根⇔f(x)＝ax2＋bx＋c 有零点；②是正确的，因为Δ＝b2－4ac＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，但是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，有可能Δ>0；③是错误的，因为函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，但未必有Δ＝b2－4ac>0，也有可能Δ＝0；④是正确的，因为Δ＝b2－4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根⇔函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点．[答案]①②④[一点通]充分、必要条件判断的常用方法：(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的等价命题判断．1．从“⇒”、“⇒/”与“⇔”中选出适当的符号填空：(1)x>1________x>0；(2)a>b________a2>b2；(3)a2＋b2＝2ab________a＝b；(4)A⊆∅________A＝∅.解析：(1)由于命题“若x>1，则x>0”为真命题，则x>1⇒x>0；(2)由于命题“若a>b，则a2>b2”为假命题，则a>b⇒/ a2>b2；(3)由于命题“若a2＋b2＝2ab，则a＝b”为真命题，且逆命题也为真命题，故a2＋b2＝2ab⇔a＝b；(4)由于命题“若A⊆∅，则A＝∅”为真命题，且逆命题也为真命题，故A⊆∅⇔A＝∅.答案：(1)⇒(2) ⇒/(3)⇔(4)⇔2．(福建高考改编)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的________条件．解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆B ⇒/a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．答案：充分不必要3．指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选一个作答)：(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；(4)p：a>b，q：ac>bc.解：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0 ⇒/x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．(2)两个三角形相似⇒/两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．(3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件．(4)a >b ⇒/ ac >bc ，且ac >bc ⇒/ a >b ，故p 是q 的既不充分又不必要条件.[例2] 已知p ：2x 2－3x －2≥0，q ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 先利用不等式的解法确定命题p 、q 成立的条件，再根据p 是q 的充分不必要条件确定a 的不等式组，求得a 的范围．[精解详析] 令M ＝{x |2x 2－3x －2≥0} ＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0} ＝{x |x ≤－12或x ≥2}，N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0} ＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0} ＝{x |x ≤a －2或x ≥a }．由已知p ⇒q 且q ⇒/ p ，得M N . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －2≥－12，a <2，或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2 ⇔32≤a <2或32<a ≤2 ⇔32≤a ≤2. 即所求a 的取值范围是[32，2]．[一点通] 根据充分条件或必要条件求参数范围： (1)记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}； (2)若p 是q 的充分不必要条件，则M N ， 若p 是q 的必要不充分条件，则N M ，若p 是q 的充要条件，则M ＝N ； (3)根据集合的关系列不等式(组)； (4)求参数范围．4．已知p ：关于x 的不等式3－m 2<x <3＋m2，q ：x (x －3)<0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x 3－m 2<x <3＋m 2， B ＝{x |x (x －3)<0}＝{x |0<x <3}， 若p 是q 的充分不必要条件，则AB .注意到B ＝{x |0<x <3}≠∅，分两种情况讨论： (1)若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m2，求得m ≤0，此时AB ，符合题意；(2)若A ≠∅，即3－m 2<3＋m2，求得m >0，要使AB ，应有⎩⎪⎨⎪⎧3－m2>0，3＋m2<3，m >0解得0<m <3.综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，3)．5．已知条件p ：x 2＋x －6＝0，条件q ：mx ＋1＝0，且q 是p 的充分不必要条件，求m 的值．解：由题意得p ：A ＝{x |x ＝－3或x ＝2}， 当m ＝0时，p ＝B ＝∅， 当m ≠0时，P ：B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝－1m .∵q 是p 的充分不必要条件，∴B A .易知m ＝0适合题意．当－1m ＝－3或－1m ＝2，即m ＝13或m ＝－12时，也适合题意．∴m 的值为－12或13或0.[例3] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，p ≠1)，求数列{a n }是等比数列的充要条件．[思路点拨] 根据数列的前n 项和S n 与数列通项a n 的关系，先求出数列的通项a n ，根据数列{a n }为等比数列，探求q 所满足的条件，同时要注意充分性的证明．[精解详析] a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，∵p ≠0，p ≠1，∴p n (p －1)p n －1(p －1)＝p .若{a n }为等比数列，则a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，∴p (p －1)p ＋q＝p ， ∵p ≠0，∴p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1.∴{a n }为等比数列的必要条件是q ＝－1. 下面证明q ＝－1是{a n }为等比数列的充分条件． 当q ＝－1时，S n ＝p n －1(p ≠0，p ≠1)， ∴a 1＝S 1＝p －1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －p n －1＝p n －1(p －1)，∴a n ＝(p －1)p n －1(p ≠0，p ≠1)，a n a n －1＝(p －1)p n －1(p －1)p n －2＝p 为常数， ∴q ＝－1时，数列{a n }为等比数列．即数列{a n }是等比数列的充要条件为q ＝－1. [一点通] 求充要条件一般有两种方法：(1)等价转化法．将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，求解的过程同时也是证明的过程，因为求解的过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．(2)非等价转化法．先寻找必要条件，即将求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．6．使函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数的充分不必要条件为________． 解析：由函数f (x )＝|x －a |的图像知，函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数的充要条件为a ≤1，所以使“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件即求使“a ≤1”成立的充分不必要条件，即填写形如a ≤p ，且p <1即可，故答案不唯一，可填a ≤0.答案：a ≤07．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 解析：由于方程都是正整数解，由判别式“16－4n ≥0”得“1≤n ≤4”，逐个分析，当n ＝1、2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1、3；当n ＝4时，方程有正整数解2.答案：3或41．关于充分条件、必要条件、充要条件以及既不充分又不必要条件的关系有如下四种情形：(1)若p q ，则p 是q 的充分不必要条件； (2)若q p ，则p 是q 的必要不充分条件；(3)若p ＝q ，则p 是q 的充分必要条件，既充要条件； (4)若pq ，且qp ，则p 是q 的既不充分又不必要条件．2．根据充分条件、必要条件、充要条件的关系求参数的取值范围，往往运用等价转化的思想，利用互为逆否命题的等价性来解决．[对应课时跟踪训练(二)]1．(安徽高考改编)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的________条件．解析：由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或x ＝0，因为“x ＝12或x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件，所以“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．答案：必要不充分2．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________.解析：由1×3－a ×(a －2)＝0，得a ＝3或－1，而a ＝3时，两条直线重合，所以a ＝－1.答案：－13．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件； ②“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ③“a <5”是“a <3”的必要条件；④“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件． 其中真命题的序号为________．解析：①“a ＝b ”是ac ＝bc 的充分不必要条件，故①错，②a >b 是a 2>b 2的既不充分也不必要条件，故②错．③④正确．答案：③④4．(北京高考改编)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的________条件． 解析：由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分不必要条件．答案：充分不必要5．若p ：x (x －3)<0是q ：2x －3<m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． 解析：p ：0<x <3，q ：x <3＋m 2，若p 是q 的充分不必要条件，则3＋m2≥3，即m ≥3.答案：[3，＋∞)6．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明：(1)必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝ca<0(x 1，x 2为方程的两根)，所以ac <0. (2)充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝ca <0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 7．求直线l ：ax －y ＋b ＝0经过两直线l 1：2x －2y －3＝0和l 2：3x －5y ＋1＝0交点的充要条件．解：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y －3＝0，3x －5y ＋1＝0，得交点P ⎝⎛⎭⎫174，114. 若直线l ：ax －y ＋b ＝0经过点P ，则a ×174－114＋b ＝0.∴17a ＋4b ＝11.设a ，b 满足17a ＋4b ＝11，则b ＝11－17a4，代入方程ax －y ＋b ＝0，得ax －y ＋11－17a4＝0，整理，得⎝⎛⎭⎫y －114－a ⎝⎛⎭⎫x －174＝0. ∴直线l ：ax －y ＋b ＝0恒过点⎝⎛⎭⎫174，114，此点即为l 1与l 2的交点．综上，直线l ：ax －y ＋b ＝0经过两直线l 1：2x －2y －3＝0和l 2：3x －5y ＋1＝0交点的充要条件为17a ＋4b ＝11.8．已知p ：－6≤x －4≤6，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：p ：－6≤x －4≤6⇔－2≤x ≤10.q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m >0)⇔1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为q 是p 的充分不必要条件．即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，如图，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10，或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的范围为{m |0<m ≤3}．。

3．1.5空间向量的数量积[对应学生用书P59]空间向量的夹角在帮助日本地震灾区重建家园的过程中，中国某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件，已知它的质量为 5 000 kg，在它的顶点处分别受大小相同的力F1，F2，F3并且每两个力之间的夹角都是60°，(其中g＝10 N/kg)．问题1：向量F1和－F2夹角为多少？提示：120°.问题2：每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？提示：设每个力大小为|F0|，合力为|F|，则|F|2＝(F1＋F2＋F3)·(F1＋F2＋F3)＝(F1＋F2＋F3)2＝6|F0|2.∴|F|＝6|F0|.∴|F0|＝5 00066×10＝2 50063×10＝25 00063(N)．1．空间两个向量的夹角：定义图示表示范围已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角〈a，b〉[0，π]2.如果〈a，b〉＝0，那么向量a与b同向；如果〈a，b〉＝π，那么向量a与b反向；如果〈a，b〉＝π2，那么向量a与b互相垂直，记作a⊥b.向量的数量积两个向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．①零向量与任何向量的数量积为0.②两非零向量a，b的夹角〈a，b〉可以由下面的公式求得cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.③a⊥b⇔a·b＝0(a，b是两个非零向量)．④|a|2＝a·a＝a2.(2)运算律：①a·b＝b ·a；②(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c.数量积的坐标运算在平面向量中，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，我们知道a·b＝a1a2＋b1b2，那么在空间向量中，a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．则a·b为多少？提示：a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.设空间两个非零向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；(2)|a|＝x21＋y21＋z21；(3)cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22.特别地，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.1．数量积是数量(数值)，可以为正，可以为负，也可以为零．2．数量积的运算不满足消去律和结合律，即a·b＝b·c推不出a＝c；(a·b)c≠a(b·c)．3．空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，可以用来求解线段的长度和夹角问题．[对应学生用书P60]求空间向量的数量积[例1] 已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积：(1)BC ·1ED ； (2)BF ·1AB .[思路点拨] 法一：基向量法：BC 与1ED ，BF 与1AB 的夹角不易求，可考虑用向量AB 、AD 、1AA 表示向量BC 、1ED 、BF 、1AB ，再求结论即可．法二：坐标法：建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积．[精解详析] 法一：(基向量法)如图所示，设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC ·1ED ＝BC ·(1EA ＋11A D )＝b ·⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF ·1AB ＝(1BA ＋1A F )·(AB ＋1AA )＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.法二：(坐标法)以A 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B (2,0,0)，C (2,4,0)，E (1,0,1)，D 1(0,4,2)，F (0,2,2)，A (0,0,0)，B 1(2,0,2)，∴BC ＝(0,4,0)，1ED ＝(－1,4,1)，BF ＝(－2,2,2)，1AB ＝(2,0,2)， ∴(1)BC ·1ED ＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16； (2)BF ·1AB ＝－2×2＋2×0＋2×2＝0. [一点通]解决此类问题的常用方法有两种：(1)基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算．注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量．(2)坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可．1.如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD 中，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，DC 的中点，试计算下列各式的值：(1)AB ·AC ；(2)AD ·DB ；(3) GF ·AC ；(4)AD ·BC . 解：在棱长为1的正四面体ABCD 中， (1)∵|AB |＝|AC |＝1，〈AB ，AC 〉＝60°， ∴AB ·AC ＝|AB ||AC |cos 60°＝1×1×12＝12；(2)∵|AD |＝|BD |＝1，〈AD ，DB 〉＝180°－60°＝120°， ∴AD ·DB ＝|AD ||DB |cos 120°＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12； (3)∵|GF |＝12，|AC |＝1，又GF ∥AC ，∴〈GF ，AC 〉＝180°，∴GF ·AC ＝|GF ||AC |cos 180°＝12×1×(－1)＝－12；(4)∵BC ＝DC －DB ，又〈DC ，AD 〉＝〈DB ，AD 〉＝120°，∴AD ·BC ＝AD ·(DC －DB )＝AD ·DC －AD ·DB ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12－1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝0. 2．已知a ＝(－2,0，－5)，b ＝(3,2，－1)，求下列各式的值： (1)a ·a ；(2)|b |；(3)(3a ＋2b )·(a －b )． 解：(1)a ·a ＝a 2＝(－2)2＋02＋(－5)2＝29； (2)|b |＝b 2＝32＋22＋(－1)2＝14；(3)法一：因为3a ＋2b ＝3(－2,0，－5)＋2(3,2，－1)＝(0,4，－17)，a －b ＝(－2,0，－5)－(3,2，－1)＝(－5，－2，－4)，所以(3a ＋2b )·(a －b )＝(0,4，－17)·(－5，－2，－4)＝0×(－5)＋4×(－2)＋(－17)×(－4)＝60；法二：因为a ·b ＝(－2,0，－5)·(3,2，－1)＝(－2)×3＋0×2＋(－5)×(－1)＝－1， 所以(3a ＋2b )·(a －b )＝3a 2－a ·b －2b 2＝3×29－(－1)－2×14＝60.利用数量积解决夹角和距离问题[例2] 如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.(1)求AC ′的长；(2)求AC '与AC 的夹角的余弦值．[思路点拨] 求线段长，要利用向量的方法求解，关键是找到表示AC '的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解，求夹角问题则是向量数量积的逆用．[精解详析] (1)∵AC '＝AB ＋AD ＋AA '， ∴|AC '|2＝(AB ＋AD ＋AA ')2＝|AB |2＋|AD |2＋|AA '|2＋2(AB ·AD ＋AB ·AA '＋AD ·AA ') ＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85. ∴|AC '|＝85.(2)法一：设AC '与AC 的夹角为θ， ∵ABCD 是矩形，∴|AC |＝32＋42＝5. ∴由余弦定理可得cos θ＝AC ′2＋AC 2－CC ′22AC ′·AC ＝85＋25－252·85·5＝8510.法二：设AB ＝a ，AD ＝b ，AA '＝c ， 依题意得AC '·AC ＝(a ＋b ＋c )·(a ＋b ) ＝a 2＋2a ·b ＋b 2＋a ·c ＋b ·c＝16＋0＋9＋4×5×cos 60°＋3×5×cos 60° ＝16＋9＋10＋152＝852，∴cos θ＝AC'·AC| AC'|·|AC|＝85285×5＝8510.[一点通]1．求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a|2＝a ·a，即|a|＝a·a 通过向量运算求|a |.2．对于空间向量a 、b，有cos〈a ，b〉＝a ·b|a||b |.利用这一结论，可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，π2，故〈a，b〉∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，它们相等；而当〈a，b〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，它们互补．3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝2，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．解：∵1BA＝BA＋1AA＝BA＋1BB，AC＝BC－BA，且BA·BC＝1BB ·BA＝1BB ·BC＝0，∴1BA·AC＝－2BA＝－1.又|AC|＝2，|1BA|＝1＋2＝3，∴cos〈1BA，AC〉＝1BA·AC|1BA ||AC |＝－16＝－66，则异面直线BA 1与AC所成角的余弦值为66.4.如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求AD的模．解：∵AD＝AB＋BC＋CD，∴|AD|2＝AD·AD＝(AB＋BC＋CD)·(AB＋BC＋CD)＝|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋2AB·BC＋2BC·CD＋2AB·CD.①∵AB＝BC＝CD＝2，∴|AB|＝|BC|＝|CD|＝2.②又∵AB⊥α，BC⊂α，∴AB⊥BC.∴AB·BC＝0.③∵CD⊥BC，∴CD·BC＝0.④把②③④代入①可得|AD |2＝4＋4＋4＋2AB ·CD ＝12＋2|AB ||CD |cos 〈AB ，CD 〉 ＝12＋8cos 〈AB ，CD 〉．⑤ ∵∠DCF ＝30°，∴∠CDF ＝60°. 又∵AB ⊥α，DF ⊥α， ∴AB ∥DF .∴〈AB ，DC 〉＝〈DF ，DC 〉＝60°.∴〈AB ，CD 〉＝120°.代入⑤式得到＝12＋8cos 120°＝8，∴|AD |＝2 2.利用数量积解决平行和垂直问题[例3] 已知空间三点A (－2,0,2)、B (－1,1,2)、C (－3，0,4)．设a ＝AB ，b ＝AC . (1)设|c |＝3，c ∥BC ，求c ； (2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .[思路点拨] (1)根据c 与BC 共线，设c ＝λBC →根据模列出关系式→求λ；(2)写出k a ＋b ，k a －2b 的坐标→利用垂直列关系式→求k .[精解详析] (1)∵BC ＝(－2，－1,2)且c ∥BC ， ∴设c ＝λBC ＝(－2λ，－λ，2λ)． ∴|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3. 解得λ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB ＝(1,1,0)，b ＝AC ＝(－1,0,2)， ∴k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(k a ＋b )⊥(k a －2b )， ∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝0.即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.[一点通]向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用．5．将本例中条件“若向量k a＋b与k a－2b互相垂直”改为“若向量k a＋b与a＋k b互相平行”，其他条件不变，求k的值．解：a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴k a＋b＝(k－1，k,2)，a＋k b＝(1,1,0)＋(－k,0,2k)＝(1－k,1,2k)，∵k a＋b与a＋k b平行，∴k a＋b＝λ(a＋k b)，即(k－1，k,2)＝λ(1－k,1,2k)．∴⎩⎪⎨⎪⎧k－1＝λ(1－k)，k＝λ·1，2＝λ·2k，∴⎩⎪⎨⎪⎧k＝－1，λ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧k＝1，λ＝1.∴k的值为±1.6．已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.证明：∵AB⊥CD ，AC⊥BD，∴AB·CD＝0，AC·BD＝0，∴AD·BC＝(AB＋BD)·(AC －AB )＝AB·AC ＋BD·AC－2AB－AB·BD＝AB·AC－2AB－AB·BD＝AB·(AC －AB－BD)＝AB·DC＝0.∴AD⊥BC，从而AD⊥BC.7．已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB ＝OC，求证：PM⊥QN.证明：如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，又P、M分别为OA、BC的中点．∴PM ＝OM －OP ＝12(b ＋c )－12a ＝12[(b －a )＋c ]． 同理，QN ＝ON －OQ ＝12(a ＋c )－12b＝－12[(b －a )－c ]．∴PM ·QN ＝12[(b －a )＋c ]·⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12[(b －a )－c ] ＝－14(|b －a |2－|c |2)．又AB ＝OC ，即|b －a |＝|c |.∴PM ·QN ＝0， ∴PM ⊥QN ，∴PM ⊥QN .1．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b (b ≠0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3.但不等价于a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3.2．在处理两向量夹角为锐角或钝角时，一定要注意两向量共线的情况．[对应课时跟踪训练(二十二)]1．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB 与AC 的夹角为________． 解析：AB ＝(0,3,3)，AC ＝(－1,1,0)，∴cos 〈AB ，AC 〉＝332×2＝12，∴〈AB ，AC 〉＝60°.答案：60°2．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝________. 解析：a ·b ＝2×3×cos 60°＝3.∴|2a －3b |＝4|a |2－12a ·b ＋9|b |2＝4×4－12×3＋81＝61.答案：613．若AB ＝(－4,6，－1)，AC ＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a ⊥AB ，a ⊥AC ，则a ＝ ________________________________________________________________________. 解析：设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a·AB ＝0，a ·AC ＝0，|a|＝1，代入坐标可解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝313，y ＝413，z ＝1213或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313，y ＝－413，z ＝－1213.答案：⎝⎛⎭⎫313，413，1213或⎝⎛⎭⎫－313，－413，－1213 4．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________. 解析：∵p ＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)， q ＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1. 答案：－15．如图，120°的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在两个半平面内，且都垂直于AB .若AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为________．解析：∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ， ∴AC ·AB ＝0，BD ·AB ＝0.又∵二面角为120°，∴〈CA ，BD 〉＝60°， ∴CD 2＝|CD |2＝(CA ＋AB ＋BD )2＝CA 2＋AB 2＋BD 2＋2(CA ·AB ＋CA ·BD ＋AB ·BD )＝164， ∴|CD |＝241. 答案：2416．已知a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k 的值．解：k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13. (2)∵(k a ＋b )⊥(a －3b )，∴(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0.解得k ＝1063. 7．已知A (1,1,1)，B (2,2,2)，C (3,2,4)，求△ABC 的面积． 解：∵AB ＝(1,1,1)，AC ＝(2,1,3)，∴|AB |＝3，|AC |＝14，AB ·AC ＝6，∴cos ∠BAC ＝cos 〈AB ，AC 〉＝AB ·AC |AB ||AC |＝63×14＝427， ∴sin ∠BAC ＝1－cos 2A ＝17＝77， ∴S △ABC ＝12|AB ||AC |sin ∠BAC ＝12×3×14×77＝62. 8．在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，E 是BC 的中点．建立空间直角坐标系，用向量方法解决下列问题．(1)求直线AO 1与B 1E 所成的角的余弦值；(2)作O 1D ⊥AC 于D ，求点O 1到点D 的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由题意得A (2,0,0)，O 1(0,0,2)，B 1(2,3,2)，E (1,3,0)， ∴1AO ＝(－2,0,2)，1B E ＝(－1,0，－2)，∴cos 〈1AO ，1B E 〉＝－2210＝－1010. 故AO 1与B 1E 所成的角的余弦值为1010. (2)由题意得1O D ⊥AC ，AD ∥AC ，∵C (0,3,0)，设D (x ，y,0)，∴1O D ＝(x ，y ，－2)，AD ＝(x －2，y,0)，AC ＝(－2,3,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋3y ＝0，x －2－2＝y 3，解得⎩⎨⎧ x ＝1813，y ＝1213， ∴D ⎝⎛⎭⎫1813，1213，0.O 1D ＝|1O D |＝ ⎝⎛⎭⎫18132＋⎝⎛⎭⎫12132＋4 ＝1 144132＝228613.。

1怎样解逻辑用语问题1．利用集合理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：(1)A是B的充分条件，即A⊆B.(2)A是B的必要条件，即B⊆A.(3)A是B的充要条件，即A＝B.(4)A是B的既不充分又不必要条件，即A∩B＝∅或A，B既有公共元素也有非公共元素．或例1设集合S＝{0，a}，T＝{x∈Z|x2<2}，则“a＝1”是“S⊆T”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析T＝{x∈Z|x2<2}＝{－1,0,1}，当a＝1时，S＝{0,1}，所以S⊆T；反之，若S⊆T，则S＝{0,1}或S＝{0，－1}．所以“a＝1”是“S⊆T”的充分不必要条件．答案充分不必要点评 要把充分(必要)条件和集合结合起来，这样更简洁、明了．2．抓住量词，对症下药全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．例2 (1)已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”与命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为______________．(2)已知命题p ：“存在x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”与命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为__________________．解析 (1)将命题p 转化为当x ∈[1,2]时，(x 2－a )min ≥0，即1－a ≥0，即a ≤1.命题q ：即方程有解，Δ＝(2a )2－4×(2＋a )≥0，解得a ≤－1或a ≥2.综上所述，a 的取值范围为(－∞，－1]．(2)命题p 转化为当x ∈[1,2]时，(x 2－a )max ≥0，即4－a ≥0，即a ≤4.命题q 同(1)．综上所述，a 的取值范围为(－∞，－1]∪[2,4]．答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．3．挖掘等价转化思想，提高解题速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．例3 设p ：⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0，x －2y ＋6≥0，q ：x 2＋y 2≤r 2 (r >0)，若q 是綈p 的充分不必要条件，求r 的取值范围．分析 “q 是綈p 的充分不必要条件”等价于“p 是綈q 的充分不必要条件”．设p ，q 对应的集合分别为A ，B ，则可由A ?∁R B 出发解题．解 设p ，q 对应的集合分别为A ，B ，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A 表示平面区域，点集∁R B 表示到原点距离大于r 的点的集合，也即是圆x 2＋y 2＝r 2外的点的集合． ∵A ?∁R B 表示区域A 内的点到原点的最近距离大于r ，∴直线3x ＋4y －12＝0上的点到原点的最近距离大于等于r ，∵原点O 到直线3x ＋4y －12＝0的距离d ＝|－12|32＋42＝125，∴r 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，125. 点评 若直接解的话，q 是綈p 的充分不必要条件即为x 2＋y 2≤r 2 (r >0)在p ：⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0，x －2y ＋6≥0所对应的区域的外部，也是可以解决的．但以上解法将“q 是綈p 的充分不必要条件”等价转化为“p 是綈q 的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法．2 辨析命题的否定与否命题否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别．1．否命题与命题的否定的概念设命题“若A 则B ”为原命题，那么“若綈A 则綈B ”为原命题的否命题，“若A 则綈B ”为原命题的否定．所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论．“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反．例1 写出下列命题的否命题及否定：(1)若|x |＋|y |＝0，则x ，y 全为0；(2)函数y ＝x ＋b 的值随x 的增加而增加．分析 问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成“若A 则B ”的形式，然后再写出相应的命题．解(1)原命题的条件为“|x|＋|y|＝0”，结论为“x，y全为0”．写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若|x|＋|y|≠0，则x，y 不全为0”．写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为“若|x|＋|y|＝0，则x，y不全为0”．(2)原命题可以改写为“若x增加，则函数y＝x＋b的值也随之增加”．否命题为“若x不增加，则函数y＝x＋b的值也不增加”；命题的否定为“若x增加，则函数y＝x＋b的值不增加”．点评如果所给命题是“若A则B”的形式，则可以依据否命题和命题的否定的定义，直接写出相应的命题．如果不是“若A则B”的形式，则需要先将其改写成“若A则B”的形式，便于写出命题的否定形式及其否命题．2．否命题与命题的否定的真假从命题的真假上看，原命题与其否命题的真假没有必然的关系，原命题为真，其否命题可能为真，也可能为假；原命题为假，其否命题可能为真，也可能为假．但是原命题与其否定的真假必相反，原命题为真，则其否定为假；原命题为假，则其否定为真．这也可以作为检验写出的命题是否正确的标准．例2写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：(1)若x2<4，则－2<x<2；(2)若m>0且n>0，则m＋n>0.分析依据定义分别写出否命题与命题的否定．根据不等式及方程的性质逐个判断其真假．解(1)否命题：“若x2≥4，则x≥2或x≤－2”．命题的否定：“若x2<4，则x≥2或x≤－2”．通过解不等式可以知道，原命题为真，否命题为真，命题的否定为假．(2)否命题：“若m≤0或n≤0，则m＋n≤0”．命题的否定：“若m>0且n>0，则m＋n≤0”．由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假．3判断条件四策略1．应用定义如果p ⇒q ，那么称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件．判断时的关键是分清条件与结论．例1 设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(P ∩M )”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析 条件p ：x ∈M 或x ∈P ；结论q ：x ∈(P ∩M )．若x ∈M ，则x 不一定属于P ，即x 不一定属于P ∩M ，所以pD /⇒q ；若x ∈(P ∩M )，则x ∈M 且x ∈P ，所以q ⇒p .综上知，“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(P ∩M )”的必要不充分条件．答案 必要不充分2．利用传递性充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即：若p ⇒q ，q ⇒r ，则p ⇒r .例2 如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 解析 依题意，有A ⇐B ⇔C ⇐D 且AD ⇏B ⇔CD ⇏D ，由命题的传递性可知D ⇒A ，但AD ⇏D .于是A 是D 的必要不充分条件．答案 必要不充分3．利用集合运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法．若p 以非空集合A 的形式出现，q 以非空集合B 的形式出现，则①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；③若A ?B ，则p 是q 的充分不必要条件；④若B ?A ，则p 是q 的必要不充分条件；⑤若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．例3 已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是________．解析 设p ，q 分别对应集合P ，Q ，则P ＝{x |－2≤x ≤10}，Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，由题意知，p ⇒q ，但q ⇏p ，故P ?Q ，所以⎩⎨⎧ 1－m <－2，1＋m ≥10，m >0或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10，m >0，解得m ≥9.即m 的取值范围是[9，＋∞)．答案[9，＋∞)4．等价转化由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p⇒q较困难时，可利用等价转化，先判断由綈q⇒綈p，从而得到p⇒q.例4已知p：x＋y≠2，q：x，y不都是1，则p是q的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析因为p：x＋y≠2，q：x≠1或y≠1，所以綈p：x＋y＝2，綈q：x＝1且y＝1.因为綈p⇏綈q，但綈q⇒綈p，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．答案充分不必要4例析逻辑用语中的常见误区误区1所有不等式、集合运算式都不是命题例1判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假．(1)x＋2>0；(2)x2＋2>0；(3)A∩B＝A∪B；(4)A⊆(A∪B)．错解(1)(2)(3)(4)都不是命题．剖析(1)中含有未知数x，且x不确定，所以x＋2的值也不确定，故无法判断x＋2>0是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题．(2)x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故(2)为真命题．(3)若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；若A?B，则A∩B＝A?(A∪B)＝B.由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题．(4)A为A∪B的子集，故A⊆(A∪B)成立，故(4)为真命题．正解(2)(4)是命题，且都为真命题．误区2原命题为真，其否命题必为假例2判断下列命题的否命题的真假：(1)若a＝0，则ab＝0；(2)若a2>b2，则a>b.错解(1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题．剖析否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出原命题的否命题，再判断．正解(1)否命题为：若a≠0，则ab≠0，是假命题；(2)否命题为：若a2≤b2，则a≤b，是假命题．误区3搞不清谁是谁的条件例3使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件是________．①x>3；②x>4；③x>2；④x∈{1,2,3}．错解由不等式x－3>0成立，得x>3，显然x>3⇒x>2，又x>2⇏x>3，因此填③.剖析若p的一个充分不必要条件是q，则q⇒p，pD⇏q.本题要求使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件，又x>4⇒x－3>0，而x－3>0D⇏x>4，所以使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件为x>4.正解②误区4考虑问题不周例4如果a，b，c∈R，那么“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)错解判别式Δ＝b2－4ac>0，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.综上可知“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的充要条件，故填充要．剖析判别式Δ＝b2－4ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断．对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0时，原方程为一次方程bx＋c＝0(b≠0)，一次方程不存在判别式，所以当b2>4ac时不能推出方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则它的判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.由上可知，“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c ＝0有两个不等实根”的必要不充分条件．正解必要不充分误区5用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论例5(1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，试写出“p∨q”．(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p∧q”．错解(1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2.(2)p∧q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．剖析(1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p∨q”，“p∧q”也都应是假命题．而上述解答中写出的两命题却都是真命题．错误原因是：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件．正解(1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2. (2)p∧q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．误区6不能正确否定结论例6p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实数根，试写出“綈p”．错解綈p：方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．剖析命题p的结论为“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定“相等”．正解綈p：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根．误区7对含有一个量词的命题否定不完全例7已知命题p：存在一个实数x，使得x2－x－2<0，写出綈p.错解一綈p：存在一个实数x，使得x2－x－2≥0.错解二綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.剖析该命题是存在性命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是存在性命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．正解綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.误区8忽略了隐含的量词例8写出下列命题的否定：(1)不相交的两条直线是平行直线；(2)奇函数的图象关于y轴对称．错解(1)不相交的两条直线不是平行直线；(2)奇函数的图象不关于y轴对称．剖析以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题．对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意．正解(1)存在不相交的两条直线不是平行直线；(2)存在一个奇函数的图象不关于y轴对称．5解“逻辑”问题的三意识1．转化意识由于互为逆否命题的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题来判断或证明．例1证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.分析本题直接证明原命题是真命题，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题．证明命题“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1”的逆否命题是“若a－b＝1，则a2－b2＋2a－4b－3＝0”．由a－b＝1得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b －1＝0.∵原命题的逆否命题是真命题，∴原命题也是真命题．故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.例2命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，命题q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值范围．分析将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题．解设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0(a<0)}＝{x|3a<x<a}，B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8<0}．＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8>0}，＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x <－4或x >2}＝{x |x <－4或x ≥－2}．因为q 是p 的必要不充分条件，所以p ⇒q ，q ⇏p ，由A ?B 得⎩⎨⎧ 3a ≥－2，a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4，a <0，即a ≤－4或－23≤a <0. 所以实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 2．简化意识判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断．例3 已知命题p ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ，命题q ：函数f (x )＝－(5－a )x 是R 上的减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是________．分析 先将命题p ，q 等价转化，再根据题意构建关于a 的关系式，从而得到a 的取值范围． 解析 函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ，即g (x )＝x 2＋2x ＋a 的值域包含(0，＋∞)，即在方程x 2＋2x ＋a ＝0中，Δ＝4－4a ≥0⇔a ≤1，即p 真⇔a ≤1.函数f (x )＝－(5－a )x 是减函数⇔5－a >1⇔a <4，即q 真⇔a <4.由p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，知命题p ，q 中必有一真一假．若p 真q 假，则无解；若p 假q 真，则1<a <4.故满足题意的实数a 的取值范围是(1,4)．答案 (1,4)点评 若命题“p 或q ”“p 且q ”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p ，q ，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p 或q ”“p 且q ”的真假情况确定参数的取值范围．23 3．反例意识在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法． 例4 设A ，B 为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________．①A ⊈B ⇔对任意x ∈A ，都有x ∉B ；②A ⊈B ⇔A ∩B ＝∅；③A ⊈B ⇔B A ；④A ⊈B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B .分析 画出表示A ⊈B 的V enn 图进行判断．解析 画出Venn 图，如图1所示，则A ⊈B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B ，故①②是假命题，④是真命题．A ⊈B ⇒B ⊈A 不成立的反例如图2所示．同理可得B ⊈A ⇒A ⊈B 不成立．故③是假命题． 综上知，真命题的序号是④.答案 ④。