高二数学讲义四点共圆

高二数学竞赛班二试平面几何讲义第五讲 四点共圆（一）班级 姓名一、知识要点：1. 判定“四点共圆”的方法:（1)若对角互补，则四点共圆；（2）若线段同一侧的两点对线段的张角相等，则四点共圆； （3）圆的割线定理成立，则四点共圆； （4）圆的相交弦定理成立，则四点共圆； 2. “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.二、例题精析：例1. 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM＝∠CBK.求证：∠DMA ＝∠CKB.（第二届袓冲之杯初中竞赛）A B C D K M ··例2.给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q 四点共圆.(第19届美国数学奥林匹克)例3．A、B、C三点共线，O点在直线外，O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC，△OCA的外心.求证：O，O1，O2，O3四点共圆.(第27届莫斯科数学奥林匹克)AB CKMNPQB′C′A B COOOO123？？三、精选习题：1．⊙O1交⊙O2于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A交⊙O1于D点.求证：点A是△BCD的内心.2．△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.3．设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：△M1M2M3也是正三角形.四、拓展提高：4．⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N(K与N不同).△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M.求证：∠BMO=90°.(第26届IMO第五题)A BOKN CMG高二数学竞赛班二试平面几何讲义第五讲 四点共圆（一）例1. 分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK.∵∠DAB +∠ADC ＝180°，∴∠CMK +∠KDC ＝180°.故C ，D ，K ，M 四点共圆⇒∠CMD ＝∠DKC. 但已证∠AMB ＝∠BKA ， ∴∠DMA ＝∠CKB. 例2. 法1：,,,P Q C C '四点共圆，PK KQ C K KC '⋅=⋅， ,,,M N B B '四点共圆， MK KN BK KB '⋅=⋅，因为90BC C BB C ''∠=∠=， 所以,,,B B C C ''四点共圆，C K KC BK KB ''⋅=⋅所以MK KN PK KQ ⋅=⋅，所以M ，N ，P ，Q 四点共圆.法2：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM.欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证 MK ·KN ＝PK ·KQ ，即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′)或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2 . ①不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2=(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2)=KC ′2-KB ′2. ② 由②即得①，命题得证.例3．分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA.观察△OBC 及其外接圆，立得∠OO 2O 1=21∠OO 2B=∠OCB.观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=21∠OO 3A =∠OCA.由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1⇒O ，O 1，O 2，O 3共圆.利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证.1．提示：设法证明C，D，O1，B四点共圆，再证C，D，B，O2四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.2．提示：设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是△ABC的外接圆上，并注意∠A1AA2=90°. 4．分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的.连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G.易得∠GMC=∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2·∠BAC=∠GMC+∠BMK=180°-∠CMK，∴∠COK+∠CMK=180°⇒C，O，K，M四点共圆.在这个圆中，由OC=OK⇒OC=OK⇒∠OMC=∠OMK.但∠GMC=∠BMK，故∠BMO=90°.法2 蒙日定理。

探究四点共圆知识点什么是四点共圆问题？四点共圆是一种几何学问题，其基本目标是找到一个圆，使得给定的四个点都位于该圆上。

这个问题在几何学中具有重要的应用价值，并且是许多数学竞赛中常见的题目。

解决四点共圆问题的步骤要解决四点共圆问题，可以按照以下步骤进行思考和操作：步骤一：理解题目首先，我们需要仔细阅读题目并理解其要求。

题目通常会给出四个点的坐标或者描述它们的位置关系。

我们需要明确题目要求的是找到一个圆，使得给定的四个点都位于该圆上。

步骤二：确定圆心为了找到圆，我们需要确定圆心的位置。

要确定圆心，我们可以运用几何学中的一些定理和性质。

例如，我们可以考虑使用垂直平分线定理或者圆的切线性质来找到圆心。

步骤三：计算半径确定了圆心后，下一步是计算圆的半径。

我们可以使用给定的四个点与圆心之间的距离来计算半径。

这可以通过计算点到圆心的欧几里得距离来实现。

步骤四：检验四点是否共圆在确定了圆心和半径后，最后一步是检验给定的四个点是否都位于该圆上。

我们可以计算每个点到圆心的距离，并将其与半径进行比较。

如果所有的距离都与半径相等或非常接近，那么这四个点就共圆。

示例问题为了更好地理解四点共圆问题的解决步骤，我们来看一个具体的示例问题：假设有四个点A(0,0)，B(0,1)，C(1,1)和D(1,0)，我们需要找到一个圆，使得这四个点都位于该圆上。

解决步骤：1.理解题目要求，确定四个点的坐标。

2.确定圆心的位置。

由于给定的四个点位于一个正方形的四个顶点上，正方形的对角线的交点就是圆心。

由于正方形的对角线相互垂直且平分对方，圆心的坐标为(0.5,0.5)。

3.计算半径。

根据圆心和任意一个点的坐标之间的距离公式，我们可以计算出半径的值。

选取点A(0,0)，计算欧几里得距离得到半径r=0.5。

4.检验四点是否共圆。

计算每个点到圆心的距离，并将其与半径进行比较。

对于给定的四个点，它们到圆心的距离都等于半径r，所以这四个点共圆。

结论通过以上步骤，我们成功解决了四点共圆问题。

四点共圆在二维几何中，我们经常遇到一些有趣的现象和形状。

其中之一便是四点共圆。

当四个点都在同一个圆周上时，我们称它们是共圆的。

下面，我们将详细介绍四点共圆的性质和证明。

性质1：共圆定义四点共圆指的是四个点A、B、C、D可以构成一个圆，即这四个点都在同一个圆周上。

记这个圆为O，我们可以用如下方式表示四点共圆的条件：AB + CD = AC + BD共圆示意图共圆示意图性质2：共圆的判定判断四个点是否共圆的一种方法是通过计算它们的距离来判断。

具体而言，有如下定理：若四个点A、B、C、D的任意三点不共线，则ABCD四个点共圆的充要条件为：AC^2 * BD^2 = AD^2 * BC^2 + AB^2 * CD^2 - 2 * AB * AD * BC * CD * cos(∠ADC - ∠BAC)性质3：四边形共圆四边形ABCD是共圆的充要条件是，它的对角线交点E满足AB EC + BC EA =AC*EB。

这说明，当四个点A、B、C、D能够构成一个四边形，且满足这个等式时，它们就是共圆的。

性质4：垂直弦交点当ABCD四点共圆时，圆心为O，连接两点的弦AD和BC垂直，交点为M。

那么，我们可以得出以下结论：AM * MC = BM * MD证明接下来，我们将对性质2进行证明。

假设四个点A、B、C、D的任意三点不共线。

首先，我们构造三角形ADC，以及四边形ABCD的两条对角线，连接点A和C，以及点B和D。

根据余弦定理，我们可以得到：AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 * AD * CD * cos(∠ADC)同理，我们可以得到：BD^2 = AB^2 + CD^2 - 2 * AB * CD * cos(∠BAC)进一步地，我们可以得到：AC^2 * BD^2 = (AD^2 + CD^2 - 2 * AD * CD * cos(∠ADC)) * (AB^2 + CD^2 - 2 * AB * CD * cos(∠BAC))展开上式，我们可以得到：AC^2 * BD^2 = AD^2 * AB^2 + AD^2 * CD^2 + CD^2 * AB^2 + CD^4 - 2 * AD * AB * CD^2 * cos(∠BAC) - 2 * AD^2 * CD * cos(∠ADC) - 2 * AB^2 * CD * cos(∠BAC) + 4 * AB * AD * CD^2 * cos(∠BAC) * cos(∠ADC) - 2 * AB * AD * CD^2 * cos(∠ADC) *cos(∠BAC)我们可以观察到一些项可以进行合并和简化，最终得到：AC^2 * BD^2 = AD^2 * BC^2 + AB^2 * CD^2 - 2 * AB * AD * BC * CD * cos(∠ADC - ∠BAC)由此可见，当AC^2 * BD^2 = AD^2 * BC^2 + AB^2 * CD^2 - 2 * AB * AD * BC * CD * cos(∠ADC - ∠BAC)成立时，四个点A、B、C、D共圆。

四点共圆定理
从古至今，数学被广泛应用于社会的方方面面，其中，关于圆的问题一直都是数学研究的一个重要分支，今天，我们要讨论的就是关于四点共圆定理利用四个点确定一个圆的定理。

四点共圆定理定义：若在平面上有四个不共线的点，则这四点可以确定一个圆，且这个圆的圆心到这四点的距离相等。

四点共圆定理在中国古代就被发现了，在《九章算术》中，秦九韶是第一个提出这个定理的历史人物。

其实，四点共圆定理也可以通过几何的方式来证明，下面我们就通过几何的方式来证明四点共圆定理。

假设在一个平面上有四个点A、B、C、D，不共线，四点共圆定理要求，这四个点能确定一个圆，且这个圆的圆心到这四点的距离相等。

从平面几何的角度来看，任何一个圆上的任何两点到圆心的距离都是相等的，那么，我们就可以用这个性质来证明这个定理。

先用A、B两点构成的线段分割平面为两部分，此时，A、B两点到C与D的距离是不相等的，那么我们可以画出一个新的圆，使得C、D两点到圆心的距离相等并且与A、B两点到圆心的距离也相等，此时，这个圆就是由A、B、C、D这四点确定的一个圆，且这个圆的圆心到这四点的距离相等，也就是证明了四点共圆定理。

四点共圆定理在自然界和社会生活中有着重要的作用，例如，你在使用GPS导航时，当你所在的位置与要去的位置不在同一直线时，就可以使用四点共圆定理来确定你的位置，这就是四点共圆定理在社
会生活中的应用。

综上所述，四点共圆定理是一个非常重要的数学定理，它不仅被古代的历史人物发现，而且依然被广泛应用于现代的社会生活中，尤其是在GPS的使用中，因此，我们要对这个定理分析研究有更深的认识，并从中获取更多的应用。

四点共圆定理及其推论《四点共圆定理及其推论，超有趣的数学发现！》我呀，最近在数学的奇妙世界里发现了一个超级酷的东西，那就是四点共圆定理及其推论。

这就像是在一个神秘的宝藏堆里发现了一颗最闪亮的宝石一样。

什么是四点共圆呢？简单来说呀，如果在一个平面内有四个点，这四个点到同一个点的距离都相等，那这四个点就在同一个圆上。

这就好比是四个小伙伴，他们都离一个特别的地方距离一样远，那他们就站在同一个神奇的圆圈里面啦。

比如说，我们在操场上玩游戏，有四个小朋友站在那里，假如他们到操场中间的一个小旗的距离都一样，那这四个小朋友就可以说是在一个以小旗为圆心的圆上。

那四点共圆定理有什么用处呢？这用处可大啦。

在做几何题的时候，要是发现有四个点可能共圆，那就像是找到了一把打开解题大门的钥匙。

我记得有一次，我做一道特别难的几何证明题，图上有四个点看起来好像有点关系，可我就是想不出来怎么证明。

后来我突然想到了四点共圆定理，就试着去证明这四个点共圆，哇塞，一旦证明出来了，后面的那些证明就像流水一样顺畅。

就好像是本来堵住的水管，一下子被打通了，水哗哗地流出来。

这四个共圆的点就像是一群团结的小战士，帮助我打败了那道难题这个大怪兽。

那它的推论呢？推论可就更有意思啦。

其中一个推论是，如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

这是什么意思呢？就像是有一个四边形形状的小花园，它的两个对角的度数加起来是180度，那就说明这个小花园的四个顶点都在同一个圆上。

我和我的同桌就讨论过这个推论。

我同桌当时就说：“这怎么可能呢？这四边形的角和圆有啥关系啊？”我就跟他说：“你看啊，如果把这个四边形想象成是在一个圆里面切出来的一块，那它的对角互补就很好理解啦。

就像把一个大蛋糕切成一块四边形的形状，这个四边形的对角就像是蛋糕上相对应的部分，它们加起来就是整个蛋糕的一部分，也就是180度呀。

”我同桌听了我的话，眼睛一下子就亮了，说：“哎呀，原来这么神奇啊！”还有一个推论是，如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那这个四边形的四个顶点共圆。

四点共圆托勒密定理托勒密定理是几何学中的重要定理之一，它描述了四个点共圆的条件和性质。

本文将以人类的视角来描述这一定理，使读者感到仿佛是真人在叙述。

四点共圆托勒密定理是指，如果四个不共线的点A、B、C和D满足AC与BD相交于一点O，且AB与CD相交于一点P，那么这四个点A、B、C和D就共圆。

也就是说，存在一个圆可以通过这四个点。

这个定理的证明是基于几何学的基本性质和定理，但在本文中，我们将避免使用数学公式或计算公式，以便更好地理解这个定理。

让我们考虑一个简单的例子，以便更好地理解这个定理。

假设我们有一个草坪上的四个标志物，我们用A、B、C和D来表示它们。

现在，我们要证明这四个标志物共圆。

我们选取其中两个点A和B，然后画一条直线AB连接它们。

接下来，我们再选取另外两个点C和D，然后画一条直线CD连接它们。

我们可以发现，这两条直线AB和CD会相交于一点P。

现在，我们需要证明的是，是否存在一个圆可以通过这四个点A、B、C和D。

为了证明这一点，我们需要找到一个点O，使得OA=OB=OC=OD。

这就意味着这个点O到这四个点的距离都相等，即这四个点在以点O为圆心的圆上。

我们可以通过如下方法来找到这个点O。

首先，我们连接AC和BD，它们相交于一点O。

然后，我们测量OA、OB、OC和OD的长度，如果它们都相等，那么我们就找到了这个点O。

通过这个例子，我们可以看到四点共圆托勒密定理的基本原理。

无论这四个点在什么位置，只要满足AC与BD相交于一点O，且AB 与CD相交于一点P，那么这四个点就共圆。

这个定理在几何学中有着广泛的应用。

例如，在三角形的外接圆中，三个顶点和三条边上的中点就共圆；在椭圆中，焦点和顶点也共圆。

这些例子都是基于四点共圆托勒密定理而得出的。

四点共圆托勒密定理是几何学中的重要定理之一。

它描述了四个点共圆的条件和性质。

无论这四个点在什么位置，只要满足AC与BD 相交于一点O，且AB与CD相交于一点P，那么这四个点就共圆。

高二数学竞赛班二试平面几何讲义第六讲 四点共圆（二）班级 姓名一、知识要点： 1. 以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面.2. 平面几何的核心是利用“四点共圆”和“三角形相似”来做。

二、例题精析：例1. 正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989㎝2.P 为正方形内 一点，且∠OPB =45°，P A :PB =5:14.则PB =__________(1989，全国初中联赛)例2. 设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断).(1978，全国高中联赛)··P O A BC D例3. 四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D . 试证：I A I B I C I D 是矩形.(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题)三、精选习题：1．在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，P 是AB 上的点，过A 点作PC 的垂线交过B 所作AB 的垂线于Q 点.求证：PD 丄QD.A B C D I C I D A I I B2．AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高.从A引EF的垂线l1，从B引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.3．NS是⊙O的直径，弦AB丄NS于M，P为ANB上异于N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交⊙O于Q.求证：RS＞MQ.(1991，江苏省初中竞赛)四、拓展提高：4．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上.4．已知H 为△ABC 垂心，M 为边BC 中点，过H 作直线交AB 于E 、交AC 于F 延长MH 交△ABC 的外接圆于N ，求证：,,,A E F N 四点共圆。