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任意角的三角比一、基础知识熟练记忆1、任意角的三角比——对于任意角的三角比，我们利用平面直角坐标系来进行研究。
（1）设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则点P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r（2）比值r y叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x叫做α的余弦 记作： r x =αcos 比值x y叫做α的正切 记作： xy =αtan 比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot 比值x r叫做α的正割 记作： x r =αsec 比值y r叫做α的余割 记作： yr =αcsc 根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角α， 上述六个比值都不会随P 点在α的终边上的位置的改变而改变。
当角α的终边在纵轴上时，即Z)(2∈+=k k ππα时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，所以tan α、sec α无意义；当角α的终边在横轴上时，即α＝ｋπ（ｋ∈Z ）时， 终边上任意一点P 的纵坐标ｙ都为0，所以cot α、csc α无意义。
几个需要注意的问题：① 凡是终边相同的角的三角函数值相等。
sin(2k π+α)=sin α cos(2k π+α)=cos α tan(2k π+α)=tan α cot(2k π+α)=cot α② 0>r 而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定。
第一象限：0,0.>>y x∴sin α>0，cos α>0，tan α>0，cot α>0 第二象限：0,0.><y x∴sin α>0，cos α<0，tan α<0，cot α<0O A M P Txyα的终边 x yO A M T yOAM xyOAM TPα的终边第三象限：0,0.<<y x∴sin α<0，cos α<0，tan α>0，cot α>0 第四象限：0,0.<>y x∴sin α<0，cos α>0，tan α<0，cot α<0记忆法则：第一象限全为正，二正三切四余弦。
视频1：在直角坐标系中角的终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角比。
设(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），则P 点到坐标原点O 的距离为r OP ==，定义:①正弦：sin α=；②余弦：cos α=；③正切：tan α=； ④余割：csc α=；⑤正割：sec α=；⑥余切：cot α=；Note ：①任意角的三角比仅与角的终边位置有关，而与终边上所取点P 的位置 。
②当角α的终边落在y 轴时，(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），此时x =，则cos α=，且tan α与sec α ；③当角α的终边落在x 轴时，(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），此时y =，则sin α=，且 与 无意义；④角α的终边无论落在什么位置，(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），此时0r =>，故sin α与cos α总是存在的。
⑤22sin cos αα+=练习：已知角α的终边上一点()12,5P -，求角α的六个三角比的值。
6分钟视频2：正弦函数在第一象限为 ，第二象限为 ，第三象限为 ，第四象限为 ； 余弦函数在第一象限为 ，第二象限为 ，第三象限为 ，第四象限为 ； 正切函数在第一象限为 ，第二象限为 ，第三象限为 ，第四象限为 。
练习：确定下列三角函数值的符号。
①cos 250︒；②sin 4π⎛⎫-⎪⎝⎭；③()tan 672︒-；④tan 3π 5分钟视频3：练习：根据下列条件确定角θ属于哪个象限： ①sin cos 0θθ>；②sin 0θ<且tan 0θ> 2分钟视频4：从开始--------05:27结束（将开头删掉）。
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(),P x y ，那么 ①正弦：sin α=；②余弦：cos α=；③正切：tan α=； ④余割：csc α=；⑤正割：sec α=；⑥余切：cot α=；Note1：常见的三角函数的定义域与值域①正弦函数sin y x =，定义域为 ，值域为 。
课题任意角的三角比1、任意角及其度量一、知识梳理I、角的概念的推广1、角的定义一条射线由原来的位置 0A绕着它的端点 0旋转到另一位置 0B所形成的图形就是角。
旋转开始时的射线 0A叫做角的始边，旋转终止时的射线 0B叫做角a的终边，射线的端点 0叫做角a 的顶点。
2、角的分类(1)按旋转方向分类可分为正角、负角和零角按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，一条射线没有作任何旋转时，这时形成的角叫做零角。
(2)按角的终边位置分类在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边(除端点外)落在第几象限，就说这个角是第几象限角，当角的终边落在坐标轴上就认为这些角不属于任何象限。
3、终边相同的角的集合表示所有与角终边相同的角，连同角在内可以用式子 k 360 ° , ( k € Z )来表示，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。
【终边落在坐标轴上的角的集合表示】终边落在 x轴的正半轴上： _________________________________终边落在 x轴的负半轴上： _________________________________终边落在 y轴的正半轴上： _________________________________终边落在 y轴的负半轴上： _________________________________终边落在x轴上：__________________________________终边落在y轴上：__________________________________终边落在坐标轴上：__________________________________【象限角的集合表示】第一象限角：__________________________________第二象限角：__________________________________第三象限角：_________________________________第四象限角：__________________________________【几类特殊角的表示】终边在第一、三象限角平分线：_____________________________________终边在第二、四象限角平分线：_____________________________________例2、在下列各角中与 330°角的终边相同的是A . 510 °B . 150 °C 例3、将下列各角化成+2k(0<<2, /八22(1) ;(2)- 315 °3是正角。
任意角的三角比教案
三角比是指三角形中各边的比值，通常包括正弦、余弦和正切。
在教学这个概念时，可以从以下几个角度进行教案设计：
1. 概念介绍，首先，要介绍三角形的基本概念，包括顶点、边、角度等，并引入三角比的概念。
可以通过图示和实际示例来让学生
直观理解三角比的含义和作用。
2. 正弦、余弦和正切的定义，分别介绍正弦、余弦和正切的定义，以及它们在直角三角形和任意角三角形中的计算方法。
可以通
过几何图形和实际问题来说明三角比的定义和计算方法。
3. 三角比的性质，介绍三角比的基本性质，如正弦、余弦和正
切的周期性、奇偶性等，以及它们之间的关系。
通过数学推导和实
例演示来让学生理解三角比的性质。
4. 三角比的应用，介绍三角比在实际生活和工程中的应用，如
测量高度、距离、角度等。
可以通过实际案例和问题让学生体会三
角比在实际中的重要性和作用。
5. 综合练习，设计一些综合性的练习题，包括计算三角比、证明三角比的性质、解决实际问题等，以帮助学生巩固所学的知识和技能。
在教学过程中，可以结合多媒体教学、小组讨论、实验演示等多种教学方法，让学生在实践中感受三角比的奥妙，提高他们的学习兴趣和能力。
同时，教师应该注重引导学生思考，培养他们的数学思维和解决问题的能力，使他们能够灵活运用三角比解决实际问题。
课题任意角的三角比1、任意角及其度量一、知识梳理I、角的概念的推广1、角的定义一条射线由原来的位置OA绕着它的端点O旋转到另一位置OB所形成的图形就是角。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止时的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点。
2、角的分类（1）按旋转方向分类可分为正角、负角和零角按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，一条射线没有作任何旋转时，这时形成的角叫做零角。
（2）按角的终边位置分类在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边（除端点外）落在第几象限，就说这个角是第几象限角，当角的终边落在坐标轴上就认为这些角不属于任何象限。
3、终边相同的角的集合表示所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°+α，（k∈Z）来表示，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
【终边落在坐标轴上的角的集合表示】终边落在x轴的正半轴上：终边落在x轴的负半轴上：终边落在y轴的正半轴上：终边落在y轴的负半轴上：终边落在x轴上：终边落在y轴上：终边落在坐标轴上：【象限角的集合表示】第一象限角：第二象限角：第三象限角：第四象限角：【几类特殊角的表示】终边在第一、三象限角平分线：终边在第二、四象限角平分线：终边在x轴上方：终边在x 轴下方： 终边在y 轴右侧： 终边在y 轴左侧：终边关于x 轴对称的两个角：终边关于y 轴对称的两个角：二、例题分析例1、下列命题中是真命题的是 （ ）A ．小于90°的角是锐角；B ．若是锐角，则的终边在第一象限；C ．若角与角的终边相同，则=；D ．若的终边在第一象限，则是正角。
例2、在下列各角中与330°角的终边相同的是（ ）A ．510°B ．150°C ．﹣60°D ．﹣390°例3、将下列各角化成α+2k π（0≤α≤2π，k ∈Z ）的形式，并指出它们是第几象限的角：（1）322π； （2）﹣315°； （3）1 500°； （4）﹣9πII 、弧度制 1、角的度量 （1）弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad ，以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。
第四章 三角比与三角函数第25节 任意角的三角比一、知识梳理1．弧度制与角度制的转化：1︒=________弧度；180︒=________弧度。
2．扇形的弧长公式：_____；扇形的面积公式：__________。
3．若α与β的终边相同，则他们的数量关系可表示为_________________________________。
若α与β的终边关于x 轴对称，则他们的数量关系可表示为___________________________。
若α与β的终边关于y 轴对称，则他们的数量关系可表示为___________________________。
若α与β的终边关于原点对称，则他们的数量关系可表示为_________________________。
4．第一象限角表示为_______________________；第二象限角表示为_______________________。
第三象限角表示为_______________________；第四象限角表示为________________________。
5．任意角α的三角比定义：设点(),P x y 是角α终边上不同于原点的任意一点，记||r OP ==则sin α=________；cos α=________；tan α=________，x ≠0；cot α=______，y ≠0；sec α=______，x ≠0；csc α=______；y ≠0二、基础练习1．与1050-︒角终边相同的角中，在0~360︒︒之间的角有 。
2．已知{}A =第一象限角，{}B =锐角，{}90C =︒小于的角，则A B = ______，B C = ___ 。
3．把750-︒化成360(,3600)k k Z αα⋅︒+∈-︒<<︒的形式，其中α= ___。
4．若将时间拨快20分钟，则时针转了______度。
5．已知点()2,P y -在角α的终边上，且2sin 3α=-，则cos α＝_______。
6．若α在第一象限，则2α在第____________象限。
7．半径为2cm ,圆心角为25π的扇形的弧长是 cm ，面积是 2cm 。
8．若sin 0θ>且tan 0θ<，则θ的取值范围是 。
9．设θ是第二象限角，则点(sin(cos ),cos(cos ))P θθ在 （ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限10．某扇形的圆心角的弧度数为(02)ααπ<<，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则以下各式中错误的是 （ ）（A ）l r α= （B ）12S lr = （C ）212S r α= （D ）180rl πα=11．若角α和β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是 （ ） （A ）sin sin αβ= （B ）cos cos αβ= （C ）tan tan αβ= （D ）cot cot αβ=12．直角POB ∆中，90PBO ∠= ，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点。
若弧AB 等分POB ∆的面积，且AOB α∠=弧度，则 （ ）（A ）tan αα= （B ）tan 2αα= （C ）sin 2cos αα= （D ）2sin cos αα=αA BOP13．角α的终边上一点P 的坐标是(4,3)t t -，其中0t ≠，求角α的六个三角比。
14．求周长为20cm 的扇形的面积的最大值，并求此时扇形的圆心角α的弧度数。
15．如图，圆心在原点，半径为R 的圆交x 轴正半轴于A 点，P Q 、是圆上的两个动点，它们同时从A 点出发沿圆周作匀速运动。
点P 逆时针 方向每秒转3π，点Q 顺时针方向每秒转6π，试求它们出发后第五次 相遇时的位置及各自走过的弧长。
第25节 任意角的三角比一、知识梳理1．弧度制与角度制的转化：1 =__180π______弧度；180 =____π____弧度。
2．扇形的弧长公式：___l R α=__；扇形的面积公式：_____21122S lR R α==_____。
3．若α与β的终边相同，则他们的数量关系可表示为_____2,k k Z βαπ=+∈_____。
若α与β的终边关于x 轴对称，则他们的数量关系可表示为__2,k k Z βαπ=-+∈_____。
若α与β的终边关于y 轴对称，则他们的数量关系可表示为___2,k k Z βπαπ=-+∈__。
若α与β的终边关于原点对称，则他们的数量关系可表示为_2,k k Z βπαπ=++∈__。
4．第一象限角表示为2,2,2k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭_；第二象限角表示为_2,2,2k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭_。
第三象限角表示为32,2,2k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭；第四象限角表示为__2,2,2k k k Z πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭_。
5．任意角α的三角比定义：设点(),P x y 是角α终边上不同于原点的任意一点，记||r OP =sin α=__y r ______；cos α=__x y ______；tan α=_y x _______，x ≠0；cot α=___xy___，y ≠0；sec α=___r x ___，x ≠0；csc α=__ry____；y ≠0二、基础练习1．与1050-︒角终边相同的角中，在0~360︒︒之间的角有 30︒ 。
2．已知{}A =第一象限角，{}B =锐角，{90C =︒小于的角，则A B = _B _，B C B 。
3．把750-︒化成360(,3600)k k Z αα⋅︒+∈-︒<<︒的形式，其中α 30-︒ 。
4．若将时间拨快20分钟，则时针转了10-度。
5．已知点()2,P y -在角α的终边上，且2sin 3α=-，则cos α＝_____。
6．若α在第一象限，则2α在第___一、三_________象限。
7．半径为2cm ,圆心角为25π的扇形的弧长是 45π cm ，面积是 45π 2cm 。
8．若sin 0θ>且tan 0θ<，则θ的取值范围是 (2,2),2k k k Z ππππ++∈ 。
9．设θ是第二象限角，则点(sin(cos ),cos(cos ))P θθ在 （ B ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限10．某扇形的圆心角的弧度数为(02)ααπ<<，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则以下各式中错误的是（ D ）（A ）l r α= （B ）12S lr = （C ）212S r α= （D ）180rl πα=11．若角α和β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是 （ A ） （A ）sin sin αβ= （B ）cos cos αβ= （C ）tan tan αβ= （D ）cot cot αβ= 12．直角POB ∆中，90PBO ∠= ，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点。
若弧AB 等分POB ∆的面积，且AOB α∠=弧度，则 （ B ） （A ）tan αα= （B ）tan 2αα=（C ）sin 2cos αα= （D ）2sin cos αα=13．角α的终边上一点P 的坐标是(4,3)t t -，其中0t ≠，求角α的六个三角比。
解：0t >时 ，343455sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc 554343αααααα=-==-=-==-；0t <时 ，343455sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc 554343αααααα==-=-=-=-=。
αA B OP14．求周长为20cm 的扇形的面积的最大值，并求此时扇形的圆心角α的弧度数。
解：设扇形的半径为R则220R R α+=,∴202R α=+，02απ<<∴()221200200254224S R ααααα===≤+++，当且仅当α=2时等号成立。
15．如图，圆心在原点，半径为R 的圆交x 轴正半轴于A 点，P Q 、是圆上的两个动点，它们同时从A 点出发沿圆周作匀速运动。
点P 逆时针 方向每秒转3π，点Q 顺时针方向每秒转6π，试求它们出发后第五次 相遇时的位置及各自走过的弧长。
解：易知动点P Q 、由第k 次相遇到第1k +次相遇所走过的弧长恰好等于圆的一个周长2R π。
因此，当它们第5次相遇时走过的弧长为10R π。
设动点P Q 、自A 点出发到第5次相遇走过的时间为t 秒，走过的弧长分别为12l l 、，则12,36l tR l tR ππ==。
∵121036l l tR tR R πππ+=+=，∴1020()36R t Rπππ==+（秒）。
122010,33l R l R ππ==。
∴动点P 转过的角度为202633πππ=+。
综上，动点P Q 、第5次相遇在点M 处，点M 的坐标为221(cos ,sin )()332R R R ππ=-。
这时动点P Q 、走过的弧长分别为203R π和103R π。
