任意角的三角比

任意角的三角比一、基础知识熟练记忆1、任意角的三角比——对于任意角的三角比，我们利用平面直角坐标系来进行研究。

（1）设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则点P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r（2）比值r y叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x叫做α的余弦 记作： r x =αcos 比值x y叫做α的正切 记作： xy =αtan 比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot 比值x r叫做α的正割 记作： x r =αsec 比值y r叫做α的余割 记作： yr =αcsc 根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角α， 上述六个比值都不会随P 点在α的终边上的位置的改变而改变。

当角α的终边在纵轴上时，即Z)(2∈+=k k ππα时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，所以tan α、sec α无意义；当角α的终边在横轴上时，即α＝ｋπ（ｋ∈Z ）时， 终边上任意一点P 的纵坐标ｙ都为0，所以cot α、csc α无意义。

几个需要注意的问题：① 凡是终边相同的角的三角函数值相等。

sin(2k π+α)=sin α cos(2k π+α)=cos α tan(2k π+α)=tan α cot(2k π+α)=cot α② 0>r 而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定。

第一象限：0,0.>>y x∴sin α>0，cos α>0，tan α>0，cot α>0 第二象限：0,0.><y x∴sin α>0，cos α<0，tan α<0，cot α<0O A M P Txyα的终边 x yO A M T yOAM xyOAM TPα的终边第三象限：0,0.<<y x∴sin α<0，cos α<0，tan α>0，cot α>0 第四象限：0,0.<>y x∴sin α<0，cos α>0，tan α<0，cot α<0记忆法则：第一象限全为正，二正三切四余弦。

5.2课题：任意角的三角比（2）教案教学目的：1、掌握三角比在各个象限的符号规律以及诱导公式一。

2、会用三角比的定义得到公式一，并能用公式一将任意角的正弦、余弦、正切的三角比分别转化为0°到360°的角的同一三角比。

教学重点：利用三角比的定义得出：三角比在各象限的符号特点及公式一。

教学过程：（一）、引入一、任意角三角比的定义：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x ,y )，P 与原点的距离22y x r +=，则sin α=ry ，cos α=r x ，tan α=x y ，cot α=y x , sec α=x r , sec α=x r 二、三角比的值的号是有什么元素确定的？由三角比的定义知道：三角比的值的符号是有角α的终边确定的。

（二）、新课一、三角比在各象限的符号的确定由三角比的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以得知三角比的值在各象限的符号：y x x r y r xr x r y ======ααααααcot sec csc tan cos sin二、诱导公式一因为角的三角比值是由α的终边位置决定的，所以所有终边相同的角的三角比值是相同的。

诱导公式一：)Z (tan )2tan()Z (cos )2cos()Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ)(cot )2cot(Z k k ∈=+ααπ三、典型例题（3个，基础的或中等难度）例1、确定下列三角比的符号：311tan )4( )672tan()3( )4sin()2( 250cos )1(00ππ-- 解：(1)∵250°角属于第三象限角, ∴cos250°<0(2) ∵4π-角属于第四象限角, ∴ )4sin(π-<0(3) ∵.48tan )360248tan( )672tan(0000=⨯-=-而48°角属于第一象限角,∴)672tan(0->0(4) ∵),3tan()34tan(311tan ππππ-=-=3π-角属于第四象限角，0)3tan(<-π∴311tan π<0例2、求下列三角比：)611tan((2) ;49cos )(1 ππ- （3）sin1485° 解：2241cos )412cos(49cos )(1==+=ππππ。

第十五讲 任意角的三角比⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩正角概念负角零角角度制表示法任意角弧度制—扇形的弧长、面积象限角与轴线角终边相同的角与终边有关的角1． 角概念的推广 （1）任意角的形成角能够看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，终止时的射线叫做角的终边。

（2）正角、负角和零角按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；当射线没有任何旋转时，形成的角叫做零角。

2．表示法：角度制与弧度制 （1）1弧度的角等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

弧度制的建立，使任意角与实数之间建立了一一对应关系.0↔⎧⎪↔⎨⎪↔⎩正角正数负角负数零角 （2）角度与弧度的换算：π弧度（rad ）=180 （3）扇形的弧长与面积公式：||l r α=；211||22S lr r α== 练习1 已知一个扇形OAB 的面积是42cm ，它的周长是10cm ，求它的圆心角和弦AB 的长. 答案：12α=，18sin 4AB =.变式：已知一个扇形的周长为2(0)a a >，问这个扇形半径为何值时，才能使这个扇形面积最大？最大面积为多少？并求此时扇形的圆心角.答案：2ar =时，扇形面积最大，最大值为24a ，此时圆心角为2.3．象限角与轴线角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角为第几象限的角；角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，即称为轴线角.第Ⅰ象限角：{|22,}2x k x k k Z πππ<<+∈； 第Ⅱ象限角：{|22,}2x k x k k Z ππππ+<<+∈；第Ⅲ象限角：3{|22,}2x k x k k Z ππππ+<<+∈；第Ⅳ象限角：{|22,}2x k x k k Z πππ-<<∈； 终边落在x 轴正半轴上的角的集合：{|2,}x x k k Z π=∈； 终边落在x 轴负半轴上的角的集合：{|2,}x x k k Z ππ=+∈ 终边落在x 轴上的角的集合：{|,}x x k k Z π=∈ 终边落在y 轴正半轴上的角的集合：{|2,}2x x k k Z ππ=+∈ 终边落在y 轴负半轴上的角的集合：{|2,}2x x k k Z ππ=-∈终边落在y 轴上的角的集合：{|,}2x x k k Z ππ=+∈ 终边落在坐标轴上的角的集合：{|,}2x x k k Z π=⋅∈练习2 若tan 0,cot cos 0sin αααα<⋅>，则角α，2α分别是第几象限的角？ 答案：α是第二象限角，2α是第一、三象限的角。

1、任意角的三角比：在初中时，我们学习了锐角三角比。

如图所示，直角三角形OQP 中，Q Rt ∠=∠，点点P 的坐标为(,)x y ，则角α的对边QP 的长为y ，邻边OQ 的长为x ，斜边0)r r =>。

有锐角三角比的定义，得：sin ;cos ;tan ;cot QP y OQ x QP y OQ xOP r OP r OQ x QP y αααα========。

锐角α的三角比可以用其终边上点的坐标来定义。

定义分析：1、明确,,x y r 的几何意义：六个公式，只涉及三个量：,,x y r 量，就能确定三角比！2、角α的终边所在位置，决定了三角比的值：当α 与角α终边上点P 的位置无关，所以可任取一点(,P x y 2、三角比的定义1、设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离2222>+=+=y x yx r2、比值ry 叫做α的正弦 记作：ry=αs i n ；比值r x叫做α的余弦 记作： r x=αc o s ； 比值x y叫做α的正切 记作：x y =αt a n ； 比值y x叫做α的余切 记作： y x =αc o t ；比值x r 叫做α的正割 记作：x r=αs e c ； 比值y r叫做α的余割 记作：y r =αc s c 注意:①角是“任意角”，当β=2k π+α(k ∈Z)时，β与α的同名三角比值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。

3：三角比在各象限的符号及坐标轴上的值：三角函数线：角的终边与单位圆交于点P ，过点P 作 x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段MP 、OM 是角α的正弦线、余弦线 。

过点A(1,0)作 单位圆的切线 ，交 α的终边或反向延长线交 于点T ，则有向线段 AT 是角α的 正切线。

sin MP α= cos OM α= tan AT α=小结：三角比值的正负由什么决定？1、三角比名；2、角的终边位置。

第五章 三角比 第一节 任意角的三角比一、知识点梳理 （一）、三角比定义： 设角α是一个任意角，将角α置于平面直角坐标系中，角α的顶点与原点O 重合，α的始边与x 轴的正半轴重合，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）, 有点P 到原点的距离 02222>+=+=y x y x r则我们规定：y rx ry y xx x yr xr y ==≠=≠===ααααααcsc sec )0(cot )0(tan cos sin例1已知角α的终边经过点P （-3，4），求角α的六个三角比的值。

例2已知角α的终边经过点P （2a ，-3a ）(a ≠0)，求sin α-cos α的值。

例3求65π的六个三角比的值。

例4应用三角比的定义证明： （1）平方关系222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系sin cos tan ,cot cos sin αααααα==专题训练1、分别求0、2π、π、23π、π的三角比值。

2、分别求6π、4π、3π、65π、43π、32π的三角比值。

3、已知角α的终边与函数y=-3x 的图形重合，求角α的各三角比的值。

4、已知角α的终边与x轴重合，求cosα得值。

评注：三角比的定义是三角知识的源头，务必充分理解，灵活应用，熟练掌握。

（二）、三角函数线：1、正弦线：无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于｜y｜．所以有→MP=y=sinα．我们把有向线段→MP叫做角α的正弦线，正弦线是角α的正弦值的几何形式．2、余弦线：有向线段→OM叫做α的余弦线。

3、正切线：过A（1，0）点作单位圆的切线（x轴的垂线），设α的终边或其反向延长线与这条切线交于T点，那么有向线段→AT叫做角α的正切线。

任意角的三角比教案
一、教学目标
1. 理解正弦、余弦和正切的概念。

2. 掌握如何计算任意角的正弦、余弦和正切值。

3. 能够运用三角函数解决相关实际问题。

二、教学重点和难点
1. 重点：正弦、余弦和正切的概念及计算方法。

2. 难点：任意角的三角比的应用。

三、教学内容
1. 正弦、余弦和正切的定义：在直角三角形中，对于任意角A，定义如下：
正弦（sinA）= 对边/斜边，余弦（cosA）= 邻边/斜边，正切（tanA）= 对边/邻边。

2. 任意角的三角比的计算：
对于任意角A，可以通过相关公式计算其正弦、余弦和正切值。

sinA = b/c, cosA = a/c, tanA = b/a，其中a、b、c分别为直角三角形的边长。

四、教学过程
1. 引入：
通过实际问题引入正弦、余弦和正切的概念，比如航海、建筑等领域中的应用。

2. 讲解：
讲解正弦、余弦和正切的定义，并介绍如何计算任意角的三角比。

3. 示例分析：
给出一些具体的例子，让学生通过三角函数的计算，解决相关实际问题。

4. 练习：
让学生做一些相关练习，巩固所学知识。

五、教学小结
通过本节课的学习，学生能够理解正弦、余弦和正切的概念，掌握计算任意角的三角比的方法，并能够运用到实际问题中。

六、作业布置
布置相关的练习题，鼓励学生在课后复习所学知识，并思考如何应用到生活中。

七、教学反思
回顾本节课的教学过程，总结学生的学习情况，思考如何更好地教学。

芯衣州星海市涌泉学校任意角三角比一、任意角三角比教学内容分析任意角的三角比分为4个课时。

第一课时学习与角有关的概念，如正角、负角、零角、象限角、终边一样的角，并且能按要求正确表示。

第二课时通过比较角度制与弧度制，体会弧度制在解决问题中的优点；能正确进展弧度与角度的换算；会利用弧长公式和扇形面积公式解决实际问题。

第三课时通过任意三角比的学习进展求值、化简和证明。

第四课时领会象限角的三角比的符号及坐标角的三角比值，并在此根底上进展计算、判断和求值等。

二、教学目的设计1、知识与技能领会与角有关的概念，如正角、负角、零角、象限角、终边一样的角，并且能按要求正确表示；通过比较角度制与弧度制，体会弧度制在解决问题中的优点；能正确进展弧度与角度的换算；会利用弧长公式和扇形面积公式解决实际问题；学会使用单位圆中的有向线段表示三角比；通过任意三角比的学习进展求值、化简和证明；领会象限角的三角比的符号，及坐标角的三角比值。

2、过程与方法通过生活中的实例感悟角度概念推广的必要性，体会“旋转成角〞的概念；通过回忆锐角三角比，感悟任意三角比的定义及相关要点；通过三角比的建立，是学生初步领会用代数方法解决几何问题的数形结合思想。

3、情感态度与价值观在整个教学过程中用运动变化的观点审视事物，用对立统一的规律提醒生活中的空间形式和数量关系。

培养学生的辩证唯物主义观点。

三、教学重点及难点重点：理解任意角的相关概念，掌握弧度制与角度制的关系和运用，掌握任意角三角比的值与符号，并能进展应用。

难点：弧度制的应用，任意角三角比的值与符号形成与认识。

四、教学流程设计第一课时：任意角及其度量〔1〕 华东师范大学附属东昌中学杨雪教学目的：1、 通过生活中的实例感悟角度概念推广的必要性，体会“旋转成角〞的概念。

2、 领会与角有关的概念，如正角、负角、零角、象限角、终边一样的角，并且能按要求正确表示。

3、 树立辩证唯物主义的世界观。

教学用具： 多媒体。