任意角的三角比精品讲义

龙文教育学科教师辅导讲义教师：学生：时间:2010年5月29 日13；00-15：00 段3、已知角α的终边与函数y=-3x 的图形重合，求角α的各三角比的值。

4、已知角α的终边与x 轴重合，求cos α得值。

评注：三角比的定义是三角知识的源头，务必充分理解，灵活应用，熟练掌握。

Ⅱ、三角函数线： 1、正弦线： 无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P 作x 轴的垂线，交x 轴于M ，有向线段MP 的符号与 点P 的纵坐标y 的符号一致，长度等于｜y ｜． 所以有→MP =y=sin α．我们把有向线段→MP 叫做 角α的正弦线，正弦线是角α的正弦值的几何形式． 2、余弦线：有向线段→OM 叫做α的余弦线。

3、正切线：过A （1，0）点作单位圆的切线（x 轴的垂线），设α的终边 或其反向延长线与这条切线交于T 点，那么有向线段→AT 叫做 角α的正切线。

例1 作下列角的三角函数线：（1）3π； （2）－32π。

单位圆r=1例2 比较下列各组数的大小：例3根据下列三角函数值，求作角α的终边，然后求角α的取值集合。

例4已知角α∈（0，2π），应用三角函数线证明：sin α＜α＜tan α。

针对性练习：1. 已知：βαsin sin >，那么下列命题成立的是（ ） A ．若α、β是第一象限的角，则cos α>cos β. B. 若α、β是第二象限的角，则tan α>tan β. C. 若α、β是第三象限的角，则cos α>cos β. D. 若α、β是第四象限的角，则tan α>tan β. 2．求下列函数的定义域：（1） y = 1cos 2-x ； (2) y = lg(3－4sin2x) 。

评注:三角函数线是三角比值得几何形式，要重点掌握，应用三角函数线可以得到下列结论：(1) sin 2α + c os 2α = 1；(2)│sin α│ + │cos α│≥1；(3) -1≤sin α≤1, -1≤cos α≤1, tan α∈R ；(4) 若两角终边互为反向延长线，则两角的正切值相等,正弦、余弦值互为相反数； (5) 当角的终边在第一象限逆时针旋转时，正弦、正切值逐渐增大，余弦值逐渐减小； (6) 当角的终边在直线x y =的右下方时, sin α＜cos α;当角的终边在直线x y =的左上方时, sin α＞cos α。

高三数学-高考复习讲义-任意角的三角比1．角的概念的推广（1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角α终边相同的角（包含角α在内）的集合为{}Z k k ∈⋅+=,360 αββ. （4）角α在“0到 360”范围内，指 3600<≤α.2． 弧度制（1）角度制与弧度制.用一个周角的3601（1度的角）作为度量单位来度量角的制度叫角度制.角度制在形数结合解决问题时会受到一定限制.弧度的角作为度量单位来度量角的制度叫弧度制.对于角α，以顶点O 为圆心，分别以'r r 、和'l ，则α==''r l r l 取弧的半径无关.（2集合与角的集合之间建立起一种一一对应的关系.（3）角度与弧度的换算.只要记住rad π=180 由rad π=⨯=1180180，rad 1801π=.由 1801=⨯=rad rad ππ，30.571801≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad .应熟记一些特殊角的度数和弧度数.在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制，如：“ 3602⋅+k π”和“πk 290+ ”的写法都是不妥当的.（4）弧长公式和扇形面积公式.由定义，在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的弧长r l α=.在角度制中，半径为r 、圆心角为n 的弧长r n r n l 1802360ππ=⋅=. 在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的扇形面积r l r r S 2121222==⋅=αππα. 在角度制中，半径为r ，圆心角为n 的扇形面积22360360r n r n S ππ=⋅=. 3．任意角的三角比 三角比的定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r =，那么 ⑴ 比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； ⑵ 比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x rα=； ⑶ 比值()0y x x≠叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=．三角比的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知（如下表）：① 正弦值yr 对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（00y r <>，）；② 余弦值xr 对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（00x r <>，）；③ 正切值()0yx x≠对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（x y ，异号）．注意：余切、正割、余割自行推导4．单位圆与三角函数线（1）单位圆：一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆．如下图，角α的终边与单位圆交于点()P x y ，．过P 作x 轴的垂线，垂足为M ．过点(10)A ，作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T ．根据三角函数的定义，我们有：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==；|||tan |AT α=．坐标轴是规定了方向的直线，直角坐标系内的点的坐标与坐标轴的方向有关．因此一个自然的想法就是以坐标轴的方向来规定线段OM MP ，的方向，以使它们的取值与P 点的坐标联系起来．当角α的终边不在坐标轴上时，以O 为始点，M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负，且有负值x ．其中x 为P 点的横坐标．所以无论哪一种情况都有cos OM x α==．同理，可以得到，无论哪一种情况都有sin MP y α==；tan yAT xα==．有向线段：像MP ，OM ，AT 这种被看作带有方向的线段叫做有向线段．规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负．（2）与单位圆有关的有向线段，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．统称为三角函数线．① 三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外．② 三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点．③ 三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后． 6．终边相同角的三角函数值 公式一：ααsin )360sin(=⋅+k ， ααcos )360cos(=⋅+k ， ααtan )360tan(=⋅+k . )(Z k ∈也称为诱导公式一，利用公式一可以把任意角的三角函数化为0到360角的三角函数.一、角的概念的推广1、角的概念【例1】若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？【例2】求经过下列时间，时钟的分针所转过的角度：（1）15分钟；（2）1小时20分钟.2、终边相同的角【例3】找出与下列各角终边相同的角的一般形式，指出它们是哪个象限的角，并找出终边相同的角中绝对值最小的角：（1） 1000； （2） 700-； （3） 950- .【例4】写出下列各边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式360720β-≤≤的元素β 写出来： （1）60； （2）21-； （3）36314'．【例5】设 {| 36045,}A k k Z αα=⋅︒+︒∈＝，{| 360225,}B k k Z αα=⋅︒+︒∈＝{| 18045,}C k k Z αα=⋅︒+︒∈＝ ， {| 360135,}D k k Z αα=⋅︒-︒∈＝{| 36045 360225,}E k or k k Z ααα=⋅︒+︒=⋅︒+︒∈＝，则相等的角集合为_ _。

任意角的三角比讲义一、角度的定义和表示1. 角度的定义角度是度量两条射线之间旋转的大小。

角度的度量单位是度（°）或弧度（rad）。

2. 角度的表示角度可以用三种形式进行表示：度（°），分（’）和秒（’’）。

例如，一个角度为60度15分20秒，则可以表示为60°15’20’’。

二、任意角的三角比1. 任意角任意角是指一个角度可以不是90度的角度。

2. 正弦、余弦、正切函数在任意角的情况下，我们仍然可以计算三角函数的值。

例如，对于一个任意角A，我们可以定义其正弦、余弦和正切函数分别为SIN(A)、COS(A)和TAN(A)。

其中，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，正切函数的值等于对边与邻边的比值。

3. 三角函数的性质在任意角的情况下，三角函数仍然具有一些重要的性质。

3.1 周期性正弦函数和余弦函数的周期均为360度或2π弧度，即它们在每经过360度或2π弧度时会重复一次。

正切函数的周期为180度或π弧度，即它们在每经过180度或π弧度时会重复一次。

3.2 值域正弦函数和余弦函数的值域均为[-1,1]，即它们的函数值均在这个范围内。

正切函数的值域为所有实数，即正切函数可以取到任意实数的值。

4. 三角函数的应用在实际问题中，三角函数广泛应用于各种领域，如物理、工程、地理等。

例如，在三角学中，我们可以使用正弦函数和余弦函数来计算两个角度之间的距离、高度等。

在物理学中，我们可以使用三角函数来计算力的大小和方向等问题。

三、小结任意角的三角比是三角函数的重要部分，它在数学、物理和工程等领域都有着广泛的应用。

我们需要了解三角函数的定义、性质和应用，以便能够在实际问题中进行计算和分析。

§5.2(2) 任意角的三角比------三角比的符号、诱导公式教学过程：一、复习引入：1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P与原点的距离0r ==>2．比值y r 叫做α的正弦，记作：sin yrα=比值xr叫做α的余弦，记作：cos x r α=比值y x 叫做α的正切，记作：tan y xα=比值x y叫做α的余切，记作：cot x yα=比值r x叫做α的正割， 记作： sec r xα= 比值r y叫做α的余割， 记作： csc r yα=，以上六种比，统称为三角比. 3.突出探究的几个问题：①角是“任意角”，当β=2k π+α(k ∈Z)时，β与α的同名三角比值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角比值相等。

②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。

③0>r 而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角比的符号应由象限确定.④定义域：从而有：sin cos tan ααα )(2Z k k R R∈+≠ππα cot sec csc ααα )()(2)(Z k k Z k k Z k k ∈≠∈+≠∈≠παππαπα.设角,αβ均是第二象限角，依任意角三角比的定义，为了求,αβ的六个三角比值，只要分别在,αβ终边上取点1122(,),(,)P x y Q x y ，由比值11111111||||,,,,,||||y x y x OP OP OP OP x y x y 、22222222||||,,,,,||||y x y x OQ OQ OQ OQ x y x y 可知，这两组比值虽然不一定相等，但由于,P Q 均在第二象限，故12,x x 同号，12,y y 同号，因而可见，,αβ的正弦、余弦、正切、余切值，符号是对应相同的.那么，当,αβ分别为一、三、四象限时，上述性质是否仍然成立呢？下面就讨论这一问题． 二、学习新课1．任意角的三角比的符号今后我们还要经常用到三角比值在各个象限的符号，由于从原点到角的终边上任意一点的距离 总是正值，根据任意角三角比的定义可知，三角比值的符号取决于各象限内的坐标符号，请同学们分象限思考四个象限中三角比值的符号．观察六个三角比，可发现sin α与csc α，cos α与sec α，tan α与cot α互为倒数，因此它们的符号规律相同． sin y rα=，csc r yα=(1) 当α在第一、二象限时，0,0y r >>，所以sin ,csc αα为正； (2) 当α在第三、四象限时，0,0y r <>，所以sin ,csc αα为负．同理cos ,sec x r rxαα==，对于第一、四象限的角是正的，而对于第二、三象限的角是负的． tan ,cot y x xyαα==，对于第一、三象限的角是正的，而对于第二、四象限的角是负的． 现在我们将以上讨论结果整理成图1．图1说明： 可以表达为正弦和余割上正下负，余弦与正割左负右正，正切与余切一、三象限为正，二、四象限为负．记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.ααcsc sin 为正 全正ααcot tan 为正 ααsec cos 为正2、诱导公式一上节课我们已学过终边重合的角，例如94π和74π-的终边都与4π终边位置重合．∵ 9244πππ=+，7244πππ-=-+cot α<0tan α<0cos α>0sin α<0cot α>0tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0tan α<0cos α<0sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0∴由任意角三角比的定义可知它们的三角比值相同，即9sinsin 44ππ= 9cos cos 44ππ=9tantan 44ππ=7sin()sin 44ππ-= 7cos()cos 44ππ-= 7tan()tan 44ππ-= 推广到一般情形，我们可得到诱导公式一：终边重合的角的同一三角比值相等，即 sin(2)sin k παα+= （k Z ∈）cos(2)cos k παα+= （k Z ∈）tan(2)tan k παα+= （k Z ∈） cot(2)cot k παα+= （k Z ∈）说明：这组公式的作用是把任意角的三角比值问题转化为[0,2)π角的三角比值问题． 三、例题分析例1．确定下列三角比值符号：（1） 16cos 5π；（2）sin()4π-；（3）'tan(55612)-答：（1）负；（2）负；（3）负.例2. 求证角θ为第三象限角的充分必要条件是 sin 0,tan 0θθ<>．证明：必要性：当θ为第三象限角时，sin 0,tan 0θθ<>；充分性：∵sin 0θ<成立，∴θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可以位于y 轴的非正半轴上；又∵tan 0θ>成立，∴θ角的终边可能位于第一或第三象限，因为要同时成立，所以θ角的终边只可能位于第三象限，于是角θ为第三象限角． 例3. 求下列三角比值： （1）sin1470；（2）15cos()4π-；（3）25tan3π．答：（1）12； （2；（3例4. 如果θ在第二象限，那么sin(cos )cos(sin )θθ⋅的值是什么符号？答：∵θ在第二象限，∴1cos 0,0sin 1θθ-<<<<， ∴sin(cos )0,cos(sin )0θθ<>，∴ sin(cos )cos(sin )0θθ⋅<.例5. 若α是第二象限的角，且|cos |cos 22αα=-，问2α是第几象限角？答：2α是第三象限的角．例6. 求值：sin(1320)cos1110cos(1020)sin 750tan 495-+-+ 答： 四、课堂练习1.确定下列各式的符号(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5分析:由角所在象限分别判断两个三角比值的符号,再确定各式的符号.解(1)∵100°是第二象限的角,240°是第三象限的角. ∴sin100°＞0,cos240°＜0,于是有sin100°·cos240°＜0. (2)∵352,2ππ<<∴5是第四象限的角 ∴sin5＜0,tan5＜0,于是有sin5+tan5＜0. 2. 当x 取什么值时,sin cos tan x x x+有意义?分析：因为正弦、余弦比的定义域为R ，故只要考虑正切比的定义域和分式的分母不能为零.解:由题意得tan 0(Z)2x x k k ππ≠⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩解得: (Z)(Z)2x k k x k k πππ≠∈⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩ 即: ()2k x k Z π≠∈所以,当(Z)2k x x x k π⎧⎫∈≠∈⎨⎬⎩⎭时，sin cos tan x x x+有意义. 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为……（ ）(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)以上三种情况都可能4．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（ ）A ：sin α+cos α<0B ：tan α-sin α<0C ：cos α-cot α<0D ：cot αcsc α<0 5．已知θ是第三象限角且cos 02θ<，问2θ是第几象限角？解：∵(21)(21)2k k ππθπ+<<++ ()k Z ∈∴3224k k πθπππ+<<+()k Z ∈,则2θ是第二或第四象限角.又∵cos 02θ< , 则2θ是第二或第三象限角∴2θ必为第二象限角6．已知sin 2112θ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则θ为第几象限角？解：由sin2 112θ⎛⎫<⎪⎝⎭∴sin2θ>0∴2kπ<2θ<2kπ+π)(Zk∈∴kπ<θ<kπ+2π∴θ为第一或第三象限角7. 确定下列三角比值符号：8.化简：ααααα222222sin 1cos 1cos sin cot tan -+--a .解法一：(定义法)设点P(x,y)是角α终边上的一点，且|OP|=r,则将sin α=yr, cos α=x r ,tan α=y x ,cot α=x y代入得：原式=222222()()()()()()y x r r x yy x x y r r-+-- 44222222222()()()y x r r y x x y y x x y 2--=+-22222cos r x α==解法二：(化弦法) 原式=22222222sin cos ()()sin cos cos sin sin cos sin cos αααααααααα--+-222222222sin cos sin cos 2sin cos sin cos cos ααααααααα+-=+=解法三：(换元法)设cos2α=a,则sin2α=1-a,tan2α=1aa-,代入得原式22111(1)121(1)1(1)(12)(1)a aa a a a a a a a a a a a a a ------+-=+------211222(1)(1)cos a a a a a a α-=+==--评注：“切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义、换元方法，使得三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想.五、课堂小结本节课我们重点讨论了两个内容：(1) 任意角的三角比的值在各象限的符号；(2) 诱导公式一。

精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号_学员编号：年级：高一课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题任意角的三角比授课日期及时段教学目的掌握角的概念的推广、正角、负角、象限角，终边相同的角的表示；掌握弧度制、弧度与角度的转化关系，扇形面积及弧长公式；根据任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的定义，掌握这些三角比的值在各象限的符号；并能根据角α的某种三角比值的符号，反馈出α可能存在的象限。

教学内容一、知识梳理及例题分析任意角1、角的概念的推广角可以看成平面内一条射线绕着端点从初始位置旋转到终止位置所形成的图形。

规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle)，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negativeangle)。

如果一条射线没有旋转时，我们称它形成了一个零角(zero angle)，记作0。

提问：始边与终边重合的角是零角？[说明]确定一个角的大小不仅要看始边、终边的位置，更要看角形成的过程。

象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限。

特别规定：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。

特别地：若α与β的终边相同，则它们的数量关系可以表示为。

若α与β的终边关于x轴对称，则它们的数量关系可以表示为。

若α与β的终边关于y轴对称，则它们的数量关系可以表示为。

若α与β的终边关于原点对称，则它们的数量关系可以表示为。

第一象限角表示为。

第二象限角表示为。

第三象限角表示为。

第四象限角表示为。

2、角的度量角度制：将圆周分为360份，每一份所对的圆心角叫1度的角。

弧度制的概念：把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

用弧度制来度量角，实际上是在角的集合与实数集R 之间建立这样的一一对应关系。

角度制与弧度制的互化：8157)180(1)(180'≈== ππ弧度弧度 π23600=（弧度） 弧度弧度017453.0)(18010≈=π 弧长公式：r l ⋅=α 扇形面积公式：22121r lr S α== 说明：① 用弧度制表示终边重合的角的方法2()k k Z βπα=+∈；② 把一角化为2k πα+形式，其中,[0,2)k Z απ∈∈，从而可判断角所在的象限；③ 在同一问题求解过程中，两种单位不能混用，如{|2k ααπ=+ 30,}k Z ∈写法不妥。