8年级上学期-二次根式与一元二次方程

二次根式小结与复习基础盘点1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ___0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根式.定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式； （2）形如a b （a ≥0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式a 中的被开方数a ，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a ≥0. 2.二次根式的基本性质（1）a _____0（a ___0）；（2）()2a ＝_____（a ___0）；（3）a a =2＝()()⎩⎨⎧0_____0_____a a ；（4）=_________（a ___0，b ___0）；（5=_________（a ___0，b ___0）.3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含___；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都_____.4.二次根式的乘、除法则：（1）=______（a ___0，b ___0）；（2）=_______（a ___0，b ___0）.复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用==a a 2()()⎩⎨⎧<-≥00a aa a 进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外； （2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.5.同类二次根式：几个二次根式化成______后，如果_____相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_____，然后把_______进行合并. 复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_____，第二步是____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；（2）不是同类二次根式的不能合并，如：53+≠8；（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算. 7.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先_，再__，最后__，有括号的先_内的. 复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用； （2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式. 8.二次根式的实际应用利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值.1 二次根式有意义的条件例1 若式子43-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A.x ≥34B.x ＞34C.x ≥43D.x ＞43方法总结：判断含有字母的二次根式是否有意义，就是看根号内的被开方数是不是非负数，如果是，就有意义，否则就没有意义，当二次根式含有分母时，分母不能为0.2 二次根式的性质例2 下列各式中，正确的是（ ）A.()332-=- B.332-=- C.()332±=± D.332±=方法总结：()a a =2成立的条件是a ≥0，而在化简()2a 时，先要判断a 的正负情况.3 二次根式的非负性例3 已知32552--+-=x x y ，则xy 2的值为（ ）A.—15B.15C.215-D.215 方法总结：二次根式a （a ≥0）具有双重非负性，即a ≥0、a ≥0. 4 最简二次根式例4 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A.51B.5.0C.5D.50 方法总结：在进行二次根式化简时，一些同学不知道化到什么程度为止，切记，一定要化到最简二次根式为止. 5 二次根式的运算 例5 计算1824-×31＝____.方法总结：二次根式的加减运算，一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式可以合并，除法运算先化为乘法再运算，混合运算时要正确使用运算法则.6 二次根式的化简求值例6若120142013-=m，则34520132mmm--的值是_____.方法总结：解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用.一元二次方程1、一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

2.4 用因式分解法求解一元二次方程教学过程设计第2课时 二次根式的运算【上节知识回顾】1．关于二次根式的概念，要注意以下几点： （1）从形式上看，二次根式是以根号“”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步运算。

如，等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算；（2）当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式（整式或分式）时，虽然最后运算不是开方而是乘法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式，而前面与其相乘的有理数或有理式就叫做二次根式的系数；（3）二次根式的被开方数，可以是某个确定的非负实数，也可以是某个代数式表示的数，但其中所含字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数； （4）像“，”等虽然可以进行开方运算，但它们仍属于二次根式。

2．二次根式的主要性质（1）； （2）； （3）；（4）积的算术平方根的性质：；（5）商的算术平方根的性质：；（6）若，则。

3．注意与的运用。

【新授】一、二次根式的乘法 一、复习引入1．填空 （14949⨯=______； （21625=_______1625⨯． （31003610036⨯． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．4949⨯16251625⨯1003610036⨯ 一般地，对二次根式的乘法规定为 a ·b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0） 反过来:ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）例1．计算（1（2（3（4例2 化简（1（2（3（4（5例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1（2二、二次根式的除法1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空=________；（2=________；（1（3=________；（4=________．一般地，对二次根式的除法规定：例1．计算：（1（2（3（4（1（2（3（4=，且x为偶数，求（1+x例3．三、分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。

二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。

如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。

不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。

如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。

如25 可以写作 5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。

其中a≥0是 a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。

要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。

练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。

二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。

（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。

16.3.2二次根式的加减及混合运算考点一、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.考点二、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.题型1：二次根式的加减法1-数字型182）A．5 B10C．32D．42C【分析】根据二次根式的运算法则即可求解．82822232==故选C．【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．2273______．23先进行化简，然后作差求解即可．解：原式333==【点睛】本题考查了二次根式的化简与减法运算．解题的关键在于正确的计算．3______．首先化简二次根式，进而合并求出即可．解：原式==故答案为：【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．题型2：二次根式的加减法2-字母型4．计算：（1________；（2）=_________．根据合并同类二次根式的法则计算即可；解：（1=，（2）-=故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握合并同类二次根式的法则是解题的关键5．计算；（1(=________；（2）5-________．-【分析】（1）先化简二次根式，然后根据合并同类二次根式的法则计算即可；（2）讨论x和a同时大于0和同时小于0，利用二次根式的性质化简即可．解：（1(=（2）ax≥∴0当0x >，0a ≥时55x ---当0x <，0a ≤时55x -+=故答案为：-【点睛】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握合并同类二次根式的法则是解题的关键．6．计算二次根式________．合并同类二次根式得：故答案：7．1642 ） A ．正数B ．非正数C ．非负数D ．负数B【分析】先化为最简二次根式，然后合并同类项，再根据二次根式有意义确定0x ≥0≥，最后确定值的符号即可．解:1642=1642x x ⋅24==-∴0x ≥0≥，∴0-≤，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，及二次根式的加减运算，二次根式有意义条件，熟知此知识点是解题的关键．题型3：二次根式的混合运算1-数字型8=_____________． 2【分析】 先把分子中的二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算．2=． 故答案为：2．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，然后进行二次根式的乘除运算．9．计算：=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8C【分析】先根据二次根式的性质化简括号内的式子，再进行减法运算，最后进行除法运算即可．原式6=÷==．故选C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简是解题的关键．1002019)-=________． 1【分析】根据二次根式的运算法则和零指数的性质进行计算即可．解：原式1= 4211=--=故答案为1．【点睛】本题考查了二次根式的运算法则和零指数，解题关键是熟练运用相关法则，准确进行计算．11-+⨯ ）A ．+B ．32C ．D ．A【分析】先化简各个二次根式再合并即可.=故选A.【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简与同类二次根式的合并是解题的关键.12=______．44 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．=4==4故答案为：4【点睛】本题考查二次根式的混合运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则．13 ）A ．-B C ．36-D ．6-D【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算即可原6==-故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．=______．14先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可．==11【点睛】本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键．15-分别根据分母有理化、二次根式的乘法和二次根式的性质化简与计算，再合并同类二次根式即可．-=-262【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握运算法则是解题的关键．题型4：二次根式的大小比较16．请用“>，=，<”符号比较大小：＞【分析】求出=解：==∵18＞12，∴故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．17910＝______．> 2##2【分析】根据45<<可推出101711210510，从而可比较两数大小；利用平方差公式分母有理化即可．解：∵45<<，∴516<<， ∴51716555即101711210510，910>；2==故答案为：>； 2． 【点睛】本题考查实数的大小比较，和二次根式的化简．能正确得出45<<和利用平方差公式分母有理化是解题关键．18．比较大小：（1）（2）4_________2+（3；（4> ， < ， > ， <【分析】（1）先将 ，有4532>，即可比较大小；（2）利用作差法，即可比较大小；（3）利用作商法，即可比较大小；（4>解：（1）∵==4532>，>∴>（2）∵(4(24222(1-+=--=-，又1，∴2(10<，即(4(20-+<，∴42+（3）1 ===>，>；（4）><故答案为：（1）>；（2）<；（3）>；（4）<．【点睛】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．题型5：二次根式的混合运算2-字母型及复合型19．若m，n+mn=_____.1【分析】利用二次根式的运算法则将已知等式化简，求出m、n的值，代入mn即可求解.1414∴4m=1, 4n=16,∴m=14， n=4，mn=414⨯= 1. 故答案为1.【点睛】本题考查二次根式的化简求值.20．若a 、b a +=a ________，b =________． 0 214 【分析】先把等式的左边化简，再合并同类二次根式，再利用实数的无理数性质可得答案．解： a =+，∴a =+a =+ ∴a =0，b =214． 故答案为：0;214． 【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，实数中无理数的性质，掌握合并同类二次根式与实数中无理数的性质是解题的关键．21．已知22a b ==，则（ ）A ．a b =B ．1ab =C ．1ab =-D ．0a b +=D【分析】根据a 与b 的值结合选项进行一一比较及计算即可结论．∵2a =(22b ==-，∴a b ，A 选项不正确；∴(227ab =-=-+∴B 、C 选项都不正确；∴220a b +==，D 选项正确．故选D ．【点睛】此题考查了二次根式求值运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键．22．已知：5a b +=-，1ab = ） A ．5B ．-5C ．25D ．5或-5A【分析】首先由a+b=-5，ab=1得出a 、b 的取值范围，然后使原式分母有理化，再由a 、b 的取值范围确定所求值的符号，通分化简代入求值；解：∵ab=1＞0，∴a 、b 同号，又∵a+b=-5＜0，∴a ＜0，b ＜0．115a b ⎫==+==⎪⎭； 故选：A【点睛】此题考查的知识点是二次根式的化简求值，关键是体现了整体代入思想，还要注意字母的取值．23．已知x =y =y x x y+=______． 8【分析】先把所求代数式通分，再把x 、y 的值代入进行计算即可． 解：22y x y x x y xy++=，将x =y =得：原式=22(53)(53)1682(53)(53)++-==+-， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，结合平方差公式以及完全平方公式是解题的关键．题型6：二次根式的混合运算与分式24．先化简，再求值：223112-⎛⎫-÷⎪++⎝⎭a a a a ，其中3a =． 2aa+，233- 【分析】根据分式的加减乘除法则进行化简，然后代入数值计算即可． 解：原式1(1)2(1)(1)-+=⨯++-a a a a a a 2=+a a 当3a =时，原式323=+ 233=-．【点睛】本题考查了分式加减乘除的混合运算，分式的化简求值，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确进行化简．25．已知1526x =-，则21055x x x -+-的值．63【分析】 先根据分母有理化化简x ，再把原式变形即可求解． ∵1526x =-()()526526226526+==+-⨯+ ∴21055x x x -+-21025205x x x -+-=-25+2652065+26526--．【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知二次根式、分式及完全平方公式的运算． 26．先化简，再求值：已知a 23+2221211a a a a a -+-+- 11a a-+，3【分析】先化简得11aa-+，再将a=11aa-+即可得．解：原式=2(1)1aa--=11(1)aaa a----=11aa -+当a=代入11aa-+得：111221231+=++．【点睛】本题考查了整式的化简求值，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．题型7：复杂的二次根式混合运算275【分析】先把二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可求得结果．55==【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．28．计算：(1)；(2)．(1)4(2)【分析】（1）先把括号内的二次根式化简及除法运算，再计算二次根式的除法运算，最后合并同类二次根式即可；（2）先计算括号内的二次根式的减法运算，再计算二次根式的除法运算，从而可得答案.(1)解：2332332232322322626262626 464(2)解：ab a ab ab a b a ab a ab ab aa ab a ba ab ab a2a ab a bab aa ab a baba b a【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键.292式的性质和二次根式的加减计算法则进行化简即可．2===【点睛】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，分式的化简，二次根式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式和完全平方公式．30．计算：（1（2）（12． 【分析】（1）先化为最简二次根式，再利用二次根式的加减法则进行计算； （2）利用二次根式的乘除法则及分式乘法运算法则进行计算即可．解：（1）原式=4= （2）原式22213a m n m n =+-222133a m n m n=⨯+- )212a m n m n=+-2=2== 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分式的乘法运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．题型8：二次根式混合运算的应用31=________．根据长+宽列式，利用二次根式的性质化简，再进行二次根式的加法计算即可．解：这个长方形的长与宽的和 ．故答案为 【点睛】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简方法．32．解不等式：11)x x +>-2x +＜根据解不等式的步骤解不等式即可．解：去括号，得1x +>，移项、合并同类项，得(11x >- 系数化为1，得x <2x <+【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法和分母有理化，本题的易错点是易忽略10．33．如图是一个简单的数值运算程序，若输入x _________．24x x →→→输入减输出-根据题意可得：程序所代表的代数式为24x -，再由x 1x =，代入即可求解． 解：程序所代表的代数式为24x -， ∵x∴1x =，当1x =时，输出的值为21)4314-=--=-故答案为：- 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据程序图得到程序所代表的代数式为24x -是解题的关键． 34．宋代数学家秦九韶，古希腊数字家海伦在探究三角形面积的求解过程中发现，若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设1()2p a b c =++，则这个三角形面积为：S =明，这个公式叫海伦秦九韶公式，当4a =，5b =，6c =时，三角形边a 上的高等于（ ）A B C D A【分析】由题意易得()11522p a b c =++=，则有S a 边上的高为h ，进而问题可求解．解：由题意，得：4a =，5b =，6c =；()11522p a b c ∴=++=；S ∴==； 设a 边上的高为h ，则12ah S =，22424s h a∴==故选：A．【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．35．若22248t t---＝2.5，则22248t t-+-的值为_____．325【分析】设224t-=a，将原等式变形后可求得a的值，代入所求式子可得结论．设224t-=a，则24-t2=a2，8-t2=a2-16，∵224t-−28t-=2.5，a-216a-=52，a−52＝216a-，两边同时平方得：(a−52)2＝a2−16，解得：a=89 20，则22248t t-+-，=8920+216a-，=8920+289()1620-，=8920+1521400，=8920+3920，=325，故答案为325．【点睛】本题是二次根式的化简求值问题，利用换元法，将原方程转化为关于a的方程，解方程可解决问题，计算量大，要细心．一、单选题1．下列运算正确的是（）A222B222233=C．333D633=B【分析】根据二次根式的化简、加法与乘除法法则逐项判断即可得．解：A=B==C1>，所以，则此项错误，不符题意；D=故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的运算以及化简，熟练掌握运算法则是解题关键．2．下列等式成立的是（）A=B=C=3C【分析】用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．A A不符合题意；B=B不符合题意；C=C符合题意；D=D不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间C【分析】由二次根式的性质，二次根式的乘法、加法进行计算，再进无理数的估算即可．==3∵12<<，∴435<+；故选：C【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法、加法运算法则，以及无理数的估算，解题的关键是掌握运算法则进行计算．4．当x=222x x++的值为（）A．14 B．17 C．533D．5+D【分析】将x=解：由题意得：当x=22++=+=+22225x x故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及求代数式的值，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．m，小数部分为n，则（2m+n）（2m﹣n）的值是（）5A．B．-C．2D．2-A【分析】m、n的值，再用平方差公式计算（2m+n）（2m﹣n），最后再再代入求值即可．2，解：∵1m=1，小数部分为n，∴（2m+n）（2m﹣n）=224m n-=)22411⨯-=()431--=故选：A．【点睛】本题考查估算无理数的大小、二次根式的计算及平方差公式，理解算术平方根的定义是正确估算的前提．6）A．0 B．3 CD．不存在B【分析】先根据二次根式有意义，求出xx的增大而增大，则在x取值范围内x取最小值时代入计算，即可求解．则102020xxx-≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，解得：x≥2，∵x的增大而增大，∴当x＝2时，代数式的值最小，1+0+2＝3．故选：B．【点睛】此题考查了函数的最值问题，考查了二次根式的意义．此题难度适中，解题的关键是根据题意求得x的取值范围．7．已知ab11a b+的值为（ ） A ．﹣B ．C ．﹣D ．A 【分析】先进行通分计算，然后代入求值即可． 解：原式＝b a ab ab+＝a bab + 当ab＝﹣故选：A ． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算成为解答本题的关键． 8．若0a <，0b <，化简 ） A ．(23-b a B ．(23--b a C ．(23-+b a D ．(23+b a C 【分析】a 化简 ，注意0a <，0b <，最后加减运算即可．解：223,ab a ab =-0a <，0b <，(2223332ab a abb a ∴-=-=-+故选：C ．【点睛】a 是解题关键．9．已知a b =c =a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a << A【分析】先把,,a b c再结合2021+20202020+2019,从而可得答案．解：∵a ==，b =，c ==，2021+20202020+2019, ∴.a b c <<故选A ．【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．10．设12211112a =++，22211123a =++，32211134a =++，……，22111(1)n a n n =+++．其中n 为正整数，则）A ．201920202020 B ．202020202021 C ．202020212021 D ．202120212022D【分析】11(1)n n =++，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案．解：∵n 为正整数，＝21(1)n n n n +++ ＝11(1)n n ++；2021a +＝（1+112⨯）+（1+123⨯）+（1+134⨯）+…+（1+120212022⨯） ＝2021+1﹣11111112233420212022+-+-++- ＝2021+1﹣12022 ＝202120212022． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分数1n(n 1)+化成111n n -+抵消规律求和．二、填空题11=________．33【分析】先根据二次根式的性质化简，同时进行二次根式的乘法运算，然后合并即可．解：原式＝33=故答案为：3本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．12＝ ____．4--4-【分析】根据二次根式的混合运算可进行求解．解：原式=2⎝=31--=4--故答案为4--【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．13，一矩形的长为，若该圆的面积与矩形的面积相等，则矩形的宽为____cm．【分析】园的面积=2rπ，矩形的面积=长×宽，根据圆的面积与矩形的面积相等可得2rπ=长×宽，代入数据即可求解．设矩形的宽为x cm∵圆的面积与矩形的面积相等，∴2rπ=长×宽2π=，解得：x=故答案为：【点睛】本题主要考查了圆的面积与矩形面积得等量代换，熟练地掌握圆的面积公式与矩形的面积公式，根据题意找出等量关系列出等式是解题的关键．14==ab=_________2【分析】运用二次根式化简的法则先化简，再得出a，b的值即可．解：246-==∴== 2.2,1,a b∴=故答案为：2．ab本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式运算法则．15．已知52x =+，52y =-，求下列各式的值： （1）x y +=______；（2）222x xy y -+=______；（3）22x y -=______．25 16 85【分析】（1）把52x =+，52y =-代入x y +进行计算即可；（2）先计算x y -，再把222x xy y -+化为()2x y -，再代入计算即可；（3）把22x y -化为()()x y x y +-，再整体代入计算即可．解：（1）∵52x =+，52y =-，2 5.x y（2）∵52x =+，52y =-， 52524,x y ∴()22222416.x xy y x y -+=-==（3）∵25,x y4,x y -= ∴()()222548 5.x y x y x y -=+-=⨯=故答案为：（1）25；（2）16；（3）85【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算，掌握“利用完全平方公式与平方差公式进行简便运算”是解本题的关键．16．现有一块长25dm ，宽23dm 的长方形木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是4dm 2和9dm 2的正方形木板？______（填“能”或者“否”）．否根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是2dm 和3dm ，然后进行比较相应的边长即可．解：，由于，∴不能够在这块木板上截出两个面积分别是4dm 2和9dm 2的正方形木板．故答案为：否．【点睛】本题考查了二次根式的应用，正确求得每个正方形的边长，并能够正确比较实数的大小是解题的关键．17．对任意的正数a ，b ，定义运算“*”如下：)),*.a b a b a b ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩计算()()3*23*5+的结果为______．【分析】根据新定义，将所给数值代入计算即可．解：∵))*a b a b a b ⎧≥⎪=⎨>⎪⎩， ∴()()3*23*5+==故答案为：【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是读懂新定义的运算法则．180.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a =b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b =+++，则12100S S S +++=_______．5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．解：a =b =1ab ==∴， 1112211112a b a b a b b b a bS a a ++++=+===+++++++， 222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++， …，10010010010010010010010010010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++=121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】 本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．三、解答题19．计算：﹣(22+（3）（ (1)-5(2)-6【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后化简后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．(1)解：原式））7﹣﹣1=﹣5(2)原式=﹣6．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．计算：⎛ ⎝-【分析】先化简括号内的二次根式，同步计算后面的分母化，再计算二次根式的除法运算，最后合并同类二次根式即可.解：⎛ ⎝2222326322222222222222=-【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运算法则与混合运算的运算顺序”是解本题的关键.21．计算：)21⎭．-根据二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则计算．解：原式=31-=31231---+=-【点睛】本题考查了二次根式的加减运算、乘法运算，掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键．22==的值．4 【分析】根据二次根式分母有理化计算即可；2=+2==原式===224=；【点睛】本题主要考查了二次根式分母有理化和乘除运算，准确化简是解题的关键．23-【分析】通分并利用同分母分式的减法法则合并，再利用平方差公式简便计算即可求解．=((1218⨯=-==-【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．24．已知：11,x y--==，求值：x2﹣y2．先利用分母有理化把二次根式化简，再利用平方差公式分解因式，进而即可求解．解：∵11,x y--==，∴x y====∴x2﹣y2=（x+y）（x-y）=⎝⎭∙535322=【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握负整数指数幂和分母有理化是解题的关键．25．三角形的周长为(cm，面积为(2cm，求：（1）第三边的长；（2）第三边上的高．（1）；（2）()4cm【分析】（1）首先化简二次根式，进而合并同类二次根式得出答案；（2）设第三边上的高为x，列出等式12x⨯，求解即可．解：（1）三角形周长为(cm，∴第三边的长是：(故第三边的长为：；（2）设第三边上的高为x，则12x⨯，解得：x=，故第三边上的高为：()4cm．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是掌握正确化简二次根式运算法则．26．算即可===本题考查了因式分解，二次根式的加减，将分式的分子因式分解是解题的关键．27先将各项分别化简，再合并同类二次根式．=【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则以及二次根式的性质．28．计算：（1）129+）0115-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）41a⎫+⎪⎪-⎭．（1）3-；（2【分析】（1）分别计算分数指数幂，零指数幂，负指数幂以及化简二次根式，再算加减法；（2）根据二次根式和分母有理化以及约分进行计算即可．解：（1）)1121915-⎛⎫+- ⎪⎝⎭=(3152+--=3-（2）41a⎫+⎪⎪-⎭=13⎤21-21本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解答此题的关键．29．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a ＝b ＝的大小，我们可以把a 和b 分别平方，∵a 2＝12，b 2＝18，则a 2＜b 2，∴a ＜b ．请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较c ＝，d ＝c d （填写＞，＜或者＝）．(2)猜想m ＝n ＝(3)＝ （直接写出答案）．(1)c >d(2)m <n ，证明过程见解析(3)4或【分析】（1）根据题干中“平方法”比较实数大小；（2）根据题干中“平方法”比较二次根式的大小；（3）根据题干中“平方法”找出21)p =-21)p =+质结合完全平方公式进而开平方分类讨论得出答案．(1)解：∵c 2=32，d 2=28，则c 2>d 2，∴c >d ；故答案为：>．(2)解：猜想：m <n ，证明：∵m ＝n ＝∴m 2=(2 n 2＝(2∴m 2<n 2，∴m <n ；(3)解：∵21)p =-21)p =+11∴p ≥1，分情况讨论：①1≤0，即1≤p ≤2时，原式=2(1+21)，=4；②1>0，即p >2时，原式=21)+21)，综合①②得：当1≤p ≤2时，原式=4；当p >2时，原式故答案为：4或．【点睛】此题考查了实数的大小比较，二次根式的大小比较和化简二次根式，解题的关键是熟练运用题干中“平方法”，第（3）题注意分情况讨论．30．综合与实践：在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以结合完全平方式化成另一个式子的平方，如：()(2224131211+++=+⨯=+，()2225322-=+--=．1==(1)请你依上述方法将4-(2)(3)=a 、m 、n 均为正整数，则=a ________．(1))211 (2)2(3)5或7【分析】（1）参照题目例子，将4拆分为1和3，把4-转化为2()a b -的形式，即可求解；（2）用（1）中方法把被开方数是无理数的式子依次化简，再进行二次根式的加减运算即可；（3的平方，与a +进行对比即可求出a 值． (1)解：())22243121-=+-=-=，1． (2)解：()2228215532-+-=-===3=132=． (3)解：222()m n m n =+=+=++26a +a 、m 、n 均为正整数，()m n a ∴++=+m n a ∴+=，6mn =，当2m =，3n =或3m =，2n =时，5a m n =+=；当1m =，6n =或6m =，1n =时，7a m n =+=；故答案为：5或7．【点睛】本题考查完全平方公式、二次根式的混合运算，题目较为新颖，能够灵活运用完全平公式对二次根式进行化简是解题的关键．。

专题09 二次根式的概念与性质阅读与思考0)a≥叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：1≥a、a2一样都是非负数．2．2＝a（a≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化．3()()a aaa a≥⎧⎪==⎨-≤⎪⎩揭示了与绝对值的内在一致性．4a b=（a≥0，b≥0）．5=（a≥0，b＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则．6．若a＞b＞0＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．运用二次根式性质解题应注意：（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；（2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边．例题与求解【例1】设x，y都是有理数，且满足方程11402332x yπππ⎛⎫⎛⎫+++--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么x y-的值是____________．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．【例2】当1≤x≤2___________．解题思路：a≥0的隐含制约．【例3】若a＞0，b＞0=+的值．（天津市竞赛试题）解题思路：对已知条件变形，求a，b的值或探求a，b的关系．【例4】若实数x，y，m满足关系式：9199y y+-m的值．（北京市竞赛试题）解题思路：观察发现（x－199＋y）与（199－x－y）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口．【例5】已知152a b c+--，求a＋b＋c的值．（山东省竞赛试题）解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.【例6】在△ABC中，AB，BC，AC学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_________．（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法．若△ABC，（a＞0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．（3）若△ABC（m＞0，n＞0，且m≠n）试运用构图法求出这个三角形的面积．（咸宁市中考试题）解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得．能力训练A 级1有意义．则x 的取值范围是_____________．（“希望杯”邀请赛试题）2．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答．已知a解：原式＝(11a a a a-=- 3．已知正数a ，b ，有下列命题：（1）若a ＝1，b ＝1≤1；（2）若a＝12，b ＝52≤32；（3）若a ＝2，b ＝3≤52；（4）若a ＝1，b ＝5≤3．根据以上命题所提供的信息，请猜想：若a ＝6，b ＝7≤________．（黄冈市竞赛试题）4．已知实数a ，b ，c 满足211024a b c c --+=，则a （b ＋c ）的值为_______．图2 图15的最小值是（）．A．0 B．1C．1 D．不存在6．下列四组根式中是同类二次根式的一组是（）．A B．3和3C D（“希望杯”邀请赛试题）72的结果是（）．A．6x－6 B．－6x＋6 C．－4 D．4（江苏省竞赛试题）8．设a是一个无理数，且a，b满足a b－a－b＋l＝0，则b是一个（）．A．小于0的有理数B．大于0的有理数C．小于0的无理数D．大于0的无理数（武汉市竞赛试题）9=，其中ab≠0（山东省中考试颗）10．已知66a，b，求ab的值．（浙江省竞赛试题）11．设a，b，c为两两不等的有理数．（北京市竞赛试题）12．设x，y y=，求y的最大值．（上海市竞赛试题）B级1．已知x，y为实数，y＝13x-，则5x＋6y＝_________．2．已知实数a满足1999a a-=，则a－19992＝___________．3．正数m，n满足m＋－－＋4n＝3_______．（北京市竞赛试题）4．若a，b满足5b＝7，则s=3b的取值范围是________．（全国初中数学联赛试题）5．已知整数x，y＋50，那么整数对（x，y）的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3（江苏省竞赛试题）6．已知1aa-＝1，那么代数式1aa+的值为（）A B C D．（重庆市中考试题）7=x，y，a是两两不同的实数．则代数式22223x xy yx xy y+--+的值为（）．A．3 B．13C．2 D．5382=）．A．3 B．4 C．5 D．69．设a，b，c是实数，若a＋b＋c＝＋14，求()()()a b c b c a c a b+++++的值．（北京市竞赛试题）10．已知ax3＝by3＝cz3，1x＋1y＋1z＝1=11．已知在等式ax bscx d+=+中，a，b，c，d都是有理数，x是无理数．求：（1）当a，b，c，d满足什么条件时，s是有理数，（2）当a，b，c，d满足什么条件时，s是无理数．（“希望杯”邀请赛试题）12．设s⋅⋅⋅，求不超过s的最大整数[s]．13．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC＋CE的长；（2）请问点C满足什么条件是AC＋CE的值最小？（3）根据（2（恩施自治州中考试题）。

二次根式和一元二次方程复习题一．选择题1．式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x≥1D．x≤1 2．下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．在式子，，，中，x可以取1和2的是（）A．B．C．D．4．方程（m+1）x|m﹣1|+mx+2＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．m＝﹣1或3B．m＝3C．m＝﹣1D．m≠﹣1 5．下列各式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．6．下列各式计算正确的是（）A．B．C．＝5D．＝7．下面计算正确的是（）A．+＝B．×＝C．＝﹣3D．﹣＝8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．9．下列计算正确的是（）A．B．C．D．10．要使代数式有意义，则x的（）A．最大值是B．最小值是C．最大值是D．最小值是11．用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝2B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝2D．（x+1）2＝4 12．方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方后所得方程为（）A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝14C．（x+6）2＝D．以上答案都不对13．用配方法解方程x2+4x+1＝0，配方后的方程是（）A．（x﹣2）2＝5B．（x+2）2＝5C．（x+2）2＝3D．（x﹣2）2＝3 14．已知最简二次根式与可以合并成一项，则a、b的值分别为（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝0C．a＝1，b＝0D．a＝﹣1，b＝2 15．若y＝﹣3，则x+y＝（）A．1B．5C．﹣5D．﹣116．方程（2x+3）（x﹣1）＝1的解的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有一个实数根17．方程（x+1）（x﹣3）＝0的根是（）A．x＝﹣1B．x＝3C．x1＝1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝3 18．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．±219．已知a是方程2x2﹣4x﹣3＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a的值等于（）A．3B．2C．0D．120．方程（x﹣2）（x+1）＝（x+1）的解是（）A．x＝3B．x＝﹣1C．x1＝3，x2＝﹣1D．x1＝﹣3，x2＝1 21．方程x2+6x﹣9＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根为﹣1D．没有实数根22．如果关于x的方程x2+k2﹣16＝0和x2﹣3k+12＝0有相同的实数根，那么k的值是（）A．﹣7B．﹣7或4C．7D．423．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定24．已知m、n是方程x2+5x﹣2＝0的两个实数根，则m2+6m+n﹣2mn的值为（）A．1B．﹣1C．﹣5D．525．已知x、y为实数，且．则的值为（）A．5B．6C．7D．8二．填空题26．计算的结果是．27．一元二次方程2x2＝5x的解是．28．分解因式：2a2﹣4a+2＝．29．关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣x+m2＝0有一个根为1，则m的值为．30．已知﹣＝﹣，＝，则a﹣b＝．31．计算：＝．32．若+|x﹣3|＝0，则x+y的平方根为．33．已知三角形两边的长是2和3，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长是．34．计算：（）2010•（）2009＝．35．若方程（m+3）x|m|﹣1+3mx＝0是关于x的一元二次方程，求m＝．36．要使代数式有意义，则x应该满足的条件是．37．若最简二次根式与可以合并，则x的值为．38．关于x的方程2x2+kx﹣1＝0的一个根是﹣1，另一个根为．39．﹣（）2＝．40．已知﹣3是关于x的一元二次方程ax2﹣2x+3＝0的一个解，则此方程的另一个解为．41．计算：＝．42．已知x2+6x＝﹣1可以配成（x+p）2＝q的形式，则q＝．43．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+6＝0的一个根，则方程的另一个根是．三．解答题44．（1）计算：（2）解方程：2x2﹣5x﹣3＝045．①计算：②解方程：9x2﹣6x+1＝046．计算：（1）+|﹣7|+（）0+（）﹣1 （2）（+2）（﹣2）+（+1）2﹣47．计算：（1）2+6﹣3（2）﹣（2+）2（2﹣）248．用适当的方法解方程（1）3x2﹣x﹣4＝0 （2）（x+3）2＝16（2﹣x）2 （3）x2+4x＝1249．解下列方程：（1）2x2+x﹣6＝0；（2）（x﹣5）2＝2（5﹣x）．50．解方程．（1）2x（x﹣2）＝3x﹣6 （2）x2﹣2x＝2x+1 （3）3x2﹣x﹣4＝0．51．先化简，再求值：（a﹣）（a+）+a（5﹣a），其中a＝+1．52．先化简再计算：，其中x是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的正数根．53．已知：x＝1﹣，y＝1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．54．已知a＝，b＝，求的值．55．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值．56．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．57．已知关于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0；（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若m为满足（1）的最小正整数，求此时方程的两个根x1，x2．58．已知关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+﹣2＝0．（1）若此方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若此方程的两个实数根为x1，x2，且满足x12+x22+x1x2＝18﹣，求m的值．。

第一讲二次根式的性质与运算［教学内容］暑期衔接版，八升九第一讲“二次根式的性质与运算”.[教学目标]知识与技能1.掌握二次根式的概念，并会根据二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围.2.理解二次根式的双重非负性.3.理解二次根式的性质并能够根据性质对二次根式进行化简计算.数学思考在研究二次根式性质的过程中，建立符号意识，独立思考，体会类比、分类讨论的思想方法. 问题解决经历二次根式性质的探究与发现过程，培养学生自主学习的能力.情感态度1.通过解决现实情境中问题，增强数学素养，用数学的眼光看世界.2.通过小组活动，培养学生的合作意识和能力.[教学重点、难点]重点：二次根式的概念与性质.难点：二次根式的概念的理解及性质的运用.[教学准备]动画多媒体语言课件.第一课时第二课时答案：【类似性问题】1. D2. C3. C4. A5. 56. 解：根据题意得解得所以3x+2y=3×2+2×5=16，故3x+2y的平方根是±4．7.解：∵,∴解得6≤x<9.又∵x为奇数，∴x=7.∴===8+2.手册答案1. B2. C3. C4. A5. C6. B7.（1）（2）（3）（4）（5）（6）8.9. 810. x11. 3ab12.解：∵c＜a＜0＜b，∴原式=｜b-a｜-｜b｜+｜c-b｜-｜a-c｜=b-a-b-（c-b）-（a-c）=b-a-b-c+b-a+c=-2a+b．13.解：（1）∵（ab-2）2+=0，∴解得（2）当a=2，b=1时，===1-=．。

《二次根式及一元二次方程》一、选择题1．估算的值（）A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间2．要使+有意义，则x应满足（）A．≤x≤3 B．x≤3且x≠ C．＜x＜3 D．＜x≤33．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A．ab B．C．a+b D．a﹣b4．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．某某市2016年国内生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C．12%+7%=2•x%D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）26．下列各式计算正确的是（）A．B．（a＜1）C．D．7．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠58．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2017 C．2015 D．20169．方程（x﹣3）（x+1）=x﹣3的解是（）A．x=0 B．x=3 C．x=3或x=﹣1 D．x=3或x=010．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定11．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c12．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．4二、填空题13．化简=．14．计算的结果是．15．计算： +=．16．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值X围是．17．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为．18．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为．19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：．（答案不唯一）20．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是．21．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=．22．将根号外面的因式移进根号后等于．23．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC 的面积为1，则k的值为；点E的坐标为．三、解答题24．计算：．25．用配方法解方程：2x2+1=3x．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．27．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的X围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．28．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值X围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．《二次根式及一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题1．估算的值（）A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间【考点】估算无理数的大小．【专题】应用题．【分析】首先利用平方根的定义估算31前后的两个完全平方数25和36，从而判断的X围，再估算的X围即可．【解答】解：∵5＜＜6∴3＜＜4故选C．【点评】此题主要考查了利用平方根的定义来估算无理数的大小，解题关键是估算的整数部分和小数部分．2．要使+有意义，则x应满足（）A．≤x≤3 B．x≤3且x≠ C．＜x＜3 D．＜x≤3【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，，解不等式①得，x≤3，解不等式②的，x＞，所以，＜x≤3．故选：D．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A．ab B．C．a+b D．a﹣b【考点】一元二次方程的解．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=﹣a代入方程，即可求解．【解答】解：∵方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），∴（﹣a）2+b（﹣a）+a=0，又∵a≠0，∴等式的两边同除以a，得a﹣b+1=0，故a﹣b=﹣1．故本题选D．【点评】本题考查的重点是方程根的定义，分析问题的方向比较明确，就是由已知入手推导、发现新的结论．4．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式；三角形三边关系．【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．能够根据三角形的三边关系，得到关于a，b，c的式子的符号．【解答】解：∵△=（2c）2﹣4（a+b）2=4[c2﹣（a+b）2]=4（a+b+c）（c﹣a﹣b），根据三角形三边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．故选A．【点评】本题是方程与几何的综合题．主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．5．某某市2016年国内生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C．12%+7%=2•x%D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），然后用平均增长率和实际增长率分别求出今年的国内生产总值，由此可得到一个方程，即x%满足的关系式．【解答】解：若设2015年的国内生产总值为y，则根据实际增长率和平均增长率分别得到2010年和今年的国内生产总值分别为：2016年国内生产总值：y（1+x%）或y（1+12%），所以1+x%=1+12%，今年的国内生产总值：y（1+x%）2或y（1+12%）（1+7%），所以（1+x%）2=（1+12%）（1+7%）．故选D．【点评】本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程．6．下列各式计算正确的是（）A．B．（a＜1）C．D．【考点】二次根式的混合运算；立方根．【分析】A、根据二次根式的乘法运算法则的逆运算直接计算就可以；B、由条件可以判断出原式为负数再将根号外面的数移到根号里面化简求解就可以了；C、先将被开方数进行乘方运算再合并最后化简就可以了；D、先进行分母有理化，再进行合并同类二次根式就可以了．【解答】解：A、≠，本答案错误；B、（a＜1），本答案正确；C、，本答案错误；D、==4≠2，本答案错误．故选B．【点评】本题考查了二次根式的乘、除、加、减混合运算的运用及立方根的运用，在结算时注意运算的顺序和运算的符号是解答的关键．7．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5【考点】根的判别式．【专题】判别式法．【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5=0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值X围．【解答】解：分类讨论：①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；②当a﹣5≠0即a≠5时，∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根∴16+4（a﹣5）≥0，∴a≥1．∴a的取值X围为a≥1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．8．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2017 C．2015 D．2016【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【专题】压轴题．【分析】由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2016=0的根，∴a2+a=2016；由根与系数的关系得：a+b=﹣1，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2016﹣1=2015．故选：C．【点评】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．9．方程（x﹣3）（x+1）=x﹣3的解是（）A．x=0 B．x=3 C．x=3或x=﹣1 D．x=3或x=0【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题；压轴题．【分析】此题可以采用因式分解法，此题的公因式为（x﹣3），提公因式，降次即可求得．【解答】解：∵（x﹣3）（x+1）=x﹣3∴（x﹣3）（x+1）﹣（x﹣3）=0∴（x﹣3）（x+1﹣1）=0∴x1=0，x2=3．故选D．【点评】此题考查了学生的计算能力，注意把x﹣3当作一个整体，直接提公因式较简单，选择简单正确的解题方法可以达到事半功倍的效果．10．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：解方程x2﹣9x+18=0，得x1=6，x2=3∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系∴等腰三角形的腰为6，底为3∴周长为6+6+3=15故选C．【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．11．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c【考点】根的判别式．【专题】压轴题；新定义．【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，化简即可得到a与c的关系．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，即（a+c）2﹣4ac=a2+2ac+c2﹣4ac=a2﹣2ac+c2=（a﹣c）2=0，∴a=c．故选A【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．4【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】压轴题．【分析】△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积，由点A的坐标为（﹣6，4），根据三角形的面积公式，可知△AOB的面积=12，由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积=|k|．只需根据OA的中点D的坐标，求出k值即可．【解答】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4），∴D（﹣3，2），∵双曲线y=经过点D，∴k=﹣3×2=﹣6，∴△BOC的面积=|k|=3．又∵△AOB的面积=×6×4=12，∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9．故选B．【点评】本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．二、填空题13．化简= 0 ．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】由1﹣x≥0，x﹣1≥0，得出x﹣1=0，从而得出结果．【解答】解：∵1﹣x≥0，x﹣1≥0，∴x﹣1=0，∴=0．【点评】二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．14．计算的结果是 4 ．【考点】算术平方根．【专题】常规题型．【分析】根据算术平方根的定义解答即可．【解答】解： ==4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．15．计算： += 3．【考点】二次根式的加减法．【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．【解答】解：原式=2+=3．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．16．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值X围是a＜1且a≠0 ．【考点】根的判别式．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0．【解答】解：根据题意列出不等式组，解之得a＜1且a≠0．故答案为：a＜1且a≠0．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．17．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为7 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系，可求出x1+x2以及x1x2的值，然后根据x12+3x1x2+x22=（x1+x2）2+x1x2进一步代值求解．【解答】解：由题意，得：x1+x2=3，x1x2=﹣2；原式=（x1+x2）2+x1x2=9﹣2=7．故答案为：7．【点评】熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键．18．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为 1 ．【考点】一元二次方程的解；完全平方公式．【分析】首先把x=1代入一元二次方程x2+mx+n=0中得到m+n+1=0，然后把m2+2mn+n2利用完全平方公式分解因式即可求出结果．【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，∴m+n+1=0，∴m+n=﹣1，∴m2+2mn+n2=（m+n）2=（﹣1）2=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了方程的解的定义，利用方程的解和完全平方公式即可解决问题．19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：x2=1 ．（答案不唯一）【考点】一元二次方程的解．【专题】开放型．【分析】可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可．【解答】解：根据题意x=1得方程式x2=1．故本题答案不唯一，如x2=1等．【点评】本题属于开放性试题，主要考查一元二次方程的概念的理解与掌握．可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如（y﹣1）（y+2）=0，后化为一般形式为y2+y﹣2=0．20．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是13 ．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】首先根据根与系数的关系，得出x1+x2和x1x2的值，然后根据x12+x22的值求出m（需注意m 的值应符合此方程的根的判别式）；然后再代值求解．【解答】解：由题意，得：x1+x2=m，x1x2=2m﹣1；则：（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2，即m2=7+2（2m﹣1），解得m=﹣1，m=5；当m=5时，△=m2﹣4（2m﹣1）=25﹣4×9＜0，不合题意；故m=﹣1，x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3；∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=1+12=13．【点评】此题用到的知识点有：根与系数的关系、根的判别式、完全平方公式等知识．本题需注意的是在求出m值后，一定要用根的判别式来判断所求的m是否符合题意，以免造成多解、错解．21．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k= ﹣3 ．【考点】完全平方公式．【专题】配方法．【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，可知m=1．k=﹣4，则m+k=﹣3．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴m=1，k=﹣4，∴m+k=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．22．将根号外面的因式移进根号后等于．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】先根据二次根式定义得到a＜0，然后根据二次根式的性质把﹣a转化为，再利用乘法公式运算即可．【解答】解：∵﹣≥0，∴a＜0，∴原式=﹣（﹣a）•=﹣=﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：（a≥0）为二次根式； =|a|； =•（a≥0，b≥0）等．23．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC的面积为1，则k的值为 1 ；点E的坐标为（+，﹣）．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】（1）根据正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC 的边长为1，得出B点坐标，即可得出反比例函数的解析式；（2）由于D点在反比例函数图象上，用a和正方形OABC的边长表示出来E点坐标，代入y=（x ＞0）求得a的值，即可得出D点坐标．【解答】解：∵正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为1．∴B点坐标为：（1，1），设反比例函数的解析式为y=；∴xy=k=1，设正方形ADEF的边长为a，则E（1+a，a），代入反比例函数y=（x＞0）得：1=（1+a）a，又a＞0，解得：a=﹣．∴点E的坐标为：（ +，﹣）．【点评】本题考查了反比例函数与正方形性质结合的综合应用，考查了数形结合的思想，利用xy=k 得出是解题关键．三、解答题24．计算：．【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．【分析】本题涉及分数指数幂、负整数指数幂、乘方、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】原式=3+4﹣2﹣2+=5﹣2+2﹣2=3．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是理解分数指数幂的意义，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．25．用配方法解方程：2x2+1=3x．【考点】解一元二次方程﹣配方法．【专题】计算题．【分析】首先把方程的二次项系数变成1，然后等式的两边同时加上一次项系数的一半，则方程的左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方的方法即可求解．【解答】解：移项，得2x2﹣3x=﹣1，二次项系数化为1，得，配方，，由此可得，∴x1=1，．【点评】配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握．本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0（a ≠0）的形式，然后再配方求解．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．【考点】根与系数的关系；根的判别式；勾股定理．【专题】计算题．【分析】（1）根据△＞0即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程，解出b，c即可得出答案．【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0，△=（2k+1）2﹣4（4k﹣3）=4k2﹣12k+13=4+4＞0恒成立，故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理得：b2+c2=a2=31①因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，则b+c=2k+1②，bc=4k﹣3③，因为（b+c）2﹣2bc=b2+c2=31，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）=31，整理得：4k2+4k+1﹣8k+6﹣31=0，即k2﹣k﹣6=0，解得：k1=3，k2=﹣2，∵b+c=2k+1＞0即k＞﹣．bc=4k﹣3＞0即k＞，∴k2=﹣2（舍去），则b+c=2k+1=7，又因为a=，则△ABC的周长=a+b+c=+7．【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，难度较大，关键是巧妙运用△＞0恒成立证明（1），再根据勾股定理和根与系数的关系列出方程组进行解答．27．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的X围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】压轴题．【分析】（1）一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的X围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m．【解答】解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，解方程组，解得，∴m=x1•x2=．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握．28．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值X围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．【考点】根与系数的关系；根的判别式；一次函数的性质．【专题】综合题．【分析】（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值X围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值X围，即可求出y的最小值及对应的m值．【解答】解：（1）将原方程整理为x2+2（m﹣1）x+m2=0；∵原方程有两个实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，得m≤；（2）∵x1，x2为一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2=0的两根，∴y=x1+x2=﹣2m+2，且m≤；因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得最小值1．【点评】此题是根的判别式、根与系数的关系与一次函数的结合题．牢记一次函数的性质是解答（2）题的关键．。