新北师大版八年级数学上册《二次根式》练习题

2.7二次根式专题一 与二次根式有关的规律探究题1.将1按如图所示的方式排列.若规定（m ，n ）表示第m 排从左到右第n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数之积是（ ）A.1B.2C. 2. 观察下列各式及其验证过程：322322=+===．====． （1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想1544+的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证；（3）针对三次根式及n 次根式（n 为任意自然数，且2n ≥）,有无上述类似的变形，如果有，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证．3. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=221）（+，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b 2=22）（n m +（其中a 、b 、m 、n 均为正整数）,则有a+b 2=m 2+2n 2+2mn 2, ∴a=m 2+2n 2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b 2的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a +b 3=2)3(n m +,用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a = ，b = ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空： +=（ ＋2；（3）若a +43=2)3(n m +，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值.专题二 利用二次根式的性质将代数式化简4. 化简二次根式 ）A. - D. -5.如图，实数a ．b 在数轴上的位置， 化简：222)(b a b a -+-．答案：1.D 【解析】 从图示中知道，（4，2）.∵前20排共有1+2+3+4+…+20=210个数，∴（21，2）表示的是第210+2=212个数.∵这些数字按照1的顺序循环出现，212÷4=53，∴（21，2.∴（4，2）与（21，2）表示的两数6=.2.解：（1====．（2=（a 为任意自然数，且2a ≥）．===（3）333311-=-+a a a a aa （a 为任意自然数，且2a ≥）．验证：===．a =a 为任意自然数，且2a ≥）． 验证：n n n n n nn n n n a a a a aa a a a a a a 111111-=-=-+-=-+++.3. 解：(1)223n m + 2mn (2)21 12 3 2(3) ∵223n m a +=,4=2mn, ∴mn=2. ∵ m,n 为正整数，∴m=1,n=2或m=2,n=1, ∴a=13或a=7.4.B 【解析】若二次根式有意义，则22a a +-≥0，-a-2≥0，解得a≤-2，∴原式=-B ．5.解：由图知，a ＜0，b ＞0，∴a ﹣b ＜0， ∴222)(b a b a -+-=|a |﹣|b |+|a ﹣b |=（﹣a ）﹣b +（b ﹣a ）=﹣2a ．。

《二次根式》练习题1．二次根式的定义一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数．【例1－1】 下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？2，33，1x ，x 2＋1，0，42，－2，1x ＋y，x ＋y .解：二次根式有：2，x 2＋1，0，－2；不是二次根式的有：33，1x ，42，1x ＋y，x ＋y .析规律 二次根式的条件二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0. 【例1－2】 当x 是多少时，3x －1在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x －1≥0时，3x －1才有意义．解：由3x －1≥0，得x ≥13.因此当x ≥13时，3x －1在实数范围内有意义．点技巧 二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是，被开方数是非负数，即被开方数一定要大于或等于0. 2．积的算术平方根用“＞，＜或＝”填空．4×9______4×9，16×25______16×25，100×36______100×36.根据上面的计算我们可得出：ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)即：积的算术平方根，等于各算术平方根的积． 【例2】 化简：(1)9×16；(2)16×81；(3)81×100；(4)54. 分析：利用ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)直接化简即可． 解：(1)9×16＝9×16＝3×4＝12. (2)16×81＝16×81＝4×9＝36. (3)81×100＝81×100＝9×10＝90.(4)54＝9×6＝32×6＝3 6. 点评：利用积的算术平方根的性质可对二次根式进行化简，使其不含能开得尽方的因数或因式．3．商的算术平方根 填空：(1)916＝__________，916＝__________；(2)1636＝__________，1636＝__________； (3)416＝__________，416＝__________； (4)3681＝__________，3681＝__________. 规律：916______916；1636______1636；416______416；3681______3681. 通过计算容易得出上面的式子都是相等的．因此， a b ＝ab(a ≥0，b >0) 即：商的算术平方根等于各算术平方根的商． 【例3】 化简：(1)364；(2)64b 29a 2；(3)9x 64y 2；(4)5x169y 2.分析：直接利用a b ＝ab(a ≥0，b ＞0)就可以达到化简之目的． 解：(1)364＝364＝38. (2)64b 29a 2＝64b 29a 2＝8|b |3|a |. (3)9x 64y 2＝9x 64y 2＝3x8|y |. (4)5x 169y 2＝5x 169y 2＝5x13|y |. 4．最简二次根式最简二次根式应满足以下两个条件： (1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．所以，化简二次根式时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式．【例4】 把下列根式化成最简二次根式：(1)12，(2)40，(3) 1.5，(4)43.解：(1)12＝4×3＝2 3. (2)40＝4×10＝210.(3) 1.5＝32＝32＝3×22×2＝62.(4)43＝23＝233.点评：化简二次根式时，要求最终结果中分母不含有根号，应利用二次根式的有关性质化掉分母中的根号．5．二次根式的乘除二次根式的乘法：a·b＝ab(a≥0，b≥0)二次根式的除法：ab＝ab(a≥0，b>0)即：二次根式相乘除，只把被开方数相乘除，结果仍然作为被开方数．【例5】计算：(1)5×7；(2)13×9；(3)14÷116；(4)648.分析：直接利用a·b＝ab(a≥0，b≥0)和ab＝ab(a≥0，b＞0)计算即可．解：(1)5×7＝35.(2)13×9＝13×9＝ 3.(3)14÷116＝14÷116＝14×16＝4＝2.(4)648＝648＝8＝2 2.6．二次根式的加减计算下列各式：(1)2x＋3x；(2)2x2－3x2＋5x2；(3)x＋2x＋3y；(4)3a2－2a2＋a3.上面的题目，实际上为同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．计算下列各式：(1)22＋32；(2)28－38＋58；(3)7＋27＋9×7；(4)33－23＋ 2.分析：(1)如果我们把2当成x，不就转化为上面的问题了吗？22＋32＝(2＋3)2＝5 2.(2)把8当成y；28－38＋58＝(2－3＋5)8＝48＝8 2.(3)把7当成z；7＋27＋9·7＝7＋27＋37＝(1＋2＋3)7＝67.(4)把3看为x，2看为y.33－23＋2＝(3－2)3＋2＝3＋ 2.因此，二次根式的被开方数相同的话是可以合并的．二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【例6】计算：(1)8＋18；(2)16x ＋64x ；(3)348－913＋312；(4)(48＋20)＋(12－5)．分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：(1)8＋18＝22＋32＝(2＋3)2＝5 2. (2)16x ＋64x ＝4x ＋8x ＝(4＋8)x ＝12x .(3)348－913＋312＝123－33＋63＝(12－3＋6)3＝15 3.(4)(48＋20)＋(12－5)＝48＋20＋12－ 5 ＝43＋25＋23－ 5 ＝63＋ 5.7．化简a 2(1)计算：42＝4，0.22＝0.2，⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝45，202＝20，观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a ＞0时，a 2＝a .(2)计算：(－4)2＝4，(－0.2)2＝0.2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝45，(－20)2＝20，观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a ＜0时，a 2＝－a .(3)计算：02＝0，当a ＝0时，a 2＝0.(4)将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >0，0，a ＝0，－a ，a <0.【例7－1】 化简：(1)9； (2)(－4)2； (3)25；(4)(－3)2.分析：因为(1)9＝32，(2)(－4)2＝42，(3)25＝52，(4)(－3)2＝32，所以都可运用a 2＝a (a ≥0)去化简．解：(1)9＝32＝3.(2)(－4)2＝42＝4.(3)25＝52＝5.(4)(－3)2＝32＝3.【例7－2】 先化简再求值：当a ＝9时，求a ＋1－2a ＋a 2的值，甲、乙两人的解答如下：甲的解答为：原式＝a ＋(1－a )2＝a ＋(1－a )＝1；乙的解答为：原式＝a ＋(1－a )2＝a ＋(a －1)＝2a －1＝17.两种解答中，__________的解答是错误的，错误的原因是__________．答案：甲甲没有先判定1－a是正数还是负数8．二次根式的混合运算计算：(1)6x·3y；(2)(2x＋y)·zx；(3)(2x2y＋3xy2)÷xy.(4)(2x＋3y)(2x－3y)；(5)(2x＋1)2＋(2x－1)2.如果把上面的x，y，z改写成二次根式，以上的运算规律是否仍成立？仍成立．整式运算中的x，y，z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．【例8】计算：(1)(6＋8)×3；(2)(46－32)÷22；(3)(5＋6)(3－5)；(4)(10＋7)(10－7)．分析：因为二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．解：(1)(6＋8)×3＝6×3＋8×3＝18＋24＝32＋2 6.(2)(46－32)÷22＝46÷22－32÷22＝23－3 2 .(3)(5＋6)(3－5)＝35－(5)2＋18－65＝13－3 5.(4)(10＋7)(10－7)＝(10)2－(7)2＝10－7＝3.。

学生学校年级教师授课日期授课时段课题第二章相关题型训练重点难点教学步骤及教学内容【错题再练】1.已知13x，13y ，求下列各式的值：（1）222y xy x ，（2）22y x . 2.实数a 在数轴上的位置如图所示，化简2|2|816a a a 3.已知实数x,y 满足2104250x x y ，则2011()x y 的值是多少？4.设等腰三角形的腰长为a ，底边长为b ，底边上的高为h ．（1）如果a=6+，b=6+4，求h ；（2）如果b=2（2+1），h=2﹣1，求a ．5.已知和的小数部分别为a 、b ，求的值6.．一、实数的认识【例1】下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？23，35，3.14159265，9，，31，2(5)，3.1010010001…（相邻两个1之间0的各数逐次加1）【练习】将下列各数填入相应的集合内。

－7，0.32,13，0，8，12，3125，，0.1010010001…①有理数集合｛…｝②无理数集合｛…｝③负实数集合｛…｝二、非负数的性质非负数即正数和0。

如果a 是实数，那么a ，)0(,2a a a 都是非负数，非负数主要的性质有：（1）非负数的和或积仍是非负数；（2）如果非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0。

【例】若2120a ab ，求1111119901990ab a b a b L 的值【练习】1.若31x +│1+y │=0，则x 2+y 2=_______．2.若x ，y 都是实数，且42112y x x ，则xy 的值（）。

3．若（b-2）2+26a =0，试解关于x 的方程（a+2）x+b 2=a-1．4.已知a 、b 为实数，且224250a b a b ，求1ab 的值。

2.7二次根式 同步练习一、单选题1．若代数式 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＜3B ．x≤3C ．x ＞3D ．x≥3 2．点P 在数轴上运动，它所对应的数值为a ，如图，当点P 从点A 运动到点B ，则代数式4a + 的最大值为（ ）A ．5B ．a+1C ．7D ．a+43．若3，m ，5为三角形三边，化简： ﹣ 得（ ）A ．﹣10B ．﹣2m+6C ．﹣2m ﹣6D ．2m ﹣10 4．下列计算中，正确的是（ ）A ．2336(2)8ab a b -=-B ．()()22a b b a a b +-=-C ．3515a a a ⋅=D =5．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）A B CD 6．下列运算不正确的是（ ）A =B =C =D ．2(2=7．函数 y =中自变量x 的取值范围是（ ）A ．5x ≠B ．0x ≥C ．5x <D ．5x ≤8．已知，b=2a 与b 的大小关系是（ ） A ．a ＞b B ．a=b C ．a ＜b D ．不确定 9．下列运算正确的是（ ）A ．236(3)9a a -=-B ．235()a a a -⋅=C ．222(2)4x y x y -=-D ．22445a a a +=10． 是二次根式，那么 x 应适合的条件是（ ） A ．x ≥3B ．x ≤3C ．x ＞3D ．x ＜3 二、填空题11．x 的取值范围式 .12．的结果等于 ．13．若0xy <，则x += ．14．设 a =， 2b =+，c = ，则 a , b , c 从小到大的顺序是 .15．已知3y x =+，当x 分别取1，2，3，…，2022时，所对应的y 值的总和是 ．三、计算题16．计算（1）-（2四、解答题17．实数a ，b ，c 在数轴上如图所示，化简：2﹣18．已知：2a b +=-，1ab =，求：的值．19．在一个边长为（2 +3 ）cm 的正方形的内部挖去一个长为（2 + ）cm ，宽为（ ﹣ ）cm 的矩形，求剩余部分图形的面积．20．我们已经知道 )334= ，因此将分子、分母同时乘以“ +3”，分母就变成了4．请仿照这种方法化简： ． 21．如图，面积为48 cm 2的正方形的四个角是面积为3 cm 2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子.求这个长方体的底面边长和高分别是多少?(精确到0.1 cm ， ≈1.732)22．已知2a =+2b =-222a b ab +-的值．。

北师大版八年级上数学二次根式计算题一、计算：（1）3649× （2）516× （3）43 （4）48 （5）53 （6）51（7）28 （8）90 （9）58 （10）2.1二、计算：（1）644× （2）325 （3）3645（4）125（5）20 （6）143 （7）9816 （8）71三、计算：（1）2510× （2）326× （3）73（4）510×（5）5092×（6）4312× （7）2)223(－ （8）2)218(×+（9）52025－ （10）1822－四、计算：(1)313× (2)5315× (3)2)52(+(4)21-850× (5))25)(53(－+ (6)32583－(7)3137－(8)10101540+－五、计算：(1)4334－ (2)431227+－ (3)5)51100(÷－(4)14172－ (5)48512739－+ (6)32)62(×－六、计算：(1)5420－ (2)63774+－ (3)7)7227(×+(4)2)37(－ (5))732)(732(－+ (6)4875581－+(7)53327－+ (8)65424+(9)5002051－+ 小学生习惯养成教育三字经小学生行为三字经1.守纪律 循秩序 爱集体 摒私欲 讲文明 有情趣2.排路队紧跟随快静齐守交规保平安把家回3.讲卫生防病症勿乱扔桌椅整勤保洁体质增4.广播操很重要天天练身体好雏鹰飞长空翱5.眼保健莫等闲坐姿正内心恬穴位准不可偏6.绿化带人人爱多呵护别踩摘草青青花常开小学生文明礼仪三字经新世纪，好儿童。

懂礼仪，讲文明。

见老师，要鞠躬。

先问好，口齿清。

体端正，貌真诚。

面带笑，声含情。

尊师长，爱园丁。

为子弟，获先生。

如父母，岂敢轻。

升国旗，要庄重。

初中数学试卷金戈铁骑整理制作二次根式一、选择题1．计算÷=〔〕A．B．5C．D．2．以下二次根式中，不可以与归并的是〔〕A ．B．C． D ．3．计算：﹣的结果是〔〕A ．B ． 2C． 2D．4．以下运算正确的选项是〔〕A．2+ =2B． 5﹣ =5C．5+=6D．+2=3 5．计算 | 2﹣|+|4﹣ | 的值是〔〕A．﹣ 2 B．2C． 2﹣6 D．6﹣26．〔 3分〕小明的作业本上有以下四题：①=4a 2；②?=5 a；③ a==；④÷=4．做错的题是〔〕A．①B．②C．③D．④7．以下四个命题，正确的有〔〕个．① 有理数与无理数之和是有理数② 有理数与无理数之和是无理数③ 无理数与无理数之和是无理数④ 无理数与无理数之积是无理数．A．1B．2C．3D．48．〔 3 分〕假定最简二次根式和能归并，那么x 的值可能为〔〕A ．B．C． 2D． 59．等腰三角形的两边长为2和 5，那么此等腰三角形的周长为〔〕A ． 4+5B． 2+10C． 4+10D． 4+5或2 +10二、填空题10．×=______；=______．11．计算：〔+ 1〕〔﹣ 1〕 =______．12．2=______ ．13．假定一个长方体的长为，宽为，高为，那么它的体积为______cm3．14．〔 3分〕化简：=______．152021〔﹣1〕2021．计算〔1=______．+ 〕16． x1=+ ， x2=﹣，那么x12+x22=______．三、解答题17．计算：〔1〕〔﹣〕2；〔2〕〔+〕〔﹣〕．〔 3〕〔+3〕2．18．化简：〔 1〕；〔2〕19．计算：（1〕× +3；〔2〕〔﹣〕×；〔3〕．20．计算：〔 3+〕〔 3﹣〕﹣〔﹣ 1〕2．21．计算：1〔﹣〕+；〔〕〔 2〕．〔用两种方法解〕22．计算：〔1〕9﹣7+5；〔 2〕÷﹣×+．23．：x=1﹣， y=1+，求x2+y2﹣ xy ﹣2x+2y的值．答案一、选择题1．A ； 2． C； 3． C；4． C； 5． B； 6． D； 7．A ；8． C； 9． B ；二、填空题10．2；；11．1；12．9+4；13．12；14．；15．+1 ； 16．10；三、解答题17．18．19．20．21．22．23．。