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非线性系统分析方法8-1 概述一、教学目的和要求了解研究非线性系统的意义、方法，常见非线性特性种类。
二、重点内容非线性概念，常见非线性特性。
三、教学内容：1 非线性系统概述非线性系统运动的规律，其形式多样，线性系统只是一种近似描述。
（1）非线性系统特征—不满足迭加原理1)稳定性：平衡点可能不只一个，系统的稳定性与系统结构参数、初始条件及输入有关。
2)自由运动形式，与初条件，输入大小有关。
3)自振，自振是非线性系统特有的运动形式，它是在一定条件下，受初始扰动表现出的频率，振幅稳定的周期运动。
（2）非线性系统研究方法1)小扰动线性化处理（第二章介绍）2)相平面法-----分析二阶非线性系统运动形式3)描述函数法-----分析非线性系统的稳定性研究及自振。
2、常见非线性因素对系统运动特性的影响：1）死区：(如：水表，电表，肌肉电特性等等)饱和对系统运动特性的影响：进入饱和后等效K ↓⎪⎩⎪⎨⎧↓↑↓↓，快速性差限制跟踪速度，跟踪误统最多是等幅振荡）（原来不稳，非线性系振荡性统一定稳定）原来系统稳定，此时系(%σ死区对系统运动特性的影响：⎪⎩⎪⎨⎧↓↓↑↓动不大时）］此时可能稳定（初始扰［原来不稳定的系统，，振荡性声，提高抗干扰能力差），能滤去小幅值噪跟踪阶跃信号有稳态误等效%(e K ssσ 可见：非线性系统稳定性与自由响应和初始扰动的大小有关。
2） 饱和(如运算放大器，学习效率等等)3） 间隙：(如齿轮，磁性体的磁带特性等)间隙对系统影响：1) 间隙宽度有死区的特点----使ss e ↓2) 相当于一个延迟τ时间的延迟环节,%σ→↑ 振荡性减小间隙的因素的方法：(1)提高齿轮精度 ； (2)采用双片齿轮； (3)用校正装置补偿。
5） 摩擦(如手指擦纸) 摩擦引起慢爬现象的机理改善慢变化过程平稳性的方法1)2)3)⎧⎪⎨⎪⎩、良好润滑、采用干扰补偿、增加阻尼，减少脉冲，提高平衡性摩擦对系统运动的影响：影响系统慢速运动的平稳性6)继电特性：对系统运动的影响：1)K (2K %3)ss e σ⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧↑⎪⎪⎪⎧↓⎨⎨⎪⎨⎪⎪↓⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎩一、二阶系统可以稳定、理想继电特性 等效： 一般地，很多情况下非线性系统会自振带死区))、带死区继电特性 等效： 快态影响（死区+饷）的综合效果振荡性、一般继电特性：除3、2中听情况外，多出一个延迟效果（对稳定性不利）8-2 相平面法一、教学目的和要求：掌握相平面概念及分析方法。
第八章非线性控制系统分析l、基本内容和要求（l）非线性系统的基本概念非线性系统的定义。
本质非线性和非本质非线性。
典型非线性特性。
非线性系统的特点。
两种分析非线性系统的方法——描述函数法和相平面法。
（2）谐波线性化与描述函数描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。
谐波线性化的概念。
描述函数定义和求取方法。
描述函数法的适用条件。
（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统非线性系统的一般结构。
借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。
（5）相平面法的基本概念非线性系统的数学模型。
相平面法的概念和内容。
相轨迹的定义。
（6）绘制相轨迹的方法解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。
（7）从相轨迹求取系统暂态响应相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。
（8）非线性系统的相平面分析以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。
用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。
改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。
2、重点（l）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。
8-1非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。
应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。
如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。
线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。
因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。
非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。
非线性系统：含有非线性环节的系统。
非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。
自动控制原理总经典总结自动控制原理》总复控制系统控制系统是由受控对象和控制器组成的系统，用于控制和调节被控量。
根据不同的角度，控制系统可以分为恒值系统和随动系统、线性系统和非线性系统、连续系统和离散系统、定常系统和时变系统等。
线性系统线性系统是指系统的输出与输入之间存在线性关系的系统。
建模时可以采用求传函或脉冲传函的方法，分析时可使用根轨迹法、频率特性法等方法。
非线性系统非线性系统是指系统的输出与输入之间不存在线性关系的系统。
建模时可以采用描述函数法或相平面法，稳定性分析时可以求奇点和极限环，运动时间可以通过振幅和频率计算得出。
控制系统的基本概念控制系统的基本术语包括自动控制、系统、自动控制系统、被控量、输入量、干扰量、受控对象、控制器、反馈、负反馈控制原理等。
掌握这些基本概念可以帮助理解控制系统的基本组成和工作原理。
基本控制方式控制系统的基本方式包括开环控制系统、闭环控制系统和复合控制系统。
开环控制系统没有反馈，闭环控制系统则通过反馈控制来实现对被控量的调节，复合控制系统则是开环控制和闭环控制的组合。
数学模型数学模型是用数学表达式描述控制系统的工作原理和特性的模型。
建模时可以采用物理系统的微分方程描述、拉普拉斯变换及反变换、传递函数及典型环节的传递函数、脉冲响应函数等方法。
图形表示可以采用结构图、信号流图等方法。
基本要求研究自动控制原理需要掌握控制系统的基本概念、基本控制方式、数学模型等知识。
同时，需要了解控制系统的分类和典型输入信号，并能够正确理解数学模型的特点和概念。
掌握这些知识可以帮助理解控制系统的工作原理和实际应用。
2.了解动态微分方程建立的一般方法和小偏差线性化方法。
3.掌握使用拉普拉斯变换解微分方程的方法，并对解的结构、运动模态、特征根的关系、零输入响应、零状态响应等概念有清晰的理解。
4.正确理解传递函数的定义、性质和意义，并熟练掌握系统开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数、典型环节传递函数等概念。
7-4 相 轨 迹一、相轨迹的概念设二阶系统可以用下列常微分方程描述),(x x f x= 或),(xx f dtxd = 式中),(xx f 一般是x 和x 的非线性函数。
该系统的时域解，可以用x 与t 的关系曲线来表示。
也可把时间t 作为参变量，用x 与x之间的关系曲线来表示。
下面以线性二阶系统为例加以说明。
设线性二阶系统如图7-34(a)所示，其单位阶跃响应及其导数如图7-34(b)所示。
即可把系统的阶跃响应用图7-34(c)所示的x 与x 之间的关系曲线来描述，由图可见，xx -曲线同样很直观地表示了系统的运动特性。
从某种意义上来说，甚至比)(t x 曲线更形象，可获得更多的信息。
显然，如果把方程),(x x f x=看作是一个质点运动方程，用x 表示质点的位置，那么x 就表示质点的运动速度。
用x 和x 描述方程的解，也就是用质点的“状态”（位置和速度）来表示该质点的运动。
在物理学中，这种不直接用时间变量而用状态变量来描述运动的方法称为相空间方法，也称为状态空间法。
在自动控制理论中，把具有直角坐标xx -的平面称为相平面。
相平面是二维的状态空间（平面），相平面上的每个点对应着系统的一个运动状态，这个点就称为相点。
相点随时间t 的变化在xx -平面上描绘出的轨迹线，表征了系统运动状态（相）的演变过程，这种轨迹称为相轨迹。
对于二阶系统，它的状态变量只有两个，所以二阶系统的运动可在相平面上表示出来。
对于三阶系统，它有三个状态变量，必须用三维空间来描述其相迹，这就比较困难了。
对于三阶以上的系统，要作其相轨迹就更加困难；然而原则上可以将二维空间中表示点运动的概念扩展到n 维空间去。
相平面法是一种用图解求下列两个联立一阶微分方程组的方法。
首先把二阶常微分运动方程),(x x f x= 改写成两个联立一阶微分方程，令1x x =，21x x =•则有12212(,)dx x dt dx f x x dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或 (,)dxx dtdx f x x dt ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （7-20）用（7-20）式的第一个方程除第二个方程，可得xx x f dx xd ),(1= （7-21）解（7-21）式就可得相轨迹方程，作出相迹来。
为了便于理解，先讨论大家比较熟悉的线性二阶系统的相轨迹及其特点，以及绘制方法，然后再讨论非线性系统。
另外，不少非线性元件的特性都可分段用直线来表示，故整个非线性系统的运动，可以分段用几个线性方程来描述。
因此，熟悉线性系统的相迹，对讨论非线性系统的相迹也是很有好处的。
二、线性系统的相轨迹及其特点 1、二阶线性系统的相轨迹 设系统的微分方程式如下022=++n n x x ωξω（7-22） 取xx -为相平面坐标，上式可写成为 2(2)n n dx x x dtdx x dtξωω⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或 xx x dx xd n n )2(2ωξω+-= （7-23）由时域分析法讨论可知，式（7-22）所示自由运动形式由特征方程式的根分布特点所决定。
主要有以下几种情况：（1）0=ξ的无阻尼等幅振荡 解析法求相轨迹方程：方法①，求解微分方程（7-22）式得)(t x ，将)(t x 求导数得)(t x，最后消去)(t x 和)(t x 中的中间变量t ，即可得相轨迹方程)(x f x = 及相轨迹图。
方法②，对式（7-23）进行积分，求出相轨迹方程)(x f x= 。
这种方法只有当方程可以进行积分时才能采用。
下面分析用这两种解析法求相轨迹方程。
方法①：当0=ξ时，微分方程（7-22）的解为)sin()(ϕω+=t A t x n （7-24）对上式求导数得)cos()(ϕωω+=t A t xn n （7-25）式中22020n x x A ω +=是由初始条件决定的常量。
将（7-24）式左、右两边乘以n ω，然后平方并与式（7-25）的平方式相加，即消去t ，得相轨迹方程（椭圆方程）：122222=+nA xA x ω显然相轨迹是一个椭圆。
方法②：当0=ξ时，方程（7-23）式为xx dx x d n 2ω-= （7-26）对上式积分，同样可得相轨迹方程122222=+nA xA x ω （7-27）当取不同初始值0x 、0x时，式（7-27）在相平面上呈现一簇同心椭圆，如图7-35（a ）所示。
相轨迹随时间变化的方向：在xx -平面的上半平面内，0>x ，x 随时间的增大而增大，所以相轨迹方向自左至右指向x 增加方向；在xx -平面的下半平面内，0<x ，x 随时间的增大而减小，故相轨迹方向应自右至左指向x 减小方向。
所以相轨迹的方向如图7-35（a ）中箭头所示。
图7-35（a ）相轨迹的斜率：相迹与横坐标轴的交点)0,0(≠=x x，由式（7-23）可知，∞=dxxd ，所以相轨迹垂直地穿过横坐标轴。
由于在相平面上对应每一个给定的初始条件，根据解析函数的微分方程解的唯一定理，可以证明通过初始条件确定的点的相轨迹只有一条。
因此由所有可能初始条件确定的相轨迹不会相交。
只有在平衡点上，由于00=dx x d 为不定，可以有无穷多个相轨迹逼近或离开它，可见这种点相应之下有点“不平常”，因此称为奇点。
图7-35(a)中的坐标原点即为奇点。
当0=ξ时，只有唯一的孤立奇点，而且奇点附近的相轨迹是一簇封闭曲线，这种奇点通常称为中心点。
图7-35（a ）（2）10<<ξ的欠阻尼衰减振荡 系统特征根为d n j P ωξω±-=21、 方程（7-22）的解为)cos()(ϕωξω+=-t Aet x d tn可用上述同样的方法求得系统欠阻尼运动时的相轨迹方程⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=++x x xC x x x d n dn d n ωξωωξωωξω arctan2exp )(0222 （7-28） 式中0C 由初始条件所决定。
方程（7-28）在相平面上是一簇绕坐标原点的螺旋线。
相轨迹移动方向是从外卷入原点，不管初始状态如何，最终相轨迹总是卷向坐标原点，如图7-35（b ）所示。
显然，坐标原点是奇点，而且奇点附近的相轨迹均向它卷入，这种奇点称为稳定的焦点。
图7-35（b ）（3）1>ξ的过阻尼运动 系统特征根为两个负实根 1221-±-=ξωξωn n p 、令 )1(21-+--=ξωξωn n q)1(22----=ξωξωn n q同理，由方程（7-22）可解得相轨迹方程12)()(102q q x q xC x q x+=+ （7-29） 式中0C 由初始条件确定的常数。
方程（7-29）代表了一簇通过坐标原点的“抛物线”。
当给定不同初始值时，其相轨迹如图7-35(c)所示。
显然，坐标原点是一个奇点，这种奇点称为稳定的节点。
图中1和2为两条特殊的相轨迹。
图7-35(c)（4）01<<-ξ的负阻尼发散振荡 系统特征根为具有正实部的一对共轭复数根，方程（7-22）的解)(t x 为发散振荡，因此，对应的相轨迹是发散的螺旋线如图7-35(d)所示。
由于随∞→t 时，∞→)(t x ，∞→)(t x，因此相轨迹远离坐标原点。
显然坐标原点为不稳定的焦点。
图7-35(d)（5）1-<ξ的单调发散运动系统特征根为二个正实根，其相轨迹如图7-35(e)所示。
同理，坐标原点为不稳定的节点。
图7-35(e)（6）系统微分方程为 02=-x x n ω系统特征根为实根n ω±，由于2nx dx dx xω=对上式积分[与式（7-26）类同]，得相轨迹方程122222=-Ax A x n ω （7-30）式中2022x x A n -=ω 。
方程（7-30）是一簇等边双曲线，如图7-35（f ）所示。
坐标原点为奇点，其附近相轨迹像马鞍形，故称这种奇点为鞍点。
由图7-35（f ）可见，图中曲线1和2为两条特殊的相轨迹。
图7-35（f ）综上所述，二阶系统的运动形式与系统特征根的分布有密切的关系，不同的特征根分布，对应着不同的运动形式，以及不同的奇点类型。
它们的对应关系如图7-35所示。
2、特殊二阶线性系统的相轨迹 系统微分方程分别为（1）M x= 由方程可见，系统的两个特征根位于[]s 平面的坐标原点。
因为这dxxd x x=，则有 Mdx x d x= 对上式进行积分，得系统的相轨迹方程A Mx x =-221 式中0221Mx x A -= ，相轨迹是一簇抛物线，如图7-36(a)、(b)、(c)所示。
图7-36(a)、(b)、(c)（2）M xx T =+由上式可见：系统的两个特征根分别为0、T1-。
另外，M x= 满足方程M x x T =+ ，因此，M x= 为一条相轨迹。
由于dxxd x x=，将它代入方程M x x T =+ 并整理成如下形式 xT x M dx xd -=显然上式是系统相轨迹的斜率方程。
令a dxxd = ，a 为常数，则有等倾线（即等斜率线）方程 1+=Ta M x当a 取不同数值时，可获得不同的等倾线（这里是一簇水平线）。
当∞→a 时，0=x，表明相轨迹垂直穿过x 轴。
当T a 1-→时（在0>T 的条件下），∞=x，表明相平面无穷远处的相轨迹斜率为T1-。
当0=a 时，M x= ，显然M x = 既是一条相轨迹又是一条等倾线。
因为相轨迹互不相交，故其他相轨迹均以此线为渐近线。
该系统的相轨迹大致图形如图7-36)()()(f e d 、、和图7-36)()()(i h g 、、 所示。
在描述非线性系统运动特性的相轨迹中，除了上面所介绍的“奇点”外，还有一种奇线—— 一种封闭的相轨迹曲线，通常称为极限环。
它表示实际系统具有一种特殊运动方式—— 自振。
在极限环附近的相轨迹，可能卷向极限环或从极限环卷出。
因此，极限环将相平面分隔成内外两个部分。
极限环内部（或外部）的相轨迹，决不可能穿过极限环而进入它的外部（或内部）。
如果在极限环附近，起始于极限环外部或内部的相轨迹均收敛于该极限环，则该极限环称为稳定极限环。
系统呈现稳定的自振，如图7-37（a ）所示。
如果极限环附近的相轨迹都是从极限环附近发散出去，则极限环称为不稳定极限环。
这时，环内为稳定区，环外为不稳定区。
如果相轨迹起始于稳定区内，则该相轨迹收敛于极限环内的奇点。
但是如果相轨迹起始于不稳定区，则随着时间增加，该相轨迹将发散出去，如图7-37)(b 所示。
如果起始于极限环外部各点的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹却收敛于极限环，如图7-37)(c 所示。
或相反，如图7-37)(d 所示，则这种极限环称为半稳定极限环。
非线性系统也可能没有极限环，也可能有一个或几个极限环。
