气体分子热运动速率和能量的统计分布律

第 二 章 分子动理学理论的平衡态理论2-1 设有一群粒子按速率分布如下：试求(1)平均速率V ；（2）方均根速率2V（3）最可几速率Vp解：（1）平均速率：18.32864200.5200.4800.3600.2400.12≅++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=V (m/s)(2) 方均根速率37.322≅∑∑=iii NV N V(m/s)2-2 计算300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。

解：sm RTV P/395103230031.8223=⨯⨯⨯==-μsm RTV /446103214.330031.8883=⨯⨯⨯⨯==-πμsm RTV /483103230031.83332=⨯⨯⨯==-μ2-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K 、1000K 和10000K 。

解：μRTV P2=代入数据则分别为：T=100K 时 sm V P /1028.22⨯= T=1000K 时 sm V P/1021.72⨯= T=10000K 时 sm V P/1028.23⨯=2-4 某种气体分子在温度T 1时的方均根速率等于温度T 2时的平均速率，求T 2/T 1。

解：因μRTV32=πμ28RTV=由题意得：μRT3πμ28RT=∴T 2/T 1=83π2-5 求0℃时1.0cm 3氮气中速率在500m/s 到501m/s 之间的分子数（在计算中可将dv 近似地取为△v=1m/s ）解：设1.0cm 3氮气中分子数为N ，速率在500~501m/s 之间内的分子数为△N ，由麦氏速率分布律： △ N=VVeKTm NVKTm ∆⋅⋅⋅-22232)2(4ππ∵ V p2= 2KT m ，代入上式△N=VVV ppeVV VN∆--⋅⋅222214ρπ因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s ， 又sm V P/402102827331.823≅⨯⨯⨯=- △V=1m/s（vv p =1.24）代入计算得：△N=1.86×10－3N 个2-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s 到3010m/s 之间的分子数△N 1与速率在1500m/s 到1510m/s 之间的分子数△N 2之比。

解： 取分子速率为V 1=3000m/s V 2=1500m/s, △V 1=△V 2=10m/s由5题计算过程可得： △V 1=12212214V VV pppeV V VN∆--⋅⋅π△N 2=22222214V VV pppeVV VN∆--⋅⋅π∴ △N/△N 2=2121)(21)(21)()(pppVV VV peVV eVV --⋅其中V P =331018.210257331.82⨯=⨯⨯⨯-m/sv 1v p =1.375，v 2v p =0.687∴969.0687.0375.122687.02375.1221≅⨯⨯=∆∆--ee NN解法2：若考虑△V 1=△V 2=10m/s 比较大，可不用近似法，用积分法求△N 1，△N 2dN=dVVVV pPeVN22234--⋅π△N 1=⎰⎰⎰-=122100V V V V dN dN dN △N 2=⎰⎰⎰-=34430V V V V dNdN dN令X i =v iv pi=1、2、3、4利用16题结果:22)([0iix i i V ex x erf N dN--=⎰π∴ △N 1=]2)([]2)([2122112x x i ex x erf N ex x erfN -----ππ（1）△N 2=]2)([]2)([23243344x x ex x erf N ex x erfN -----ππ（２）其中V P =sm RT/10182.223⨯=μ375.111==P V V x 379.122==PV V x687.033==PV V x 6722.044==PV V x查误差函数表得：erf(x 1)=0.9482 erf(x 2)=0.9489 erf(x 3)=0.6687 erf(x 4)=0.6722将数字代入（１）、（２）计算，再求得：703.021=∆∆NN2-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率： （1） 速率在区间v p ～1.0v p 1内 （2） 速度分量v x 在区间v p ～1.0v p 1内（3） 速度分量v p 、v p 、v p 同时在区间v p ～1.0v p 1内解：设气体分子总数为N ，在三种情况下的分子数分别为△N 1、△N 2、△N 3 （1） 由麦氏速率分布律： △ N=⎰⎰⎰-=1221V V V V dNdN dN 令v 2=1.01v p ，v i =v p ，pi i v v x =，则111==pv v x ，01.122==pv v x ，利用16题结果可得；2122112212)(2)(x x ex x erf ex x erf NN --+--=∆ππ查误差函数表：erf （x 1）=0.8427 erf （x 2）=0.8468 ∴008.01=∆NN（2） 由麦氏速率分布律：xvv pxdvevNdNpx 221--=π∴xvv v pxvv v pdve vNdve vNN px px 2122)(1)(12----⎰⎰-=∆ππ)(])(exp[1)(])(exp[122212px px vv pxpx vv vv d vv vv d vv NN pp⎰⎰---=∆ππ令px v v x=， 111==pv v x ，01.122==p v v x∴dxe dx e NN xx xx ⋅-=∆--⎰⎰2122211ππ利用误差函数：dxx xp e x erf x)(2)(2-=⎰π%21.0]8427.08468.0[21)()([21122=-=-=∆x erf x erf N N（3）令px v v x=，由麦氏速度分布律得：zyxvv v v pdvdvdve vNdN pzy x ⋅=++--2222331ππ8332333108.0)002.0()(][)1(211222---⨯==∆=-=∆⎰⎰NN dx edx eN N x x x x π2-8根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以dN/dv 为纵坐标，v 为横坐标，作1摩尔氧气在100K 和400K 时的分子速率分布曲线。

解：由麦氏速率分布律得：22232)2(4ve KTm N dvdN vKTm -=ππ将π=3.14，N=N A =6.02×1023T=100K m=32×10-3代入上式得到常数： A=eKTm N A23)2(4ππ KTm B2=∴22VAe dvdN BV⋅=- （1）为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论：由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必然在最可几速率处取极大值，极大值为： 令22VAedvdN y BV⋅==-则)]2(2[222=-⋅+⋅=--BV eV V e A dv dy BVBV得BV VP 1==又在V=0时，y=0，V →∞时，y →0 又mKT B V P 11121==mKT B V P 22221==∵T 1=100K ＜T 2=400K ∴1P V ＜2P V 由此作出草图2-9根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值v 1。

解：VKT m emKT KTm VKTm d VemKT KT m VdVeKT m dvV f VvKTmV KTm KTmvππππππππ42)()2(4)2()()2(4)2(4)(1102232222322322==⋅-⋅=-⋅⋅-===∞-∞-∞-∞⎰⎰⎰2-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm 的小圆孔，容器贮有100℃的水银，容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg 。

（1） 求容器内水银蒸汽分子的平均速率。

（2） 每小时有多少克水银从小孔逸出？解：（1）)/(1098.11020114.337331.88823s m RTV ⨯=⨯⨯⨯⨯==-πμ（2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸出的分子数为：ts V n N ⋅⋅=41其中KTV P V n ⋅=4141是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，2)2(d sπ=是小孔面积，t=3600s ，故ts V KTP N ⋅⋅⋅=41，代入数据得：N=4.05×1019（个） ∴)(1035.11005.41002.610201219233g N NmNMA--⨯=⨯⨯⨯⨯===μ2-11如图3-11，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数密度分别为p 1、n 1、p 2、n 2。

两部分气体的温度相同，都等于T 。

摩尔质量也相同，均为μ。

试证明：如隔板上有一面积为A 的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为：)(221P P A RTM-=πμ证明：设p 1＞p 2，通过小孔的分子数相当于和面积为A 的器壁碰撞的分子数。

从1跑到2的分子数：tA V n N ⋅⋅=11141 从2跑到1的分子数：tA V n N ⋅⋅=22241实际通过小孔的分子数：（从1转移到2）)221121(41Vn V n At NN N -=-=∆因t=1秒，KTP n =，πμRTV8=T 1=T 2=T∴)(2)(841)(841212121P P A RTP P RTRTAKT P KTP RTAmn m M -=-=-==∆=πμπμμπμ若P 2＞P 1，则M ＜0，表示分子实际是从2向1转移。

2-12 有N 个粒子，其速率分布函数为)0()(0〉〉==v v C NdvdN v f)(0)(0v v v f 〈=(1)作速率分布曲线。

(2)由N 和v 0求常数C 。

(3)求粒子的平均速率。

解：（1） )0()(0〉〉=v v C v f)(0)(0v v v f 〈=得速率分布曲线如图示（2）∵1)(0=⎰∞dv v f∴10)(0==⎰⎰∞v cdv dv v f即1=cv 01v c=（3）0202121)(v cv dv v vf v===⎰∞2-13 N 个假想的气体分子，其速率分布如图3-13所示（当v ＞v 0时，粒子数为零）。

（1）由N 和V 0求a 。

（2）求速率在1.5V 0到2.0V 0之间的分子数。

（3） 求分子的平均速率。

解：由图得分子的速率分布函数： NV Va 0 (00V V 〈〈)Na (02VV V 〈〈)f(v)= 0 (02V V 〉)(1) ∵dvV NfdN)(=∴aV aVV V a advdV V Va dV V f N NVVV0020202321)(0=+=+==⎰⎰⎰∞32V N a =(2) 速率在1.5V 0到2.0V 0之间的分子数33221)5.12()(000025.125.10N V V N V V a adVdV V NfN VVVV=⋅=-===∆⎰⎰2-14 证明：麦克斯韦速率分布函数可以写作：)(2x F dxdN =其中pvv x=mKT v p2=2224)(xexNx F -⋅=π证明：dxx eNvv d ve Ndvv e vN dvv eKTm N dvv Nf dNxpvpvv vv p KTmvpp222323222322222224)(44)2(4)(------⋅=⋅=⋅⋅===ππππππ∴)(4222x F xeNdxdN x=⋅⋅=-π2-15设气体分子的总数为N ，试证明速度的x 分量大于某一给定值v x 的分子数为：)](1[2x erf N N xv-=∆∞∝（提示：速度的x 分量在0到∞之间的分子数为2N ）证明：由于速度的x 分量在区间v x ～v x +dv x 内的分子数为：xvv pxdvevNdNvpx ⋅=--221π故在v x ～∞范围内的分子数为：⎰⎰⎰-==∆∞∞∞→xxxxx vv xv v V dNdNdNN由题意：2N dNxv =⎰∞xvv v pvv dve vNdNpx xxx⋅=--⎰⎰22010π令px vv x=利用误差函数得：)(2222x erf N dxeN dN xxvv xx=⋅=⎰⎰-π∴)](1[2)(22x erf N x erf N N Nx V -=-=∞→2-16 设气体分子的总数为N ，试证明速率在0到任一给定值v 之间的分子数为：]2)([20xvex erf N N-→-=∆π其中pvv x=，v p 为最可几速率。