李庆扬 数值分析第五版 习题答案

第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-===而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x =又1'()n f x nx-= , 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且(*)r e x 为2((*))0.02nr x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字；*20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.6101.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈ **24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C VRππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=-（n=1,2,…）计算到100Y 。

第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。

数值分析课程第五版课后习题答案李庆扬等在学习数值分析这门课程的过程中，课后习题的练习与答案的参考对于我们深入理解和掌握知识点起着至关重要的作用。

李庆扬等编写的《数值分析》第五版教材，其课后习题涵盖了丰富的知识点和多种解题思路。

下面，我将为大家详细解析部分课后习题的答案。

首先，让我们来看一道关于插值法的习题。

题目是：给定函数值$f(0)＝0$，＄f(1)＝1$，＄f(2)＝4$，利用线性插值和抛物插值分别计算$f(15)＄的值。

对于线性插值，我们设直线方程为$L_1(x)＝ax ＋ b$。

将已知的两个点$（0,0)＄和$（1,1)＄代入，可得方程组：＄＼begin{cases}b ＝ 0 ＼＼ a ＋ b ＝ 1\end{cases}＄解得$a ＝ 1$，＄b ＝ 0$，所以$L_1(x) ＝ x$。

则$f(15) ＼approxL_1(15) ＝ 15$。

对于抛物插值，设抛物线方程为$L_2(x)＝ax^2 ＋ bx ＋ c$。

将三个点$（0,0)＄，＄（1,1)＄，＄（2,4)＄代入，得到方程组：＄＼begin{cases}c ＝ 0 ＼＼ a ＋ b ＋ c ＝ 1 ＼＼ 4a ＋ 2b ＋ c ＝4\end{cases}＄解这个方程组，可得$a ＝ 1$，＄b ＝ 0$，＄c ＝ 0$，所以$L_2(x) ＝ x^2$。

则$f(15) ＼approx L_2(15) ＝ 225$。

接下来是一道关于数值积分的题目。

求积分$＼int_{0}＾｛1} x^2 dx$的数值解，分别使用梯形公式和辛普森公式。

梯形公式为：＄T ＝＼frac{b a}｛2} ＼times f(a) ＋ f(b)＄，代入$a ＝ 0$，＄b ＝ 1$，＄f(x) ＝ x^2$，可得：＄T ＝＼frac{1 0}｛2} ＼times 0^2 ＋ 1^2 ＝ 05$辛普森公式为：＄S ＝＼frac{b a}｛6} ＼times f(a) ＋ 4f(＼frac{a ＋ b}｛2}）＋ f(b)＄，代入可得：＄S ＝＼frac{1 0}｛6} ＼times 0^2 ＋ 4 ＼times （＼frac{1}｛2}）＾2 ＋ 1^2 ＝＼frac{1}｛3}＄再看一道关于解线性方程组的习题。

第一章 绪论（12）之阳早格格创做1、设0>x ，x 的相对付缺面为δ，供x ln 的缺面.[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对付缺面为δε=)(*x r ，千万于缺面为**)(x x δε=，进而xln 的缺面为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ，相对付缺面为****ln ln )(ln )(ln xxx x rδεε==.2、设x 的相对付缺面为2%，供n x 的相对付缺面.[解]设*x 为x 的近似值，则有相对付缺面为%2)(*=x r ε，千万于缺面为**%2)(x x =ε，进而nx 的缺面为nn x x n x n x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对付缺面为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε.3、下列各数皆是通过四舍五进得到的近似数，即缺面不超出末尾一位的半个单位，试指出它们是几位灵验数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x .[解]1021.1*1=x 有5位灵验数字；0031.0*2=x 有2位灵验数字；6.385*3=x 有4位灵验数字；430.56*4=x 有5位灵验数字；0.17*5⨯=x 有2位灵验数字.4、利用公式（3.3）供下列各近似值的缺面限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数.（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k kεεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x . [解]53232323*42*4*2*2*41***4*2*1088654.01021)430.56(461.561021)430.56(461.561021)430.56(031.01021430.561)()()(1)()/(-----=⨯≈⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∑x x x x x x x f x x e n k k kεεε. 5、预计球体积要使相对付缺面限为1%，问度量半径R 允许的相对付缺面是几？ [解]由3*3**3**)(34))(34())(34(%1R R R r ππεπε==可知，)()(4)()(34)(34%1))(34(**2***3*3*3**R R R R R R επεπππε⨯='⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=， 进而***31%1)(R R ⨯=ε，故300131%1)()(*****=⨯==RR R r εε.6、设280=Y ，按递推公式),2,1(78310011 =-=-n Y Y n n 预计到100Y ，若与982.27783≈（五位灵验数字，）试问预计100Y 将有多大缺面？[解]令n Y 表示n Y 的近似值，n n n Y Y Y e -=)(*，则0)(0*=Y e ，而且由982.2710011⨯-=-n n Y Y ，78310011⨯-=-n n Y Y 可知， )783982.27(100111-⨯--=---n n n n Y Y Y Y ，即=-⨯-=-⨯-=--)783982.27(1002)()783982.27(1001)()(2*1**n n n Y e Y e Y e ，进而982.27783)783982.27()()(0*100*-=--=Y e Y e ，而31021982.27783-⨯≤-，所以3100*1021)(-⨯=Y ε. 7、供圆程01562=+-x x 的二个根，使它起码具备四位灵验数字（982.27783≈）[解]由78328±=x 与982.27783≈（五位灵验数字）可知，982.55982.2728783281=+=+=x （五位灵验数字）.而018.0982.2728783282=-=-=x ，惟有二位灵验数字，不切合题意.然而是22107863.1982.55178328178328-⨯==+=-=x .8、当N 充分大时，何如供⎰++1211N N dx x？ [解]果为N N dx xN Narctan )1arctan(1112-+=+⎰+，当N 充分大时为二个相近数相减，设)1arctan(+=N α，N arctan =β，则αtan 1=+N ，βtan =N ，进而11)1(1)1(tan tan 1tan tan )tan(2++=++-+=+-=-N N N N N N βαβαβα，果此11arctan 11212++=-=+⎰+N N dx x N Nβα. 9、正圆形的边少约莫为100cm ，应何如丈量才搞使其里积缺面不超出12cm ?[解]由)(2)(])[())((*****2*2**l l l l l εεε='=可知，若央供1))((2**=l ε，则2001100212))(()(*2****=⨯==l l l εε，即边少应谦脚2001100±=l .10、设221gt S =，假定g 是准确的，而对付t 的丈量有1.0±秒的缺面，道明当t 减少时S 的千万于缺面减少，而相对付缺面却缩小.[道明]果为******1.0)()()()(gt t gt t dtdS S ===εεε，***2******51)(2)(21)()()(t t t t g t gt S S S r====εεεε，所以得证.11、序列{}n y 谦脚递推闭系),2,1(1101 =-=-n y y n n ，若41.120≈=y （三位灵验数字），预计到10y 时缺面有多大？那个预计历程宁静吗？[解]设n y 为n y 的近似值，n n n y y y -=)(*ε，则由⎪⎩⎪⎨⎧-==-110210n ny y y 与 ⎩⎨⎧-==-11041.110n n y y y 可知，20*1021)(-⨯=y ε，)(1011---=-n n n n y y y y ，即 )(10)(10)(0*1**y y y n n n εεε==-，进而82100*1010*1021102110)(10)(⨯=⨯⨯==-y y εε，果此预计历程不宁静. 12、预计6)12(-=f，与4.12≈，利用下列公式预计，哪一个得到的截止最佳？6)12(1+，3)223(-，3)223(1+，27099-.[解]果为1*1021)(-⨯=f ε，所以对付于61)12(1+=f ，2417*11*10211054.61021)14.1(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯+='=e f f e ，有一位灵验数字； 对付于32)223(-=f ，1112*22*10211012.01021)4.123(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯⨯-='=e f f e ，不灵验数字； 对付于33)223(1+=f ，2314*33*10211065.21021)4.123(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯⨯+='=e f f e ，有一位灵验数字；对付于270994-=f ，111*44*10211035102170)4.1()(⨯<⨯=⨯⨯='=--e f f e ，不灵验数字. 13、)1ln()(2--=x x x f ，供)30(f 的值.若启仄圆用六位函数表，问供对付数时缺面有多大？若改用另一等价公式)1ln()1ln(22-+-=--x x x x 预计，供对付数时缺面有多大？[解]果为9833.298991302==-（六位灵验数字），4*1021)(-⨯=x ε，所以2442**11*102994.010219833.293011021)13030(1)()()(---⨯=⨯⨯-=⨯⨯---='=x e f f e ，6442**22*108336.010219833.29301102111)()()(---⨯=⨯⨯+=⨯⨯-+-='=x x x e f f e .14、试用消元法解圆程组⎩⎨⎧=+=+2101021102101x x x x ，假定惟有三位数预计，问截止是可稳当？[解]透彻解为110210,110101*********--=-=x x .当使用三位数运算时，得到1,121==x x ，截止稳当.15、已知三角形里积c ab s sin 21=，其中c 为弧度，20π<<c ，且丈量a ，b ，c 的缺面分别为c b a ∆∆∆,,，道明里积的缺面s ∆谦脚cc b b a a s s ∆+∆+∆≤∆. [解]果为c c ab b c a a c b x x f s nk k k ∆+∆+∆=∆∂∂=∆∑=cos 21sin 21sin 21)()(1， 所以cc b b c c c c b b c c c ab cc ab b c a a c b ss ∆+∆+∆≤∆+∆+∆=∆+∆+∆=∆tan sin 21cos 21sin 21sin 21. 第二章 插值法（40-42）1、根据（2.2）定义的范德受止列式，令⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----nn n n n nn n x x xx xx x x x x x x x V21211020110111),,,,(，道明)(x V n 是n 次多项式，它的根是121,,,-n x x x ，且)())(,,,(),,,,(101101110------=n n n n n x x x x x x x V x x x x V .[道明]由∏∏∏∏-=---=-=-=--⋅=-⋅-=1110111010110)(),,,()()(),,,,(n j j n n n j j n i i j j i n n x x x x x V x x x x x x x x V 可得供证.2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，供)(x f 的二次插值多项式.[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L .3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值预计54.0ln 的近似值.[解]若与5.00=x ，6.01=x ， 则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则 604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，进而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L . 若与4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ， 693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，进而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L .4、给出 900,cos ≤≤x x 的函数表，步少 )60/1(1='=h ，若函数具备5位灵验数字，钻研用线性插值供x cos 近似值时的总缺面界.[解]设插值节面为h x x x x +=<<010，对付应的x cos 值为10,y y ，函数表值为10,y y ，则由题意可知，5001021-⨯≤-y y ，5111021-⨯≤-y y ，近似线性插值多项式为01011011)(x x x x y x x x x y x L --+--=，所以总缺面为()100101110100100101110100101111,,)()())((2cos )()())((!2)()()()()()()()(x x x x x x y y x x x x y y x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x f x L x L x L x f x L x f x R ∈---+---+---=---+---+--''=-+-=-=ξξξ，进而55555201051015100101110100101047.310211094.621102114400121102142110211021))((21))((cos 21)(-------⨯=⨯+⨯⨯=⨯+⨯=⨯+≤--⨯⨯+--⨯⨯+---≤---+---+--≤h x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x x R ξ.5、设3,2,1,0=+=k kh x x k，供)(max 220x l x x x ≤≤.[解])3)()((max 21)()2()3)()((max))()(())()((max)(max 000300032120231023033030h x x h x x x x h h h h h x x h x x x x x x x x x x x x x x x x x l xx x xx x x x x x x x -----=------=------=≤≤≤≤≤≤≤≤.令)34()383()43()3)()(()(0220302020203000x h hx x x h h x x x h x x h x x h x x x x x f ++-++++-=-----=，则)383()43(23)(202002h h x x x h x x x f ++++-='，进而极值面大概为 hx h h x h h x x h x h x x 37437)43(6)383(12)43(4)43(2002020200±+=±+=++-+±+=，又果为30)20714(271375371374)374(h h h h h x f -=--⨯-⨯-=-+， 30)71420(271357371374)374(h h h h h x f +-=-⨯+⨯+=++， 隐然)374()374(00h x f h x f ++≤-+，所以277710)71420(27121)374(21)(max 3303230+=+=++=≤≤h h h x f h x l x x x . 6、设),,1,0(n j x j=为互同节面，供证：1）),,1,0()(0n k x x l x kn j j k j =≡∑=；2）),,2,1()()(0n k x x l x x knj j k j =≡-∑=；[解]1）果为左侧是k x 的n 阶推格朗日多项式，所以供证创制. 2）设k x y y f )()(-=，则左侧是k x y y f )()(-=的n 阶推格朗日多项式，令x y =，即得供证.7、设[]b a C x f ,)(2∈且0)()(==b f a f ，供证)(max )(81)(max 2x f a b x f b x a b x a ''-≤≤≤≤≤. [解]睹补充题3，其中与0)()(==b f a f 即得.8、正在44≤≤-x 上给出x e x f =)(的等距节面函数表，若用二次插值供x e 的近似值，要使截断缺面不超出610-，问使用函数表的步少h 应与几？[解]由题意可知，设x 使用节面h x x -=10，1x ，h x x +=12举止二次插值，则插值余项为()201112102,)],()[)](([6))()((!3)()(x x h x x x x h x x ex x x x x x f x R ∈+----=---'''=ξξξ，令)()3(3)]()[)](([)(2211221213111h x x x h x x x x h x x x x h x x x f -+-+-=+----=，则)3(63)(22112h x x x x x f -+-='，进而)(x f 的极值面为h x x 331±=，故3932)331()331(33)(max2h h h h x f xx x =-⋅+⋅=≤≤，而 343422739326)(max 6)(20h e h e x f e x R x x x =≤≤≤≤ξ，要使其不超出610-，则有63410273-≤h e ，即22226210472.010389.74863.310243---⨯=⨯≈⨯≤ee h . 9、若n n y 2=，供n y 4∆及n y 4δ.[解]nn n n n n nn n n n n n n n n j jn j j n j jn n y y y y y y j y E j y I E y 22282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1()(123441322314040440444=+⨯-⨯+⨯-⨯=+⨯-⨯+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∆++++++++=-+=-∑∑.22221221122413211204024024021)4(2142121422282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1(4)1()(--------++--++=-+=-=---=+⨯-⨯+⨯-⨯=+⨯-⨯+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑∑n n n n n n n n n n n n n n n n j jn j j n j j j njj jn n y y y y y y j y E j y E Ej y E E y δ. 10、如果)(x f 是m 次多项式，记)()()(x f h x f x f -+=∆，道明)(x f 的k 阶好分)0()(m k x f k ≤≤∆是k m -次多项式，而且0)(=∆+x f l m （l 为正整数）.[道明]对付k 使用数教归纳法可证. 11、道明k k k k k k g f g f g f ∆+∆=∆+1)(. [道明]kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k g f g f g g f g f f g f g f g f g f g f g f g f ∆+∆=-+-=-+-=-=∆++++++++++1111111111)()()(.12、道明∑∑-=+-=∆--=∆11001n k k k n n n k kk f g g f g f g f .[道明]果为01111111111011)()]()([)(g f g f g f f g f f g g g f f g g f f g g fn n n k k k k k n k k k k k k k n k k k k k n k k k n k k k-=-=-+-=∆+∆=∆+∆∑∑∑∑∑-=++-=+++-=+-=+-=，故得证.13、道明：0102y y y n n j j∆-∆=∆∑-=.[道明]01112)(y y y y y n n j j j n j j ∆-∆=∆-∆=∆∑∑-=+-=.14、若n n n n x a x a x a a x f ++++=--1110)( 有n 个分歧真根n x x x ,,,21 ，道明⎩⎨⎧-=-≤≤='-=∑1,20,0)(11n k a n k x f x n nj j k j. [道明]由题意可设∏=-=---=ni i n n n x x a x x x x x x a x f 121)()())(()( ，故∏≠=-='nji i i j n j x x a x f 1)()(，再由好商的本量1战3可知：)!1()(1],,[1)()()1(1111-==-='-=≠==∑∏∑n x a x x x a x x a x xf x n k n n k n nj nj i i i j n k jnj j k j，进而得证.15、道明n 阶均好有下列本量：1）若)()(x cf x F =，则],,,[],,,[1010n n x x x cf x x x F =； 2）若)()()(x g x f x F +=，则],,,[],,,[],,,[101010n n n x x x g x x x f x x x F +=.[道明]1）],,,[)()()()()()(],,,[1000000010n nj nji i i jj nj nji i i jj nj nji i i jj n x x x cf x xx f c x xx cf x xx F x x x F =-=-=-=∑∏∑∏∑∏=≠==≠==≠=.2）],,,[],,,[)()()()()()()()()(],,,[10100000000010n n nj nji i i jj nj nji i i jj nj nji i i jj j nj nji i i jj n x x x g x x x f x xx g x xx f x xx g x f x xx F x x x F +=-+-=-+=-=∑∏∑∏∑∏∑∏=≠==≠==≠==≠=.16、13)(47+++=x x x x f ，供]2,,2,2[71f ，0!80!8)(]2,,2,2[)8(81===ξf f . [解]1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f ，]2,,2,2[810 f .17、道明二面三次埃我米特插值余项是()1212)4(3,,!4/)())(()(++∈--=k k k k x x x x x x f x R ξξ，并由此供出分段三次埃我米特插值的缺面限. [解]睹P30与P33，缺面限为k nk f h h '+≤≤0max 278)(ω. 18、XXXXXXXXXX ．19、供一个次数不下于4次的多项式)(x P ，使它谦脚0)0()0(='=P P ，1)1()1(='=P P ，1)2(=P .[解]设1223344)(a x a x a x a x a x P ++++=，则122334234)(a x a x a x a x P +++='，再由0)0()0(='=P P ，1)1()1(='=P P ，1)2(=P 可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++++==+++='=++++==='===012341234012*********)2(1234)(1)1(1)0(0)0(0a a a a a P a a a a x P a a a a a P a P a P 解得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-===432141234900aa a a a .进而4)3()96(4492341)(2222234-=+-=+-=x x x x x x x x x P .20、设],[)(b a C x f ∈，把[]b a ,分为n 仄分，试构制一个台阶形的整次分段插值函数)(x n ϕ，并道明当∞→n 时，)(x n ϕ正在[]b a ,上普遍支敛到)(x f .[解]令n i x f x f x ii ii x x x x x xi ,,3,2,1,2)(inf)(sup )(11 =+=≤≤≤≤--ϕ.21、设)1/(1)(2x x f +=，正在55≤≤-x 上与10=n ，按等距节面供分段线性插值函数)(x I h ，预计各节面中面处的)(x I h 与)(x f 的值，并预计缺面.[解]由题意可知，1=h ，进而当[]1,+∈k k x x x 时，)(])1(1[1)()1(1)1(1111)(2121211211k k kk k k k k k k k k h x x k h x x k h x x x x k x x x x k l f l f x I -+++-+-=--+++--+=+=++++++.22、供2)(x x f =正在[]b a ,上的分段线性插值函数)(x I h ，并预计缺面.[解]设将[]b a ,区分为少度为h 的小区间b x x x a n =≤≤≤= 10，则当[]1,+∈k k x x x ，1,,2,1,0-=n k 时， 进而缺面为))(())((!2)()(112++--=--''=k k k k x x x x x x x x f x R ξ， 故4))(()(212h x x x x x R k k ≤--=+.23、供4)(x x f =正在[]b a ,上的分段埃我米特插值，并预计缺面. [解]设将[]b a ,区分为少度为h 的小区间b x x x a n =≤≤≤= 10，则当[]1,+∈k k x x x ，1,,2,1,0-=n k 时，)(4)(42121)()(121312113112141121141111++++++++++++++++-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='+'++=k k k kk k k k k k k k k k k kk k k kk kk k k k k k k k k k h x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x f f f f x I ββαα，进而缺面为212212)4(2)()()()(!4)()(++--=--=k k k k x x x x x x x x f x R ξ， 故16)()()(42122h x x x x x R k k ≤--=+.24、给定数据表如下：试供三次样条函数)(x S ，并谦脚条件： 1）6868.0)53.0(,0000.1)25.0(='='S S ； 2）0)53.0()25.0(=''=''S S .[解]由05.025.030.00=-=h ，09.030.039.01=-=h ，06.039.045.02=-=h ，08.045.053.03=-=h ，及（8.10）式)1,,1(,,111-=+=+=---n j h h h h h h jj j j jj j j μλ可知，14909.005.009.01011=+=+=h h h λ，5206.009.006.02122=+=+=h h h λ，7408.006.008.03233=+=+=h h h λ，14509.005.005.01001=+=+=h h h μ，5306.009.009.02112=+=+=h h h μ，7308.006.006.03223=+=+=h h h μ，由（8.11）式)1,1(]),[],[(311-=+=+-n j x x f x x f g j j j j j j jμλ可知，7541.2700019279)900768145500477149(3)30.039.05477.06245.014525.030.05000.05477.0149(3])()(145)()(149[3]),[],[(3121201012111011==⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.413.2100046332564)6004635390076852(3)39.045.06245.06708.05330.039.05477.06245.052(3])()(53)()(52[3]),[],[(3232312123222122=⨯+⨯=⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.0814.27001457140011894634)8004727360046374(3)45.053.06708.07280.07339.045.06245.06708.074(3])()(73)()(74[3]),[],[(3343423234333233==⨯+⨯=⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.进而1）矩阵形式为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡7871.1413.21112.26868.0730814.2413.20000.11497541.227405325201452321m m m ，解得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡6570.08278.09078.0321m m m ，进而∑=+=nj j j j j x m x y x S 0)]()([)(βα.2）此为自然鸿沟条件，故862.2500477325.030.05000.05477.03)()(3],[30101100=⨯=--⨯=--⨯==x x x f x f x x f g ；145.2800572345.053.06708.07280.03)()(3],[3111=⨯=--⨯=--⨯==---n n n n n n n x x x f x f x x f g ，矩阵形式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡145.20814.2413.27541.2862.227400732740005325200014521490001243210m m m m m ，不妨解得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡43210m m m m m ，进而∑=+=nj j j j j x m x y x S 0)]()([)(βα.25、若],[)(2b a C x f ∈，)(x S 是三次样条函数，道明 1）⎰⎰⎰⎰''-''''+''-''=''-''babababadx x S x f x S dx x S x f dx x S dx x f )]()()[(2)]()([)]([)]([222；2）若),,1,0()()(n i x S x f i i ==，式中ix 为插值节面，且b x x x a n =<<<= 10则)]()()[()]()()[()]()()[(a S a f a S b S b f b S dx x S x f x S ba '-'''-'-'''=''-''''⎰.[解]1）⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰''-''=''-''=''-''''+''=''-''''+''-''=''-''''+''-''=''-''''+''-''bababab a ba b ababadxx S dx x f dxx S x f dx x S x f x S x f dxx S x f x S x S x f dxx S x f x S x S x f dxx S x f x S dx x S x f 222222)]([)]([)]([)]([)]()()][()([)]()()}[(2)]()({[)]()()[(2)]()([)]()()[(2)]()([.2）由题意可知，[]b a x A x S ,,)(∈='''，所以)]()()[()]()()[()]()([)]()()[()]()()[()]()([)]()()[()]()()[()()]()([)]}()()[({)]()()[(a S a f a S b S b f b S x S x f A a S a f a S b S b f b S dx x S x f A a S a f a S b S b f b S dxx S x S x f x S x f x S dx x S x f x S b a b ab ab aba'-'''-'-'''=--'-'''-'-'''='-'-'-'''-'-'''=''''-'-'-'''=''-''''⎰⎰⎰.补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并预计插值余项.[解]由1)(000===-e x y y ，111)(-==e x y y 可知，xe x e x x e x x x x x y x x x x y x L )1(1)1(0101011)(111010110101-+=+--=--⨯+--⨯=--+--=---，余项为()1,0),1(2))((!2)()(101∈-=--''=-ξξξx x e x x x x f x R ， 故8141121)1(max max 21)(10101=⨯⨯=-⨯⨯≤≤≤-≤≤x x e x R x ξξ. 2、设4)(x x f =，试利用推格朗日插值余项定理写出以2,1,0,1-为插值节面的三次插值多项式. [解]由插值余项定理，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x R 22)1)(2()2)(1()1(!4!4))()()((!4)()(234223210)4(3+--=--=--+=----=ξ，进而x x x x x x x x x R x f x L 22)22()()()(23234433-+=+---=-=.3、设)(x f 正在[]b a ,内有二阶连绝导数，供证：)(max )(81)]()()()([)(max 2x f a b a x a b a f b f a f x f b x a bx a ''-≤---+-≤≤≤≤.[证]果为)()()()(a x ab a f b f a f ---+是以a ，b 为插值节面的)(x f 的线性插值多项式，利用插值多项式的余项定理，得到：))()((21)]()()()([)(b x a x f a x a b a f b f a f x f --''=---+-ξ，进而)(max )(81)(41)(max 21))((max )(max 21)]()()()([)(max 22x f a b a b f b x a x f a x a b a f b f a f x f b x a b a b x a ba b x a ''-=-⋅''=--⋅''≤---+-≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ξξξξ.4、设15)(37++=x x x f ，供好商]2,2[10f ，]2,2,2[210f ，]2,,2,2[710 f 战]2,,2,2[810 f .[解]果为7)1()2(0==f f ，1691252)2()2(371=+⨯+==f f ，167051454)4()2(372=+⨯+==f f ，所以162716912)1()2(]2,2[10=-=--=f f f ，826821691670524)2()4(]2,2[21=-=--=f f f ，27023162826822]2,2[]2,2[]2,2,2[02102121=-=--=f f f ， 1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f ，0!80!8)(]2,,2,2[)8(810===ξf f .5、给定数据表：5,4,3,2,1=i ，供4次牛顿插值多项式，并写出插值余项. [解]由好商表可得4次牛顿插值多项式为：)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)(4----+------+--=----+------+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x N ，插值余项为()7,1),7)(6)(4)(2)(1(!5)()()5(4∈-----=ξξx x x x x f x R .6、如下表给定函数：4,3,2,1,0=i ，试预计出此列表函数的好分表，并利用牛顿背前插值公式给出它的插值多项式. [解]构制好分表：由好分表可得插值多项式为：32)1(3322)1(332)1()(2020004++=-++=⨯-++=+∆-+∆+=+t t t t t t t t f t t f t f th x N .第三章 函数迫近与预计（80-82）1、（a ）利用区间变更推出区间为[]b a ,的伯恩斯坦多项式；（b ）对付x x f sin )(=正在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上供1次战3次伯恩斯坦多项式并绘出图形，并与相映的马克劳林级数部分战缺面搞出比较. [解]（a ）令t a b a x )(-+=，则[]1,0∈t ，进而伯恩斯坦多项式为∑=-=nk k n x P n k a b f x f B 0)())((),(，其中kn k k x a b x k n x P ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()(. （b ）令t x 2π=，则[]1,0∈t ，进而伯恩斯坦多项式为∑==nk k n x P n kf x f B 0)()2(),(π，其中k n k k x x k n x P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2()(π. xx x x x x x f x x f x P kf x f B k k =+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=202sin 20sin 211)2(201)0()()2(),(010101πππππππ；3223323223223223312213033)533(21)32(4383)2(233)4(23)2(233)2(232sin )2(33sin )2(36sin 20sin )2(33)2()2(23)3()2(13)6()2(03)0()()6(),(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x f x x f x P kf x f B k k ----=+-++-=+-+-=⨯+-⨯+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=πππππππππππππππππππππ.2、供证：（a ）当Mx f m ≤≤)(时，M x f B m n ≤≤),(；（b ）当x x f =)(时，x x f B n =),(.[道明]（a ）由∑==nk k n x P nk f x f B 0)()(),(及Mx f m ≤≤)(可知，∑∑∑∑====≤≤≤≤nk k nk k n n k k n k k x P M x MP x f B x mP x P m 0)()(),()()(，而1)]1([)1()(00=-+=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑=-=nnk k n k nk k x x x x k n x P ，进而得证. （b ）当x x f =)(时，xx x x x x k n k n x x xx k n k n x x k n k n n k x x k n n k f x P n k f x f B n n k k n k n k k n k nk kn k f nk kn k nk k n =-+=----=------=--⨯==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--=--=----=-==-=∑∑∑∑∑110)1(1)1()1(110)0(00)]1([)1()!1(!)!1()1()]!1()1[()!1()!1()1()!(!!)1()()()(),(.3、正在次数不超出6的多项式中，供x x f 4sin )(=正在[]π2,0的最佳普遍迫近多项式.[解]由[]π2,0,4sin ∈x x 可知，14sin 1≤≤-x ，进而最小偏偏好为1，接错面为ππππππππ815,813,811,89,87,85,83,8，此即为6)(H x P ∈的切比雪妇接错面组，进而)(x P 是以那些面为插值节面的推格朗日多项式，可得0)(=x P .4、假设)(x f 正在[]b a ,上连绝，供)(x f 的整次最佳普遍迫近多项式.[解]令)(infx f m bx a ≤≤=，)(sup x f M bx a ≤≤=，则2)(mM x f +=正在[]b a ,上具备最小偏偏好2m M -，进而为整次最佳迫近一次多项式.5、采用常数a ，使得ax x x -≤≤310max 达到极小，又问那个解是可唯一？[解]果为ax x -3是奇函数，所以ax x ax x x x -=-≤≤-≤≤311310max max ，再由定理7可知，当)34(4141333x x T ax x -==-时，坐即43=a ，偏偏好最小.6、供x x f sin )(=正在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最佳一次迫近多项式，并预计缺面.[解]由πππ22sin 2sincos )()()(221=--=='=--=x x f ab a f b f a 可得π2arccos2=x ，进而最佳一次迫近多项式为ππππππππππππ2arccos1242)2arccos 21(224)22arccos0(2)]2sin(arccos 0[sin 21)2()]()([2122212--+=-+-=+-++=+-++=x x x x a x a x f a f y 7、供x e x f =)(正在[]1,0上的最佳一次迫近多项式.[解]由101)()()(01212-=--=='=--=e e e e xf a b a f b f a x 可得)1ln(2-=e x ，进而最佳一次迫近多项式为)1ln(212)1()]1ln(21)[1(2)2)1ln(0)(1(][21)2()]()([21)1ln(0212---+-=---+=-+--++=+-++=-e e e x e e x e e e x e e e x a x a x f a f y e .8、怎么样采用r ，使r x x p +=2)(正在[]1,1-上与整偏偏好最小？r 是可唯一？[解]由r r x x p x x +=+=≤≤-≤≤-1)(max )(max 21111，r r x x p x x =+=≤≤-≤≤-)(min )(min 21111可知当与整偏偏好最小时，r r =+1，进而21-=r .另解：由定理7可知，正在[]1,1-上与整偏偏好最小的二次多项式为21)12(21)(21222-=-=x x x T ，进而21-=r .9、设13)(34-+=x x x f ，正在[]1,0上供三次最佳迫近多项式. [解]设所供三次多项式为)(3x P ，则由定理7可知81)188(81)(21)()(2424433+-=+-==-x x x x x T x P x f ，进而893)81()13()81()()(232434243-+=+---+=+--=x x x x x x x x x f x P .10、令[]1,0),12()(∈-=x x T x T n n ，供)(*0x T 、)(*1x T 、)(*2x T 、)(3x T . [解]由[]1,0),12()(∈-=x x T x T n n 可知，令[]1,1,211-∈+=t t x ，则[]1,1),()121(-∈=+t t T t T n n ，进而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=1,21),121(21,1),()(00*x x T x x T x T n . 11、试证{})(*x T n 是正在[]1,0上戴权21xx -=ρ的正接多项式.？12、正在[]1,1-上利用插值极小化供x x f arctan )(=的三次近似最佳迫近多项式.[解]由题意可知，插值节面为)3,2,1(,812cos =-k k π，即ππππ87cos ,85cos ,83cos ,81cos 4321====x x x x ，则可供得)(3x L .13、设x e x f =)(正在[]1,1-上的插值极小化近似最佳迫近多项式为)(x L n ，若∞-nL f 有界，道明对付所有1≥n ，存留常数n n βα,，使得)11()()()()(11≤≤-≤-≤++x x T x L x f x T n n n n n βα.[道明]由题意可知，[]1,1),()!1(2)()()(1)1(-∈+=-++ξξx T n f x L x f n n n n ，进而与)!1(2)(min )1(11+=+≤≤-n x f nn x n α，)!1(2)(max )1(11+=+≤≤-n x f n n x n β，则可得供证.14、设正在[]1,1-上543238401653841524381211)(x x x x x x -----=ϕ，试将)(x ϕ落矮到3次多项式并预计缺面.[解]果为x x T x 16545161355-+=，8181244-+=x T x ，所以323232307254510241234096199310241029)16545(3840165)81(3841524381211)(~x x x x x x x x x x ---=-------=ϕ，缺面为0056.040962381384016516138415)(~)(≈=+≤-x x ϕϕ.15、正在[]1,1-利用幂级数项数俭朴供x x f sin )(=的3次迫近多项式，使缺面不超出0.005.[解]果为 ++-+++-=+)!12()1(!5!3sin 1253n x x x x x n n ，与前三项，得到!5!3)(535x x x x L +-=，缺面为0002.0!71)(sin 5≈≤-x L x ，又果为 x x T x 16545161355-+=，所以3次迫近多项式为3333227384383)16545(!51!3sin x x x x x x x +-=-+-=，此时缺面为005.010986.71611201!714<⨯≈⨯+-. 16、)(x f 是[]a a ,-上的连绝奇（奇）函数，道明不管n 是奇数大概奇数，)(x f 的最佳迫近多项式n n H x F ∈)(*也是奇（奇）函数. [解])(x f 的最佳迫近多项式是由切比雪妇多项式得到的，再由切比雪妇多项式的本量4即得.17、供a 、b 使⎰-+202]sin [πdx x b ax 为最小，并与1题及6题的一次迫近多项式缺面做比较. [解]由2120ππ=⎰dx ，8220ππ=⎰dx x ，243202ππ=⎰dx x ，1sin 200==⎰πxdx d ，1cos |)cos (sin 2020201=---==⎰⎰πππxdx x x xdx x d ，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1124882322a b ππππ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=1148.0)3(86644.0)4(2423ππππb a . 18、],[)(),(1b a C x g x f ∈，定义 （a ）()⎰''=aadx x g x f g f )()(,；（b ）())()()()(,a g a f dx x g x f g f aa+''=⎰. 问它们是可形成内积？[解]（a ）果为()0)(0)]([,0)(2='⇔='=⇒=⎰x f dx x f f f x f ba ，然而反之不可坐，所以不形成内积. （b ）形成内积.19、用许瓦兹不等式（4.5）预计⎰+161dx xx 的上界，并用积分中值定理预计共一积分的上下界，并比较其截止. [解]1961.026113121)131()11()()11(110131012612106≈==+-=+≤+⎰⎰⎰x x dxx dx xdx x x .果为[]1,0,12666∈≤+≤x x xx x ，所以7112141106106106=≤+≤=⎰⎰⎰dx x dx x x dx x . 20、采用a ，使下列积分与最小值：⎰-1022)(dx ax x ，⎰--112dx ax x .[解]481)45(51512131)2()(22142321022+-=+-=+-=-⎰⎰a a a dx x a ax x dx ax x ，进而45=a .当0=a 时，12121100111112=+=+-==-⎰⎰⎰⎰---xdx xdx dx x dx ax x ，当0≠a 时，由02=-ax x ，可得接面为ax 1=，若1>a ，则1323121316161)2131()2131()3121()2131()()()(222012310321123012102112112>+=++++-=-+-+-=-+-+-=----⎰⎰⎰⎰a a a aa a x ax ax x x ax dxx ax dx ax x dx x ax dx ax x a aa a，若01>≥a ，则1)2131()3121()()(012102112=----=-+-=-⎰⎰⎰--a a dx x ax dx ax x dx ax x .共理可知，当01<≤-a 时，1112=-⎰-dx ax x ，当1-<a 时，1112>-⎰-dx ax x ，进而当1≤a 时，积分博得最小.21、设{}x span ,11=ϕ，{}1011002,x x span =ϕ，分别正在21,ϕϕ上供一元素，使其为]1,0[2C x ∈的最佳仄圆迫近，并比较其截止.[解]由1110=⎰dx ，2110=⎰xdx ，31102=⎰dx x ，41103=⎰dx x 可知，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡41313121211b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=161b a ，即正在1ϕ上为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,61. 由201110100100=⋅⎰dx x x ，202110101100=⋅⎰dx x x ，203110101101=⋅⎰dx x x ，1031102100=⋅⎰dx x x ，1041102101=⋅⎰dx x x 可知， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡104110312031202120212011b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≈⨯⨯⨯-=≈⨯⨯⨯=148.37510310420320298243.37510410320220199b a ，即正在2ϕ上为()148.375,243.375-.22、x x f =)(正在[]1,1-上，供正在{}421,,1x x span =ϕ上的最佳仄圆迫近.[解]由1100111=+-=⎰⎰⎰--xdx xdx dx x ，2113013112=+-=⎰⎰⎰--dx x dx x dx x x ，。

第2章 复习与思考题01ii i ii kx x x x 的基函数称为主要性质有 0,()1,k i kx i k()1n l x、什么是牛顿基函数？它与单项式基答：牛顿差值基函数为00101x ),(x x )(x x ),...,(x x )(x x )...(x x )}n 牛顿差值基函数中带有常数项01,,...n x x x ，这有单项式基不同。

阶均差？它有何重要性质 01n 2n 01n 2n -11[,,...,,][,,...,,]n n f x x x f x x x x x xk j 0j 0j-1j j+1j -k x x x x x x x （）...()()...()和k 阶均差的性质0101k-10[,,...,][,,...,]k kf x x x f x x x x x （分子前项多xk ）[a,b]上存在阶导数，且节点2n ,[a,b]x ，则1()!f n0()nn n ik k kk k i i ki kx x y l x y x x ，(j 1,2,....,n)个点的牛顿插值多项式01[,,...,]k f x x x ,(k 1,2,....,n)两者的主要差异是未知数不一致。

拉格朗日插值多项式是系数知道，但基函数不知道。

牛顿插值多项式是函数知道，但系数不知道。

与一般多项式基本相同。

y ，其中系数矩阵用下列基底作多项式插值时，120001211112222121...1...1 (1)...n n n n n nnx x x x x x x x x x x x ，无非零元素。

）拉格朗日基底为01{(),(),...,()}n l x l x l x ，已知数为未知数为01{(),(),...,()}n l x l x l x ，则系数矩阵为00101x ),(x x )(x x ),...,(x x )(x x )...(x x )}n ，已，未知数为012{,,,...,}n a a a a ，则系数矩阵为102020211010100...010...01()()...0...............1()()...()n nnnnj j x x x x x x x x x x x x x x x x ，为下三角矩阵，矩阵的上三角元0。

数值分析第五版-李庆扬--课后习题答案第一章绪论1．设某0,某的相对误差为，求ln某的误差。

e某某某某某解：近似值某某的相对误差为=er某某某某1e某而ln 某的误差为eln某某ln某某ln某某某进而有(ln某某)2．设某的相对误差为2%，求某n的相对误差。

解：设f(某)某n，则函数的条件数为Cp|某n某n1|n,Cp|n某f'(某)|f(某)又f'(某)n某n1又r((某某)n)Cpr(某某)且er(某某)为2r((某某)n)0.02n3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个某某某单位，试指出它们是几位有效数字：某11.1021,某20.031,某3385.6,某某某456.430,某571.0.某解：某11.1021是五位有效数字；某某20.031是二位有效数字；某某3385.6是四位有效数字；某某456.430是五位有效数字；某某571.0.是二位有效数字。

某某某某某某某某4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1)某1,(2)某1.某2某4某2某3,(3)某2/某4某某某某其中某1均为第3题所给的数。

,某2,某3,某4解：121某(某2)10321某(某3)10121某(某4)10321某(某5)1012(某1某)104某某某(1)(某1某2某4)某某某(某1)(某2)(某4)1114331010102221.05103某某某(2)(某1某2某3)某某某某某某某某某某1某2(某3)某2某3(某1)某1某3(某2)1111.10210.0311010.031385.61041.1021385.61032220.215某某(3)(某2/某4)某某某某某2(某4)某4(某2)某某24110.03110356.4301032256.43056.4301055计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？4解：球体体积为VR33则何种函数的条件数为RV'R4R2Cp34VR33r(V某)Cpr(R某)3r(R某)又r(V某)121故度量半径R时允许的相对误差限为r(R某)10.3331783（n=1,2,…）6．设Y028，按递推公式YnYn1100计算到Y100。

李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字；*20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少解：球体体积为343V R π= 则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈ 6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=（n=1,2,…） 计算到100Y27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差解：1n n Y Y -=10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =，若取27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。

第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。

第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。

解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯ 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=（n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =，27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。

第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。